Il modello della goccia di liquido
• Uno dei primi modelli del nucleo proposti
• Conseguenza naturale del pensare il nucleo come
una collezione di “molecole” legate fra loro
• Queste molecole sono in moto costante e diversi
tipi di moto sono possibili
Consideriamo il nucleo come una sfera di densità
uniforme interna, che va a zero in superficie
Goccia di liquido
Nucleo
forze intermolecolari a
corto range
forza nucleare
Densità indip. dalla
dalla dimensione goccia
densità indip. dalla
dimensione nucleare
Calore richiesto per
evaporare una massa fissa
indipendente dalla goccia
B/A  costante
1
Singoli termini dell’energia di legame
Il termine di volume +avA
Termine dominante, proporzionale al volume BR3. Poichè AR3  B A, e B/A=cost.
Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV.
Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente
approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto
saturazione.
Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame
totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2.
A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i
nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3.
La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm.
Il termine di superficie -asA2/3
I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame è
minore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della
superficie del nucleo (R2 o A2/3)
2
Il termine coulombiano –acZ2/A1/3
La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia
di legame. Questo termine vale
3 Z ( Z  1)e 2
ECoulomb 
5
R
Poichè R A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3
B( Z , A)  av A  as A2 / 3  ac Z 2 / A1/ 3
La formula è ancora inadeguata:
per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha
la massima energia di legame (cioè tutti i
protoni si convertono in neutroni!)
Inoltre l’energia di legame per nucleone
presenta ancora una pendenza positiva al
crescere del numero di massa. Questo non si
osserva in natura
B/A (MeV per nucleone)
Mettendo tutto assieme troviamo
volume
superficie
Coulomb
simmetria
3
Numero di massa A
Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di
Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle
rispettive energie
buca di protoni
buca di neutroni
neutrone
protone
cambiamo 2
protoni in 2
neutroni
separazione fra i
livelli E
cambiamo 2
protoni in 2
neutroni
Aumento di
energia=2 E
Aumento di
energia=4x2 E
Termine di asimmetria
Per passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2E/8
Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati
di un nucleo con NZ.
 aa ( Z  N ) 2 / A
4
La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A
Energia di legame per nucleone (MeV)
Contributi a B/A
Numero di massa A
5
Il termine di accoppiamento
Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre
più fortemente legati di un protone e un neutrone.
Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello
stesso tipo (pp, nn) con spin opposti  e funzione spaziale d’onda simmetrica
Il termine viene aggiunto nel modo seguente:
Per nuclei A dispari
• Z pari, N dispari
• Z dispari, N pari
 ( Z , A)  0
Per A pari
•Z dispari, N dispari
-(Z,A)
•Z pari, N pari
+(Z,A)
 ( Z , A) 
ap
A1/ 2
6
La formula di massa semi-empirica (Weizsacher)
La formula finale è per l’energia di legame è
2
2
Z
(
Z

N
)
B( Z , A)  av A  as A2 / 3  ac 1/ 3  aa
  ( Z , A)
A
A
Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica
 
M ( Z , A)  Zm 1H  Nmn  B( Z , A) / c 2
I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un
possibile insieme di parametri è
av=15.67 MeV
as=17.23 MeV
ac=0.714 MeV
aa=23.285 MeV
= -11.2 MeV Z ed N pari
0 MeV A dispari
+11.2 MeV Z ed N dispari
7
Confronto con l’esperimento
Energia di legame per nucleone
dei nuclei con numero di massa A
pari
La linea continua corrisponde alla
formula di massa semi-empirica
Deviazioni relativamente grandi per
A piccolo
Per A grande legame abbastanza
più forte a certi Z ed N. Questi
cosidetti “numeri magici” vengono
spiegati dal modello a shell
8
Limiti della formula semi-empirica
Ulteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range indicano
che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente.
Il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni sono richiesto per spiegare
le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia
qualitative. Non c’è posto nella formula di massa semi-empirica per gli effetti di spin.
L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo
elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi momento di quadrupolo diverso da
zero.
Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo
fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido
tuttavia ha un potere preditivo molto limitato in questo senso.
Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel
9
decadimento  e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento .
Applicazione 1: parabola di massa
Consideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di
Weizsacker può essere trasformata in
M ( A, Z )  Nmn  Zm p  Zme  B( A, Z )
 A  Z  Z 
2
ap
A1/ 2
dove i coefficienti sono
  mn  av  as A1/ 3  aa
  aa  (mn  m p  me )

ap
aa
a
 1c/ 3
A A
come prima
Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di
massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano
su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2)
Il minimo delle parabole si trova per Z=/2. Il nucleo con la massa minore in uno
10
spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento .
Parabole di massa per A=101, A=106
Più dettagli sul decadimento  nelle prossime trasparenze
11
Decadimento  - nuclei di massa dispari
I nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad
esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente.
reazione
condizione
esempio
p  n  e  e
n  p  e  e
M ( A, Z )  M ( A, Z  1) M ( A, Z )  M ( A, Z  1)  2me

 e
e

Tc
Mo101
43
101
42

 e
e

Ru
Rh 101
44
101
45
M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa
dell’elettrone creato viene presa in considerazione
automaticamente. La massa del neutrino elettronico è
così piccola (<< eV/c2) che può essere trascurata.
La reazione del decadimento + è possibile solo
all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del
neutrone è maggiore di quella del protone.
12
Decadimento  - nuclei di massa pari
Gli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei
pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di
accoppiamento.
Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari  stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono
106 Pd e 106 Cd.
46
48
Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel
minimo della parabola.
L’isotopo Cd potrebbe invece decadere via doppio
decadimento :

Cd 106
Pd

2
e
 2 e
46
106
48
Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola
che 10648Cd può essere considerato stabile.
I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili,
poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più
fortemente legato. I nuclei leggeri 21H, 63Li, 105B, 147N
sono stabili, poichè l’aumento dell’energia di
asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di
accoppiamento.
13
Intermezzo: cattura elettronica
Un diverso processo fisico in competizione col decadimento + è la cattura elettronica:
p  e  n  e
Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del
nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K.
Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno
una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici.
La condizione per la cattura elettronica è
M ( A, Z )  M ( A, Z  1)  
Dove  è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio.
La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento + (2mec2)
14
Esempio: decadimenti del 40K
15
Applicazione 2: fissione spontanea
Per nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa.
Un nucleo con Z > 60 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più
leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali
reazioni sono molto improbabili.
I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono
certi isotopi dell’uranio.
L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea
16
Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando
una deformazione:
La massa in assenza e in presenza di deformazione è
M ( A, Z )  Nmn  Zm p  Zme  B( A, Z )
M ( A, Z )  Nmn  Zm p  Zme  B( A, Z )
Per cui
M ( A, Z )  M ( A, Z )  B( A, Z )  B( A, Z )
Se B  B( A, Z )  B( A, Z )  0 allora il nucleo è instabile rispetto alla
deformazione e può suddividersi.
17
Il termine di volume della SEMF è invariato poichè
4
4
volume  ab 2  R 3  costante
3
3
Variazione del termine di superficie
as A
2/3
 2 2
 a s A 1   
 5 
2/3
Variazione del termine coulombiano
Z2
Z2  2 
ac 1/ 3  ac 1/ 3 1  
A
A 
5
variazione dell’energia di legame
 Z 2 2a s   2

B  B( A, Z )  B( A, Z )  ac A 

 A ac  5
2/3
Se Z2/A > 2as/ac B>0 il nucleo è instabile per deformazioni
Z 2 / A  50 cioè Z  114, A  270
18
Il modello del gas di Fermi
Il potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali
degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm,
equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R.
I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno
della sfera di raggio R.
I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF.
Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse.
Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a
decadimento  in uno stato energeticamente più favorevole
In generale i nuclei pesanti stabili hanno un
surplus di neutroni
Perciò la buca del gas di neutroni deve essere
più profonda di quella dei protoni
I protoni sono perciò in media meno legati dei
neutroni (repulsione Coulombiana)
Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di
energia, in quanto gli spin possono essere 
19
La differenza fra l’energia di Fermi e la cima della buca di potenziale è l’energia di
legame B = 7-8 MeV/nucleone che abbiamo visto nella discussione del modello della
goccia di liquido.
La profondità della buca V0 è in buona approssimazione indipendente dal numero di
massa A
V0  EF  B  40 MeV
20
L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni
 2 2 
H   Ti    
i 
2m
i 1
i 1 

A
A
e abbiamo l’equazione di Schrodinger
 

 

H (r1 , r2 ,, rA )  E (r1 , r2 ,, rA )
Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili)
 




 (r1, r2 ,, rA )  1 (r1 ) 2 (r2 )  A (rA )
Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi
A

2 2 

i  (ri )  Ei (ri ), E   Ei
2m
i 1
Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione  i ( x, y, z )   i ( x)  i ( y ) i ( z ) in modo
da arrivare a equazioni del tipo
d2
2

(
x
)


k
i
ix i ( x ),
2
dx
2 2

Ei 
kix  kiy2  kiz2 
2m
21
Abbiamo la soluzione
 i ( x)  Be ik x  Ce  ik
ix x
ix
con le condizioni di frontiera
 i ( x  0)   i ( x  L)  0
B  C  0
  ikix L
ikix L
Be

Ce
0

quindi
 B  C

 B sin kix L  0
Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori
nix
kix 
,
L
nix  1, 2, 3, 
22
La costante di normalizzazione si trova imponendo
L
L
L
1    i ( x) dx  B  sin kix xdx B
2
0
0
2
B
2
2
2
2
L
in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone

 i (r )   i ( x)  i ( y ) i ( z )
2
 
 L
con
3/ 2
sin kix x sin kiy y sin kiz z
niy
nix
niz
kix 
, kiy 
, kiz 
L
L
L
nix , niy , niz  1, 2, 3, 
A ciascuna terna di interi (nix,niy,niz) corrisponde un autovalore dell’energia di particella
singola
2 2
2 2 2
2
2
Ei (nix , niy , niz ) 
(kix  kiy  kiz ) 
(nix  niy2  niz2 )
2m
2mL
23
Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni.
Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è
k x , y , z 

L
(nx , y ,z  1  nx , y ,z ) 

L
Un singolo stato occupa un volume (/L)3.
Il numero di stati fra k e k + d3k è

1 1
3
dN (k ) 
d k
3
8 ( / L)
Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è
 4 3
3
N (k F )   dN (k ) 
k
,


L
F
3
(
2

)
3
0
kF


Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in
ogni stato fino a kF

4 3
2k F3
A  4  dN (k ) 
4
kF   2
3
(2 )
3
3
0
kF
24
Energia cinetica e raggio nucleare
Poichè r0 = A / , il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare
2k F3
r0  2
3
Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo r0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui
k F  1.36 fm -1
Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica
 2 k F2
F 
 38.35 MeV
2m
L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale
è
kF

kF
 2k 2 2
T  4  Tk dN (k ) 2 2 
k dk
 0 2m
0
2k F3 3  2 k F2
3
 2
 A F
3 5 2m
5
25
I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media
T 3
  F  23 MeV
A 5
Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme r0, allora
4 3
A  r 0   r 0 R
3
Possiamo quindi ricavare il raggio R
1/ 3
 3A 

R  
 4r0 
 9
  3
 8k F
1/ 3



A1/ 3  r0 A1/ 3
Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo
 9 
r0    k F1  1.12 fm
 8 
1/ 3
26
Parametri della formula semi-empirica
Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume
BE vol  bvol A, bvol  16 MeV
Poichè T/A  23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal
bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone
U / A  bvol  T / A  40 MeV
Per calcolare U assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|ri-rj|) identica
in tutti gli stati.
La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è
 
 ij (ri , rj , si , s j ) 





1
 i (ri ) j (rj )  i (i)  j ( j )   j (ri ) i (rj )  j (i)  i ( j )
2
L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ij


 
3 3
Uij   V ri  rj  ij d ri d rj  UijD  UijE
*
ij
termine
diretto
termine di
scambio
27

Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto


 2
 2   3 3
U ij  U   i ( ri )  j ( rj ) V ri  rj d ri d rj
D
ij
Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che
sono A(A – 1)/2  A2 / 2
Possiamo inoltre porre |f(r)|2 = r(r) / A
U  U ij 
i j
1 2
A 
2


r (ri ) r (rj )
A
2


 
 
V ri  rj d 3ri d 3rj
Nel gas di Fermi la densità è costante r = r0 = A / .
Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2

1 2 3
U   U ij  r 0  d R  V (r )d 3r
2
i j
1
3
 r 0 A V (r )d r   r 0 AVˆ
2
dove
1
3
ˆ
V    V ( r )d r
2
28
Vˆ
Non dipende da A o dal volume. Nel caso della buca di potenziale di lato a ad
esempio
2 3
ˆ
V
a V0
3
L’energia totale del sistema è approssimativamente
3

E  BE  T  U  A  F  r 0Vˆ 
5

Possiamo quindi scrivere
3

BE  A  F  r 0Vˆ   bvol A,
5

3

bvol    F  r 0Vˆ 
5

Abbiamo quindi un’energia di legame proporzionale al volume, come nella formula
semi-empirica.
29
Equazione di stato del sistema nucleare
Abbiamo visto che
U
  r 0Vˆ
A
T 3
3 2k F2
 F 
A 5
5 2m
D’altra parte possiamo esprimere il momento di Fermi in termini della densità come
1/ 3
 3 2 r 0 
kF  

2


Per cui
 3 r 0 
BE
ˆ
  r 0V 


A
2m  2 
2
2
2/3
Equazione di stato del
sistema nucleare
30
Se V>0 (forza puramente attrattiva), allora per r   BE/A diventa infinitamente
negativa! Il sistema collasserebbe.
Esiste una componente repulsiva della forza quando la distanza dei nucleoni è minore di
0.5-0.8 fm
31
Il termine di superficie
Presenza di una superficie (S/0): nel conto degli stati fra k e k+d3k dobbiamo
sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0
1 2kdk
 4k 2dk
3
S
,
2
3
4 ( / L)
2k (2 )
S  6L2
Abbiamo quindi

dN 
(2 ) 3
 S  
2
1

4

k
dk
  2k 
Il numero di nucleoni è ora
A4

(2 ) 3
 S  
2
1

4

k
0   2k  dk
kF
2k F3  S 3 

  2 1 
3   4k F 
32
La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine
proporzionale a S/
 S 3
A
 r  r0 1 

  4k F



Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale

T 4
(2 ) 3
2
 S   k
2
1

4

k
0   2k  2m dk
kF
2k F3 3  S 5
  2  F 1 
3 5   8k F



L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/<<1)
S 5
1
T 3
 8k F 3  S 
 F
  F 1 
A 5 1  S 3
5   8k F
 4k F



33
Il termine di superficie aumenta <T>
Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9/8)1/3/r0, possiamo scrivere
4r A r0  8 
S 

 
 8k F 4r A / 3 8  9 
2
0
3
0
2/3
1/ 3
 
 3  A1/ 3
 24 
1/ 3
Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi
3 S 
9  
Tsup   F
A  F  
5  8k F
5  24 
2/3
A2 / 3
18 MeV (vicino a bsup)
34
Energia di simmetria
Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che l degli Z protoni diventino
neutroni
A
A
Z '  1  l , N '  1  l 
2
2
3
kF
2k F0
Nel caso del nucleo simmetrico A  4 dN  
0
3 2
Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico
k Fn
n3
F
2
k Fp
p3
F
2
A
k
N '  (1  l )  2  dN  
2
3
0
Z'
Abbiamo quindi
A
k
(1  l )  2  dN  
2
3
0
 A 3

k 
(1  l )
 2

2
1/ 3
 k F0 (1  l )1/ 3
n
F
 A 3

k 
(1  l )
 2

2
p
F
1/ 3
 k F0 (1  l )1/ 3
35
Per passare a questa nuova configurazione è necessaria una certa energia perchè
l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il
livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è
A (1 l ) / 4
A/ 4
A/ 4
A(1 ) / 4
 dN  2 ldN
T  2
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
k Fn
2
2
k F0
 k
 2k 2
T  2 
dN  2 
dN
2m
2m
k0
kp
F
F
3 n
A3 0
3 p
 N' F  2
F  Z' F
5
25
5
dove
2
n2
F
2
p2
F
 k
 
  F0 (1  l ) 2 / 3
2m
n
F
 k
 
  F0 (1  l ) 2 / 3
2m
p
F
36
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
3 0
A
2/3
2/3 
T   F  N ' (1  l )  2  Z ' (1  l ) 
5 
2

1 0 ( Al ) 2
 F
3
A
Poichè lA = N’ – Z’
1 0 ( N ' Z ' ) 2
( N ' Z ' ) 2
T   F
 13
MeV
3
A
A
bsim = 23.3 MeV  circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di
Pauli
Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per
momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0F saranno meno legati
Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n
in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z
37
Altre applicazioni del gas di Fermi – nane bianche
Quando una stella esaurisce il suo combustibile comincia a contrarsi. E’ possibile
raggiungere una nuova condizione di equilibrio in cui la pressione gravitazionale è
bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni.
Supponiamo che elettroni e protoni formino un gas di Fermi all’interno della stella.
La densità di elettroni è
3
V
Vk
2
F
Ne  
4

k
dk

,
3
2
(2 )
3
Ne
k F3
ne 
 2
V
3
Se assumiamo che ci sia un ugual numero di protoni ed elettroni, allora il momento di
Fermi è identico e np = ne.
38
Calcoliamo la densità di energia. Per gli elettroni
Ee  
2
2 5
k2 V
V
kF
2
4

k
dk

,
3
2
2me (2 )
10 me
2 5
Ee
kF
e 

V 10 2me
Nel caso dei protoni invece
2 2
k V
V 2k F5
2
Ep  
4 k dk 
,
3
2
2m p (2 )
10 m p
Ep
2 5
F
2
k
p 

V 10 m p
La densità di energia dei protoni è minore poichè la loro massa è circa 2000 volte me
39
Il gas di Fermi possiede una pressione dovuta al principio di esclusione di Pauli che
impedisce di mettere più di una particella in un singolo stato. E’ questa pressione che
può bilanciare la pressione gravitazionale.
In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia
1
P 
3
Quindi nel nostro caso
2 5
1
1
kF
Ptot   e   p    e 
3
3
30 2me
Il contributo alla pressione da parte dei protoni è trascurabile rispetto a quello degli
elettroni. Solo questi sono importanti nel contrastare la pressione gravitazionale.
D’altra parte, la densità di massa del sistema è
m p k F3
r  mene  m p n p  m p n p 
3 2
Nel caso della densità di massa quindi il contributo degli elettroni è trascurabile. Solo i
40
protoni sono importanti.
Dalla relazione densità – momento di Fermi ricaviamo
1/ 3
 3 r 
kF  
 m 
 p 
2
Sostituiamo questo nell’espressione della pressione
 3 r 
Ptot 



2
30 me 30 me  m p 
2 5
F
2
k
2
2
5/ 3
Possiamo riscrivere
2 2/3
P
r
 2
2
rc
c me m 5p / 3
Questa è l’equazione di stato della materia degenere all’interno della stella.
41
Introduciamo la densità critica
rC 
mp
( / mec)3
Nel denominatore compare la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone
c
le 

 400 fm
2
me c mec
L’equazione di stato può essere riscritta nella forma
P
me  r 



2
rc
m p  rC 
2/3
Cosa succede quando r = rC? In questo caso
 3 r C
kF  
 m
p

2
1/ 3




me c
Gli elettroni si muovono alla velocità della luce  gli effetti relativistici sono importanti
42
L’energia di una particella può essere espressa come
E
p 2c 2  m 2c 4
Se vc, allora p2c2>>m2c4 e E  pc. Quindi la densità di energia degli elettroni diventa
Ee  
V
V ck F4
2
kc
4 k dk 
,
3
2
(2 )
4
Ee
ck F4
e 

V
4 2
La pressione è
1
c  3 2 r 
P  e 

2 

3
12  m p 
4/3
Arriviamo, con passaggi simili al caso precedente a
1/ 3
P
me  r 



2
rc
m p  rC 
43
Riassumendo,
me  r 
P



2
m p  rC 
rc
n/3
dove
n  2, r  r C
n  1, r  r C
44
Modelli a shell
Abbiamo visto che il modello della goccia di liquido dà una descrizione abbastanza
buona dell’energia di legame. Offre anche una spiegazione qualitativa della fissione
spontanea.
Il modello del gas di Fermi, assumendo come potenziale una semplice buca quadra 3D
(differente per protoni e neutroni) spiega i termini della formula di massa semi-empirica
che non era possibile ricavare dal modello della goccia di liquido.
Esamineremo ora ulteriori fatti sperimentali che il modello del gas di Fermi non può
spiegare e vedremo quindi come sia possibile migliorare il modello
Questo ci porterà al Modello a Shell.
Vedremo che i nucleoni possono muoversi liberamente all’interno del nucleo. Questo è
in accordo con l’idea che essi sono soggetti a un potenziale efficace globale creato dalla
somma degli altri nucleoni.
45
Struttura a shell nucleare
“numeri magici”
Nuclei con valori di
Z e/o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
sono molto stabili e presentano deviazioni significative dal comportamento nucleare
medio.
B/A e le energie di separazione sono grandi per i numeri magici
Fe
energia di legame per particella
nucleare (nucleone) in MeV
Gli isotopi del gruppo del
ferro sono i più legati
62
28
Elementi più pesanti del
ferro possono fornire
energia tramite fissione
Ni
58
26
energia dalla
fissione
nucleare
Fe
56
energia dalla 26
fusione
hanno energia di legame
nucleare
8.8 MeV/nucleone
Fe
La massa media dei
frammenti di fissione è
circa 118
235U
46
Numero di Massa A
Energia di legame dell’ultimo
neutrone (MeV)
Energia di separazione dell’ultimo neutrone a cui è sottratto il valore della SEMF
Z
Numero di neutroni N
47
E MeV
Energia di particelle  emesse da
isotopi di Rn. Picco a N = 128, cioè il
nucleo figlio con N = 126 è
particolarmente legato
Sezione d’urto s (mb)
numero di neutroni N
I nuclei con numeri magici di neutroni
hanno sezioni d’urto di assorbimento
neutronico fino a 2 ordini di grandezza
minori di altri nuclei di masse simili
numero di neutroni N
48
Abbondanze nucleari
56Fe
Abbondanza relativa
56Fe
è l’isotopo più abbondante e
stabile. Non ha Z o N uguale a
un numero magico!
Oscillazioni delle abbondanze
a seconda che Z e N pari o
dispari
Le abbondanze piccano
per Z o N uguali a un
N=50
numero magico
Nucleo doppiamente
Z=50
magico
N=82
Z=82 N = 126 208Pb
Numero di massa A
49
Nuclei doppiamente magici
Nuclei che hanno sia il numero di neutroni che quello di protoni uguale a uno dei numeri
magici sono detti doppiamente magici e sono particolarmente stabili
Energia di legame sopra la
formula di Weizsacher (MeV)
48
20
40
20
Ca
Ca
Il calcio fornisce un buon esampio. L’esistenza di molti isotopi di calcio può essere
50
dovuto al fatto che Z = 20 è un numero magico. I due isotopi mostrati hanno numero
di
neutroni 20 e 28, anch’essi numeri magici
Analogia col comportamento atomico man mano che gli elettroni riempiono le
shell ⇒ Modello del gas di Fermi
Atomo
 Gli elettroni si muovono indipendentemente nel potenziale centrale V(r)~1/r
(campo coulombiano del nucleo).
 Le shell sono riempite in base al principio di esclusione di Pauli.
 Le proprietà dell’atomo sono definite dagli elettroni di valenza
 I livelli dell’energia sono ottenuti risolvendo l’equazione di Schrödinger col
potenziale centrale (dovuto al nucleo)
1
En  2
n
 Numero magico Z → atomi di gas nobili
51
Modello a shell nucleare
I nucleoni si muovono in un potenziale nucleare che rappresenta l’effetto medio delle
interazioni con gli altri nucleoni nel nucleo e occupano stati di definito momento angolare
orbitale
Forza nucleare a corto range  vicino al centro potenziale costante
Vicino alla superficie la densità diminuisce  V(r) diminuisce
V(r) per i protoni è modificato dall’interazione di Coulomb (decadimento )
V(r)
R
r
1.Square
Buca quadra
1.
Well
1
V (r )  V0  M 2 r 2
2
2.
2. Harmonic
PotenzialeOscillation
armonico
V0  50 MeVV0
3. Woods - Saxon
3. Potenziale di
Potential
Woods-Saxon
V0
V (r ) 
1  e(r R) / s
a
V(r) generato dai nucleoni forma funzionale
analoga a quella della densità del nucleo 52
r(r) ma con maggiore estensione
Nello stato fondamentale i nucleoni occupano livelli di energia del potenziale nucleare
che minimizzano l’energia totale senza violare il principio di Pauli.
Il principio di esclusione di Pauli opera indipendentemente per i protoni e i neutroni
Tendenza a Z=N
E minima
Postulato: i nucleoni sono in orbite ben definite con energie discrete
Obiezione: i nucleoni hanno dimensione simile a quella del nucleo. Ci aspettiamo molti
urti. Come ci possono essere orbite ben definite (c.f. Elettroni negli atomi)?
Principio di Pauli: se l’energia è trasferita in un urto allora i nucleoni si devono muovere
in nuovi stati.
Tuttavia tutti gli stati vicini sono occupati
∴ nessun urto, cioè quasi tutti i nucleoni in un nucleo si muovono liberamente se esso è
nello stato fondamentale.
53
Giustificazione per un potenziale centrale:
I momenti di quadrupolo misurati dei nuclei sono relativamente piccoli, almeno vicino ai
“numeri magici” che ci interessa spiegare;
A metà strada fra i numeri magici, ad esempio attorno a Z o N = 70, 100 le cose
cambiano e dovremo usare un approccio diverso, ma almeno per i nuclei più leggeri
questa ipotesi dovrebbe essere ragionevole
54
Trattiamo quindi ciascun nucleone indipendentemente e risolviamo l’equazione di
Schrödinger col potenziale nucleare per ottenere i livelli di energia
La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma
 nlm (r , ,  )  Rn (r )Ym (,  )
Ylm (armoniche sferiche) è la parte angolare ed è la stessa per tutti i potenziali centrali.
R(r) è la soluzione dell’equazione radiale

2  d 2 2 d 
 2  2   1 
 2 
 Rn  V (r ) 
 Rn  En Rn

2
2m  dr
r dr 
2m r


Gli stati permessi sono specificati da n, l, m:
n numero quantico radiale
(numero di nodi nella funzione d’onda radiale)
l momento angolare orbitale (qualunque per dato n)
(in fisica atomica lmax=n-1)
m numero quantico magnetico (m = -l……+l)
55
Se scegliamo il corretto potenziale V(r) allora la funzione d’onda dell’intero nucleo può
essere scritta come un prodotto di funzioni d’onda di singola particella corrispondenti
agli A nucleoni


A
 nucleo (r )  i 1 nlm (ri )
Sovrasemplificazione ... In realtà deve essere scritta come un prodotto di funzioni
d’onda antisimetrizzato poichè i nucleoni sono fermioni identici.
Il momento angolare totale è
 A 
j   ji ,
i 1
  
ji  i  si ( s  1 / 2)
La parità del nucleo è
  i 1 (1)
A
i
Sempre pari per un numero pari di nucleoni
56
Potenziale armonico
Soluzione della parte radiale  prodotto di un esponenziale e polinomio.
Oscillazione nella regione classicamente permessa e decadimento esponenziale in
quella proibita.
I livelli dell’energia possono essere espressi come
3

E N    N  , N  2n  
2

Per N>0 sono tutti degeneri: più coppie (n,l) danno luogo alla stessa energia.
N pari
 L pari e può essere al più uguale a N
N dispari  L dispari e può essere al più uguale a N
Esempio per n = 5 i valori permessi di L sono 1, 3, 5.
Poichè E non dipende anche da mL, per ogni L abbiamo un’ulteriore degenerazione (2L
+ 1). Quindi N = 5 ha una degenerazione (2 x 1 + 1) + (2 x 3 + 1) + (2 x 5 + 1) = 21.
Abbiamo infine la degenerazione di spin pari a 2. La degenerazione è complessiva è
quindi 42.
In generale la degenerazione è
d  ( N  1)( N  2)
57
Diagramma dei livelli di energia (la degenerazione va moltiplicata per 2):
( N , )
nL: Ridefiniamo il numero quantico n in modo tale da contare il numero di livelli col dato
valore di l.
0s  1s
2s  2s
4s  3s

58
Riempiamo le shell sia per i protoni che che per i neutroni
Degenerazione di un livello nL: (2s+1)(2l+1) = 2(2l+1) (s=1/2)
Shell chiusa 
numero magico
Occupazione
Totale
Enl
I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili  shell chiuse (livelli
completamente occupati)
Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare
nei primi tre livelli del potenziale armonico. Le successive shell d’altra parte non 59
coincidono
Potenziale di Woods-Saxon
Una dipendenza radiale più realistica modifica un pò la successione dettagliata dei livelli
 parte della degenerazione L dell’oscillatore è rimossa.
Ma i numeri magici non sono molto diversi da quelli dell’oscillatore
Shell chiusa  numero
magico
Occupazione
Totale
Enl
60
Woods-Saxon vs armonico
Poichè entrambi i potenziali sono
sfericamente simmetrici, la sola
differenza è nella dipendenza radiale
delle funzioni d’onda
Incredibilmente, quando i parametri
vengono aggiustati per rendere uguale
il potenziale medio, la differenza delle
densità di probabilità radiali è molto
piccola per questi due potenziali!
Dato questo fatto, la semplicità del
potenziale armonico fa si che sia
preferito nella costruzione del modello
61
Come possiamo essere sicuri che il concetto di nucleone con definite proprietà orbitali
sia valido all’interno del nucleo?
Misuriamo la densità di carica
elettrica con lo scattering elettronico

 2
r ( r )  e  i ( r )
i 1
La differenza di densità di
carica fra 205Tl e 206Pb è
proporzionale al quadrato della
funzione d’onda per il protone
extra in 206Pb, cioè possiamo
misurare il quadrato della
funzione d’onda di un singolo
protone in un nucleo complesso
in questo modo!
differenza densità di carica (e/fm3)
Z
quadrato della funzione d’onda
dell’oscillatore armonico per
l’ultimo protone di 206Pb,
numeri quantici n = 3, L = 0
Funziona!!!
esperimento
 Conferma della validità delle
basi del modello a shell
(descrizione a particelle
indipendenti)
raggio (fm)
62
Interazione spin-orbita
Le shell principali osservate sperimentalmente si possono spiegare introducendo una

interazione di spin-orbita relativamente forte

j
 
VSO  V1  S
Se definiamo il momento angolare di un nucleone
assumere i due valori
  
j  s


s
abbiamo che j può
j   1/ 2
Abbiamo quindi

  1 2  2 2
s  j    s
2

In assenza del potenziale VSO la base utilizzata per descrivere il moto orbitale e lo spin è
|LmL,sms>, mentre con tale potenziale è meglio usare |j mj, L S> in cui è diagonale.
Abbiamo quindi
 
1
jm j , , s  1 / 2   s jm j , , s  1 / 2   j ( j  1)  (  1)  3 / 4
2
63
Abbiamo dunque
   / 2
s  
 (  1) / 2
se j    1 / 2  j
se j    1 / 2  j
Quindi il potenziale di spin-orbita introduce una separazione dei livelli di definito
momento angolare orbitale in due livelli definiti da j
 SO  VSO
j
 VSO
j
V1
   (  1)  
2
V1
 (2  1)
2
Quindi se V1 > 0 il livello j = L + 1/2 viene spostato verso il basso, quello con j = L – 1/2
verso l’alto
j   1/ 2
VC
  j   1/ 2
con L  S
In generale si ottiene un buon accordo con l’esperimento con
V1  20 A2 / 3 MeV
64
Consideriamo ad es. un livello come 1f (L = 3) che ha degenerazione 2(2L + 1) = 14. I
valori possibili di j sono
5 / 2
j   1/ 2  
7 / 2
La degenerazione di ciascun livello è 2j + 1, che proviene dai valori di mj.
La capacità dei livelli è dunque
1f5/2 capacità 6 nucleoni
1f7/2 capacità 8 nucleoni
Lo splitting di energia dipende dipende da L.
65
splitting livello 1f:
Il livello 1f7/2 ora appare nel gap fra
la seconda e la terza shell. La sua
capacità di 8 nucleoni produce il
numero magico 28.
splitting livello 1g:
1g9/2 è spinto in basso verso la shell
principale inferiore. I suoi 10
nucleoni si aggiungono ai 40 in
modo da produrre il numero
magico 50.
Shell principali: elevata
separazione di energia
Shell minori: gruppo di livelli
in cui la separazione di
energia non è molto grande
66
protoni
neutroni
Numeri quantici dei nuclei nel modello a particelle
indipendenti
Nel modello a shell protoni e neutroni riempiono indipendentemente i livelli. In aggiunta
si assume che coppie di nucleoni identici siano dinamicamente accoppiati in modo tale
da essere in stati:
j,m e j,-m  Jtot= 0 non contribuiscono al momento angolare totale del nucleo
Consideriamo prima una “shell chiusa” che corrisponde a un insieme di stati di singola
particella completamente riempiti, ad es. 1s1/2, 1p3/2 ecc. contenente (2j + 1) protoni o
neutroni.
 Tutti i nucleoni sono dinamicamente accoppiati e non contribuiscono al momento
angolare totale.
La parità totale è
  (1)  (1)


 2 j 1
2j + 1 è sempre pari
 1
Quindi la parità di una shell chiusa è sempre positiva.
67
Per una shell chiusa + n nucleoni il momento angolare e la parità sono determinati dagli
n nucleoni di “valenza” in quanto la shell chiusa dà un contributo J=0+

N
N 
j  i 1 ji ,   i 1 (1)  (1) n
La parità è univocamente determinata, ma ci possono essere diversi valori di J
consistenti con le regole di accoppiamento del momento angolare.
.
nuclei pari-pari JP = 0+
nuclei pari-dispari: JP = dato dal nucleone o buca spaiati
nuclei dispari-dispari: p ed n spaiati accoppiamento jj 
 

j  j p  jn
| j p  jn | J | j p  jn |
parità (1) p (1) n
68
In alcuni casi in cui manca un nucleone per riempire una shell, le proprietà del nucleo
sembrano riflettere quelle del nucleone mancante.
Buche: per uno stato quasi pieno, è più semplice considerare l’accoppiamento del
momento angolare dei nucleoni mancanti piuttosto che di quello dei nucleoni presenti
risultato per una shell chiusa

n 
2 j 1 
0  i 1 ji  i n1 ji
I moduli delle due somme parziali
devono essere uguali, con valori
m opposti
Lo stato descrivente una buca può essere espresso in termini di uno stato di particella
tramite
j 1 , m  (1) j  m j ,m
Esempio: 15N 7 protoni e 8 neutroni
 un protone in meno nel livello 1p1/2 rispetto alla shell chiusa
Stato di buca: 1p-11/2  lo spin del nucleo è 1/2
69
Momenti di dipolo magnetico
Nuclei pari-pari: J = 0   = 0
A dispari:  dovuto al nucleone o buca spaiati
 1 protone
g  
0 neutrone
Singolo nucleone


N




  
g L  g S S , J  L  S

e
N 
 magnetone nucleare
2mN
  5.586 protone
gs  
 3.826 neutrone
Il momento di dipolo magnetico misurato è il valor medio nello stato |j,m=j> della
componente z
  j, m  j  z j, m  j

Misura fatta in uno stato in cui j è massimalmente allineato con z: J  J z


assumiamo (classicamente) che z sia la proiezione di  su J
   
  J   J Jz
z     
J
J J
proietta  su J ...
... quindi J su z
70
Ora
Poichè
 
 
  N
J 
g L  J  g S S  J



  
J  L  S abbiamo
  1  2  2 2
  1 2  2  2
LJ  L  J  S , S J  S  J  L
2
2




L2 e S2 sono diagonali rispetto a |j,m=j> per cui
mJ  j
g    1  j ( j  1)  s( s  1)
  N
2 j ( j  1)
 g S s s  1  j ( j  1)    1
Possiamo quindi scrivere  = gJ N J dove
1
g    1  j ( j  1)  s( s  1)
gJ 
2 j ( j  1)
 g S s s  1  j ( j  1)    1
71
Abbiamo due possibilità per il singolo nucleone (s = 1 / 2)
j    1 / 2
j    1 / 2
g s  g
2  1
g  g
g J  g  s
2  1
g J  g 
Le espressioni che abbiamo ricavato sono note come momenti di Schmidt o momenti di
singola particella
Questo schema funziona bene solo per nuclei con una particella in più o meno (buca)
rispetto a una shell chiusa.
72
Il momento è in buon accordo soprattutto nei nuclei leggeri. Quando il numero di
nucleoni aumenta, le discrepanze aumentano ...
lj
 oss /  0
 sp /  0
H
s1/12
2.98
2.79
He
s1/12
 2.13
 1.91
15
p1/12
p1/12
 0.28
0.72
 0.26
0.64
17
O d5 / 2
 1.89
 1.91
17
F
d5 / 2
4.72
4.79
39
K
d 3/12
0.39
0.12
Ca
f7 / 2
 1.59
 1.91
Nucleo
3
3
N
15
O
41
207
Pb
p1/12
0.59
0.64
207
Pb
f 5/12
0.65
1.37
h9 / 2
4.08
2.62
209
Bi
sp = momento di singola particella calcolato col modello a shell)
73
Possiamo riportare  in funzione di j in due diagrammi, uno per i protoni e uno per i
neutroni.
Abbiamo quindi due linee per j=j+, j=j- note come linee di Schmidt
Tutti i momenti magnetici ricadono entro la fascia compresa fra le due linee
74
Cosa è sbagliato?
-Il modello a particelle indipendenti è troppo semplice – i nucleoni interagiscono fra loro
-Le configurazioni possono essere miscelate, cioè diverse combinazioni di diversi stati
del modello a shell
- I momenti magnetici dei nucleoni legati possono differire da quelli dei nucleoni liberi
...
75
Stati eccitati dei nuclei
Possiamo predire gli stati in cui è eccitato un singolo nucleone utilizzando il modello a
shell. Funziona bene per piccole eccitazioni di nuclei A dispari vicino a shell chiuse.
Esempio: il nucleo 178O
Ci sono 8 protoni e 9 neutroni, per cui dobbiamo
considerare solo gli stati bassi nello spettro per capire i
livelli di energia
neutrone di valenza
Stato fondamentale:
pieno fin qui +
1 neutrone
I numeri quantici dello stato fondamentale dovrebbero
essere quelli del neutrone di valenza nello stato 1d5/2:
J = 5/2+ OK!
Predizione del momento magnetico: j = L + 1/2,
neutrone dispari   = neutrone = -1.91 N
76
valore misurato –1.89 N accordo eccellente!
Possiamo immaginare che negli stati eccitati il neutrone di valenza venga promosso in
un livello più alto:
primo stato eccitato J = 1/2+
stato 1/2+
Stato fondamentale:
pieno fin qui +
1 neutrone
77
Stato eccitato successivo: J = 1/2Si spiega promuovendo un neutrone dal livello 1p1/2 riempito al livello 1d5/2
coppia 0+
buca neutronica 1/2-
Altro esempio: 20782Pb
Ci aspettiamo un neutrone dispari nella sottoshell 2f5/2
Interazione di accoppiamento: accoppiamento del neutrone 2f5/2 e un neutrone da
78 3p1/2
energeticamente favorevole lasciando una buca in 3p-11/2  Jp = 1/2-
Interazione residua
In generale se ci sono due o più nucleoni al di fuori di un core pieno o quando l’energia
di eccitazione è grande, il modello a particelle indipendenti non funziona bene.
Esempio: 90Zr
- 50 neutroni (shell chiuse)
- 40 protoni (38 in shell chiuse) + 2 in 2p1/2 o 1g9/2 (livelli praticamente degeneri)
Possibili configurazioni:
- (2p1/2)2
j1=j2=1/2
 solo J=0
- (1g9/2)2
j1=j2=9/2
 solo J = 0, 2, 4, 6, 8 permessi
- (2p1/2,1g9/2) j1=1/2, j2=9/2  J=4, 5
Spettro di eccitazione osservato: tutti gli stati elencati sopra, ma non sono degeneri!
 Interazioni residue reciproche fra i nucleoni di valenza determinano quale dei J
permessi ha l’energia minore – non possiamo predirlo a priori ma possiamo imparare
dall’esperimento.
Non sono descritte da un potenziale sfericamente simmetrico o dall’interazione spinorbita e aumenta con L dei nucleoni.
79
--
Perchè gli stati J dispari non sono permessi?
Consideriamo due nucleoni identici con momento angolare totale j, m1 e j, m2
j1  j2  J  j1  j2  0  J  2 j M  m1  m2
Esprimiamo lo stato di momento angolare totale in termini degli stati relativi alle singole
particelle
JM 
 ( jm jm
1
2
| JM ) jm1 jm2
m1 ,m2
Coefficienti di Clebsch-Gordan
|JM> deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio di particelle cioè scambio di m1
e m2
( jm2 jm1 | JM )  ( 1)2 j J ( jm1 jm2 | JM )
( 1)2 j  J  ( 1) J
( jm2 jm1 | JM ) jm2 jm1  (1) J ( jm1 jm2 | JM ) jm1 jm2
 antisimmetrico solo se J pari
80

1 A  
H   Ti  U ( ri )    ( ri  rj )
2 i i
i 1
A
Hamiltoniana modello a shell
V12 – interazione residua
V12 perturbazione rispetto a H0
Correzione al primo ordine dell’energia non perturbata degli stati degeneri:
diagonalizziamo V12
V12 è diagonale automaticamente usando gli stati |JMj1j2> per cui
E ( JM , j1 j2 )  JMj1 j2 V12 JMj1 j2
81
Esempio di interazione residua: forza-
 (1,2)  V0
( 3)
 
( r1  r2 )
Elemento di matrice fra due funzioni d’onda






 (1,2)  V0  2* ( r2 ) ( 3) ( r1  r2 ) 1 ( r1 )d 3r1d 3r2

 
 V0  2* ( r1 ) 1 ( r1 )d 3r1
Misura la sovrapposizione fra le funzioni d’onda.
Funzioni d’onda molto diverse (es. Una particella vicino al centro del nucleo, l’altra vicino
alla superficie)  contributo dell’interazione residuo piccolo
Misura la interazione forte prevalentemente attrattiva  V0 negativo
Due particelle con funzioni d’onda simili portano a stati di energia più bassa
82
Nuclei deformati e ulteriori migliorie
Lontano da shell chiuse, specie in nuclei pesanti, si osservano nuclei con un momento
di quadrupolo Q grande  nuclei non sfericamente simmetrici
 V(r) non è più sfericamente simmetrico
Modello di Nilsson: potenziale armonico anisotropo

 1 2 2
VN ( r )  T ( x  y 2 )  L2 z 2
2
1
 M02 r 2 1  Y20 ( )
2

T  oscillazione nel piano x-y
L 
oscillazione lungo z
 = parametro di deformazione
L’accordo del modello con le osservazioni può poi essere ulteriormente migliorato
introducendo nel potenziale anche un termine proporzionale a L2


p2 1 2 2
H sp 
 T ( x  y 2 )  L2 z 2  V0
2m 2
 
2
 V1   s  0 
83
Momenti di quadrupolo elettrico
Misura della deviazione dalla simmetria sferica. Abbiamo visto che

16
 2
2
2
3
3
Q   r ( r )( 3z  r )d r 
r (r )r Y20 ( , )d r

5
Il momento di quadrupolo osservato è
Qoss  J , M  J Q J , M  J
Shell chiusa: J = 0  Q = 0. Consideriamo i nuclei con un protone esterno a shell
chiuse in uno stato |jm>. Dobbiamo calcolare
J , M  J Q J , M  J  j, m  j r 2 (3cos2   1) j, m  j
Esprimiamo lo stato |jm> in termini di |lml,sms>
j, m  j r 2 (3 cos2   1) j, m  j 

m ,ms
m  ms  j
( m1 / 2ms | jj)2
16
m Y20 ( ,  ) m r 2
5
n
84
Abbiamo
5 (  1)  3m2
m Y20 ( , ) m 
4 (2  3)( 2  1)
Coefficienti di Clebsch-Gordan
- ml = j – 1/2
 1
( m1 / 2 j  m | jj)   1
 2( j  1)
j = L + 1/2
j = L - 1/2
- ml = j + 1/2
 0
( m1 / 2 j  m | jj)   2 j  1
 2( j  1)
j = L + 1/2
j = L - 1/2
In questo modo si trova
2 j 1 2
j, m  j Q j, m  j  
r
2( j  1)
n
85
Per calcolare il valore di aspettazione <r2>nl usiamo le funzioni d’onda dell’oscillatore
armonico, che portano a
r
Cosicchè infine
2
n

2n    3 / 2

m0
j, m  j Q j, m  j  
2 j 1  
3
2
n





2( j  1) m0 
2
Momento di quadrupolo con un protone esterno sempre negativo (a parte j=1/2 che dà
Q=0)
Solo i protoni possono contribuire. Ma il moto di un neutrone produce un rinculo del
resto del sistema che può dar luogo a un momento di quadrupolo (Z/A2 volte minore di Q
di un protone)
86
Momenti di quadrupolo e tipi di eccitazione attraverso la carta nucleare:
87
Connessione fra il potenziale medio del modello a
shell e il potenziale microscopico nucleonenucleone
Potenziale medio: media delle interazione di una singola particella con tutte le altre
E’ possibile determinare questo potenziale medio a partire dalle interazioni
microscopiche in modo autoconsistente col metodo di Hartree-Fock.
Principio variazionale
Consideriamo l’equazione di Schrodinger per N nucleoni




H ( r1,, rN )  E ( r1,, r1 )
La funzione d’onda rende stazionaria la quantità
 H
H  





3
3
 H    d r1 d rN * ( r1 ,, rN ) H ( r1 ,, rN )
88
L’hamiltoniana del sistema ha la forma
1 A
 
H   Ti  V ( ri  ri )
2 i j
i 1
A
Calcoliamo <|H|  > fattorizzando per semplicità la funzione d’onda in un prodotto di
funzioni di singola particella




 ( r1,, rN )  f1 ( r1 )fN ( rN )
L’i-esimo termine cinetico dà
 2 2  




Ti ( r1 ,, rN )  f1 ( r1 ) 
i fi ( ri ) fN ( rN )
 2m

E quindi
2





 

*
*
2
Ti   f1 ( r1 )fN ( r1 )f1 ( r1 )  
i fi ( ri ) fN ( rN )d 3r1  d 3rN
 2m

2

2


   3
*
2


f
(
r
)


f
(
r
fi ( ri )d ri
i
i 
i i i )


2m
 2m

89
D’altra parte
 
 

 3
* 
* 
3
V ( ri  rj )   f1 ( r1 )fN ( r1 )V ( ri  rj )f1 ( r1 )fN ( rN )d r1  d rN
 

 3 3
* 
* 
  fi ( ri )f j ( rj )V ( ri  rj )fi ( ri )f j ( rj )d ri d rj
Quindi
A
H 
i 1
1 A
 
Ti   V ( ri  rj )
2 i, j
i j
2 A
 3
* 
2

fi ( ri )i fi ( ri )d ri 


2m i 1
1 A


 


 
   fi* ( ri )f *j ( rj )V ( ri  rj )fi ( ri )f j ( rj )d 3ri d 3rj
2 i, j
i j
90
Consideriamo il funzionale
  3
F [ ]   H    i  f * ( ri )f ( ri )d ri
i
vincolo che le fi siano
normalizzate
i = “moltiplicatori” di Lagrange
F è stazionario rispetto a variazioni di una soluzione dell’equazione di Schrodinger.
 le derivate funzionali rispetto a fi sono uguali a zero:
F [ ]
0
*
fi
Derivata funzionale

f( ri )


 3
( 3) 
   ( ri  rj ) 
  f ( ri )d ri  1
f( rj )
f( rj )
91
Quindi

2 2 
 
 3  

* 
H



f
(
r
)

f
(
r
)
V
(
r

r
)
f
(
r

k k k
i
i
i
k
i i )d ri fk ( rk )
*


fk
2m
 i k

Equazioni di Hartree
2 2 
 
 3  


* 

kfk ( rk )    fi ( ri )V ( ri  rk )fi ( ri )d ri fk ( rk )   ifk ( rk )
2m
 i k

i = autovalori dell’energia
Equazioni di particella singola. Ogni particella è soggetta al potenziale

 
 3
* 
U H ( r )    fi ( ri )V ( ri  r )fi ( ri )d ri
i
   3
   r ( ri )V ( ri  r )d ri


fi ( ri )  r ( ri )
2
i
Un nucleone interagisce col campo ottenuto mediando sulle posizioni dei restanti92
nucleoni. UH  potenziale medio del modello a Shell
Le equazioni di Hartree devono essere risolte in modo autoconsistente perchè le
soluzioni sono necessarie per costruire il potenziale:
- Partiamo da funzioni di prova ad esempio le autofunzioni dell’oscillatore armonico
- calcoliamo il potenziale e risolviamo le equazioni
- con le nuove soluzioni ricalcoliamo il potenziale e procediamo iterativamente fino a che
il processo converge
93
Eccitazioni collettive nei nuclei
Circa la metà dei nuclei noti hanno configurazioni (Z,N) pari, J = 0+
Ricordiamo che nella formula di massa semi-empirica è incluso un termine empirico di
accoppiamento per tener conto della loro insolita stabilità
Il termine di accoppiamento non è descritto dal modello a shell, che ignora del tutto le
interazioni fra le particelle!
Costa molta energia rompere una coppia
di nucleoni e popolare stati più alti di
singola particella.
E (MeV)
La rottura porta a stati eccitati
di alta energia osservati, ma (quasi)
sistematicamente lo stato eccitato più
basso ha J = 2+
94
130Sn
E (MeV)
A
J=2+  eccitazioni dei nuclei pari-pari tendono ad essere di natura collettiva
La distribuzione di materia nucleare come un tutt’unico presenta vibrazioni quantizzate
in alcuni casi e rotazioni in altri, con frequenze caratteristiche
Gli spettri vibrazionali sono osservati in nuclei
che hanno una forma sferica intrinseca
Le eccitazioni rotazionali tendono a verificarsi
in nuclei con deformazioni di quadrupolo
permanenti
95
Stati vibrazionali
Modello: oscillazioni quantizzate di una goccia di liquido a densità costante (perchè?
 comportamento repulsivo a piccole distante della forza N-N!)
Consideriamo le oscillazioni attorno a una forma sferica di equilibrio, con una superficie
di frontiera dipendente dal tempo espressa come combinazione lineare di funzioni
armoniche sferiche


R( ,  , t )  R0 1   al (t )Yl ( ,  )
 l

L’espansione descrive qualunque forma, dati gli
appropriati coefficienti. Ciascun contributo può
oscillare in linea di principio ad una diversa
frequenza
I modi normali del sistema corrispondono a eccitazioni con un particolare valore di l e ,
e questi si verificheranno a frequenze caratteristiche
Applicazione ai nuclei:
1.
Le vibrazioni sono quantizzate, En = h
2.
Quanti di vibrazione: fononi
96
Illustrazione: sequenza temporale delle forme nucleari oscillanti
OK
97
Le oscillazioni di quadrupolo si verificano all’energia più bassa: J = 2+
Tipicamente h  1 MeV in vari nuclei pari-pari
L’energia di eccitazione è bassa, per cui ci possiamo aspettare di osservare fino a
diversi “fononi” di quadrupolo nello spettro
Eccitazioni bosoniche, per cui si richiede una funzione d’onda simmetrica rispetto allo
scambio delle particelle (fononi) questo restringe il J totale
Ad esempio per due fononi:
 j  2  j  2simmetrico
 J  0, 2, 4 solo
spettro del modello
98
Esempio di eccitazioni vibrazionali: 12052Te68
stato 3-?
stati fononici l = 2, idealmente
degeneri
Al contrario aggiungendo un neutrone ...
99
Lo stato 3- è un fonone di ottupolo, l = 3
J = 3h3  h2  2 – 3 MeV
tipicamente si osserva un fonone di ottupolo per spettro
Riassunto:
Le eccitazioni di bassa energia nei nuclei sferici pari-pari hanno lo stesso andamento
caratteristico dell’energia di eccitazione fino a qualche MeV:
 0+ (stato fondamentale)
 2+ (fonone di quadrupolo) (2 fononi: 0+, 2+, 4+) (3 fononi: 0+, 2+, 3+ 4+, 6+)
 3- (ottupolo)
100
Stati rotazionali
Un moto rotazionale collettivo può essere osservato solo in nuclei con forme di equilibrio
non sferiche (cioè lontano da shell chiuse, grande Q).
Un nucleo deformato rotante è una forma di equilibrio stabile determinata da nucleoni in
rapido moto interno nel potenziale nucleare con l’intero nucleo rotante lentamente in
modo da non influire sulla struttura nucleare.


r
dm
L2
E  , I   r 2 dm
2I
Sostituiamo L col momento angolare rotazionale J
2

J 2   2 J ( J  1)  EJ 
J ( J  1)
2I
Momento di inerzia fissa la
scala dell’andamento dei livelli
di energia
I J permessi determinano la
separazione caratteristica dei
101
livelli
J è quantizzato; “bande rotazionali” sono spettri caratterizzati da un dato valore del
momento di inerzia I e da una serie di livelli di energia:
nuclei pari-pari: J = 0, 2, 4, 6, 8, 10 (restrizione su J a causa del fatto che  = +)
nuclei deformati dispari-pari: J = semi-intero
Esempio: 176Yb (stati di energia quantizzata di un pallone da football!)
2
EJ 
J ( J  1)
2I
2
 0.014 MeV
2I
I maggiore significa minore separazione
fra i livelli di energia
Rotazioni attorno all’asse di simmetria sono
indistinguibili; il momento angolare rotazionale
deve essere perpendicolare all’asse di simmetria
102
Il momento di inerzia dà una misura della forma nucleare:
Parametrizziamo la forma, il momento di quadrupolo e di inerzia assumendo la forma di
di un ellissoide di rivoluzione la cui superficie è
R( )  R0 (1   Y20 ( ))
Poichè Y20 non dipende da f, R() ha simmetria cilindrica.
Il parametro di deformazione  è legato all’eccentricità
Rav  R0 A1/ 3
Un nucleo con una deformazione
stabile ha un grande momento di
quadrupolo elettrico
3
Qzz 
R02 Z (1  0.16  )
5
maggiore e minore
 > 0 ellissoide prolato
 < 0 ellissoide oblato
Q(2+) (b)
4  R
R

 1.05
3 5 Rav
Rav
R=differenza fra semi-asse
A
103
Nucleo rotante come un solido
(modello del corpo rigido)
2
I R  MR02 (1  0.31 )
5
La realtà stà nel mezzo ...
Nucleo rotante come una goccia di
liquido (modello del fluido rotante)
9
IF 
MR02 
8
Analisi spettrale:
un plot di E vs J(J + 1) dovrebbe dare una
linea retta di pendenza h2/2I
Confermato per 174Hf
ma per 158Er la pendenza decresce (il
momento di inerzia cresce) al crescere di J ...
... come se fosse un fluido rotante:
si verifica uno stretching centrifugo lungo
l’asse di simmetria al crescere del momento
104
angolare!
Bande rotazionali possono essere create da qualunque stato intrinseco, ad esempio uno
stato vibrazionale in cui il nucleo vibra attorno a una forma di equilibrio deformata.
banda dello stato
fondamentale
banda
vibrazionale 
banda
vibrazionale 
Abbiamo 3 bande rotazionali:
Stato fondamentale
Vibrazione : v di superficie normale
all’asse di simmetria
Vibrazione : v di superficie lungo
l’asse di simmetria
105
Momenti degli stati eccitati collettivi
Consideriamo nuclei pari-pari.
Lo stato fondamentale è JP = 0+,  = 0
Momenti di dipolo magnetico
I moti collettivi vibrazionali e rotazionali danno al nucleo un momento di dipolo
magnetico.
Assumiamo che i protoni e i neutroni siano accoppiati ():
-Il momento magnetico di spin non contribuisce
-Il moto dei protoni crea una corrente elettrica. Ciascun protone avrà un momento
magnetico  = N L.
-Se i moti collettivi di protoni e neutroni sono uguali, allora il contributo al momento
angolare nucleare totale da parte dei protoni è Z / A.
-Allora, se il moto collettivo dei neutroni non contribuisce al momento di dipolo
magnetico

Z
N J
A
106
Momenti magnetici del primo stato eccitato dei nuclei pari-pari
shell
chiuse
Basso A
Z / A  0.5
  1 N
Alto A
Z / A  0.4
  0.8 N
 Ragionevole accordo
(qui il modello collettivo non
è valido)
107
108
Buca sferica infinita
La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma
 (r , ,  )  Rn (r )Ym ( ,  )
dove Ylm sono le armoniche sferiche, mentre R(r) è
soluzione dell’equazione radiale

2  d 2 2 d 
 2  2   1 
 2 
 Rn  V (r ) 
 Rn  En Rn

2
2m  dr
r dr 
2m r


Le soluzioni radiali possono essere espresse in termini delle funzioni di Bessel sferiche
jl(knr). Troviamo gli autovalori dell’energia dalla condizione di frontiera (la funzione
d’onda si deve annullare sul bordo della buca)
j (kn R)  0
Consideriamo ad es. L = 0. Gli zeri di j0(x) si hanno per x = 3.14, 6.28, 9.42, ...
Per L = 1 i primi zeri si hanno per x = 4.49, 7.73, 10.9, ...
Poichè E = h2k2/2m, possiamo quindi determinare E ripetendo il processo per ogni L e
costruire così lo spettro di energia.
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Notazione spettroscopica degli stati radiali:
n = 1, 2, 3, 4, ...
L = s, p, d, f, g, h, ... = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Shell chiusa  numero
magico
I livelli nL sono 2 x (2L + 1) degeneri.
Occupazione
Totale
Enl
I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili  shell chiuse (livelli
completamente occupati)
Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare
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nei primi due livelli della buca. Il successivo riempimento d’altra parte non coincide