MATEMATICA FINANZIARIA
A-L
A.A. 2006-2007
OBIETTIVI
• Il corso si propone di fornire gli strumenti e le nozioni di base della
matematica finanziaria tradizionale per affrontare problemi di
valutazione e scelta in ambito economico, finanziario ed aziendale.
• Testi
- Stefani S., Torriero A., Zambruno G. (2003), Elementi di
matematica finanziaria e cenni di programmazione lineare, II
Edizione, Giappichelli Editore, Torino (STZ)
Materiale didattico integrativo:
Eserciziari:
- Angoli A., Colli Frantone Bonzanini A., De Dionigi L., Matematica
finanziaria: Esercizi svolti, Giappichelli, Torino 2000.
-Bolamperti G., Ceccarossi G., Elementi di Matematica Finanziaria e
cenni di programmazione lineare, Esercizi, Giappichelli Editore,
Torino.
PROGRAMMA
Struttura del corso
Argomenti
Concetti chiave
Operazioni finanziarie
Grandezze fondamentali,
capitalizzazione e
attualizzazione, regimi a
interesse semplice,
anticipato, composto.
Equivalenza tra tassi.
Forza di interesse.
Scindibilità.
Valutazione di importi monetari.
STZ, cap.1
STZ, par. 4.5.1
12
26
Rendite e costituzione
di un capitale
Generalità sulle rendite,
montante e valore
attuale dei vari tipi di
rendita. Indici temporali.
Esempi di rendite e di problemi
di costituzione di un
capitale.
STZ, cap.2 (par.
1,2,3,4,5,6)
, cap.3
(par.1,2)
8
16
Problemi di
valutazione
Criteri di scelta: il pay-back, il
risultato economico
attualizzato (REA), il
tasso interno di
rendimento (TIR).
Applicazioni dei criteri di scelta a
investimenti reali e
finanziari.
STZ, cap.4
4
10
Titoli obbligazionari
Struttura per scadenza dei
tassi di interesse, pricing
di obbligazioni.
Zero-coupon bond.
Tassi spot e forward
STZ , cap.5
(par.1,2)
2
4
Ammortamenti
Generalità sugli
ammortamenti,
Ammortamento italiano,
francese, americano.
Nuda proprietà e
usufrutto.
Applicazioni del concetto di
ammortamento. Il leasing
STZ, cap.3
(par.3,4,5,6,7,8)
6
12
Studi di casi e applicazioni
(alcuni esempi)
Testi
Ore di
didat
tica
Ore di
s
t
u
d
i
o
ORARIO
• LEZIONI:
• Mart
Merc
Ven
10:15-11:50
14:00-15:35
10:15-11:50
• RICEVIMENTO: ufficio 71
martedì 15,30-17:30
GENERALITA’ LEGGI
FINANZIARIE
• Operazione finanziaria
• semplice
• Complessa
• Capitalizzazione e attualizzazione
– Legge finanziaria di capitalizzazione e attualizzazione
– Fattore di montante e di sconto
• Grandezze fondamentali
Interesse, sconto, tasso di interesse, tasso di sconto, intensità e
intensità istantanea di interesse e sconto
OPERAZIONE FINANZIARIA
• Qualsiasi operazione che dia origine allo scambio tra
somme di denaro riferite ad epoche diverse.
Esempi di operazioni finanziarie :
° Acquisto di BOT e successiva vendita alla scadenza
° Accensione di mutui
° Acquisti a pagamento rateale
t=0
C0
t=T
CT
C0 e CT sono equivalenti finanziariamente, ovvero l’operazione è equa.
Operazione finanziaria
SEMPLICE
Scambio tra due importi a due epoche diverse.
Esempio: rimborso di un prestito in un'unica scadenza
t=0
t=T
C0
CT
COMPLESSA
Scambio tra più importi a scadenze diverse.
Esempio: rimborso graduale di un prestito (BTP)
t=0
C0
t=1
C1
t=T
CT
Capitalizzazione e
Attualizzazione
• La capitalizzazione, cioè il differimento di
una disponibilità, consente di determinare
il valore futuro di un capitale,
• l'attualizzazione o anticipazione,
consente di stabilire oggi il valore attuale
di un capitale con scadenza futura, cioè di
anticiparne la disponibilità.
ESEMPIO CAPITALIZZAZIONE
0
T
|-------------------------------------------------------|----
C0 =15000,00 Euro
CT= M = ?
• 0 = 1/1/2006, T= 30/6/2006
• C0 = Capitale iniziale
• M = CT = Capitale finale = Montante
All'epoca iniziale 1° gennaio 2006, si impiega un capitale di
15 000 euro per il periodo di tempo che termina in T
(epoca di disinvestimento), quando si renderà disponibile
il montante M.
ESEMPIO ATTUALIZZAZIONE
0
T
|-------------------------------------------------------|----
C0= V= ?
CT=15000
• 0 = 1/1/2006, T = 30/6/2006
• C0 = V= Valore attuale
• CT = Capitale finale
Trovare il valore attuale di una cambiale di Euro
15000 in scadenza tra 6 mesi
LEGGE FINANZIARIA DI
CAPITALIZZAZIONE
Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una
qualsiasi funzione
M = F(C, t)
che esprima il montante M, noti il capitale C e l’epoca finale
t, e che soddisfi i seguenti postulati:
1) F(C, t)
definita per C  0, t  0
E' possibile calcolare il montante M per qualsiasi
ammontare di capitale non negativo e per qualsiasi
durata di impiego
2) F (0, t) = 0
Il montante di un capitale nullo è nullo.
LEGGE FINANZIARIA DI
CAPITALIZZAZIONE
3) F(C, 0) = C
Se la durata di impiego è nulla, il montante coincide con il capitale. Il
contemporaneo investimento - disinvestimento non produce alcun
vantaggio finanziario
4) 0 < C1  C2 ==> F(C1, t)  F(C2, t)
A parità di durata d'impiego, a capitale maggiore corrisponde
montante maggiore
5) t1  t2 => F(C, t1)  F(C, t2)
A parità di capitale investito, il montante ad un'epoca successiva
risulta non inferiore al montante di un'epoca precedente. Il capitale
impiegato non perde valore nel tempo
6) F(C,t) = C F(1, t)
A parità di durata d'impiego, il montante è proporzionale al capitale
impiegato.
FATTORE DI MONTANTE
• Definiamo fattore di montante la funzione
f(t) = F(1, t)
• Il fattore di montante è qualsiasi funzione f(t):
- definita per t [0, T]
- non decrescente (se derivabile, f'(t)0)
- tale che f(0) = 1
Ct = C0 f(t)
Il fattore di montante esprime anche il montante al tempo
t di un capitale C unitario.
Leggi e regimi di capitalizzazione
Ogni funzione f(t) che soddisfi le tre proprietà può
essere assunta come fattore di montante e
definisce una legge di capitalizzazione.
Si definisce regime di capitalizzazione una famiglia
di funzioni fattore di montante che dipendano da
uno o più parametri
• Esempio:
regime f(t) = 1+at
legge
f(t) = 1+0,1t
a>0, t [0, T]
Fattore di sconto
o di attualizzazione
• Il valore attuale V di un capitale C disponibile in
un'epoca futura è proporzionale al capitale e dipende
dalla durata dell'operazione di anticipazione. Sotto
questa ipotesi si può scrivere
V= C0 = Ct g(t)
• Dalla relazione di capitalizzazione
C0 f(t) = Ct
Ct
V  C0 
f (t )
g(t)f(t)=1
1
g (t ) 
f (t )
Le due leggi di attualizzazione e sconto si
dicono coniugate
Proprietà del fattore di sconto
• le proprietà del fattore di sconto si
deducono immediatamente dalle proprietà
di f(t).
• Pertanto il fattore di sconto è qualsiasi
funzione g(t):
• definita per t  [0, T)
• tale che g(0) = 1
• non crescente (se derivabile, g'(t)  0).
INTERESSE E SCONTO
INTERESSE
Chi rinuncia oggi ad una disponibilità finanziaria, differendola nel
tempo, richiede che gli venga corrisposto un adeguato compenso,
detto Interesse.
Interesse: I = Ct  C0
SCONTO
Chi richiede oggi la disponibilità di una somma che gli sarebbe dovuta
ad una data futura, deve corrispondere un adeguato compenso, detto
Sconto.
Sconto: S = Ct  C0
TASSO D’INTERESSE
Indicando con i(t) il tasso di interesse sul capitale iniziale per la durata t
i (t ) 
Ct  C 0
C
I

 t  1  f (t )  1
C0
C0 C0
Se la durata è unitaria (t = 1)
i = i(1) = f(1) - 1
è il tasso unitario di interesse.
Da cui
f(1)=1+i
(qualunque sia la funzione fattore di montante)
PERIODICITÀ DEL TASSO
A seconda del periodo di riferimento si ha:
° Tasso mensile => unità di tempo: 1 mese
° Tasso trimestrale => unità di tempo: 3 mesi
° Tasso semestrale => unità di tempo: 6 mesi
° Tasso annuale => unità di tempo: 1 anno
° Tasso biennale => unità di tempo: 2 anni
° ...
• Il tasso di interesse può quindi essere riferito all'anno o
ad una sua frazione o ad un suo multiplo.
TASSO DI SCONTO
• Indichiamo con d(t) il tasso di sconto sul capitale finale per la
durata t
Ct  C 0 S
C0
1
d (t ) 

 1
 1
 1  g (t )
Ct
Ct
Ct
f (t )
Se la durata è unitaria (t = 1)
1
d (1)  1 
f (1)
è il tasso unitario di sconto.
Pertanto la relazione tra d unitario e i unitario è la seguente:
f (1)  1
d (1) 
f (1)  1  i
f (1)
i
d
1 i
d
i
.
1 d
Grandezze Fondamentali
t
t+Dt
|-------------------------------------------------------|----
Ct
C t+Dt
•
•
•
•
•
•
Interesse:
Sconto:
Fattore di montante:
Fattore di sconto:
Tasso di interesse:
Tasso di sconto:
C t+Dt-Ct
C t+Dt-Ct
C t+Dt / Ct
C t / Ct+Dt
(Ct+Dt-Ct)/Ct
(Ct+Dt-Ct)/Ct+Dt
Grandezze Fondamentali
t
t+Dt
|-------------------------------------------------------|----
Ct
C t+Dt
• Intensità di Interesse:
(Ct+Dt-Ct)/(DtCt)
• Intensità di Sconto:
(Ct+Dt-Ct)/(DtCt+Dt)
• Intensità istantanea di interesse:
Ct  Dt  Ct C0 f (t  Dt )  C0 f (t ) f ' (t )


 ln( f (t )) '
Dt 0
DtCt
DtC0 f (t )
f (t )
lim
• Intensità istantanea di sconto:
Ct  Dt  Ct C0 f (t  Dt )  C0 f (t ) f ' (t )
lim


 ln( f (t )) '
Dt 0 DtC
DtC0 f (t  Dt )
f (t )
t  Dt
Esercizio 1
• Si stabilisca se la seguente funzione
corrisponde ad una legge finanziaria di
attualizzazione:
2
f (t ) 
1  e t
f ( 0) 
2
2

1
0
1 e
2
 2e t
f ' (t ) 
0
t 2
(1  e )
t0
Non corrisponde ad una legge
finanziaria di attualizzazione, ma
di capitalizzazione
Esercizio 2
• Calcolare il tasso unitario di interesse:
2
1
f (1)  f (0) 1  e 1
1  e 1
i


 0,462
1
f (0)
1
1 e
• Calcolare l’intensità istantanea di interesse:
 e t
f ' (t ) (1  e t ) 2

2
f (t )
1  e t
Esercizi per casa
• Eserciziario Angoli, Colli Franzone Bolzanini, Dionigi
(ACD):
- Es. 2.1 punto a
- Es. 2.2 punto b, c
- Es. 2.7 punto a
• Eserciziario Bolamperti-Ceccarossi (B-C):
- Es. 4,
- Es.12 punto a
- Es. 13 punto a
- Es 14
- Es. 15 punti a,b,d