Esercizi
Spettri atomo H
  E  (
1
n
2
arrivo

1
n
2
)
partenza
Le “serie” prendono il nome dal
valore di n di “arrivo”.
Lyman
na=1
Balmer na=2
Paschen
na=3
Quindi la riga a frequenza più bassa ( e
lunghezza d’onda più grande) di ogni serie è
quella tra i livelli che corrispondono a na e na+1.
ESERCIZIO 1
1.La riga di Lyman a numero d’onda più basso per l’atomo di H è a 82259 cm-1.
Calcolare la frequenza in Hz e la lunghezza d’onda della transizione per
l’atomo di Li2+ .
 Z 2 me4 1
En 
 2
2 2 2
32  0  n
E ( H )
1

E ( Li 2 ) 9
Per H
Z=1
Per Li2+
Z=3
  E
 (H ) 1

2
 ( Li ) 9
 ( Li 2 )  9  82259cm1  9  8.2259 106 m1
 ( Li 2 )  (9  8.2259  2.99)  (106 108 ) Hz 
 20.2319 1014 Hz
  c
Esercizio 2
Gli astronomi hanno trovato atomi di H nello spazio interstellare con
numero quantico n altissimo.
Calcolare la lunghezza d’onda della luce emessa da un elettrone che
subisca una transizione da n=236 a n=235, e individuare la zona
spettrale corrispondente.
  109677.578cm 1
Costante di Rydberg

En   2 cm 1
n
  E235  E236
1  1
 1
7
1
 

cm



1
.
5313

10
cm

2
2
235
236


 1.6795 10 2 cm 1  1.6795m 1
1

m  0.595m
1.6795
1

m  0.595m
1.6795
La zona è quella della
radiofrequenza.
Esercizio 3
Calcolare la probabilità di trovare la particella nei diversi
punti di un’orbita circolare se la sua funzione d’onda è
1 im
 m ( ) 
e
2
con m = 2.
------------------------------------------------------------------
La probabilità di trovare la particella tra  e  + d  è:
 2 ( ) 2* ( )d
(interpretazione di Bohr)
1 i 2
1 i 2
1 (i 2 i 2 )
1
 2 ( )  ) 
e 
e

e

2
2
2
2
*
2(
Quindi la localizzazione della particella sull’orbita è del tutto indefinita
perché non dipende da . Il risultato inoltre non dipende dalla
particolare funzione, il risultato è lo stesso qualsiasi sia il valore di m.
Esercizio 4
Calcolare la differenza di energia tra i primi due livelli energetici
per una molecola di O2 in una scatola monodimensionale lunga 5 cm.
Come potreste dimostrare che la quantizzazione dell’energia si può
trascurare per una scatola di queste dimensioni? (Suggerimento:
cfr. con l’energia media )
-----------------------------------------------------------------n 2h 2
Espressione dell’energia per la particella nella scatola: En 
8mL2
Dati che ci servono:
h  6.62  10 34 J  s
Massa della molecola di O2: 32 u.a. x peso in kg di 1 u.a. (mu) mu  1.66 10 27 kg
MO2  1.66 1027  32kg  53.11027 kg
Lunghezza della scatola: L = 5x10-2 m
I primi due livelli energetici corrispondono ai numeri quantici n = 1 e n = 2.
h2
4h 2
3h 2
E1 
E2 
E  E2  E1 
2
2
8mL
8mL
8mL2
3h 2
3  (6.62 ) 2
10 68
E  E2  E1 

 26
J
2
4
8  5.31  25 10  10
8mL
M O2  5.31 1026 kg
E  0.124  10 68  1030 J  1.24  10 39 J
La scatola di 5 cm è una scatola di dimensioni ordinarie. Un confronto
ragionevole può essere tra la differenza di energia calcolata tra due
stati quantizzati per la molecola di O2 , e l’energia media ottenuta
dalla termodinamica statistica per il moto di una molecola di gas
perfetto in una direzione:
1
E  kT dove k è la costante di Boltzmann. A 300K :
2
1.38  10 23  300
E
J  2.1  10 21 J
2
La differenza di energia tra due stati quantizzati è piccolissima rispetto
all’energia media.
Esercizio 5
Il numero d’onda che corrisponde alla transizione
vibrazionale per la molecola di 12C=16O è 2170 cm-1.
Usando il modello dell’oscillatore armonico, ricavare la
costante di forza del legame C=O.
------------------------------------------------------------------
Nel modello dell’oscillatore armonico abbiamo: E  (  1 2)h
Le transizioni permesse sono quelle con
  1
La transizione “fondamentale” è quella tra
lo stato con v=0 (che è il più popolato) e v=1
E  (3 2h )  (1 2 h )  h
Ma per la relazione di Planck: E  h
Quindi la frequenza del moto di vibrazione delle molecole
biatomiche è anche la frequenza della radiazione
elettromagnetica che possono assorbire.
Procedimento: 1. Si ottiene la frequenza dal numero d’onda.
2. La frequenza si pone eguale a quella di vibrazione.
3. Dall’espressione della frequenza per l’oscillatore armonico si ottiene la
costante di forza.
 
1

Numero d’onda

c

 c
Per passare alla frequenza bisogna moltiplicare
per c, velocità della luce.
c  3  108 ms 1
Esprimiamo il numero d’onda in unità SI. Si ricordi che 1cm 1  100 m 1
  2170 cm 1  2.170  105 m 1
  3  108  2.170  105 m 1  m  s 1  6.51  1013 s 1  6.51  1013 Hz  65.1 THz
E
adesso?
?
Adesso
è quasi
fatta!
1 k
  2
4 
2
mC = 12 u.a.
1

2
k

k  4 2 2 
mO = 15.9949 u.a.
(Approssimiamo mO a 16 u.a.)
Per calcolare la massa in kg dobbiamo
moltiplicare la massa in u.a. per il peso in
kg dell’u.a.:
mu  1.66  10 27 kg

mC mO
12 16

1.66 10 27 kg  11.38 1027 kg
mC  mO 12  16
k  4 2 2   (4  9.87  42.38 11.38)(1026 1027 )(kg  s 2 )
k  4 2 2   (1.905 104 )(101 )(kg  s 2 )
1 N = kg x m x s-2
k  1905 N  m
1
Che risoluzione dovrebbe avere uno spettrometro IR
per distinguere tra 12CO e 13CO ?
Esercizio 6
La funzione d’onda angolare degli atomi idrogenoidi è anche autofunzione degli
operatori di momento angolare.
a. Quali sono gli autovalori di questi operatori per un elettrone in uno stato n,l,m?
b. Siete capaci di dimostrare che le funzioni dette sono autofunzioni dell’operatore lz?
Modulo del momento angolare:
l  l (l  1) 
Componente lungo z del momento
angolare:
lz  m 
 
lz 
i 
1  eim
1  im
1 im
l z  ml 

e im  m(
e )
2 i 
2 i
2
Esercizio 7
Che relazione c’è tra gli orbitali 2p0, 2p1, 2p-1, e gli orbitali 2px, 2py, 2pz?
2 p0  cos 
2 p1  sin   ei
2 p1  sin   e i
 p1  p1
2
p  p1
py  i 1
2
pz  p0
px 
2 pz  2 p0  cos 
2 p x  2 p1  2 p1  sin   (ei  e  i )  sin  cos 
2 p y  2 p1  2 p1  sin   (ei  ei )  sin  sin 
 
lz 
i 
Le funzioni reali degli orbitali non sono autofunzioni di lz
2 pz  2 p0  cos 
2 px  sin  cos 
2 p y  sin  sin 
Esercizio 8
Disegnare la forma del potenziale per l’oscillatore armonico, la forma delle
funzioni d’onda da v=0 a v= 3, e scriverne le energie
Esercizio 9
Sapete giustificare l’uso del modello dell’oscillatore armonico per descrivere i
moti di vibrazione delle molecole? Quali sono i limiti del modello secondo voi?
v=3
v=2
v=1
v=0
La forma del potenziale in Se si adotta il modello
dell’oscillatore armonico si
cui si muovono i nuclei
assomiglia ad una parabola trova che i livelli energetici
sono tutti equidistanti
per gli stati a energia più
bassa
Se si usa un potenziale più
simile a quello reale, si trova
che i livelli di energia si
infittiscono al crescere di v.
Esercizio 10
Lo spettro vibrazionale della molecola di 1H19F ha una riga a 4138 cm-1 .
Ricavare la costante di forza del legame H-F (assumete che le masse
siano 1 u.a. per H e 19 u.a. per F).
966 Nm 1
 0 cm
1
H2
2
H2
1
H 19F
1
H 35Cl
14
N2
16
O2
1
4400
3118
4138
2990
2358
1580
r pm
74
74
92
127
110
121
1
k Nm
575
577
966
516
2294
1177
 kJmol 1
432
440
564
428
942
493
Moto di rotazione delle molecole
Una molecola che ruota in assenza di potenziale
può essere considerata come una particella di
massa μ che si muove su una superficie sferica
di raggio r uguale alla distanza di legame. Quindi
possiamo usare i risultati trovati per la particella
sulla sfera per avere informazioni sul moto di
rotazione delle molecole biatomiche.
m1
r
m2
m1  m2

m1  m2
r

Esercizio 11
Calcolare le energie dei primi cinque livelli rotazionali della
molecola di H2, e per ognuno degli stati le grandezze del momento
angolare, e i valori delle proiezioni del momento angolare lungo
l’asse z.
Momento di inerzia per la molecola di H2 : I= 4.603 x 10-48 kg m2
Suggerimento: ricalcolatevi per esercizio il momento di inerzia di H2!
------------------------------------------------------------------
Procedimento: le energie degli stati rotazionali di H2 si calcolano con
il modello del “rotatore rigido”, che equivale al moto di una particella
di massa ridotta  su una sfera di raggio r. Quindi l’espressione per
l’energia è:
2
El  l (l  1)
2I
I cinque stati a energia più bassa hanno numeri quantici l = 0,1,2,3,4
(per gli stati rotazionali si usa anche il simbolo J ).
Conviene calcolare
2
2I
Costante di cui abbiamo bisogno
  1.055 10 34 J  s
 2 (1.055) 2 (1034 ) 2 J 2 s 2
Calcoliamo :




 48
2
2I 2  4.603 10
kg  m
2
1.113 1068
J2
J
 20
21

 48 

0
.
1209

10


1
.
209

10
J
2
2
9.206 10
kg  m  s
J
l=0
E0  0
l=1
E1  2 1.209 1021 J
l =2
E2  6 1.209 1021 J
l=3
E3  12 1.209 10 21 J
l=4
E4  20 1.209 1021 J
Quadrato del modulo del momento angolare:
l (l  1) 2
Calcolatelo per esercizio per i primi cinque valori di l.
Valori delle proiezioni del momento angolare su un asse, in
unità  :
l=0
ml  0
l=1
ml  1, 0,1
l =2
ml  2, 1, 0,1,2
l=3
ml  3, 2, 1, 0,1,2,3
l = 4 ml  4, 3, 2, 1, 0,1,2,3,4
Esercizio 12
La molecola di ossido di carbonio ha una distanza di legame di 113 pm.
Ricavare la frequenza per la transizione tra i due stati rotazionali più
bassi per la molecola 12C-16O.
m1
r
m2
2

E j  J ( J  1)
2I
E  EJ '  EJ
m1  m2

m1  m2
J  0,1,2,...
I due stati rotazionali a energia più
bassa sono quelli con J=0 e J=1
E  E J '  E J  E1  E0  E1
2 2 2
E1  2 
 2
2I
I
r