Appunti matematica finanziaria
MATEMATICA FINANZIARIA
Introduzione
Definizione. La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie.
Definizione. Una operazione finanziaria è un contratto che prevede scambi di danaro (tra i contraenti) in
epoche diverse.
Esempi.
1. Tizio presta a Caio la somma di € 3.000 e Caio si impegna a restituire, tra 2 anni, la somma di €
3.500.
2. Tizio dovrà restituire a Caio, fra 6 mesi, la somma di € 4.500. Tizio chiede a Caio di anticipare il
pagamento del debito pagando oggi la somma di € 4.300.
Osservazione. I due esempi sopra ripropongono due situazioni tipiche: una operazione di prestito e una
operazione di sconto. Le operazioni finanziarie si dividono in operazioni di prestito o capitalizzazione e in
operazioni di sconto o attualizzazione.
Definizione. Si chiama operazione di prestito (o di capitalizzazione) una operazione finanziaria nella quale
un debitore riceve una somma (capitale) che si impegna di restituire al creditore in un’epoca futura,
aumentata di una somma (interesse). La somma restituita (capitale + interesse) si chiama montante.
Osservazione. Il prestito di un capitale C all’epoca t1, in cambio di un montante M all’epoca t2 (t2>t1), può
essere immaginata come una trasformazione della coppia (C; t1) nella coppia (M; t2). L’operazione di
prestito trasferisce il capitale dall’epoca t1 all’epoca futura t2 trasformandolo nel montante.
t
C
M
t1
t2
Definizione. Si chiama operazione di sconto (o di attualizzazione) una operazione finanziaria nella quale un
debitore anticipa il pagamento di un debito futuro usufruendo di una riduzione, detto sconto.
Il debito futuro si chiama valore nominale, la somma pagata anticipatamente si chiama valore attuale (o
somma scontata), la riduzione del debito si chiama sconto (sconto = valore nominale – valore attuale).
Osservazione. Il pagamento anticipato di un debito Vn esigibile all’epoca t2 con una somma Va ad un’epoca
antecedente t1, può essere immaginato come una trasformazione della coppia (Vn; t2) nella coppia (Va; t1).
L’operazione di sconto trasferisce il capitale Vn dall’epoca t2 all’epoca antecedente t1. Spostare indietro nel
tempo il capitale Vn provoca una sua diminuzione (lo sconto) e lo trasforma nel valore attuale.
Va
t1
t
Vn
t2
Definizione. Si chiama legge di capitalizzazione l’insieme delle regole attraverso le quali si esegue il calcolo
dell’interesse (o del montante) in un’operazione di prestito.
Definizione. Si chiama legge di attualizzazione l’insieme delle regole attraverso le quali si esegue il calcolo
dello sconto (o del valore attuale) in un’operazione di sconto.
1
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Osservazione. Le leggi di capitalizzazione utilizzate sono due: semplice, composta.
Le leggi di attualizzazione utilizzate sono tre: commerciale, razionale, composta.
Capitalizzazione semplice
Definizione. In una operazione di prestito si applica la capitalizzazione semplice se gli interessi I maturati
sono direttamente proporzionali1 al capitale C e alla durata del prestito t.
Nota. La capitalizzazione semplice, di norma, viene utilizzata in operazioni di prestito di breve durata (in
genere non superiore all’anno).
Osservazione. Se l’interesse I è direttamente proporzionale a C e a t, allora I è direttamente proporzionale
al prodotto C ⋅ t . In altre parole il rapporto
I
è costante. La costante di proporzionalità rappresentata
C ⋅t
da questo rapporto si indica con i (anziché k) e viene chiamata tasso di interesse unitario.
Definizione. In una operazione di capitalizzazione semplice si chiama tasso di interesse unitario il rapporto
(costante) tra l’interesse maturato e il prodotto C ⋅ t . La formula è i =
I
C ⋅t
Osservazione. Il tasso di interesse unitario i rappresenta l’interesse maturato su un capitale di 1€, prestato
per una unità di tempo (infatti se nella formula sopra sostituisci 1 sia al capitale che al tempo, ottieni i=I) .
Definizione. Il tasso di interesse unitario i si chiama annuale se l’unità di tempo necessaria a maturare un
interesse i su un capitale unitario è l’anno; se l’unità di tempo è un periodo inferiore all’anno (ad esempio
un semestre) allora il tasso si dice periodale. I tassi periodali generalmente utilizzati sono: mensile,
bimestrale, trimestrale, quadrimestrale, semestrale.
Osservazione. Il tasso unitario:
mensile si indica con i12 (perché i mesi in un anno sono 12), quello
bimestrale con i6 (perché _____________________________________________________),
quello
trimestrale con ________ (perché_______________________________________________), quello
quadrimestrale con _______ (perché ___________________________________________), quello
semestrale con _________ (perché _________________________________________________).
Osservazione. Le formule più importanti per affrontare i problemi di capitalizzazione semplice sono due:
quella dell’interesse: I = C ⋅ i ⋅ t e quella del montante: M = C + I = C (1 + i ⋅ t ) .
NB. Quando si applicano queste formule il tempo deve sempre essere espresso nell’unità indicata dal tasso
unitario. Ad esempio, se il tasso è annuo il tempo sarà misurato in anni, se il tasso è semestrale il tempo
sarà in semestri, se il tasso è quadrimestrale il tempo sarà in quadrimestri, ecc. Nelle trasformazioni del
tempo consideriamo sempre l’anno commerciale (360 giorni = 12 mesi, ciascuno da 30 giorni).
Esempi.
1. 2 anni, 3 mesi e 20 giorni quanti anni sono? Anni=2+3/12+20/360=2+1/4+1/18=83/36≈2,3 anni.
1
Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se sono in corrispondenza biunivoca e il rapporto dei valori
corrispondenti sono costanti (y/x=k). Il legame di proporzionalità diretta è espresso dalla funzione y=kx.
2
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2. 3,45 anni quanti anni, mesi, giorni sono? Anni=3, mesi=0,45*12=5,4. Ma mesi 5,4 sono mesi=5 e
giorni=0,4*30=12. Quindi anni=3,45 sono 3anni, 5 mesi e 12 giorni.
Esercizi sulla capitalizzazione semplice
Primo livello
1. Calcola l’interesse e il montante nei seguenti casi (nelle formula il tasso da utilizzare è sempre
unitario, quindi il tasso del 5,32% diventerà, nella formula, 0,0532):
a) C=€ 3.000; i=8%; t=2 anni.
I = 3.000 ⋅ 0,08 ⋅ 2 = 480; M = 3.480
b) C=€ 6.500; i=6,3%; t=1 anno, 6 mesi.
6

I = 6.5000 ⋅ 0,063 ⋅ 1 +  = 614,25; M = 7114,25
 12 
c) C=€ 8.000; i=5,35%; t=2 anni, 5 mesi, 13 giorni.


I = 8.000 ⋅ 0, 0535 ⋅  2 +
5
+
12
I = 4.500 ⋅ 0,03 ⋅
d) C=€ 4.500; i2=3%; t=8 mesi.
13

 = 1.049, 79;
360 
M = 9049, 79
8
.2 = 180; M = 4.680
12
Tasso periodale semestrale= 2 periodi in un anno
 5 + 10  ⋅ 3 = 99;

 12 360 
e) C=€ 2.750; i3=2,7%; t=5 mesi e 10 giorni.
I = 2.750 ⋅ 0, 027 ⋅ 
f) C=€ 3.750; i4=2,7%; t=9 mesi e 25 giorni.
I = 3.750 ⋅ 0, 027 ⋅ 
M = 2.849
 9 + 25  ⋅ 4 = 331,88;

 12 360 
M = 4.081,88
2. Un capitale è stato impiegato al tasso di interesse annuo del 6% per 2 anni, 5 mesi, 16 giorni.
Determina il capitale sapendo che l’interesse semplice maturato è di € 1.200.
[C=8.126,41]
3. Un capitale è stato impiegato al tasso di interesse annuo del 4,25% per 1 anno, 7 mesi, 20 giorni.
Determina il capitale sapendo che il montante è di € 8.100.
[C=7.572,55]
4. Il capitale di € 5.000, in capitalizzazione semplice, dopo 8 mesi ha maturato un interesse di € 150.
Determina il tasso annuo applicato.
[i=4,5%]
5. Il capitale di € 5.000, in capitalizzazione semplice, dopo 7 mesi e 22 giorni ha maturato un montante
di € 5.161,11. Determina il tasso annuo applicato.
[i=5%]
6. Il capitale di € 6.500, in capitalizzazione semplice, dopo 9 mesi e 18 giorni ha maturato un montante
di € 6.812. Determina il tasso trimestrale applicato.
[i4=1,5%]
7. Determina dopo quanto tempo il capitale di € 7.000, impiegato al tasso di interesse semplice del
6,55%, ha maturato un interesse di € 300.
[t=0,6543=7m+26 g]
8. Determina dopo quanto tempo il capitale di € 8.500, impiegato al tasso di interesse semplice del
4,5%, ha maturato un montante di € 8.720.
[t=0,5752=6 mesi+27g]
9. Rappresenta sul piano cartesiano il grafico dell’interesse maturato su di un capitale di € 4.000, al
tasso annuo del 3%, al variare del tempo. Suggerimento: l’interesse è direttamente proporzionale
al tempo d’impiego del capitale … quindi il grafico è _____________________________________.
10. In riferimento all’esercizio precedente rappresenta il montante al variare del tempo. Cosa noti di
comune tra i due grafici?
Secondo livello
1. Gli interessi semplici maturati in 9 mesi su un capitale di € 1.200 ammontano ad oggi a € 46.
Sapendo che inizialmente il tasso di interesse semplice corrisposto ammontava al 4% annuo e che
4 mesi fa è stato aumentato, determinare il tasso di interesse applicato negli ultimi 4 mesi.
[i=6,5%]
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2. Tempo fa ho versato un capitale di 3200 € al tasso del 7% annuo in capitalizzazione semplice presso
un istituto di credito. Sei mesi fa ho versato altri 1500 € e 4 mesi fa ho prelevato 2000 €.
Determinare quando è stato effettuato il primo versamento, sapendo che oggi dispongo di 2855 €.
[t=0,666≈8 mesi fa]
3. Il capitale di 5.000 € è stato depositato presso un istituto di credito. Il tasso di interesse semplice
corrisposto, inizialmente del 2,5% annuo, dopo 3 mesi è stato portato allo 0,7% quadrimestrale.
Calcolare gli interessi maturati e il montante dopo 9 mesi dalla data del deposito effettuato.
[83,75; 5083,75]
4. Il capitale di 5.000 € è stato impiegato per 4 mesi al tasso di interesse semplice del 4% annuo. Il
montante ottenuto è stato poi reinvestito per 6 mesi al tasso del 5% annuo. Calcolare il montante
finale e il tasso costante al quale si sarebbe dovuto impiegare lo stesso capitale per avere lo stesso
montante.
[5193,33; 4,64%]
5. Una persona ha versato in banca le seguenti somme: 3.000 € 8 mesi e 10 giorni fa, 5.000 € 6 mesi e
20 giorni fa, 2.500 € 4 mesi e 15 giorni fa. Quale montante ritira oggi se la banca corrisponde
l’interesse semplice al tasso del 3% annuo?
[ 10.673,96 ]
6. Dieci mesi fa abbiamo versato, su un libretto al risparmio, un certo capitale al tasso annuo del 2%
quadrimestrale; dopo 2 mesi abbiamo versato un capitale doppio del primo. Oggi ritiriamo il
montante di 4.825 €. Calcolare l’importo dei due versamenti.
[1.541,54; 3.083,08]
7. Una parte di un capitale di 10.000 € è stata impiegata al tasso di interesse semplice del 5% annuo,
mentre la parte rimanente al tasso del 7%. Determinare l’importo delle due parti di capitale,
sapendo che dopo 8 mesi il montante complessivo risulta di 10.413,33 €.
[ 4000; 6000 ]
8. Un certo capitale è stato impiegato ad interesse semplice per 4 mesi ad un certo tasso annuo e si è
ricavato il montante di 1.648 €. Se fosse stato impiegato ad un tasso del 2% superiore al
precedente e per un tempo di 6 mesi, il montante sarebbe stato di 1.688 €. Determinare il capitale
e il tasso di interesse.
[ 1600; 9% ]
9. Un anno fa ho impiegato € 10.000 a interesse semplice al tasso annuo del 3,6%. Dopo un certo
tempo il tasso è stato portato al 4% annuo. Sapendo che oggi dispongo di € 10.385, trovare dopo
quanto tempo è stato cambiato il tasso.
[4 mesi e 15 giorni]
10. Nove mesi fa ho depositato in banca, al tasso di interesse semplice del 3,6% annuo, un capitale di €
3.000. Dopo due mesi ho prelevato 2000 € e dopo altri 3 mesi ho effettuato un nuovo versamento.
Sapendo che gli interessi complessivamente maturati fino ad oggi ammontano a € 68,40,
determinare l’importo del versamento effettuato quattro mesi fa.
[2.450]
11. Dieci mesi fa ho depositato in banca, al tasso di interesse semplice del 4,5% annuo, la somma di
4.000 €. Dopo un certo tempo ho prelevato 2.600 € e oggi dispongo del capitale di 1.517 €.
Determinare quanti mesi fa ho effettuato il prelievo.
[3 mesi e 12 giorni]
12. Nove mesi fa ho depositato € 8.000 al tasso dello 0,75% trimestrale e alcuni mesi dopo ho
prelevato la somma di € 5.000. Sapendo che oggi dispongo di € 3.126, determinare quando è stato
effettuato il prelievo.
[4 mesi e 10 giorni fa]
13. Undici mesi fa ho depositato in banca, al tasso annuo del 3%, un capitale di € 6.000.
Dopo 2 mesi ho prelevato € 2500 e dopo altri 3 mesi ho effettuato un ulteriore versamento. Infine,
3 mesi fa ho prelevato € 4.000. Determinare l’importo del versamento effettuato sei mesi fa,
sapendo che oggi gli interessi maturati ammontano a € 116,25.
[€ 2.500]
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Sconto commerciale
Definizione. In un’operazione di attualizzazione si applica lo sconto commerciale quando lo sconto Sc è
direttamente proporzionale al valore nominale Vn del debito e al tempo t di anticipazione.
Nota. Lo sconto commerciale, di norma, viene utilizzato in operazioni di sconto di breve durata (in genere
non superiore all’anno).
Osservazione. Riproponendo il ragionamento fatto per la capitalizzazione semplice, possiamo dire: se lo
sconto Sc è direttamente proporzionale al valore nominale Vn e al tempo t, allora Sc è direttamente
proporzionale al prodotto Vn ⋅ t . In altre parole il rapporto
Sc
è costante. La costante di proporzionalità
Vn ⋅ t
rappresentata da questo rapporto si indica con d (anziché k) e viene chiamata tasso di sconto unitario.
Definizione. In una operazione di sconto commerciale si chiama tasso di sconto unitario il rapporto
(costante) tra lo sconto applicato e il prodotto Vn ⋅ t . La formula è d =
Sc
Vn ⋅ t
Osservazione. Il tasso di sconto unitario d rappresenta lo sconto applicato su un valore nominale di 1€,
pagato anticipatamente di una unità di tempo (infatti se nella formula sopra sostituisci 1 sia al valore
nominale che al tempo, ottieni d=Sc) .
Osservazione. Le formule più importanti per affrontare i problemi sullo sconto commerciale sono due:
S c = Vn ⋅ d ⋅ t e S c = Vn − Va . Da queste si ricava una terza formula, spesso utilizzata per risolvere i
problemi: Va = Vn (1 − d ⋅ t ) .
Esercizi sullo sconto commerciale
1. Oggi saldo anticipatamente un debito di € 4.500 con scadenza tra 8 mesi, scontato al tasso di
sconto commerciale del 4,5% annuo. Determina lo sconto ottenuto e il valore attuale. [135]
2. Oggi, pagando € 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 10 mesi. Sapendo che è
stato applicato lo sconto commerciale al tasso di sconto del 4%, determina il valore nominale del
debito.
[5482,76]
3. Oggi, pagando € 5.390, saldo anticipatamente un debito di € 5.500 con scadenza tra 4 mesi.
Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale, determina il tasso di sconto applicato. [6%]
4. Oggi, pagando € 6.205, saldo anticipatamente un debito di € 6.500. Sapendo che è stato applicato
lo sconto commerciale al tasso di sconto del 5%, determina la scadenza futura del debito.
[10m+28gg]
5. Con € 9.941 pago anticipatamente tre debiti: il primo di € 2.500 con scadenza tra 4 mesi, il secondo
di € 3.200 con scadenza tra 7 mesi e il terzo di € 4.600 con scadenza tra 10 mesi. Determina lo
sconto complessivo applicato e il tasso di sconto commerciale applicato ai tre debiti. [359; 5,5%]
6. Oggi ritiro il montante semplice di € 3.000 depositati 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e lo utilizzo
per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di € 1.400 con scadenza fra 5 mesi e il secondo
con scadenza fra 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale al tasso di sconto del
3,5% annuo. Determina l’importo del secondo debito.
[1748,20]
7. Si hanno due debiti di € 3.000 ciascuno, il primo scadente fra 2 mesi e il secondo fra 7 mesi. Si può
saldare tutto oggi pagando € 5.820. Determina il tasso annuo di sconto commerciale applicato. [8%]
8. Con € 4.640 ho pagato anticipatamente due cambiali, una di importo € 3.000 con scadenza fra un
certo tempo e l'altra di € 2.000 con scadenza 3 mesi dopo la prima. Determina le due scadenze
supponendo che sia praticato uno sconto commerciale al tasso di sconto del 11% annuo.
[6m+20gg; 9m+20gg]
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Sconto razionale
Lo sconto commerciale ha il vantaggio di essere facilmente calcolabile, noto il valore nominale del debito,
ma manca di coerenza logica. Infatti per tempi sufficientemente lunghi potrebbe diventare uguale ( o
superiore) al valore nominale e si arriverebbe all’assurdo che il debitore non dovrebbe pagare nulla (o
addirittura diventare creditore). Ad esempio, se si anticipasse un debito di € 3.000 con scadenza fra 10 anni,
al tasso di sconto del 10%, si avrebbe diritto ad uno sconto commerciale S c = 3.000 ⋅ 0,1 ⋅10 , il cui valore
sarebbe esattamente di € 3.000. In questo caso il debitore, anticipando il debito, non pagherebbe
assolutamente nulla. Se il tempo di anticipazione fosse stato superiore il debitore avrebbe avuto diritto ad
uno sconto addirittura superiore al valore del debito.
Lo sconto razionale che si definisce ora, non presenta questa contraddizione.
Definizione. In un’operazione di sconto si applica lo sconto razionale se, fissato un tasso di interesse i, il
valore nominale coincide con il montante semplice del valore attuale.
La definizione scritta, tradotta in formula, diventa: Vn = Va ⋅ (1 + i ⋅ t ) .
La formula appena scritta, assieme all’altra del valore nominale: Vn = Va + S c , sono sufficienti per risolvere
i problemi sullo sconto razionale, ma un’altra formula molto utile che si ricava dalle precedenti è quella del
valore attuale: Va =
Vn
.
1+ i ⋅t
Nota. Lo sconto razionale può essere pensato come l’operazione inversa della capitalizzazione semplice:
infatti il valore attuale del montante semplice (allo stesso tasso e per lo stesso tempo) mi restituisce il
capitale. Infatti se un capitale C è dato in prestito, al tasso i per un tempo t, il suo montante semplice
diventa C(1+it). Se questo montante viene attualizzato per lo stesso tempo e allo stesso tasso, con sconto
razionale, allora si ottiene Va =
M
C (1 + it )
=
= C . Cioè il valore attuale del montante di C è ancora C.
(1 + it )
1 + it
Questo ragionamento può essere schematizzato nel seguente modo:
C
capitalizzazione
attualizzazione
M
Esercizi sconto razionale
1. Oggi saldo anticipatamente un debito di € 4.500 con scadenza tra 8 mesi, scontato razionalmente al
tasso di interesse del 4,5% annuo. Determina il valore attuale e lo sconto ottenuto.
[4368.93; 131,07]
2. Oggi, pagando € 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 10 mesi. Sapendo che è
stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del 4%, determina il valore nominale del
debito.
[5476,67]
3. Oggi, pagando € 5.390, saldo anticipatamente un debito di € 5.500 con scadenza tra 4 mesi.
Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale, determina il tasso di interesse applicato.
[6,12%]
4. Oggi, pagando € 6.205, saldo anticipatamente un debito di € 6.500. Sapendo che è stato applicato
lo sconto razionale al tasso di interesse del 5%, determina la scadenza futura del debito.
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[11m+12gg]
5. Oggi ritiro il montante semplice di € 3.000 depositati 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e lo utilizzo
per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di € 1.400 con scadenza fra 5 mesi e il secondo
con scadenza fra 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del
3,5% annuo. Determina l’importo del secondo debito.
[1747,47]
6. Con la somma di € 5.519 saldo anticipatamente due debiti, scontati razionalmente: il primo di €
2.700 scadente tra 6 mesi al tasso del 5% annuo e il secondo di € 3.000 scadente fra 8 mesi.
Determina il tasso di interesse utilizzato per scontare il secondo debito.
[6%]
7. Oggi anticipo il pagamento di due debiti, il primo con scadenza tra 1 anno e il secondo, di importo
doppio del primo, con scadenza fra 1 anno e 6 mesi, ottenendo complessivamente uno sconto di
826 €. Determinare l’importo dei due debiti sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al
tasso di interesse del 7,6%.
[3.000]
Capitalizzazione composta
Definizione. In un’operazione di prestito si applica la capitalizzazione composta, ad un tasso di interesse i,
se gli interessi semplici maturati su ogni periodo (unità di tempo) si aggiungeranno al capitale e
produrranno nuovi interessi nei periodi successivi. Cioè il montante semplice calcolato su un periodo
diventerà il capitale su cui calcolare il montante semplice del periodo successivo.
Definizione. La capitalizzazione composta si dice annua quando il periodo di capitalizzazione e il tasso di
interesse sono annui. Se il tasso di riferimento è periodale allora la capitalizzazione si dice frazionata.
Osservazione. Nella capitalizzazione composta la formula più importante è quella del montante. La sua
formula si ottiene applicando la definizione. Vediamo un esempio. Supponiamo di investire un capitale C=€
4.000, al tasso annuo del 5%, per 3 anni. Il tasso è annuo, quindi dovendo calcolare il montante semplice sul
primo periodo (1 anno) si ha M 1 = C (1 + i ⋅1) = C (1 + i ) . Alla fine del secondo anno il montante sarà
M 2 = M 1 (1 + i ⋅ 1) = M 1 (1 + i ) = C (1 + i )(1 + i )) = C (1 + i ) . Alla fine del terzo anno il montante sarà:
2
(
)
M 3 = M 2 (1 + i ⋅1) = M 2 (1 + i ) = C 1 + i ) 2 (1 + i ) = C (1 + i ) . Eccetera.
3
Si intuisce che dopo un tempo t il montante sarà:
M = C (1 + i ) .
t
La formula scritta contiene 4 variabili: M, C, i, t.
Come si ricava C? _____________________________________________________________________.
Come si ricava i? ______________________________________________________________________.
Come si ricava t? ______________________________________________________________________.
Nota. Nel caso in cui l’esercizio proposto faccia riferimento ad un tasso periodale ik si procederà come nella
capitalizzazione semplice moltiplicando il tempo, espresso in anni, per _________.
Quindi la formula della capitalizzazione composta frazionata (con tassi periodali) sarà:
M = C (1 + ik )
k ⋅t
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Esercizi capitalizzazione composta
1. Rappresenta, sul piano cartesiano, il grafico del montante in funzione del tempo, utilizzando un
capitale di € 2.000 e un tasso di interesse annuo del 5%. (Suggerimento: predisponi una tabella con
due righe (o colonne); assegni al tempo alcuni valori e calcoli il montante corrispondente:
tempo
0
1
2
3
4
5
montante
Il grafico che ottieni non è una retta, infatti la formula che esprime il montante composto in funzione del
tempo è una funzione ______________________. Il grafico allora è una curva ____________________.
2. Determina il montante composto nei seguenti casi:
Capitale
tempo
tasso
M
3.000
4 anni
i=3,4%
5.000
6a+5m
i=4,3%
6.500
3a+8m+20g
i=3,8%
3.000
4 anni
I2=3%
5.000
6a+5m
i3=2,5%
6.500
3a+8m+20g
i4=2%
3. Determina il capitale nei seguenti casi:
Capitale
tempo
4 anni
6a+5m
3a+8m+20g
4 anni
6a+5m
3a+8m+20g
4. Determina il tasso di interesse nei seguenti casi:
Capitale
tempo
3.000
4 anni
5.000
6a+5m
6.500
3a+8m+20g
3.000
4 anni
5.000
6a+5m
6.500
3a+8m+20g
5. Determina la durata del prestito nei seguenti casi:
Capitale
tempo
3.000
5.000
6.500
3.000
5.000
6.500
tasso
i=3,4%
i=4,3%
i=3,8%
I2=3%
i3=2,5%
i4=2%
M
3.000
5.000
6.500
3.000
5.000
6.500
tasso
i=
i=
i=
I2=
i3=
i4=
M
3.646,52
6.631,82
8.217,03
3.800,31
8.042,75
9.009,00
tasso
i=3,4%
i=4,3%
i=3,8%
I2=3%
i3=2,5%
i4=2%
M
3.500
6.200
8.500
3.500
8.200
8.900
6. Nove anni fa ho versato € 8.000, dopo due anni ho versato altri € 2.500 e tre anni fa ho prelevato
una certa somma. Sapendo che il tasso applicato è stato del 3,5% composto e che oggi dispongo di
€ 9.095, determinare l’ammontare del prelievo effettuato tre anni fa.
[4.499,68]
8
Appunti matematica finanziaria
7. Sei anni fa ho versato € 3.500 al tasso di interesse composto del 5,5% annuo, dopo un certo tempo
il tasso è stato ridotto al 5% annuo. Determinare quando è avvenuto il cambiamento di tasso,
sapendo che oggi dispongo di € 4.800.
[1a+1m+24g]
8. Cinque anni fa sono stati fatti i seguenti versamenti:
•
€ 6.000 al tasso di interesse trimestrale del 2,42%;
•
€ 3.500 al tasso di interesse annuo del 3,5%;
•
€ 4.000 al tasso di interesse semestrale dell’1,7%.
A quale tasso annuo si sarebbe dovuto investire il capitale complessivo per avere oggi lo stesso
montante?
[6,6%]
9. Monica ha registrato negli ultimi 10 anni i seguenti movimenti: un versamento iniziale di € 3.100;
un secondo versamento di € 4.200 dopo 3 anni ed infine, dopo altri 3 anni un terzo versamento di €
3.700. Il tasso di interesse composto inizialmente applicato dalla banca è stato modificato, dopo 4
anni dalla data del primo versamento, dal 3,5% annuale al 4% annuale. Calcolare il montante
composto che Monica ha a disposizione oggi, al termine dei 10 anni.
[14.329,97]
10. Otto anni e sei mesi fa ho depositato presso un istituto di credito che applica la capitalizzazione
composta al tasso 3,5% annuale un capitale di 3.500 €. Dopo 1 anno e 3 mesi ho depositato un
secondo capitale di importo triplo del primo e successivamente ho prelevato un terzo capitale pari
alla metà del secondo. Sapendo che oggi dispongo di 12.140 €, determinare quanti anni fa è
avvenuto il prelievo.
[4 anni]
11. Su un libretto al risparmio, 10 anni fa ho versato € 5.000; dopo 3 anni ho prelevato € 3.000 ed
infine, dopo altri 3 anni ho versato € 4.000. Il tasso di interesse composto inizialmente applicato
dalla banca è stato modificato, dopo 5 anni dalla data del primo versamento, dal 5% annuale al 4%
annuale. Calcolare il montante composto che ho a disposizione oggi.
[8.419,31]
12. Sette anni fa ho depositato in banca, al tasso composto del 4% annuo, un capitale di € 30.000. Dopo
3 anni ho prelevato una somma che superava di € 2.000 il versamento precedente. L’anno
successivo la banca ha ridotto il tasso sul deposito. Sapendo che oggi posso disporre di € 2.013,16,
determinare il nuovo tasso annuo applicato dalla banca.
[3,5%]
13. Dieci anni fa ho depositato una certa somma di denaro. Dopo 3 anni ho depositato una seconda
somma, pari alla precedente aumentata di € 1.000. Dopo altri 3 anni verso una terza somma pari a
€ 4.500. Calcolare l'importo del primo versamento sapendo che oggi dispongo di una somma
complessiva di € 50.436 e che tutte le operazioni sono state fatte al tasso composto del 8%.
[11.000]
14. Su un deposito bancario sono state effettuate le seguenti operazioni: cinque anni fa un versamento
di 8.000 €; tre anni fa un prelievo di 4.500 €. Sapendo che oggi dispongo del montante di 5.245,36
€ e che il tasso di interesse composto annuo applicato, inizialmente del 6%, è poi stato ridotto un
anno fa, determinare il nuovo tasso di interesse applicato.
[4%]
15. Dieci anni fa ho investito presso un istituto di credito la somma di 13.000 € a interesse composto, al
tasso annuo del 12%. Dopo 5 anni la banca ha diminuito il tasso al 10% annuo e dopo un certo
tempo lo ha diminuito ancora portandolo all’8% annuo. Sapendo che oggi dispongo della somma di
34.920 €, determinare quando è stata effettuata l’ultima riduzione del tasso.
[3 anni fa]
16. Ho deciso di impiegare la somma di 2.300 € per 2 anni e 8 mesi ad un certo tasso in regime di
capitalizzazione composta. Alla scadenza ho reinvestito il montante ottenuto per un tempo di 3
9
Appunti matematica finanziaria
anni e 9 mesi, al tasso composto del 7,15% e ho ritirato la somma di 3.580 €. Calcolare il tasso
annuo applicato nel primo periodo di investimento.
[7%]
Tassi equivalenti e tassi convertibili
Hai già studiato (e anche svolto degli esercizi) con tassi periodali (semestrali, trimestrali, ecc.). La domanda
ora è la seguente: “investo un capitale di € 5.000 per 3 anni al tasso composto annuo del 6%; otterrei lo
stesso montante se il tasso applicato fosse del 3% semestrale composto?” Prova a svolgere i calcoli e a dare
una risposta: Calcola il montante di € 3.000 al tasso composto del 6% annuo per una durata di 3 anni e
ottieni: M= ___________________________. Calcola ora il montante in capitalizzazione composta
frazionata (il tasso è del 3% semestrale e il tempo è espresso in ______________________. La formula da
applicare diventa M=_____________________. I due montanti sono uguali? _____.
Quindi un tasso del 6% non produce lo stesso montante di un tasso semestrale del 3%, se la capitalizzazione
è composta. Diciamo allora che i due tassi in questione non sono equivalenti (perché producono montanti
diversi). Possiamo allora, ragionevolmente, dare la seguente definizione.
Definizione. Fissato un regime finanziario, due tassi di interesse periodali si dicono equivalenti se, applicati
allo stesso capitale e per lo stesso tempo, producono montanti uguali.
In particolare ci interessa scoprire il legame tra due tassi periodali equivalenti, in regime di capitalizzazione
composta.
Nel caso di tassi equivalenti, in base alla definizione data,
il montante in capitalizzazione annua
M = C (1 + i )
frazionata
t
coinciderà
con
quello
in
capitalizzazione
M = C (1 + ik ) ,
k ⋅t
cioè
C (1 + i ) = C (1 + ik ) . Dividendo entrambi i membri per C si ottiene: (1 + i ) = (1 + ik ) , elevando poi
t
k ⋅t
t
k ⋅t
entrambi i membri ad 1/t si ottiene
(1 + i ) = (1 + ik )k .
Quest’ultima formula rappresenta la relazione tra i tassi equivalenti.
È possibile, a seconda delle necessità, ricavare il tasso annuo i (noto il tasso frazionato o viceversa).
Applicando il primo principio di equivalenza (sottraendo 1 ad entrambi i membri), otteniamo
i = (1 + ik ) − 1 .
k
Invece per ottenere il tasso frazionato si dovrà (dalla formula iniziale) elevare ad 1/k, poi sottrarre 1:
ik = (1 + i ) k − 1 .
1
Nota. Tutti gli esercizi sulla capitalizzazione composta frazionata possono essere trasformati in
capitalizzazione composta annua, infatti con la formula i = (1 + ik ) − 1 è possibile trasformare un tasso
k
frazionato in uno annuo equivalente.
A volte, negli esercizi, viene fornito un tasso nominale Jk che deve essere convertito in tasso effettivo
10
Appunti matematica finanziaria
Definizione. Si chiama tasso nominale convertibile k volte all’anno, che si indica con Jk , il prodotto k ⋅ ik .
La definizione, espressa in formula è: jk = k ⋅ ik .
Negli esercizi si deve comunque utilizzare il tasso ik (detto effettivo), quindi il tasso nominale Jk deve sempre
essere trasformato in effettivo con la formula (inversa): ik =
jk
.
k
Esempio. Il tasso nominale j3 del 6% è equivalente al tasso effettivo i3 del 2%.
Infatti i3 =
j3 0,06
=
= 0,02 = 2% .
3
3
Esercizi sui tassi equivalenti
Completa la seguente tabella:
i
7%
i2
i3
i4
I6
i12
5%
4%
3%
2%
1%
Sconto composto
Definizione. In una operazione di attualizzazione si applica lo sconto composto se, fissato un tasso di
interesse, il valore nominale coincide col montante composto del valore attuale.
Traducendo la definizione in una formula otteniamo: Vn = Va ⋅ (1 + i ) .
t
La formula più usata è quella inversa: Va =
Vn
−t
= Vn ⋅ (1 + i ) .
t
(1 + i )
Esercizi sconto composto
1. Oggi saldo anticipatamente un debito di € 4.500 con scadenza tra 1 anno e 8 mesi, scontato al tasso
di interesse composto del 4,5% annuo. Determina il valore attuale e lo sconto ottenuto.
[4.181,69]
2. Oggi, pagando € 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 2 anni e 10 mesi.
Sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 4%, determina il valore
nominale del debito.
[5.922,94]
3. Oggi, pagando € 5.090, saldo anticipatamente un debito di € 5.500 con scadenza tra 3 anni e 4 mesi
e 12 giorni. Sapendo che è stato applicato lo sconto composto, determina il tasso di interesse
annuo applicato.
[2,3%]
4. Oggi, pagando € 6.105, saldo anticipatamente un debito di € 6.500. Sapendo che è stato applicato
lo sconto composto al tasso di interesse del 5%, determina la scadenza futura del debito.
[1a+3m+13g]
11
Appunti matematica finanziaria
5. Oggi ritiro il montante composto di € 3.000 depositati 1 anno e 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e
lo utilizzo per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di € 1.400 con scadenza fra 1 anno e 5
mesi e il secondo con scadenza fra1 anno e 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto
composto al tasso di interesse del 4% annuo. Determina l’importo del secondo debito.
[1997,36]
6. Con la somma di € 5.120 saldo anticipatamente due debiti: il primo di € 2.700 scadente tra 2 anni
e 6 mesi al tasso del 5% annuo e il secondo di € 3.000 scadente fra1 anno e 8 mesi. Determina il
tasso di interesse utilizzato per scontare il secondo debito, sapendo che è stato applicato lo sconto
composto.
[5,8%]
7. Oggi pagando € 9533,16 anticipo il pagamento di due debiti, il primo con scadenza tra 1 anno e il
secondo, di importo doppio del primo, con scadenza fra 1 anno e 6 mesi. Determina l’importo dei
due debiti sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 7,6%.
[3.500, 7.000]
Principio di equivalenza finanziaria
Abbiamo definito le operazioni finanziarie come contratti nei quali si prevedono scambi di danaro in epoche
diverse. Come regolare questi scambi di danaro in modo che le controparti possano ritenere equo il
contratto? In altre parole quando un capitale C1 al’epoca t1 è equo scambiarlo con un capitale C2 all’epoca
t2? La risposta è data dal seguente principio di equivalenza finanziaria.
Definizione. Fissati un regime finanziario, un tasso di interesse e un’epoca di riferimento, un capitale C1
esigibile all’epoca t1 e un capitale C2 esigibile all’epoca t2 si dicono finanziariamente equivalenti se
coincidono i loro valori finanziari all’epoca fissata.
Esercizio. Verifica se il capitale di € 5.000 esigibile fra 3 anni e il capitale di € 5230 esigibile fra 5 anni e 6
mesi sono finanziariamente equivalenti, supponendo di fissare come epoca di riferimento oggi, come
regime finanziario quello composto e come tasso di interesse il 4% annuo.
Leggi scindibili
Altro concetto importante riferito alle leggi finanziarie è il concetto di scindibilità.
Definizione. Una legge di capitalizzazione è scindibile se il montante ottenuto sull’intero periodo è uguale al
montante ottenuto su una parte e poi ricapitalizzato per il tempo rimanente.
Definizione. Una legge di attualizzazione è scindibile se il valore attuale ottenuto sull’intero periodo è
uguale al valore attuale ottenuto su una parte e poi riattualizzato per il tempo rimanente.
In altre parole, se un’operazione di prestito (o di attualizzazione) può essere spezzata in più passaggi,
ottenendo lo stesso montante (o valore attuale) allora la legge finanziaria applicata è scindibile.
Quali leggi finanziarie sono scindibili?
Riflettendo su quanto studiato si capisce che:
•
•
sono scindibili le leggi di capitalizzazione e di sconto composto;
non sono scindibili le leggi di capitalizzazione e di sconto semplice.
12
Appunti matematica finanziaria
Nota. La scindibilità offre un grande vantaggio nella risoluzione dei problemi: quando si applica il principio
di equivalenza finanziaria, l’epoca di riferimento nella quale valutare i capitali è arbitraria solo quando le
leggi finanziarie sono scindibili.
Esercizi sulla equivalenza finanziaria
1. Dovrò pagare € 5.000 fra 1 anno, € 1.950 fra 2 anni , € 1.600 fra 7 anni e € 4.500 fra 9 anni. Mi
accordo col creditore di pagare l’intero debito con un solo versamento fra 5 anni. Calcola la somma
da versare al tasso annuo composto del 5%.
[13.488,31]
2. Dovrò pagare € 20.000 fra 7 anni e ottengo di estinguere il debito con due versamenti, di cui il
primo pari ai 2/3 del secondo, rispettivamente fra 3 e 5 anni. Calcolare l’importo dei due
versamenti, applicando un tasso annuo composto del 7%.
[6.604,70; 9907,05]
3. Per l’acquisto di un’automobile che costa € 79.520, si ottiene di pagare € 45.000 fra 3 anni e €
50.000 fra 6 anni. A quale tasso di interesse composto è stata effettuata l’operazione?
[4%]
4. Un capitale di € 23.000 è stato impiegato a interesse composto per 6 anni al tasso annuo del 7%.
Dopo un anno il tasso è stato ridotto al 6,25% e dopo altri 2 anni aumentato al 6,8%. Qual è il tasso
annuo medio, se nell’ultimo anno il tasso applicato è stato aumentato al 7,2% annuo?
[6,7%]
5. Ho diritto a riscuotere tre crediti: € 5.000 tra 1 anno e 6 mesi, € 7.000 tra 1 anno e 9 mesi, € 4.500
fra un certo tempo. Accetto, in sostituzione, un unico pagamento di € 17.255 fra 3 anni.
Calcola la scadenza del terzo credito, applicando un tasso di interesse annuo nominale convertibile
trimestralmente del 4%.
[fra 2 anni e 6 mesi]
Esercizi riepilogativi
1. Cinque anni fa una persona ha depositato presso una banca € 10.000, 3 anni fa ha poi depositato
altri € 5.600 e 1 anno fa ha depositato € 8.000. Decide di ritirare oggi una certa somma e una
somma tripla fra tre anni in modo da estinguere il deposito. Determinare l’importo delle due
somme sapendo che il tasso di interesse quadrimestrale corrisposto è pari all’ 1,2%.
[7.168,67; 21.506,01]
2. Ho investito per 11 anni un determinato capitale. Il tasso di interesse, inizialmente del 9% annuo
nominale convertibile quadrimestralmente, dopo 2 anni è sceso al 2,8% quadrimestrale e poi, negli
ultimi 3 anni, il tasso è stato del 7,5% annuo. Sapendo che il montante finale calcolato in
capitalizzazione composta è di € 18.288,84, calcola il capitale iniziale.
[7.500]
3. Il valore attuale, con sconto razionale al tasso annuo del 2,4%, di due prestiti, il primo di € 5.600
con scadenza fra 1 anno e 8 mesi e il secondo di € 3.900 con scadenza fra 4 mesi, viene investito
per 2 anni ottenendo un montante di 9.821,50. Determinare il tasso di interesse al quale si è
effettuato l’investimento.
[3% annuo]
4. Oggi vengono pagati anticipatamente due debiti, il primo di € 5.000 con scadenza fra 3 anni e 2
13
Appunti matematica finanziaria
mesi e il secondo di € 7.200 con scadenza tra 4 anni e 8 mesi, entrambi con sconto composto al tasso
annuo del 2,5%. Investo la somma realizzata al tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente
del 4,2%. Quale montante avrò fra 2 anni?
[12.000,73]
5. Impiego la somma di € 5.200 per 4 anni e 4 mesi al tasso semestrale del 4,5%. Oggi ritiro il
montante accumulato e lo reinvesto per 2 anni e 9 mesi al tasso trimestrale del 2,05%. Determina il
montante finale e il tasso di interesse effettivo a cui è stato impiegato il capitale.
[9.519,65; 8,91%]
6. Dovrò pagare € 1.000 fra 6 mesi, € 2.000 fra 1 anno, € 3.000 fra 1 anno e 6 mesi. Concordo col
creditore di pagare oggi € 4.000 e il resto fra 2 anni. Quale somma dovrò versare tra 2 anni,
sapendo che il tasso applicato è stato dello 0,5% trimestrale?
[1.937,93]
7. Dovrei pagare € 5.000 fra 1 anno e 6 mesi, e 7.000 fra 1 anno e 9 mesi, € 5.500 fra un certo tempo.
Posso saldare il tutto in un unico pagamento di € 18.000 fra 3 anni. Sapendo che è stato applicato
un tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 4%, calcolare la scadenza del terzo
debito.
[3a+9m+14g]
8. Per l’acquisto di un’autovettura si hanno due possibilità di pagamento:
• € 5.000 dopo 2 mesi dalla data di acquisto, € 3.000 dopo 6 mesi e € 3.000 dopo 1 anno;
• € 8.000 al momento dell’acquisto e il rimanente dopo 1 anno e 6 mesi.
Sapendo che il tasso di interesse applicato è del 5% annuo composto, calcola la somma da versare a
saldo se si scegliesse la seconda proposta.
[2.952,73]
9. Ho acquistato un terreno del valore di € 80.000. Il venditore propone tre ipotesi di pagamento:
• Il 30% del valore del terreno alla stipula del contratto, € 30.000 dopo 1 anno e € 27.000 dopo 2
anni;
• € 50.000 alla stipula del contratto, € 24.000 dopo 3 mesi e € 28.000 dopo 6 mesi;
• € 20.000 alla stipula del contratto, e 30.000 dopo 6 mesi e € 30.600 dopo 1 anno.
Qual è l’ipotesi più conveniente?
[i tassi applicati sono 1,2%; 2,79%; 1,33%; la più conveniente è la prima]
14
Appunti matematica finanziaria
RENDITE FINANZIARIE
Definizione. Una rendita è una successione di somme pagabili o esigibili a determinate scadenze.
Esempi di rendite. Lo stipendio percepito da un lavoratore dipendente; l’affitto di un appartamento;
l’acquisto di beni mediante pagamenti rateali, la pensione, ecc.
Definiamo alcuni concetti che sono alla base dello studio delle rendite.
Ciascuna somma che compone una rendita si chiama rata, il tempo che intercorre tra due rate è detto
periodo, il numero delle rate è detto durata della rendita.
Le rendite si classificano in base ad alcune caratteristiche: tipologia della rendita (finanziaria o vitalizia);
rata; durata; periodo.
Lo schema seguente sintetizza tutte le opzioni possibili:
 finanziaria o certa

RENDITA: 
vitalizia o attuariale

rata costante


rata variabile

temporanea


illimitatata o perpetua

annua

 frazionata
 poliennale

immediata


differita

anticipata


 posticipata

Le rendite si dicono finanziarie quando si suppone che le rate siano pagate e/o riscosse con certezza;
vitalizie se il pagamento delle rate è subordinato a qualche evento legato alla vita o alla morte di una
persona (assicurazioni).
Le rendite sono a rata costante se tutte le rate hanno il medesimo importo.
Le rendite sono temporanee se la durata (il numero delle rate) è finita (non infinita) ed è stata fissata.
Le rendite sono annue se il periodo (il tempo che intercorre tra una rata e la successiva) è un anno;
frazionate se il periodo è inferiore all’anno (mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali);
poliennali se il periodo è formato da più anni.
Gli altri concetti saranno chiariti in seguito.
Osservazione. Non studieremo le rendite vitalizie, a rata variabile (tranne casi molto semplici di rate
variabili), poliennali.
Il primo e più importante problema che riguarda una rendita è la determinazione del suo valore finanziario
ad una certa epoca determinata (all’epoca della prima rata, o prima; all’epoca dell’ultima rata o
successivamente). Tale valore lo applicheremo usando le leggi della capitalizzazione composta e dello
sconto composto.
Definizione. Il valore finanziario di una rendita calcolato all’epoca dell’ultima rata o in un’epoca successiva
si chiama montante. Il montante in una certa epoca si ottiene, quindi, sommando i montanti delle singole
rate (in capitalizzazione composta) già pagate (o riscosse).
15
Appunti matematica finanziaria
Definizione. Il valore finanziario di una rendita calcolato all’epoca della prima rata o in un’epoca
precedente si chiama valore attuale. Il valore attuale, in una certa epoca, si ottiene, quindi, sommando i
valori attuali delle singole rate (con sconto composto) ancora da pagare (o da riscuotere).
CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, POSTICIPATA
Definizione. Il montante di una rendita all’epoca del pagamento (o riscossione) dell’ultima rata viene detto
posticipato. In questo caso anche la rendita viene detta posticipata.
Esempio. Calcola il montante di una rendita formata da 5 rate annue, ciascuna da € 800, all’atto dell’ultimo
versamento, al tasso annuo del 4% composto.
Soluzione. Rappresenta sulla linea del tempo i dati del problema:
Il montante M sarà la somma dei montanti di ciascuna rata. L’ultima rata, essendo pagata (o riscossa)
all’epoca in cui si calcola il montante, non dovrà essere capitalizzata, la penultima dovrà essere capitalizzata
per 1 anno, la terzultima per 2 anni, la seconda per 3 anni e la prima per 4 anni. Quindi il montante sarà:
M = R + R ⋅ (1,04 ) + R ⋅ (1,04) + R ⋅ (1,04) + R ⋅ (1,04) =_________________________________.
1
2
3
4
Come sarebbe l’impostazione nel caso in cui il numero delle rate fosse 8?
M=_____________________________________________________________________________.
Come sarebbe l’impostazione nel caso in cui le rate fossero 15?
M= ____________________________________________________________________________.
E nel caso in cui fossero in un numero non precisato n e il tasso i non fosse precisato?
_______________________________________________________________________________.
Osservazione. Si capisce immediatamente come il calcolo del montante sia lungo e noioso quando il
numero delle rate è superiore a poche unità. Si rende necessaria scoprire una formula più comoda da
utilizzare per calcolare il montante, qualunque sia il numero n delle rate.
Teorema. Il montante posticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R,
valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da:
M = R⋅
(1 + i )n − 1
i
Dimostrazione:
Hai scritto prima che il montante è la somma dei montanti delle singole rate:
M = R + R ⋅ (1 + i ) + R ⋅ (1 + i ) + R ⋅ (1 + i ) + ... + R ⋅ (1 + i )
1
2
3
n−2
+ R ⋅ (1 + i )
n −1
.
Moltiplicando primo e secondo membro per (1+i) ottieni:
16
Appunti matematica finanziaria
M ⋅ (1 + i ) = _________________________________________________________________________.
Sottrai, membro a membro, questa uguaglianza a quella sopra e ottieni:
M ⋅ (1 + i ) − M = ______________________________________________________________________.
Cioè: M + M ⋅ i − M = R ⋅ (1 + i ) − R . Semplificando si ottiene la formula M ⋅ i = R ⋅ (1 + i ) − R e infine
n
n
M = R⋅
(1 + i )n − 1 .
i
Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da € 900, l’ultima versata
oggi, al tasso annuo del 4,5% composto.
M= _________________________________________________.
CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, ANTICIPATA
Definizione. Il montante di una rendita (annua) un anno dopo il pagamento (o riscossione) dell’ultima rata
viene detto anticipato. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata.
Osservazione. Rispetto al montante posticipato, in questo caso ogni rata viene capitalizzata un anno in più,
quindi il montante anticipato sarà quello posticipato ricapitalizzato di un altro anno.
Teorema. Il montante anticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R,
valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da:
M = R⋅
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i ) .
i
Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 25 rate annue ciascuna da € 900, l’ultima versata
un anno fa, al tasso annuo del 3,5% composto.
M= _________________________________________________.
CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, p ANNI DOPO L’ULTIMA RATA
Osservazione. Rispetto al montante posticipato, in questo caso ogni rata viene capitalizzata per p anni in
più, quindi il montante sarà quello posticipato ricapitalizzato di altri p anni.
Teorema. Il montante di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in
regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, p anni dopo l’ultima rata è dato da:
M = R⋅
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i ) p .
i
Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 10 rate annue ciascuna da € 900, l’ultima versata
2 anni, 10 mesi e 19 giorni fa, al tasso annuo del 4% composto.
M= _________________________________________________.
17
Appunti matematica finanziaria
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, POSTICIPATA
Definizione. Il valore attuale di una rendita un anno prima del pagamento (o riscossione) della prima rata
viene detto posticipato. In questo caso anche la rendita viene detta posticipata.
Teorema. Il valore attuale posticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo
R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da:
Va = R ⋅
1 − (1 + i )
i
−n
.
Dimostrazione. Per il calcolo del valore attuale della rendita è sufficiente attualizzare il montante
posticipato (di cui conosciamo già la formula) esattamente per n anni:
Va = M ⋅ (1 + i )
−n
= R⋅
(1 + i )n − 1 ⋅ (1 + i )−n
i
= R⋅
1 − (1 + i )
i
−n
.
Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da € 900, un anno prima del
versamento della prima rata, al tasso annuo del 4,5% composto.
Va= _________________________________________________.
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, ANTICIPATA
Definizione. Il valore attuale di una rendita all’epoca del pagamento (o riscossione) della prima rata viene
detto anticipato. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata.
Teorema. Il valore attuale anticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo
R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da:
Va = R ⋅
1 − (1 + i )
i
−n
⋅ (1 + i ) .
Dimostrazione. In questo caso il valore attuale anticipato è calcolato un anno prima di quello posticipato,
quindi è sufficiente capitalizzare per un anno quello posticipato.
Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da € 900, nel momento del
versamento della prima rata, al tasso annuo del 4,5% composto.
Va= _________________________________________________.
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Appunti matematica finanziaria
CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA,
TEMPORANEA, p ANNI PRIMA DELLA PRIMA
Definizione. Il valore attuale di una rendita p anni prima del pagamento (o riscossione) della prima rata
viene detto anticipato e differito. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata e differita.
Teorema. Il valore attuale anticipato e differito di p anni di una rendita costituita da n rate costanti annue,
ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da:
Va = R ⋅
1 − (1 + i )
i
−n
⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ) .
−p
Dimostrazione. In questo caso il valore attuale anticipato è calcolato p anni prima di quello anticipato,
quindi è sufficiente attualizzare per p anni quello anticipato.
Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 25 rate annue ciascuna da € 900, 2 anni 3 mesi e 10
giorni prima del versamento della prima, al tasso annuo del 4% composto.
Va= _________________________________________________.
Nota. Cosa si intenderà per valore attuale differito e posticipato? _________________________________
_______________________________________________________________________________________
RENDITE ILLIMITATE O PERPETUE
Definizione. Una rendita illimitata è costituita da un numero infinito di rate.
Osservazione. Una rendita illimitata non possiede l’ultima rata, quindi non è possibile calcolarne il
montante.
Teorema. Il valore attuale di una rendita annua posticipata, illimitata, a rata costante è dato da :
R
Va =
i
Esempio. Calcola il valore di una rendita annua perpetua, un anno prima del versamento della prima, al
tasso annuo del 5% composto.
Va= _________________________________________________.
Teorema. Il valore attuale di una rendita annua anticipata, illimitata, a rata costante è dato da :
Va =
R
(1 + i )
i
Esempio. Calcola il valore di una rendita annua perpetua, nel momento del versamento della prima, al
tasso annuo del 5% composto.
Va= _________________________________________________.
Esercizio. Scrivi la formula del valore attuale di una rendita annua, illimitata, p anni prima della prima.
__________________________________________________.
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Appunti matematica finanziaria
RENDITE FRAZIONATE
Osservazione. Quanto visto per le rendite annue è trasferibile immediatamente alle rendite frazionate con
queste avvertenze:
• il tasso da utilizzare nelle formule non sarà quello annuale ma quello frazionato (se viene fornito
quello annuo sarà necessario convertirlo in quello frazionato equivalente);
• nelle definizione date si dovrà sostituire la parola anno con la parola periodo (inteso a seconda dei
casi: semestre, quadrimestre, trimestre, ecc.), con particolare riguardo al calcolo del valore attuale.
Esercizio. Calcola il montante di una rendita costituita da 18 rate trimestrali, ciascuna di € 2.000, dopo 1
anno e 6 mesi dal versamento dell’ultima, al tasso annuo del 7%.
Soluzione. La rendita è frazionata (trimestrale), quindi è necessario utilizzare un tasso trimestrale
equivalente a quello annuo. Calcolalo: ___________________________.
Poi dovrai applicare la formula del montante p trimestri dopo l’ultima rata.
M= ____________________________________________________________________.
Esercizio. Calcola il valore attuale di una rendita costituita da 12 rate quadrimestrali, ciascuna di € 2.500, 2
anni, 5 mesi e 20 giorni prima del versamento della prima, al tasso annuo del 6%.
Soluzione. La rendita è frazionata (quadrimestrale), quindi è necessario utilizzare un tasso quadrimestrale
equivalente a quello annuo. Calcolalo: ___________________________.
Poi dovrai applicare la formula del valore attuale p quadrimestri prima della prima rata.
Va= ____________________________________________________________________.
Esercizi riepilogativi.
1. Calcola, oggi, il montante delle seguenti rendite, al tasso annuo del 5% composto:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
10 rate annue, ciascuna da € 2.500, l’ultima versata oggi;
12 rate annue, ciascuna da € 1.500, l’ultima versata un anno fa;
20 rate annue, ciascuna da € 3.500, l’ultima versata 3 anni fa;
15 rate annue, ciascuna da € 500, l’ultima versata 2 anni, 5 mesi e 18 giorni fa;
12 rate semestrali, ciascuna da € 2.500, l’ultima versata oggi;
18 rate bimestrali, ciascuna da € 500, l’ultima versata 1 anno fa;
40 rate trimestrali, ciascuna da € 1.500, l’ultima versata 1 anno e 7 mesi fa;
24 rate quadrimestrali, ciascuna da € 2.500, l’ultima versata 2 anni, 8 mesi e 10 giorni fa.
2. Calcola, oggi, il valore attuale delle seguenti rendite, al tasso annuo del 5% composto:
a) 10 rate annue, ciascuna da € 2.500, la prima versata oggi;
b) 12 rate annue, ciascuna da € 1.500, la prima verrà versata fra un anno;
c) 20 rate annue, ciascuna da € 3.500, la prima verrà versata fra 3 anni;
d) 15 rate annue, ciascuna da € 500, la prima verrà versata fra 2 anni, 5 mesi e 18 giorni;
e) 12 rate semestrali, ciascuna da € 2.500, la prima verrà versata oggi;
f) 18 rate bimestrali, ciascuna da € 500, la prima verrà versata fra 1 anno;
g) 40 rate trimestrali, ciascuna da € 1.500, la prima verrà versata fra 1 anno e 7 mesi;
h) 24 rate quadrimestrali, ciascuna da € 2.500, la prima verrà versata fra 2 anni, 8 mesi e 10 giorni.
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Appunti matematica finanziaria
3. Calcola il montante, tre anni dopo l’ultima rata, di una rendita costituita da 15 rate quadrimestrali,
ciascuna pari a € 3.000, valutata al tasso annuo del 6%.
[61.604,98]
4. Ho versato presso un istituto di credito, per 10 anni consecutivi, rate da € 2.000. Sapendo che è
stato applicato un tasso annuo del 5%, determina dopo quanto tempo, dall’ultima rata, potrò
disporre di una somma pari a 30.577 €.
[4 anni]
5. Cinque anni fa ho iniziato a versare rate quadrimestrali, ciascuna di importo di € 700, al tasso di
interesse del 4% annuo e l’ultima è stata versata 1 anno fa. Oggi ritiro il montante accumulato ed
estinguo anticipatamente un debito di € 12.000, scontato al tasso di sconto composto del 5%
annuo. Determinare la scadenza futura del debito. (attenzione!!! Le rate sono 13).
[3a+2m+23g]
6. Cedo il diritto a riscuotere 40 rate trimestrali di € 500 ciascuna, la prima delle quali ha scadenza fra
3 mesi. In cambio ricevo € 5.000 al momento della cessione e un altro captale dopo 4 anni.
Determinare quest'ultimo capitale valutando gli impegni al 6,55% annuo.
[12.467,25]
7. Un immobile del valore di € 200.000 viene venduto convenendo i seguenti pagamenti: € 70.000
subito, € 80.000 fra 5 anni, 10 rate semestrali, la prima fra un anno. Supponendo un tasso di
valutazione del 7% annuo, calcolare l’importo di ciascuna rata.
[9.047,31]
8. Oggi inizio a versare € 1.500 all’anno per 5 anni consecutivi, poi effettuerò altri 6 versamenti annui
di € 2.000 ciascuno. Determinare, al tasso del 4% annuo, la somma di cui potrò disporre fra 13
anni. (Attenzione: l’ultima rata è al decimo anno)
[26.486,06]
9. Verso € 1.500 all’anno per 5 anni consecutivi e poi effettuo altri 6 versamenti annui di € 2.000
ciascuno. Determinare quanto tempo deve trascorrere dall’ultimo versamento, per poter disporre
di una somma di € 35.000, al tasso del 9% annuo.
[1a+9m]
10. Si sono versati € 1.000 per 12 anni consecutivi. Il tasso, inizialmente del 3,75% annuo è stato
diminuito al 3,5% annuo dopo il versamento della nona rata. Oggi, 1 anno dopo l’ultimo
versamento, quale somma possiamo ritirare?
[15.397,61]
11. Ho effettuato 6 versamenti annuali da € 1000 ciascuno e successivamente altri 8 di importo
incognito. Oggi, tre anni dopo l’ultimo versamento, dispongo di un montante di € 20.000. Sapendo
che il tasso di interesse applicato è del 3%, determinare l’importo delle 8 rate incognite.
[1.136,80]
12. Dodici anni fa ho iniziato a versare rate annue da € 1.200, l’ultima è stata versata tre anni fa e un
anno fa ho prelevato € 5.000. Il tasso di interesse, inizialmente del 5% annuo, cinque anni fa è stato
ridotto al 4% annuo. Determinare la somma disponibile oggi.
[11.495,21]
13. Si sono versati € 1.000 per 15 anni consecutivi. Il tasso, inizialmente del 7,75% annuo è stato
portato all’8,5% annuo dopo il versamento della nona rata. Oggi, 3 anni dopo l’ultimo versamento,
ritiriamo una parte del montante accumulato per saldare anticipatamente un debito di € 12.000,
scadente tra 5 anni, che viene scontato al tasso del 12% annuo. Quale somma rimarrà depositata
dopo il pagamento del debito?
[28.432,11]
14. Tizio oggi presta un certo capitale e concorda con il debitore l’estinzione del debito mediante il
versamento di 20 rate semestrali di cui le prime 8 di € 2.000 e le successive di € 1.500, con la prima
21
Appunti matematica finanziaria
15.
16.
17.
18.
esigibile fra un anno. Calcolare l’importo del capitale prestato, sapendo che il tasso applicato è del
6% annuo.
[C=25.179,33 usando 5 decimali per il tasso]
Si sono versate € 1.000 per 15 anni consecutivi. Il tasso, inizialmente del 7,75% annuo è stato
portato all’8,5% annuo dopo il versamento della nona rata. Oggi, 3 anni dopo l’ultimo versamento,
quale somma possiamo ritirare?
[M=35.241,23]
Si sono versate ogni trimestre e per 8 anni consecutivi € 500 al tasso nominale convertibile 4 volte
all’anno del 10%. Oggi, all’atto dell’ultimo versamento, si stabilisce di ritirare per 10 anni, a partire
dal prossimo anno, una rata annua costante tale da estinguere il deposito. Determinare tale rata,
supponendo invariato il tasso.
[R=3.982,47 usando 5 decimali per il tasso]
Dieci anni fa ho depositato una certa somma di denaro. Dopo 3 anni ho depositato una seconda
somma, pari alla precedente aumentata di € 1.000. Dopo altri 3 anni verso una terza somma pari a
€ 4.500. Calcolare l'importo del primo versamento sapendo che oggi dispongo di una somma
complessiva di € 50.436 e che tutte le operazioni sono state fatte al tasso composto del 8%.
[C=11.000]
Oggi cedo il diritto a riscuotere 40 rate trimestrali di € 500 ciascuna, la prima delle quali ha
scadenza fra 3 mesi. In cambio ricevo subito € 2.000 e un altro capitale dopo 4 anni. Determinare
quest'ultimo capitale valutando gli impegni al 6,55% annuo.
[C=16.357,33 usando 5 decimali per il tasso]
19. Un padre, alla nascita di un figlio, versa in banca € 2.000 e, inoltre, stabilisce di depositare il giorno
del compleanno del figlio, per 18 anni consecutivi, € 1.000. Sapendo che il tasso, inizialmente
fissato al 9% annuo, è stato aumentato al 10,5% annuo dopo il versamento della decima rata,
determinare la somma che il figlio avrà al compimento del diciottesimo anno di età.
[55.940,58]
20. Un debito di € 8.000, contratto oggi al tasso del 12% nominale convertibile semestralmente, viene
ammortizzato con 10 rate semestrali, la prima delle quali scade fra 6 mesi. Sapendo che le prime 5
rate sono di € 1.000 ciascuna, determinare l'importo costante delle rimanenti 5.
[1.203,29]
21. Tizio oggi presta un certo capitale e concorda con il debitore l’estinzione del debito mediante il
versamento di 20 rate semestrali di cui le prime 8 di € 2.000 e le successive di € 1.500, con la prima
esigibile fra un anno. Calcolare l’importo del capitale prestato, sapendo che il tasso applicato è del
6% annuo effettivo.
[25.178,61]
22. Si sono versate ogni trimestre e per 8 anni consecutivi € 500 al tasso nominale convertibile 4 volte
all’anno del 10% . Oggi, all’atto dell’ultimo versamento, si stabilisce di ritirare per 10 anni, a partire
dal prossimo anno, una rata annua costante tale da estinguere il deposito. Determinare tale rata.
(Attenzione: J4=0,1, quindi i4= …; n=32).
[3.918,12]
23. Il valore attuale di 15 rate semestrali, la prima fra un anno, coincide col montante composto di un
capitale di € 13.000, depositato 6 anni fa. Utilizzando un tasso di interesse annuo del 5% annuo,
determinare l’importo delle rate della rendita.
[1.438,63]
24. Ho versato 20 rate annuali, ciascuna da € 1.500, l’ultima 2 anni fa. Il tasso inizialmente del 4%
annuo è stato ridotto al 3,5% annuo dopo il versamento della dodicesima rata. Oggi, con quanto
maturato anticipo il pagamento di un debito di € 62.000 con scadenza tra 5 anni. Sapendo che è
stato applicato uno sconto composto, determinare il tasso di interesse applicato.
[6%]
25. Calcola il valore attuale di una rendita quadrimestrale al tasso del 5% annuo, la prima rata esigibile
fra due anni, costituita da 24 rate, le prime 8 di importo € 700, le successive 10 di importo € 800 e
22
Appunti matematica finanziaria
le ultime 6 di importo € 900.
[14.239,26]
26. Oggi chiedo in prestito € 100.000 che mi impegno a restituire, al tasso del 6,5% annuo, mediante 15
versamenti annui, il primo fra 2 anni. Determinare l’importo degli ultimi 7 versamenti, sapendo che
ciascuno dei primi otto ammonta a € 10.000.
[13.763,92]
APPLICAZIONE DELLE RENDITE
Le rendite finanziarie trovano applicazione, in particolare, in 3 problemi finanziari:
• la costituzione di capitale;
• il rimborso di un prestito (debito);
• i contratti di leasing.
Costituzione di un capitale
Il problema della costituzione di un capitale riguarda il caso in cui, pensando di voler disporre di un certo
capitale ad una certa data futura, si pensa di accantonare periodicamente delle somme di denaro che,
assieme agli interessi che matureranno, permetteranno di raggiungere l’obiettivo prefissato.
Due sono i casi limite per affrontare questo problema:
• mediante il versamento di un unico capitale, il cui montante sarà proprio il capitale che vogliamo
costituire;
• mediante il versamento periodico di somme di denaro (rate di una rendita) i cui montanti, sommati,
daranno il capitale che si vuole costituire.
Nota. Un problema relativo alla costituzione di capitale riguarda sempre un problema di capitalizzazione
(calcolo del montante).
Esercizi
1. Che capitale devo versare oggi, al tasso del 4,5% annuo, per poter disporre di € 25.000 tra 5 anni 4
mesi e 10 giorni?
[19.745]
2. Verso 15 rate semestrali ciascuna di € 1.300, al tasso annuo del 4%. Di quale capitale potrò disporre
dopo 1 anno e 6 mesi dall’ultimo versamento?
[23.809,31]
3. Si vuole disporre di un capitale di € 30.000 fra 2 anni, da costituire mediante versamenti mensili
posticipati. Supponendo un tasso di interesse del 3,5% annuo, determina l’importo dei versamenti
necessari.
[1.209,24]
4. Ho versato 20 rate annue ciascuna di € 850, al tasso annuo del 5%. Determinare dopo quanto
tempo dall’ultimo versamento potrò disporre di un capitale di € 35.000.
[4a+5m+26g]
Rimborso di un prestito (o mutuo)
Ricevuta una somma di denaro in prestito questa può essere restituita dopo un certo tempo e avremo:
• prestiti a breve scadenza (l’estinzione del debito avviene entro l’anno);
• prestiti a media scadenza (l’estinzione del debito avviene in genere entro 5 anni);
• prestiti a lunga scadenza (l’estinzione del debito avviene in genere dopo 5 anni).
La restituzione del debito può avvenire, semplificando, in tre modi:
23
Appunti matematica finanziaria
•
•
•
mediante un rimborso globale: alla scadenza si rimborsa il debito e i relativi interessi maturati
(montante);
mediante il rimborso, alla scadenza, del capitale ricevuto in prestito e del pagamento periodico
degli interessi maturati;
mediante ammortamento: rimborso graduale del debito e pagamento periodico degli interessi.
Nota. Esistono vari tipi di ammortamento: americano, francese,italiano.
Definizione. Se un prestito viene rimborsato mediante il pagamento di rate costanti l’ammortamento si
dice francese, o progressivo, o a rata costante.
Esempio 1. Chiedo un prestito di € 10.000, al tasso annuo composto del 4%, che dovrò restituire fra 5 anni
mediante rimborso globale.
Soluzione. Dopo 5 anni restituirò il montante composto di € 10.000, calcolato al tasso annuo del 4%. La
somma da restituire sarà: M=____________________________________________________________.
Esempio 2. Il prestito di € 10.000, al tasso annuo composto del 4%, lo restituirò dopo 5 anni, e gli interessi
maturati li pagherò alla fine di ogni anno.
Soluzione. Alla fine del primo anno pagherò gli interessi maturati sulla somma prestata (semplici o composti
coincidono) I=C*i*t=_____________________________________________.
Alla fine del secondo anno pagherò ancora la stessa somma (non avendo restituito ancora un centesimo
della somma prestata) e così via per il terzo e per il quarto anno. Alla fine del quinto anno restituirò il
capitale avuto in prestito (€ 10.000) + gli interessi maturati l’ultimo anno (uguali a quelli degli altri anni).
Esempio 3. Il prestito di € 10.000, al tasso annuo composto, viene rimborsato mediante 5 versamenti annui
costanti posticipati.
Soluzione. In questo caso alla fine di ogni anno si pagherà una rata R. Il valore attuale (posticipato) di
1 − 1,04 −5
questa rendita coinciderà col valore del prestito. Cioè: 10.000 = R ⋅
; R= __________________.
0,04
Esercizi
1. Ricevo in prestito € 5.000 che mi impegno a rimborsare fra 4 anni, unitamente agli interessi
calcolati al tasso composto del 4,5% annuo. Calcola la somma che dovrò restituire alla scadenza per
estinguere il debito.
[5.962,59]
2. Ricevo in prestito € 4.000 che mi impegno a rimborsare fra 3 anni, unitamente agli interessi
calcolati al tasso composto del 2% trimestrale. Calcola la somma che dovrò restituire alla scadenza
per estinguere il debito.
[5.072,97]
3. Ricevo in prestito € 4.000 che mi impegno a rimborsare fra 3 anni. La somma che dovrò restituire
alla scadenza per estinguere il debito ammonta a € 4.434.87, determina il tasso di interesse annuo
applicato.
[3,5%]
24
Appunti matematica finanziaria
Piano di ammortamento
Definizione. Il piano di ammortamento è una tabella (vedi sotto) che permette di controllare le voci che
descrivono l’andamento di un ammortamento.
Esempio di piano di ammortamento a rata costante.
Esercizi.
1. Un prestito di € 300.000 viene rimborsato mediante ammortamento francese in 10 anni, al tasso di
interesse annuo del 6%. Compila il piano di ammortamento relativo ai primi 4 anni.
2. Compila il piano di ammortamento, fino al terzo anno, relativo ad un prestito di L. 18.000.000,
ammortizzabile con il metodo progressivo, in 8 anni al tasso dell’8,5% annuo.
25
Appunti matematica finanziaria
Leasing finanziario
Definizione. Un leasing finanziario è un contratto di locazione (affitto) attraverso il quale una società
locatrice affitta un bene strumentale ad un’impresa locataria con l’opzione, alla scadenza del contratto, di
acquisto del bene mediante il pagamento di una certa somma.
Un contratto di leasing prevede, in genere:
• il pagamento di una certa somma alla stipula del contratto (maxi canone);
• il pagamento di rate posticipate (canoni) per tutta la durata del contratto;
• il pagamento di una certa somma (riscatto) alla scadenza qualora l’impresa locataria decidesse di
acquistare il bene.
Esempio. Una azienda stipula un contratto di leasing relativo ad una autovettura del valore di € 65.000.
Tale contratto, della durata di 3 anni, prevede il pagamento di un maxi canone iniziale di € 20.000 e il
pagamento di canoni mensili posticipati per tutta la durata del contratto. È prevista, inoltre, la possibilità di
riscatto col pagamento di una somma di € 25.000. Determina l’importo dei canoni di locazione mensili.
Soluzione. La somma dei valori attuali di tutti i pagamenti deve coincidere col valore del bene strumentale.
In altre parole:
valore bene = maxi canone + valore attuale (rendita costituita dai canoni) + valore attuale (riscatto).
I canoni sono mensili quindi è necessario trasformare _______________________________________
___________________________________________________________________________________
Completa: 65.000 = 20.000 +
Ricavi quindi il valore R di ciascun canone: R=
Esercizi.
1. Una ditta ha stipulato un contratto di leasing per 40 mesi per un impianto del valore di € 29.000. Il
contratto prevede:
• il pagamento, alla stipulazione del contratto, di € 5.000;
• il pagamento di 40 canoni mensili posticipati di cui i primi 20 di importo doppio rispetto ai
successivi;
• valore di riscatto, al termine della locazione, di € 2.800.
Determina i canoni, sapendo che l'operazione è stata compiuta al tasso dell'8% annuo effettivo.
[798,60 e 399,30]
2. Un’impresa vuole rinnovare i suoi impianti e a questo scopo stipula un contratto di leasing di € 160.000, della
durata di 5 anni, che prevede:
• il pagamento di € 25.000 alla stipulazione del contratto;
• il pagamento di 15 canoni quadrimestrali;
• la possibilità di riscatto alla scadenza con il pagamento del 6% del costo degli impianti.
Calcola l’importo dei canoni sapendo che il tasso applicato è dell’ 8% annuo effettivo.
[10.452,25]
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