Regimi finanziari
• Regimi di capitalizzazione
– Regime dell’interesse semplice
– Regime dell’interesse composto
– Regime dell’interesse anticipato
• Regimi di attualizzazione
– Regime dello sconto semplice
– Regime dello sconto composto
– Regime dello sconto commerciale
REGIMI FINANZIARI
• I regimi finanziari più usati nella prassi si basano
su fattori di montante appartenenti a 3 diverse
famiglie:
f (t) = 1 + ht, (h > 0)
(funzione affine)
f (t) = eht, (h > 0)
(funzione esponenziale)
1
f (t ) 
,
1  ht
(funzione iperbolica)
(h  0)
Ciascuna di queste famiglie, per h prefissato, dà origine ad una
particolare legge finanziaria.
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE
A INTERESSE SEMPLICE
I = Ci t
M = C + I = C + Cit = C (1 + it)
• I è proporzionale a:
C = Capitale
t = tempo
i = tasso di interesse
• Secondo questa legge, l'interesse è proporzionale sia
al capitale che al tempo, secondo un fattore di
proporzionalità costituito dal tasso di interesse.
REGIME DI CAPITALIZZAZIONE
A INTERESSE SEMPLICE
M(t)
M
I(t)
C
t
Grafico di M = C (1+it) e I = Cit
FATTORE DI MONTANTE A
INTERESSE SEMPLICE
• M = C (1 + it),
• se C = 1 allora:
• M = f(t) = 1 + it
• Il parametro i è il
coefficiente angolare
della retta, e
finanziariamente
caratterizza la velocità
di accrescimento di 1
euro impiegato.
f(t)
1
t
ESEMPIO
C = 5 000 euro
i = 1.5 % trimestrale
t = 0 = 1/1/2006
t = 30/6/2006
0
Il montante al 30/6/2006 è .........
• M=C+I
• I = Cit = 5 000  0.015  2 = 150 euro
• M = 5 000 + 150 = 5 150 euro.
DURATA INTERA E DURATA
FRAZIONARIA
I = Cit
•
•
•
Durata Intera
La durata dell'impiego è uguale ad un numero intero di periodi.
Durata Frazionaria
La durata dell'impiego è uguale ad una frazione (propria) di periodo.
(ex: tasso bimestrale, durata un mese)
Durata frazionaria
Sia i il tasso di interesse annuo, allora
Mesi: se il capitale C viene impiegato per m mesi interi (m < 12), si ha:
m
I  Ci
12
DURATA INTERA E DURATA
FRAZIONARIA
Giorni: se il capitale C viene impiegato per g giorni ( g < 30)
g
I  Ci
365
365 è il numero di giorni dell'anno civile.
Nella pratica si utilizza anche l'anno commerciale fissato
convenzionalmente in 360 giorni.
• Considerando una durata t qualsiasi, cioè espressa in (n) anni (m)
mesi, (g) giorni, si ha:
• I = Cit
m
g
t  n 
12 365
M = C(1+it)
Esempio
• Calcolare il montante di un capitale di 1000 euro
impiegato per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso
annuale dl 3% in capitalizzazione semplice
t  1
6 18

 1,549
12 365
M = C(1+it) = 1000 (1+0,03*1,549) = 1046,47
Capitalizzazione a tassi variabili
nel tempo
• Nella pratica accade molto spesso che la
capitalizzazione venga regolata, anziché da un
unico tasso costante nel tempo, da una
sequenza di tassi di interesse diversi, ciascuno
applicabile a un determinato lasso temporale.
• Vediamo come si possa adeguare il regime di
capitalizzazione a interesse semplice a questa
circostanza, nel rispetto della formulazione
generale di tale regime.
Capitalizzazione a tassi variabili
nel tempo
• Sia i1 il tasso di interesse applicabile nel periodo da 0 a
t1, i2 quello da t1 a t2 e così via.
• Nel primo periodo gli interessi prodotti:
I1 =C i1 t1
• gli interessi prodotti nel secondo periodo:
I2 =C i2 (t2–t1)
• Pertanto il montante in t2, come somma di capitale e
interessi maturati sarà dato da
• M(t2)= C (1+ i1 t1+ i2 (t2–t1))
• gli interessi si rendono disponibili solo alla fine della
capitalizzazione, e quindi non producono altri interessi.
Esempio
• Un capitale di Euro 5 000,00 viene impiegato in
capitalizzazione a interessi semplici al tasso
trimestrale 1,5% per un trimestre, e
successivamente per tre trimestri al tasso
trimestrale 2%.
• Il montante raggiunto alla fine (dopo un anno)
risulta
M(4) = Euro 5 000 (1 + 10,015 + 30,02) = Euro
5 375
Regime a sconto semplice o
razionale
t=0
C0
C0 (1  it )  Ct
D  Ct  V 
•
•
•
•
t
Ct
Ct
V  C0 
1  it
Ct it
1  it
V = C0=Valore attuale = Somma scontata
Ct = Capitale disponibile in t
D = Sconto
i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione
Fattore di sconto razionale
1
g (t ) 
1  it
• g(t) è il valore attuale, in regime di sconto
razionale al tasso di interesse i, di un
capitale unitario che si renderà disponibile
al tempo t.
esempio
• In data 1/1/2006 sottoscrivo BoT per un valore
nominale di Euro 5.200 in scadenza il 30 Giugno
2006, al tasso di interesse 3% trimestrale. Quale
è il prezzo di sottoscrizione, calcolato in regime
di sconto semplice?
• I dati sono: Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale,
t = 2 trimestri.
5200
V
 4905,66
1  2  0,03
Regime di capitalizzazione a
interesse composto
• A differenza del regime di capitalizzazione a interesse
semplice, il quale prescrive che l’interesse sia sempre
direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo,
il regime di capitalizzazione a interesse composto si
caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il
capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in
modo che anche questi ultimi producano interessi nei
periodi seguenti.
• In altre parole, l’interesse che si forma in ogni istante è
ora proporzionale al montante accumulato a quel tempo.
Esempio
• Consideriamo la capitalizzazione raffigurata
schematicamente nel grafico
• tasso di interesse 1,5% trimestrale.
t0
t1
t2
|________________|_________________|____
t0 = 1/1/02
t1 = 31/3/02
t2 = 30/6/02
C = Euro 5 000
M=?
Al termine del primo periodo il montante vale
M(1) = C + Ci = C (1 + i)
e l’intero importo si considera investimento iniziale per il
secondo periodo, cosicché risulta
M(2)= M(1)+ iM(1) = M(1) (1 + i)
= C (1 + i) (1 + i) = C(1+ i)2
Esempio (continua)
• In generale, ripetendo il procedimento fino all'n-esimo
periodo:
M(n) = M(n–1) + iM(n–1) = M(n–1)(1 + i)
M(n) = C(1 + i)n
I(n) = M(n)  C = C (1 + i)n – C = C [(1 + i)n  1]
• Si noti dall’ultima espressione che l’interesse è qui
ancora direttamente proporzionale al capitale iniziale ma
non più direttamente proporzionale al tempo (la
relazione non è lineare).
Esempio 2
• t = sei mesi
• C = Euro 5 000,00
• tasso i = 1,5 % trimestrale
in regime di capitalizzazione a interesse
composto si ottiene un interesse di:
• I(2) = 5 000 [(1 + 0,015)2  1] = 151,12.
Capitalizzazione composta per
tempi non interi
Sia t la durata della capitalizzazione: indichiamo con n la
sua parte intera e con f la sua parte frazionaria (0  f <
1), in modo che risulti t=n+f.
• Convenzione lineare
Il montante al tempo t=n+f non intero si ottiene
aggiungendo al montante calcolato per gli n periodi
interi in regime a interesse composto, l'interesse in
regime semplice maturato su tale montante per la
frazione di periodo residua.
Si avrà quindi
M(t) = C (1+i)n + if [C (1+i)n] = C (1+i)n (1+if )
I(t) = C [(1+i)n(1+if) – 1]
Capitalizzazione composta per
tempi non interi
• Convenzione esponenziale
Il montante al tempo t=n+f non intero si calcola
mediante la formula
M(t) = C(1 + i)t
M(t) = C (1+i)n(1+i)f=C (1+i)t
I(t) = C [(1+i)t – 1]
Nei tempi non interi, è verificata la seguente
disuguaglianza:
C (1 + i)n (1 + if ) > C (1 + i)n (1 + i)f.
•
Perciò, a parità di tempo e di tasso, il montante
calcolato mediante la convenzione lineare è superiore al
montante in convenzione esponenziale per durate non
intere.
Capitalizzazione composta per
tempi non interi
Esempio
C = Euro 5 000;
i= 1,5 % trimestrale
Data iniziale:1/1/2006 ; Data finale: 31/5/2006 ;
t = 1 +2/3 di periodo
• Nella convenzione lineare:
M = C(1+i)n (1 + if )
M = Euro 5000 (1 + 0,015) (1 + 0,015 2/3 ) = Euro
5125,75
• Nella convenzione esponenziale:
M = C(1+i)n+f
M = Euro 5000 (1 + 0,015)5/3 = Euro 5125,62
Tabella
t=n+f
M=(1+i)n (1 + if)
M = C(1+i)n+f
2 mesi:
n=0, f=2/3
5050
5049,87
3 mesi:
n=1, f=0
5075
5075
5 mesi:
n=1, f=2/3
5125,75
5125,462
1 anno:
n=4, f=0
5306,81
5306,81
1 anno, 3 mesi: n=5, f=0
5386,42
5386,42
Montante e interesse nel regime
a interesse composto
Fattore di montante a interesse
composto
• Dalla relazione M(t) = C (1 + i)t, ponendo
C=1, si ottiene l’espressione del fattore di
montante del regime di capitalizzazione a
interesse composto
• f(t) = (1 + i)t
• parte di curva esponenziale di intercetta 1
Fattore di montante a interesse
composto
Confronto tra i montanti nei regimi a
interesse semplice e composto
• C = Euro 5000,
• i = 1,5 % trimestrale.
Per durate maggiori di
un periodo, il montante
in capitalizzazione
composta supera il
montante in
capitalizzazione
semplice.
L’opposto accade per
durate di
capitalizzazione
inferiori a un periodo.
Tempo
Capit. semplice
Capit. Composta
2 mesi
5050
5049,87
3 mesi
5075
5075
6 mesi
5150
5151,12
Capitalizzazione a tassi variabili
nel tempo
• Siano ancora i1 e i2 i tassi di interesse applicabili
rispettivamente tra i tempi 0 e t1 e fra t1 e t2.
• Al tempo t1 sarà costituito un montante pari a
M(t1)=C(1+i1)t1
• e poiché il regime a interesse composto prevede
che l’intero montante sia fruttifero di interessi,
alla fine della capitalizzazione sarà accumulato il
montante
M(t2)=C(1+i1)t1(1+i2)(t2-t1)
e così via se il tasso dovesse assumere altri
valori successivi.
Esempio
• Un capitale di Euro 5 000,00 viene
impiegato in capitalizzazione a interessi
composti al tasso trimestrale 1,5% per un
trimestre, e successivamente per tre
trimestri al tasso trimestrale 2%.
• Il montante raggiunto alla fine (dopo un
anno) risulta
M(4) = Euro 5 000 (1 + 0,015)(1+ 0,02)3
= Euro 5 385
Regime a interesse composto
con notazione esponenziale
• Ponendo 1 + i = e, cioè  =ln(1+i),
• la relazione M(t) = C(1 + i)t si scrive
t
M (t )  Ce
La quantità  =ln(1 + i) è detta intensità
istantanea di interesse o forza di interesse
Tassi equivalenti
• Due tassi d’interesse si dicono equivalenti se
producono, ad una data futura t e a parità di
capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero
gli stessi interessi
• la definizione può essere applicata sia per
trovare corrispondenze tra tassi in regimi
finanziari diversi,
• oppure, nell’ambito dello stesso regime, tra tassi
che si riferiscono a periodi di durata diversa.
Relazione tra tassi equivalenti in
regimi differenti
• due tassi unitari i e y relativi
rispettivamente al regime a interesse
semplice e a quello composto:
M(t) = C(1+it) = C(1+y)t
1
t
i  [(1  y )  1]
t
y  t 1  it   1
Relazione tra tassi equivalenti
nel regime a interesse semplice
Ipotizziamo che venga impiegato denaro per un
trimestre (3 mesi). Si potrà avere, nella frazione
di periodo e se i è il tasso di interesse annuale:
I = C i t = C i 3/12
…e nel periodo intero e se i è il tasso di
interesse trimestrale
I=Cit=Ci
…e in più periodi e se i è il tasso di interesse
mensile
I = C i t = C i 3.
Relazione tra tassi equivalenti
nel regime a interesse semplice
• Sia i il tasso annuo e ik il tasso espresso in ragione di 1/k
di anno
(per un tasso semestrale sarà k = 2).
• Osserviamo che una durata di capitalizzazione pari a t
anni corrisponderà a kt periodi
(ad es. 3 anni = 6 semestri).
M(t)= C(1+ i t) = C(1+ik tk)
i = k ik
Esempio:
Il tasso annuo 6% equivale al tasso trimestrale 1,5% (i4)
tasso mensile i12 = 0,5%, al tasso semestrale i2 = 3%
Relazione tra tassi equivalenti
nel regime a interesse composto
M(t) = C(1+i)t = C(1+ik)kt
1+i = (1+ik)k
i = (1+ik)k -1
ik  k 1  i   1
Es1: Il tasso annuo equivalente al tasso
trimestrale i4 = 1,5% è i = (1 + 0,015)4  1 =
0,06136 = 6,136%.
Es2: Il tasso semestrale equivalente al tasso
annuo i=2% è i2=0,995%
Relazione tra tassi equivalenti nel regime a
interesse composto
(1+ih)h = (1+ik)k
• Es: il tasso trimestrale equivalente al tasso
quadrimestrale i3=3% è i4=2,24%
(1+i3)3 = (1+i4)4
i4 
4
1  i3 
3
1
Tasso annuo nominale
convertibile k volte all'anno (jk)
• Talvolta si preferisce, per comodità, enunciare il
tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno,
così definito:
jk= k ik
dove ik è il tasso di periodo.
• jk è un tasso annuo fittizio, poiché è definito
come se fosse equivalente a ik nel regime a
interesse semplice. Non ha, quindi, alcun
significato finanziario e perciò nei calcoli occorre
sempre riferirsi a ik.
Esempio
• j4 = 6% (tasso annuo nominale convertibile
quattro volte l'anno) corrisponde a un
tasso trimestrale
• i4 =j4/4= 1,5%
• ma il tasso annuo equivalente, come
abbiamo visto, è 6,136%.
Il tasso annuo i, detto anche tasso effettivo,
è maggiore del tasso annuo nominale
convertibile jk, ossia i > jk .
TAN e TAEG
• In un’operazione di finanziamento il T.A.N. (Tasso
Annuo Nominale), espresso in percentuale e su base
annua, corrisponde al tasso interno di rendimento
dell’operazione finanziaria:
• considerando gli esborsi richiesti per la restituzione
(quote capitale) e remunerazione del capitale (quote
interesse)
• non considerando le spese né altri oneri accessori.
• Pertanto il TAN fornisce una valutazione “ottimistica” del
costo reale del finanziamento.
TAN e TAEG
• il TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) prende invece in
considerazione tutti gli oneri accessori (spese di istruttoria
o spese di apertura pratica, commissioni) che il debitore deve
corrispondere.
• Il TAEG è il tasso annuo che rende la somma dei valori attuali
di tutti gli importi erogati verso il cliente (al netto delle spese)
uguale alla somma dei valori attuali di tutte le rate di rimborso,
ossia corrisponde al reale T.I.R. dell’operazione finanziaria
complessiva.
• La normativa relativa consente di escludere (a determinate
condizioni) dal calcolo del TAEG alcune spese, quelle
assicurative e quelle di incasso della rata
Es:finanziamento a tasso zero
• TAN nullo
• TAEG positivo: il cliente deve corrispondere al
finanziatore, alle scadenze e secondo le
modalità concordate, il capitale iniziale e le
spese accessorie
• Pertanto l’apparente convenienza di tali
operazioni può venire spesso a cessare
esempio
Il 1° gennaio 2002 si contrae un prestito di 1000 Euro da rimborsare con una
sola rata di 1200 Euro da pagare il 1° luglio 2003.
Il creditore trattiene 50 Euro per le spese di istruttoria della pratica di credito.
Determinare il TAN e il TAEG del finanziamento (usare l’anno civile e il
regime di capitalizzazione composta).
Tenendo conto che dal 1/1/02 al 1/7/03 intercorrono 546 giorni, per la
determinazione del TAN si risolve la seguente equazione:
1000 
1200
1  i 
546 365
1  i 
546 365
 1,2
i = 0,1296204.
Perciò il Tasso annuo nominale (TAN) dell’operazione di prestito è,
arrotondato, i = 12,96%.
esempio
• Per trovare il taeg risolviamo:
950 
1  i 
1200
1  i 546 365
546 365
 1,263
i = 0,169026.
Perciò il Tasso annuo effettivo globale (TAEG)
dell’operazione di prestito è, arrotondato, i = 16,90%.
Tassi medi
• Sono una particolare tipologia di tassi equivalenti
• Nelle capitalizzazioni a tassi di interesse non costanti nel
tempo, vi è l’esigenza di sintetizzare con un unico
numero il risultato economico raggiunto.
• A questo scopo risponde il tasso medio, che è quel
tasso costante “equivalente” alla sequenza dei tassi
variabili nel senso che consente di ottenere lo stesso
montante.
• capitalizzazione a interesse semplice:
M(t2)= C (1+ i1 t1+ i2 (t2 t1))= C (1+it2)
t1
t 2  t1
i  i1  i2
t2
t2
media aritmetica dei tassi che
intervengono nella capitalizzazione,
ponderata con le durate di applicabilità
dei tassi stessi.
Tassi medi
• capitalizzazione a interesse composto:
M(t2)=C(1+i1)t1(1+i2)(t2–t1) = C(1+i)t2
media geometrica dei fattori di montante che intervengono nella
capitalizzazione
Regime a sconto composto
t=0
t
C0
C0 (1  i )  Ct
t
Ct
Ct
V  C0 
(1  i )t

1 
D = Ct – C0 = Ct 1 
t 
 1  i  
•
•
•
•
V = C0=Valore attuale = Somma scontata
Ct = Capitale disponibile in t
D = Sconto
i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione
esempio
• Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale,
t = 2 trimestri.
• quale è il prezzo oggi del BoT se la valutazione
avviene in regime di sconto composto?
• Applicando la formula ora vista si ottiene:
5200
V
 4901,50
2
(1  0.03)
Fattore di sconto composto.
Ct
V  C0 
(1  i)t
g (t ) 
1
(1  i )
t
e
 t
•  = ln(1+i).
• è il valore attuale, con sconto composto al
tasso d’interesse i, di un capitale unitario
che si renderà disponibile al tempo t.
Regime di capitalizzazione a
interesse anticipato
• Il regime finanziario di capitalizzazione a interesse anticipato
prevede che:
- l’interesse sia direttamente proporzionale al montante
- l’interesse venga corrisposto al creditore all’inizio
dell’operazione.
• l' interesse è chiamato più propriamente sconto.
• Esempio:
acquisto (all’emissione) di BOT semestrali per un valore nominale di
Euro 5000, al prezzo di Euro 95,40 per ogni Euro 100 di valore
nominale.
Euro 5000 è il montante finale.
L’importo realmente investito è il prezzo che viene pagato, cioè Euro
4770.
Lo sconto, Euro 230, è corrisposto, invece che alla fine, all’inizio di
questa operazione, sotto forma di riduzione del prezzo di acquisto.
Regime di capitalizzazione a
interesse anticipato
• Dalla definizione si ricava la formula per valutare lo
sconto D:
D(t) = M(t) d t
dove d è il tasso unitario di sconto.
• Inoltre, ricordando che in questo caso si ha
C0 = M(t) – D(t) = M(t)  M(t)dt
= M(t)(1  dt)
si ottiene l’espressione del montante:
1
M (t )  C
1  dt
Tasso unitario
di interesse e sconto
• Per quanto riguarda la determinazione del
tasso unitario di sconto d, vale anche in
questo caso la definizione
M (1)  C
d
M (1)
Ad esso è associato un tasso unitario di interesse pari a
M (1)  C
M (1)
d
i
d

C
C
1 d
Esempio
• Nell’esempio illustrato in precedenza, sull’acquisto di
BOT, il tasso di sconto risulta il 4,6% semestrale:
d = 230 / 5000 = 0,046
• Per calcolare il tasso unitario d’interesse corrispondente
si può applicare la nota relazione appena ricavata ,
d
i
1 d
da cui i=4,8%,
oppure esso può essere calcolato direttamente in base
al capitale effettivamente investito nell’operazione, che
è Euro 4770. Si ha quindi:
i = 230 / 4770 = 0,048
Fattore di montante e interesse
nel regime a interesse anticipato
1
f (t ) 
1  dt
1
M (t )  C
1  dt
dt
I (t )  C
1  dt
1
dt
i (t )  f (t )  1 
1 
1  dt
1  dt
Regime di attualizzazione a
interesse anticipato
t=0
t
C0
C0
 Ct
1  dt
Ct
V  C0  Ct (1  dt )
D = Ct – C0 = Ct dt
•
•
•
Lo sconto calcolato secondo il
regime dello sconto
commerciale è direttamente
proporzionale sia alla durata
che al capitale finale.
V = C0=Valore attuale = Somma scontata
Ct = Capitale disponibile in t
D = Sconto
Fattore di sconto commerciale
• Essendo V = C (1  dt), quando C = 1 si
ha:
• g (t) = 1  dt.
• g(t) è il valore attuale, con sconto
commerciale al tasso di sconto d, di un
capitale unitario che si renderà disponibile
al tempo t.
esempio
• Lo sconto di una cambiale avviene normalmente
in regime di attualizzazione a sconto
commerciale, e di solito si enuncia
esplicitamente il tasso di sconto, e non quello di
interesse corrispondente.
• Pertanto, volendo trovare il valore attuale di una
cambiale di Euro 5200 in scadenza tra 6 mesi,
valutato al tasso di sconto d = 3% trimestrale,
esso si calcola direttamente:
V = Euro 5200 (1  0,032) = Euro 4888.
Confronto tra i fattori di montante dei
diversi regimi
Confronto tra i fattori di
montante dei diversi regimi
• Le tre curve si intersecano in due soli punti di coordinate
rispettivamente (0, 1) e (1, 1 + i).
• Si noti che a parità di tasso d'interesse i, per 0 < t < 1, il
montante ad interesse semplice risulta maggiore del
montante a interesse composto, che a sua volta è
maggiore di quello ad interesse anticipato, mentre le
diseguaglianze si invertono per t > 1.
•
(Per quanto riguarda il regime di capitalizzazione a
interesse anticipato, il confronto viene fatto sulla base
del tasso di sconto d corrispondente al tasso di interesse
i utilizzato negli altri regimi.)
La forza d'interesse
• I regimi finanziari posso anche essere descritti
analizzando in che modo si manifesta
l’accrescimento del montante nel tempo, ovvero
il processo di formazione dell’interesse.
• Si consideri infatti l'interesse I(t, t + t) prodotto
dalla capitalizzazione nell'intervallo di tempo (t,
t + t), cioè:
I(t, t + t) = M(t + t) – M(t).
La forza d'interesse
M (t  t )M t  f ( t  t ) f t 
i(t, t  ) 

M (t )
f (t )
Definiamo intensità d'interesse il rapporto:
i (t, t  t )
t
=
f ( t  t ) f t  1

t
f (t )
Se f(t) è differenziabile, calcolando il limite per t  0
dell'intensità d'interesse, si ottiene:
i (t , t  t ) f ' (t )
lim

t
f (t )
t 0
f ' (t )
 (t ) 
f (t )
La forza d'interesse
• La forza d'interesse nei regimi
precedentemente considerati vale:
• semplice:
i
 (t ) 
1  it
• composto:
 (t )  ln(1  i)
• anticipato:
d
 (t ) 
1  dt
La forza d'interesse
• La forza d'interesse individua in modo univoco la legge di
capitalizzazione corrispondente.
f ' (t )
 (t ) 
f (t )
integrando ambo i membri sull’intervallo [0, t] segue:
t
t f ' (s)
  ( s )ds  
0
t
0 f (s)
ds
t
t
f (t )
 ln f (t )
  ( s )ds  ln f ( s )  ln
f ( 0)
0
0
  ( s ) ds
f (t )  e0
CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE COME LIMITE
DELLA CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA
• la forza di interesse  è interpretabile come
tasso nominale convertibile infinite volte.
jk 

1  i  1  
k 

k
n
j


n
lim 1    e j *
n
n  
j* = ln(1+i) = .
Scindibilità
• Consideriamo ora la possibilità di interrompere
anticipatamente l’operazione di investimento e
immediatamente riprenderla, e valutiamo gli
effetti finanziari di questa strategia,
confrontandone il montante finale con quello che
si potrebbe conseguire procedendo senza
interruzioni
• Le alternative sono schematizzabili ad esempio
nel modo seguente, considerando come al solito
il tasso trimestrale 1,5%:
Scindibilità
• investire Euro 5000 al tempo t0 = 1/1/2002 e incassare
M2 al tempo t = 30/6/2002.
Euro 5.000 ===================>M(2)
|________________________________|_
t0 =1/1/02
t = 30/6/02
interrompere l’operazione in t1 = 31/5/2002 e sempre
in t1 reimpiegare il montante allora disponibile fino
all’epoca t = 30/6/2002
Euro 5.000 =======> M’
===========> M’(2)
|____________________|____________________|_____
t0=1/1/02
t1 = 31/5/02
t = 30/6/02
Scindibilità
• Una legge si dice scindibile se il montante di un
capitale C, impiegato fino a t ad un tasso
assegnato i, non varia se l’impiego viene
interrotto in t1, con 0< t1< t e il montante
ottenuto in t1 viene immediatamente
reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo
rimanente t – t1.
• Matematicamente, una legge di capitalizzazione
è scindibile se il corrispondente fattore di
montante f(t) soddisfa la seguente relazione:
f(t) = f(t1) f(t – t1) con 0< t1< t
Legge di capitalizzazione
semplice: non scindibile
•
•
•
•
t = 6 mesi = 2 trimestri :
M(2) = 5000*(1+0,015*2)= Euro 5150
t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre :
M’ (5/3)= Euro 5125;
reimpiegando immediatamente questo
importo, il montante in t = 2 è
M’(2) = M’ [1+i(t–t1)] = Euro 5150,62.
non si ottiene lo stesso montante: infatti, in
caso di reimpiego si ottiene un montante
maggiore.
Legge di capitalizzazione a interesse
anticipato: non scindibile
C
M (t ) 
1  dt
i
d
 1.48 trimestrale
1 i
•
•
•
t = 6 mesi = 2 trimestri : M(2) = Euro 5.152,28.
t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre : M’(5/3) = Euro 5126,45;
reimpiegando immediatamente M’, il montante in t è
M’(2) = Euro 5151,87.
Legge di capitalizzazione
composta: scindibile
M = C (1+i)t
• t = 6 mesi = 2 trimestri :
M(2) = Euro 5151,12.
• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre :
M’ = C(1+i )t1 = Euro 5125,62;
• reimpiegandolo immediatamente, il
montante in t è
M’(2) = M’(1+i )1/3 = Euro 5151,12.
Esercizio 1
• Calcolare interesse e montante di un capitale di
100.000,00 Euro impiegato al tasso semestrale del 3%
per 2 anni e 5 mesi in regime di capitalizzazione
semplice e composta
CAP. SEMPLICE:
I=Cit=100000*0,03*(4+5/6)=14500
M=100000+14500=114500
CAP COMPOSTA:
Convenzione lineare:
M(t) = 100000 (1+0,03)4 (1+0,03(5/6))= 115364,65
I(t) = 115364,65-100000=15364,6
Convenzione esponenziale:
M(t) =100000 (1+0,03)4+(5/6) = 115357,70
I(t) =115357,70-100000=15357,70
Esercizio 2
• Calcolare il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale
del 3,20% e al tasso semestrale del 3,75% in
capitalizzazione semplice e composta
CAP. SEMPLICE:
i=0,032*4 = 12,80%
i=0,0375*2 = 7,5%
CAP COMPOSTA:
i=(1+0,032)4 -1= 13,42%
i=(1+0,0375)2 -1 = 7,64%
Esercizio 3
• Si determini il tasso annuo equivalente al
tasso nominale annuo convertibile
mensilmente del 5%
J12=0,05
I12=0,05/12=0,0041
(1+i)=(1+i12)12
i=(1+0,0041)12-1=0,0511
Esercizio 4
• Una cambiale del valore di 100000 Euro, che scade tra 3 mesi,
viene scontata al tasso di sconto del 4% annuo, calcolare lo sconto
e la somma scontata.
• Quale è il tasso di interesse corrispondente?
S=100000*0,04*3/12=1000
V=100000(1-0,04*3/12)=99000
i=d/(1-d)=0,04/(1-0,04)=0,0417
Esercizi per casa
• ACD: Capitolo 3
• BC: Cap. 1 es. 6 e 8