Oltre che per i brillanti risultati di analisi, sparsi nelle riviste europee, il nome
come nel caso della critica di Burali-Forti e Boggio alla relatività di Einstein.
di Peano risuona sulla scena internazionale anche per i preziosi contributi alla
Nell’opuscolo I Principii di geometria logicamente esposti Peano affronta il
Besides his brilliant results in analysis, published throughout Europe, Peano’s name was also known
internationally for his contributions in geometry, arithmetic, criticism of the foundations of mathematics and
mathematical logic. His 1888 essay Calcolo Geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann and the
geometria, all’aritmetica, alla critica dei fondamenti e alla logica matematica.
problema dei fondamenti della geometria di posizione e della geometria
1889 booklets Arithmetices principia nova methodo exposita and I principii di geometria logicamente esposti were
Il saggio Calcolo Geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann del
metrica, partendo dai contributi di Moritz Pasch che egli semplifica, riducendo
favourably reviewed in the most prestigious periodicals, and widely noted as models of rigour and clarity.
1888 e gli opuscoli Arithmetices principia e I principii di geometria logicamente
a tre sole le idee primitive: ‘punto’, ‘segmento’ e ‘moto’, che in seguito muterà
Here too Peano was able to glean the trends of the most advanced research and anticipate modern axiomatic
methods, so that it is no surprise that his works were translated and found followers abroad as well as in Italy.
esposti del 1889 sono recensiti con favore nelle sedi più prestigiose e sono
sostituendo all’idea di moto quella di ‘distanza di due punti’, o di ‘angolo
Through his simplifications, the vague, abstract geometry proposed by Grassmann is transformed into an
Piazza Vittorio Veneto, Torino 1888
elegant geometric calculus, in which is found the first axiomatic definition of vector spaces, also comprising
segnalati da più parti come modelli di rigore e di chiarezza per i fondamenti
retto’. I suoi Principii anticipano di una decina d’anni il moderno metodo
delle discipline matematiche coinvolte. Pure in questo contesto Peano riesce
assiomatico, di solito attribuito all’opera di David Hilbert, Grundlagen der
a cogliere le linee di tendenza della ricerca più avanzata e ad anticipare i
Geometrie del 1899.
at various times. Vector calculus, applied systematically to differential geometry and rational mechanics, would
moderni metodi assiomatici, e i suoi lavori sono tradotti in altre lingue e fanno
Al di là dei nuovi e importanti concetti introdotti nei saggi geometrici, si vede
be amply propagated and developed in the twentieth century, in great part due to Peano’s followers Burali-
proseliti in Italia e all’estero.
emergere il ruolo cruciale che Peano va sempre più assegnando alla logica
Attraverso la sua prodigiosa opera semplificatrice i metodi geometrici, intuiti
matematica: quello di riuscire ad esprimere in forma simbolica, per via
da Gottfried Wilhelm Leibniz e proposti da Hermann Grassmann in modo
assiomatica, le teorie matematiche classiche.
spaces of infinite dimensions. Peano’s work continues along the path of Hamilton’s research on quaternions,
Möbius’s work on barycentric calculus, and that of Bellavitis on equipollences, and would be reformulated
Forti, Castellano, Bottasso, Boggio and Pensa, and by the books that these would write in collaboration with
Marcolongo and Burgatti. From geometric calculus would also spring the theory of homographs, which would
be applied above all in the context of mathematical physics by Burali-Forti, Boggio, Bottasso, Burgatti,
Marcolongo, Agostinelli and others, sometime with questionable outcomes, as in the case of Burali-Forti and
Hermann Grassmann, 1809-1877
Mario Pieri, 1860-1913
Boggio’s criticism of Einstein’s relativity.
astratto e nebuloso, si trasformano in un elegante calcolo geometrico, nel
Sul terreno della ricerca in geometria scoppiano nel 1891, sulle pagine della
quale si incontra la prima definizione assiomatica di spazi vettoriali, che
Rivista di Matematica di Peano, due accese polemiche con Corrado Segre e
of position and metric geometry, starting from the contributions of Pasch, which he simplifies, reducing the
comprende anche gli spazi di dimensione infinita. L’opera di Peano si colloca
con Giuseppe Veronese che vedono contrapporsi intuizione e rigore.
primitive ideas to only three – ‘point’, ‘segment’ and ‘motion’ – which he would later modify by substituting
In I Principii di geometria logicamente esposti, Peano deals with the problem of the foundations of geometry
‘distance for two points’ or ‘right angle’ in place of the idea of motion. His Principii anticipated the modern
nel solco delle ricerche di di William Rowan Hamilton sui quaternioni, di
I risultati di Peano destano l’interesse di Mario Pieri che dalla collaborazione
August Ferdinand Möbius sul calcolo baricentrico e di Giusto Bellavitis sulle
con Segre passa ai metodi logico-matematici e redige profonde ed originali
ten years.
equipollenze e sarà rielaborata a più riprese.
note e memorie sui fondamenti della geometria, che fanno dire a Bertrand
Besides the new, very important concepts introduced in these essays, the crucial role that Peano increasingly
axiomatic method, usually attributed to the masterly work of Hilbert, Grundlagen der Geometrie of 1899, by
assigns to mathematical logic also emerges, that is the possibility of expressing symbolically, in axiomatic
Il calcolo con i vettori, applicato alla geometria differenziale e alla meccanica
Russell nel 1903: “In ciò che segue, sono debitore principalmente a Pieri, I
razionale, troverà ampia diffusione e sviluppo nella matematica del
principii della geometria di posizione, che è la migliore opera sul tema qui
In regard to research in geometry, in 1891 in the Rivista di Matematica, which Peano directed, would explode
Novecento, in gran parte per merito dei suoi allievi Cesare Burali-Forti,
considerato”.
two fiery controversies on intuition and rigour with C. Segre and with G. Veronese.
Cesare Burali-Forti, 1861-1931
Tommaso Boggio, 1877-1963
terms, all of the theories of classical mathematics.
Peano’s results would arouse the interest of Mario Pieri, who from his collaboration with Segre, switched to
Filiberto Castellano, Matteo Bottasso, Tommaso Boggio e Angelo Pensa e
Per il ruolo giocato in Italia nella diffusione dell’analisi vettoriale Peano è eletto
dei trattati che essi scriveranno insieme a Roberto Marcolongo e Pietro
nel 1901 segretario nazionale dell’Associazione internazionale per lo sviluppo
and original. In 1903 Russell wrote, “In what follows, I am mainly indebted to Pieri, I principii della geometria
Burgatti. Dal calcolo geometrico scaturirà anche la teoria delle omografie
degli studi sui quaternioni e sui sistemi matematici connessi. Dalla sua Scuola
di posizione, Turin 1898. This is the best work on the present subject.” Thanks to Peano’s role in Italy in the
logical-mathematical methods. His notes and papers on the foundations of geometry are also very profound
propagation of vector analysis, in 1901 he is elected secretary of the International association for the development
che sarà applicata soprattutto in fisica matematica da Burali-Forti, Boggio,
inoltre usciranno molti libri di testo di geometria per l’insegnamento
Bottasso, Burgatti, Marcolongo, Agostinelli ed altri, talvolta con esiti discutibili,
secondario, che seguono i suoi consigli e le sue indicazioni.
of studies on quaternions and related systems of mathematics. Further, Peano’s followers would publish
Accademia militare, Torino 1890
Sui fondamenti della Geometria
numerous textbooks on geometry for secondary schools, following the advice and suggestions of their Maestro.