Esercitazione: 14 dicembre 2009
SOLUZIONI
5+at
b+2t :
Esercizio 1 Data la funzione f (t) =
a) Stabilire per quali valori dei parametri a, b la funzione f (t) è un fattore di montante;
b) posto a = 3, b = 5, calcolare il tasso di interesse, la forza di interesse e dire se la
legge di capitalizzazione associata è scindibile.
Soluzione. a) f (t) è un fattore di montante se verifica le seguenti proprietà:
(1) f (0) = 1;
(2) f (t) é una funzione definita ∀t ≥ 0;
(3) f (t) è non decrescente ∀t ≥ 0.
Consideriamo f (t) =
(1) f (0) =
5
b
5+at
b+2t :
= 1 ⇒ b = 5;
(2) per b = 5 f (t) é definita ∀t ≥ 0 (denominatore 6= 0);
(3) sostituiamo b = 5, calcoliamo la derivata prima f ′ (t) e vediamo per quali valori del
parametro a risulta f ′ (t) ≥ 0.
f ′ (t) =
5a−10
(5+2t)2
≥ 0 per 5a − 10 ≥ 0, quindi per a ≥ 2.
La legge f (t) =
b) f (t) =
5+3t
5+2t
5+at
b+2t
è un fattore di montante per a ≥ 2 e b = 5.
è il fattore di montante da considerare.
Tasso di interesse. i = f (1) − f (0) =
Forza di interesse. δ(t) =
f ′ (t)
f (t)
=
5+3
5+2
−1=
8
7
−1=
1
7
= 0.1428 = 14.28%
5
(5+2t)(5+3t)
La forza di interesse dipende dal tempo, quindi non è costante. La legge di capitalizzazione associata non è scindibile.
Esercizio 2 Considerare il regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare.
Determinare il montante M che si ottiene investendo un capitale C = 1256 euro per 19
mesi, al tasso effettivo quadrimestrale i3 = 1.2%.
Soluzione. Rappresentiamo graficamente la struttura dell’operazione:
Usiamo il tasso effettivo quadrimestrale i3 .
Esprimiamo in quadrimestri la durata dell’operazione.
19 mesi → 4 quadrimestri + 43 quadrimestre.
M = 1256(1 + i3
)4
3
= 1.256(1 + 0.012)4 1 + 0.012 · 34 = 1329.24
1 + i3
4
| {z }
conv.lineare
Esercizio 3 Considerare il regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare.
Determinare l’importo C che investito per 15 mesi al tasso effettivo bimestrale i6 = 1%,
fornisce un montante pari a M = 3200.
Soluzione. Rappresentiamo graficamente la struttura dell’operazione:
Consideriamo il tasso effettivo bimestrale i6 .
Esprimiamo in bimestri la durata dell’operazione.
15 mesi → 7 bimestri + 21 bimestre.
3200 = C(1 + i6
)7
1
1 + i6
2
| {z }
conv.lineare
3200 = C(1 +
0.01)7
1
1 + 0.01 ·
2
{z
}
|
conv.lineare
C=
3200
(1+0.01)7 (1+0.01· 12 )
= 2969.85
Esercizio 4 Un capitale C viene impiegato in capitalizzazione semplice per 2 mesi al tasso
annuo del 5%. La somma complessiva viene impiegata per 13 mesi al tasso annuo i = 6%
(capitalizzazione composta convenzione lineare).
a) determinare C sapendo che il montante finale ottenuto è pari a 4200 euro;
b) successivamente si decide di investire i 4200 euro al tasso annuo i = 4%. Dopo
quanto tempo si ottiene un montante pari a 5000 euro? (capitalizzazione composta
convenzione esponenziale.)
Soluzione. La struttura dell’operazione è la seguente:
La prima operazione da considerare è quella in capitalizzazione semplice. Il montante
2
.
che si genera alla fine dei 2 mesi è pari a M2 = C 1 + 0.05 · 12
Successivamente il montante M2 viene impiegato per 13 mesi in capit. comp. conv.
lineare. Alla fine dei 13 mesi, siamo all’epoca t = 15 mesi. Abbiamo un tasso effettivo
annuo e un periodo di 13 mesi. Esprimiamo la durata temporale dell’operazione in anni:
1
13 mesi → 1 anno + 12
anno.
1
Il montante risulta: M15 = M2 (1 + 0.06) 1 + 0.06 ·
12
|
{z
}
conv.lineare
a) Sostituiamo l’espressione di M2 , sostituiamo M15 = 4200 e ricaviamo il capitale C.
2
4200 = C 1 + 0.05 ·
(1 + 0.06) 1 + 0.06 ·
12
|
{z
}
M2
1
12
Otteniamo:
C=
4200
1
2
)(1+0.06)(1+0.06· 12
)
(1+0.05· 12
= 3909.97
b) In questo caso dobbiamo ricavare la durata t dell’operazione finanziaria; utilizziamo
il tasso effettivo annuo i = 4%.
Deve risultare che: 4200(1 + 0.04)t = 5000.
log( 5000 )
t = log 4200
1.04 = 4.445441520 (anni)
0.445441520 · 12 = 5.34529824 (mesi)
0.34529824 · 30 = 10.35 (giorni).
Per determinare la durata t abbiamo utilizzato un tasso effettivo annuo, quindi t
corrisponde a 4 anni, 5 mesi, 10 giorni.
Esercizio 5 Tre anni e mezzo fa ho impiegato un capitale di 1300 euro in regime di
capitalizzazione semplice, al tasso annuo effettivo dell’1%. Al montante cosı̀ ottenuto,
oggi si aggiunge la somma X e l’importo totale ottenuto viene impiegato in regime di
capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, al tasso trimestrale i4 = 0.8%
per 20 mesi. Determinare X sapendo che il montante finale è pari a 3450 euro.
Soluzione.
Indichiamo con M0 il montante generato al tempo 0 dai 1300 euro investiti 3 anni e
mezzo fa.
M0 = 1300(1 + 0.01 · 3.5) = 1345.50
A questo aggiungiamo oggi (tempo 0) la somma X e impieghiamo la quantità (M0 +X)
per 20 mesi al tasso i4 = 0.8%.
L’arco temporale da considerare è di 20 mesi. Il tasso effettivo che abbiamo è trimestrale.
Dobbiamo considerare capit. comp. conv. esponenziale.
Il montante finale M20 ha la seguente espressione:
20
M20 = (M0 + X)(1 + i4 ) 3 , da cui:
20
3450 = (M0 + X)(1 + 0.008) 3
e quindi ricavando la somma X, abbiamo
X=
3450
(1+0.008)
20
3
− M0 =
3450
(1+0.008)
20
3
− 1345.50 = 1926.01
Esercizio 6 In regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, dopo
aver calcolato il tasso trimestrale equivalente al tasso effettivo annuo del 9%, si utilizzi
tale tasso trimestrale:
a) per calcolare la durata dell’investimento tale che il montante di un capitale di 600
euro sia pari a 900 euro;
b) per calcolare l’importo X che investito insieme ai 900 euro per 15 mesi fa ottenere
un montante pari a 1600 euro.
1
Soluzione. Tasso effettivo trimestrale: i4 = (1 + 0.09) 4 − 1 = 0.02178.
a) Dobbiamo determinare la durata t, sapendo che deve risultare: 600(1 + i4 )t = 900
con i4 = 0.02178.
900
600(1 + 0.02178)t = 900 ⇒ (1 + 0.02178)t = log ( 600
)
⇒t=
900
)
log ( 600
log (1+0.02178)
= 18.81840069 (trimestri)
0.81840069 · 3 = 2.45520207 (mesi)
0.45520207 · 30 = 14 (giorni - arrotondato per eccesso)
La durata necessaria è: 18 trimestri, 2 mesi e 14 giorni; questo corrisponde a 4 anni,
8 mesi e 14 giorni (18 trimestri = 4 anni + 6 mesi).
b) In questo caso abbiamo:
Il testo richiede di usare sempre il tasso i4 = 0.02178. Quindi dobbiamo esprimere
in trimestri la durata dell’operazione: 15 mesi → 5 trimestri. La somma X da
determinare deve verificare la seguente equazione:
(900 + X)(1 + i4 )5 = 1600
Da cui: X =
1600
(1+0.02178)5
− 900 = 536.59
Esercizio 7 Una rendita è costituita da 3 rate. La prima di 1000 euro, la seconda di 1400
euro, la terza di un importo pari a X euro che dobbiamo determinare. La prima rata
scade tra 2 anni, la seconda tra 5 anni e la terza tra 6 anni.
a) Quale deve essere l’importo della terza rata affinchè il valore della rendita al tempo 4
sia 4000 euro? Considerare il regime di capitalizzazione composta e un tasso annuo
nominale j2 = 4%.
b) Quanto vale questa rendita al tempo 0?
Soluzione. Determiniamo il tasso effettivo semestrale i2 =
j2
2
=
4%
2
= 2%.
a) La struttura della rendita è:
Dobbiamo riportare tutti gli importi di denaro all’epoca 4 e ricordarci che il periodo
di riferimento da considerare deve essere espresso in numero di semestri, dato che
stiamo lavorando con i2 :
V4 = 1000(1 + i2 )4 +
1000(1 + 0.02)4 +
1400
(1+i2 )2
1400
(1+0.02)2
+
+
X
,
(1+i2 )4
X
(1+0.02)4
h
X = 4000 − 1000(1 + 0.02)4 −
a questo punto imponiamo che V4 = 4000.
= 4000, quindi:
1400
(1+0.02)2
i
(1 + 0.02)4 = 1701.51
b) Per determinare il valore dell’operazione al tempo 0, possiamo fare:
V0 =
1000
(1+0.02)4
+
1400
(1.02)10
+
1701.51
(1.02)12
= 3413.96
NB: dato che sappiamo già quanto vale la rendita al tempo 4, possiamo attualizzare
all’epoca t = 0 direttamente V4 = 4000, otteniamo:
V0 =
V4
(1+i2 )8
=
4000
(1+0.02)8
= 3413.96