MATEMATICA FINANZIARIA
Docente: prof. Filippo Petroni
[email protected]
Problemi base della matematica
finanziaria
• Fattore tempo: una somma a disposizione oggi è diversa
dalla stessa somma a disposizione tra 1 anno
• Avere a disposizione una somma oggi può essere fonte di
ricchezza
• I parte del corso: somme certe disponibili in tempi diversi
• Confrontare tra loro somme diversi disponibili in tempi
diversi
• II parte del corso: considereremo l’incertezza
Interesse e Montante
• Operazioni d’investimento
– Si rinuncia all’istante t0 ad avere a disposizione la
somma C (capitale) per recuperare in un tempo t1 una
somma M (montante) in generale diversa da C
– La differenza tra montante prodotto M e capitale
impiegato C prende il nome di interesse I
→I=M–C
(1)
In generale I può essere positivo, negativo o nullo
Interesse e Montante
• Dalla equazione (1) segue banalmente
M=C+I (2)
• Il rapporto tra interesse generato I e capitale
impiegato C è detto tasso di interesse o anche
tasso di rendimento
I
i
C
I  Ci
• L’interesse I è proporzionale al capitale impiegato
C
Interesse e Montante
• Il rapporto tra montante M e capitale C prende il
nome di fattore di capitalizzazione r
M
r
C
M  Cr
• Il prodotto tra capitale C e fattore di capitalizzazione r
relativo ad una operazione che duri tra t0 e t1 prende
il nome di “capitalizzazione di C” tra t0 e t1
M  C  I  C  Ci  C (1  i)
r  1 i
Interesse e Montante
• Preso C>0
i  0  I  0  M  C  r 1
i  0  I  0  M  C  r 1
1  i  0  C  I  0  0  M  C  0  r  1
i  1  I  C  M  0  r  0
• N.B. il tasso di interesse i viene espresso in
percentuale, ad esempio 5.25% = 0.0525
SCONTO E VALORE ATTUALE
• Operazione di sconto – anticipazione – attualizzazione 
problema inverso: valore attuale (in t0) di una somma
disponibile al tempo t1
• Sconto D è la differenza tra capitale a scadenza t1 K e la
somma P disponibile in t0
D=K–P
P = valore attuale (o anticipato o scontato) del capitale K
P=K–D
• Indichiamo con d (tasso di sconto) il rapporto tra sconto e
capitale a scadenza
D
d
K
D  Kd
SCONTO E VALORE ATTUALE
• Il rapporto tra valore attuale P e capitale a
scadenza K è detto “fattore di anticipazione” (o
attualizzazione o sconto)
P
   P  K
K
• Il prodotto tra capitale K e fattore di anticipazione
ν corrisponde ad una operazione di sconto tra i
tempi t1 e t0
•
P = K – Kd = K(1-d) => ν = 1 – d
SCONTO E VALORE ATTUALE
• Preso K>0
0  d  1  0  D  K  0  P  K  0   1
d  1  D  K  P  0   0
d  0  D  0  P  K   1
d  0  D  0  P  K   1
Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali
• Se attraverso un investimento si può trasformare tra t0 e t1
il capitale C nel montante M => avere C in t0 è la stessa cosa
che avere M in t1 => C è il valore attuale di M => C ed M
sono equivalenti
• Un credito di K euro esigibile tra un anno può essere
scambiato con P euro subito  K in t1 e P in t0 sono
equivalenti => K può essere considerato come il montante
di P
• Un’operazione finanziaria determina una relazione di
equivalenza tra due somme disponibili in epoche diverse
Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali
• Se M è il montante di C allora C è il valore
attuale di M
M
r
C
C

M
1

r
• ν fattore di anticipazione, r fattore di
capitalizzazione
Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali
• Se P è il valore attuale di K => K sarà il
montante di P
1
K
P
r
r


P
K
• I fattori r e ν e i tassi i e d determinati da una
medesima operazione si dicono mutuamente
corrispondenti, o associati
νr=1
Relazioni tra grandezze finanziarie fondamentali
i
r
d
ν
i=
i
r-1
d/(1-d)
(1-ν)/ν
r=
1+i
r
1/(1-d)
1/ν
d=
i/(1+i)
(r-1)/r
d
1-ν
ν=
1/(1+i)
1/r
1-d
ν
E’ importante notare la relazione tra tasso d’interesse i e tasso di
sconto d = i /(1+i)
Questa implica che il tasso di sconto è sempre minore del tasso
d’interesse (quando i diverso da zero e i>-1).
Interesse anticipato
• Operazione elementare di prestito:
Operatore “a” presta in t0 a “b” una somma C in
cambio della somma M al tempo t1. Visto da “a” si
tratta di un normale investimento.
“a” presta a “b” la somma M in t0 e “b” paga in t0
(anticipatamente) l’interesse I (=> riceve M-I=C)
La stessa operazione può essere vista come prestito di
C in t0 con pagamento di I in t1 e restituzione di C in t1
=> C + I = M
O anche come prestito di M in t0 con pagamento
anticipato di I e quindi M-I=C e restituzione quindi di M
in t1
Interesse anticipato
• Quello che cambia è la definizione di tasso
d’interesse, uno anticipato e uno posticipato
I
M tasso d’interesse anticipato
I
tasso d’interesse posticipato
C
Interesse anticipato
• Il tasso d’interesse posticipato è quello definito in
precedenza
I
i
C
I
M C
C
• Mentre:

 1
d
M
M
M
È il tasso di sconto se si interpreta C come valore
attuale di M
iC = r (dC) => l’interesse posticipato è lo sconto
capitalizzato
dC = ν (iC) => lo sconto è il valore attuale dell’interesse
M=rC
Operazione di capitalizzazione
C
M
t0
t1
C=νM
Operazione di attualizzazione
C
M
t0
t1
Leggi finanziarie ad una e due variabili
• In generale le grandezze considerato fino ad ora dipenderanno dalla
durata t dell’operazione finanziaria: I(t), M(t), D(t), P(t), i(t), d(t), r(t), v(t)
• Più in generale la dipendenza sarà funzione di due variabili: data di inizio x
e data di fine y dell’operazione finanziaria in esame: I(x,y), M(x,y), D(x,y),
P(x,y), i(x,y), d(x,y), r(x,y), v(x,y)
• Devono valere le seguenti condizioni:
– per una variabile i(0)=d(0)=0; r(0)=v(0)=1; I(0)=D(0)=0; M(0)=C; P(0)=K
– per due variabili i(x,x)=d(x,x)=0; r(x,x)=v(x,x)=1, I(x,x)=D(x,x)=0; M(x,x)=C;
P(x,x)=K
• Le relazioni tra le grandezze fondamentali continuano a valere e devono
essere verificate per ogni t o (x,y)
Leggi finanziarie ad una e due variabili
• La conoscenza di una qualunque delle 4 funzioni
i, r, v, d determina una legge finanziaria
• Attraverso una legge finanziaria restano
determinate le grandezze equivalenti
• Va notato che l’equivalenza tra grandezze
finanziarie non è assoluta ma dipende appunto
dalla particolare legge in uso: operatori diversi
possono utilizzare leggi diverse
Leggi finanziarie ad una e due variabili
• Le leggi ad una variabili possono essere
ricondotte a leggi a due variabile. In
particolare se poniamo t=y-x
• In casi particolari anche il viceversa è possibile
=> leggi a due variabili possono essere
ricondotte a leggi ad una variabile ponendo
y=x+t e se risulta r(x1,x1+t) = r(x2,x2+t)
Leggi finanziarie ad una e due variabili
• Se r(x,y) è un legge di capitalizzazione derivabile
rispetto ad x e y la condizione che permette di
scriverla come legge ad una variabile, posto t=y-x, è
la seguente:
r ( x, y ( x, t )) r r y r r
 
 
0
x
x y x x y
• Valgono anche le seguenti proprietà
r r dy r
r



t y dt y
x
 r  r
 r  r
 2 
 2
2
t
y
yx x
2
2
2
2