Le simmetrie nell’arte
Roberto Casalbuoni
Dipartimento di Fisica,
Sezione INFN,
Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI),
OpenLab
Firenze - [email protected]
Notte blu - Firenze - 9/05/2010
Le simmetrie nell'arte
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● Introduzione
● Simmetrie e trasformazioni
● Estensioni della simmetria (Escher)
● Conclusioni
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Simmetrie
Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati
diversi. Secondo Hermann Weyl (“La Simmetria” Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati:
1) Un modo piu’ antico in cui la parola simmetrico si
riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben
bilanciato, e simmetria indica una concordanza di
varie parti che si integrano in un unico oggetto.
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Esempio piu’ famoso:
L’uomo vitruviano
Tutte le parti del corpo
umano sono strettamente
correlate le une alle altre
tramite dei rapporti fissati
di proporzionalita’
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Le simmetrie
Vitruvio ~ 70-23
AC nell'arte
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L’idea di ben bilanciato porta al
secondo significato di
simmetria:
2) Identita’ tra destra e sinistra. Questa idea e’
strettamente geometrica e diversamente
dalla vaga nozione precedente si puo’ dare a
questa definizione un senso completamente
preciso e rigoroso. Questa simmetria
bilaterale appare come il primo caso di un
concetto geometrico che fa riferimento ad
operazioni come le riflessioni e le rotazioni.
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Statua Greca
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IV Secolo AC
Medio Impero, 12a Dinastia
(Al tempo di Sestorio III, 1887-1842 AC)
Gioiello di Sat-Hathor
(Cairo, Museo Egizio)
(quasi) bilaterale-simmetrico
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L
Di centrale importanza e’ stata la simmetria bilaterale
del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti
artisti.
I Sumeri apprezzavano particolarmente
la simmetria bilaterale o DestraSinistra, D/S
In seguito fu perfezionata nell’aquila
a doppia testa
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Emblema dell’Impero Bizantino. L’aquila a doppia
testa all’ingresso del Patriarcato Ecumenico di
Costantinopoli.
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Un quadrato e’ invariante rispetto a riflessioni sui 4
assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni.
In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni.
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Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2
riflessioni. Meno simmetrico del quadrato.
Simmetrico solo sotto una riflessione
ed una rotazione di 360 gradi.
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Teoria dei gruppi
Una teoria matematica che include le
trasformazioni, ma la sua origine e’ nella teoria
delle equazioni algebriche.
Évariste Galois (1811–1832) mori’a causa di ferite subite in un duello
originato da circostanze oscure all’eta’ di venti anni. Stette alzato tutta la
notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo
testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui
spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann Weyl, ha detto del suo
testamento, “ Questa lettera, per la profondita’ e originalita’ del suo
contenuto,
e’ forse tra gli Le scritti
fondamentali di tutta la 13 storia
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simmetrie nell'arte
dell’umanita’ ”
R.P. Feynman: Un oggetto e‘ detto simmetrico,
se gli possiamo fare qualcosa senza cambiarlo.
Le simmetrie corrispondono all’insieme di
trasformazioni che lasciano invariante una figura.
Piu’ simmetrie = piu’ proprieta’ di invarianza
Ma quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare?
Per semplicita’ considereremo trasformazioni sul piano
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Trasformazioni elementari
Riflessione
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b in d
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Caravaggio –
Narciso (1597-99)
Palazzo Barberini
Roma
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L’ultima cena – Salvador Dali (1904-1989)
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Rotazioni
b in q
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Invariante per rotazioni di
3600/3=1200
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Trinacria, la
bandiera della
Sicilia
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Rotazioni di 3600/20=180
Museo del Bardo a Tunisi
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Traslazioni
b in b (in una posizione diversa)
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Palazzo di Dario a Susa
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Glisso riflessioni
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Le trasformazioni
si possono
combinare
Due
riflessioni
=
rotazione
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UN RISULTATO MOLTO IMPORTANTE: Le
simmetrie planari indipendenti sono date dalle
precedenti trasformazioni:
●
●
●
●
Riflessioni
Rotazioni
Traslazioni
Glisso riflessioni
Le rotazioni e le traslazioni non cambiano l’orientazione
della figura, mentre le altre due lo fanno
Questi due triangoli hanno orientazioni
diverse. Non si possono sovrapporre usando
rotazioni e/o traslazioni.
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Figure simmetriche si possono ottenere
partendo da figure con nessuna
simmetria!
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Le simmetrie dei rosoni si ottengono con
rotazioni e riflessioni
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Riflessioni +
Rotazioni =
infinite trasf.
Rosoni
dell’Alhambra
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Simmetrie dei fregi
Riflessioni +Traslazioni in una dimensione
+ Glisso riflessioni in una dimensione
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Ci sono solo 7 simmetrie dei fregi
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Simmetrie di
pavimentazione o
tassellature del piano
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Rotazioni, riflessioni + traslazioni
+ glisso riflessioni in due
dimensioni
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L
E
Traslazioni
Riflessioni
2 Riflessioni
Glisso riflessioni Riflessioni + Glisso Rotazioni (1800)
Riflessioni +
Rotazioni (1800)
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Rotazioni (1800) +
Glisso
Rotazioni (1800) +
2 riflessioni
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P
O
S
S
I
B
I
L
I
T
A
S
S
E
L
L
A
T
U
R
E
38
L
E
Rotazioni (900)
Rotazioni( 1200)
Rotazioni (900) +
Riflessioni
Rotazioni (1200) +
Riflessioni
0)
Rotazioni
(60
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Rotazioni (900) +
Riflessioni
Rotazioni (1200) +
Riflessioni
0) + Riflessioni
Rotazioni (60
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R
I
M
A
N
E
N
T
I
T
A
S
S
S
E
L
L
A
T
U
R
E
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Esempi di simmetrie di
tessallatura
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Maurits Cornelis Escher (1898-1972) , incisore e grafico,
ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse
che si sviluppo’anche grazie alla sua visita all’Alhambra a
24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla
Teoria dei Gruppi. Non pote’ apprezzarne le parti piu’
matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie
planari delle tassellature. Inizio’ allora una serie di piu’ di
150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher
aggiunse una idea importante, l’uso del colore nel
contesto della simmetria!
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Se siete ciechi al colore e applicate una
trasformazione ad una data figura
cambiando contemporaneamente il colore,
non vi accorgerete che il risultato e’
diverso da quello della sola
trasformazione
Questa figura e’ ancora simmetrica ma
in senso piu’ ampio. In questo modo si
possono avere molte piu’ tassellature.
Riflessione + cambio colore
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L‘arte di M.C. Escher
Simmetrie:
• Traslazione
• Traslazione & Scambio di colore
• Traslazione & Riflessione
• Traslazione & Riflessione & Scambio di colore
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Ancora una estensione della
Simmetria (Escher)
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Dopo tutti suoi lavori sulle tassellature regolari Escher comincio’ a
chiedersi se fosse possibile rappresentare l’intero piano con le sue
tassellature su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza
aveva gia’ affrontato un simile problema
Sviluppo II (1939)
Sempre piu’ piccolo (1956)
Prendendo figure sempre piu’ piccole dall’esterno verso il centro,
Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno
arbitrario. Tutti questi disegni
avevano un solo punto limite.45
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Escher miglioro’ il risultato nel 1957 realizzando una
figura con una linea limite.
Un importante passo
concettuale: associare alla
trasformazione una
compressione (dilatazione)
Divisione del pianoVI (1957)
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1) Traslare il segmento
2) Dividere la lunghezza in 2
3) Contemporaneamente ridurre le
proprie dimensioni di 2
Il segmento piu’ piccolo vi appare della stessa grandezza
dell’originale. Siete diventato insensibile alla dimensione
degli oggetti. Questa e’ una importante estensione
matematica e porta al concetto di self-similarity ed alla
moderna teoria dei frattali (Mandelbrot 1975). Questa
idea risale a Leibniz (17mo secolo) che pero’pensava in
termini di rette. Il primo esempio non banale di una curva
self-similar si deve a von Koch (1904).
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Ad ogni scala l’aspetto della
curva non cambia
Il
fiocco
di neve
di
Koch
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Il punto limite di Escher si ottiene con
traslazioni piu’ compressioni.
Come trasformare una semi-retta (infinita) in un
segmento
L
L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2L
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Nel 1954 Escher incontro’ Coxeter (1907-2003) in un meeting
internazionale di matematica e gli espose i suoi problemi. Coxeter
era un famoso geometra. In seguito, nel 1957, Coxeter invio’ a
Escher una illustrazione del piano di Poincare’, un modo per
rappresentare una superficie infinita su una finita (un cerchio).
Escher ebbe qualche difficolta’ con
il testo di Coxeter, ma guardando la
tassellatura triangolare del cerchio
di Poincare’, riusci’ a capire le
regole del gioco.
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Il piano nel cerchio di Poincare’
Traslazioni
Traslazioni + compressioni
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Usando queste
regole, Escher
produsse quattro
casi di cerchi
limite.
Cerchio Limite I- 1958 Cerchio Limite II 1959
Ma Escher non era
ancora soddisfatto dato
che nella compressione
si produceva una
notevole deformazione
delle immagini
Cerchio Limite III - 1959 Cerchio Limite IV - 1960
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Quadrato limite -1964
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4 anni piu’ tardi Escher
trovo’ una soluzione.
Partendo dal centro del
quadrato e facendo
delle compressioni in
entrambe le direzioni.
In questo modo ottenne
delle figure self-similar
e poteva rappresentare
tutto il piano in un
quadrato.Adesso la
figura limite era un
quadrato!
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● Escher invio’ a Coxeter una bozza del suo
quadrato e gli scrisse : “Ho paura che l’argomento
non sia troppo interessante sul piano matematico,
non essendo altro che una tassellatura del piano.
D’altra parte per me e’ stato un vero rompicapo
trovare un modo per realizzarlo nella maniera piu’
semplice.”
● Alcuni anni dopo, Thurstone, un matematico di
Berkeley, al fine di illustrare l’idea di una
tassellatura self-similar uso’un esempio molto
simile al “Quadrato limite”, senza sapere niente di
Escher.
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Le strutture self-similar hanno una
“dimensione frattale” (generalizzazione della
normale dimensione) che non e’ intera. Per
esempio, la dimensione frattale della curva di
Koch e’ (Log[4]/Log[3]) ~ 1.262, intermedia
tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione
ad Escher questa e’ una vera curiosita’ dato
che lui ha sempre giocato con dimensioni
diverse. Le sue “figure impossibili” sono
state rese “possibili” disegnando oggetti 3dimensionali su un foglio e quindi su un
supporto a 2dimensioni!
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● Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze
(matematica, fisica, ecc.). E questo e’
particolarmente vero per le teorie moderne sulla
materia e le sue interazioni.
● Alcuni fisici pensano che questo derivi
dall’amore della natura per la bellezza e la
simmetria e’ bellezza.
● In questo senso simmetria ed arte hanno un
legame molto forte.
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