MATEMATICI
OPUSCOLI
DEL
FRANCESCO
D,
P.
FRA^CESCHINIS
MARIA
BERNÀBITA
DI
PRpFESSQRE
NELL'
MATEMATICA
UNIVERSITÀ'
all'
DEDICATI
Il
BOLOGNA
DI
PRINCIPE
EMINENTISSIMO
Cardinale
Signw
BONCOMPAGNI
IGNAZIO
di
Stgretarìo
^
N.
S.
LODOVISI
Stato
della
Pio
Papa
Santità
S€sto
.
B
A
S
MDCCLXXXVII.
S
A
N
O
di
EMINENTISSIMO
PRINCIPE.
k
^
^
^
^
Òi *r
":eviui
per
offeriteaWEi
benefiii
la
é
"
ne
concedutami
obbligato
e
mi
devoto,
V.,
generosa
fanno
alcun
cui
a
ì
ri-
FroteT^or
eternamente
frutto
del
mio
X4X
siasi
qualunque
dover
che
aspettare
che
ducesse
ingegno,
tale
io
da
me
di
vai
si
fosse
ogni
alcuna
mai
Ma
crare
se
,
che
al
cosa
volessi
se
y
tenue
davanti
vi
grado
do
r
e
;
dello
potrei
merita
la
da
voi
potrei qualunque
mandar^
sublimità
alla
voi
in
essen^
y
grande
così
così
convenisse
del
siccome
gentile^a
estimare
vostro
riguardar
essere
spirito pari
e
quaU
un
animosamente
poiché
vjnanita
niente
al
y
fatica
co/ise-»
solo
per
accolto
graziosamente
mia
lavoro
egli fosse
do-^
poter
vostro
nome
presentarvi
per
letterario
mio
di
deporre
speran:^
io
^
,
vrei
prò-»
y
degno
di
pensassi
ohe
,.
niente
y
potrei
.credere
vostra
sdegnare
sì
che
picciolo
la
bontà
y
^erto^alla
il dovesse
incomparabiU
y
e
vostra
rifiutare.E
bontà
io
ri-
»
'X
di
tal
£
improviso
da
che
mille
del
vostre
qunlità
e
nome
vostro
alcuna
esimie
Di
.
queste
poi
dire
cosà
le
reputo
sempre
^
Verrebhemi
per
come
e
luce
a
y
tematici
rimaner^
non
e
guisa
usiamo
di
venerò
corìr
^
in
abbagliato
che
appunto
far^i
il
inéstima-*
ismarrirmi
non
dq^
secondando
che
dell' animo
pur
se
,
ta
in^
meno
delle
e
^
copia
la^
y
desiderio
bili
disperare
maggior
óra
sono
non
op^
poco
fecero
per
quasi
nacquero
^
degno
vessi
che
poi
questi
"
dell' immor--
^
compiere
poter
voro
quali
"
distra^iofiimi
portune
di
i
nome
luce
publica
coperti
augusta
vostro
alla
'
scoli
Opu-
miei
questi
a
presentarsi
dall'ombra
pregar^
^
concedestfi
che
ardii
quando
riguardaisolamente
Vi^
K
5
le
da
noi
^anta
tan^
Mà^
proprietà, de
cor--
X
corpi considerando,
dall'altre
di
sguardo
lo
re
sollécito,
da
parte
:ia,
e
alcuna
separare
E
a
vago
dell* altre
che
lascierei
destre^^
vostra
condurre
nel
fissa-
essa
allora
mirabile
prudenrji
in
sembra,
la
e
e
,
niente
me
la mente
con
quella scegliere^
e
,
fossi più
cui
X
"5
fine
lieto
a
grandissimi affari,la quale invaghì
r accortissimo
modo
Pontefice
Fio
nella
tà
di
ed
giusti"^,
vigUanT^a
fianco
suq
di
la
procurare
e
e
di
,
Nazioni
ampie
,
diffidi''
arte
abbondanza
delle
al
grado
primo
maravigliose
le
poli,
ed
nel
e
,
ste
che
ri.
sommo
e
,
chiamovvi
€
Sovrano,
e
nelle
vi
formare
la
V incorrotta^
vostra
cose
vi*
i pOr
sicure7;^a
,
grandi
tiene;
vostre
governare
comune
t indefessa
per
f elici'
vostrg.
cura
,
a
voi
"
affida'te.
X7X
-più dimenticherei
molto
tcye
della
re
considerarsi
da
splendo^
qiial lode
chi
di
la
serie
e
pro-
lu-r
,
de'
minosissima
dì
più
la
abbondante
^
prii pregi
(pie
nascita,
vostra
suole
?poco
lo
gloriosi
a
onore
voi
vostri
non
antenati,
eh*
recano
,
da
essi
voi
dall'
4issi
ne
non
ricevano.
canto
un
queste,
,
in
eccellenti
doti
tre
radunate
parmi
e
,
la
fosione
mente
e
celerità
voi
simili
e
aU
te
prodigiosamenche
in
questa
,
incredibile
straordinaria
la
Lascierei,
di
oc-
vostra
del
for:^
stro
vo-
,
ingegno
in
commendare.
infinitavostra
di lettere,
maniera
ogni
t
e
coltura
^
Pire
mi
e
sciem^ dovrei
converrebbe
come
,
d* Italiana
jquasi ogni
campo
Mtteratura,
^correste cogliendone
gUore
•
A
imparando
,
4
,
pure
ed
,
e
straniera
il
-mi-
elegantemente
moU
X8X
mólte
difficili
lingue
e
,
di
parlando;
ognuno
delle
sione
l'ampia
come
ed
civili
ammira^io/tìg
con
esten*
ecclesiastiche
leggi
,
abbracciaste
in
che
guisa
e
dirittamente
sciogliere ;
per
dell'
misteri
dete
posse-
facili questioni improvi^
non
,
samente,
tuttavia
è
,
di
mostraste
Algebra
serbati
pochi
a
reconditi
piìi
ne
come
familiari
animosamente
calcoli
più
i
e
trando
en-
più spi^
i
y
nosi
sa^
metodi
intricati
vi
,
renduti',
siete
scabrose
i
*storare
a
re
vói
pigliar'
rh-
e
più
nulla
i
da
dire
va^
,
avevano
voi
da
,
fosse sfuggito
da
più
nelle
insulti
loro
soffertidanni
Matematici
che
3
da
che
re'-
,
partiti
su
difendersi
per
lenti
discussioni
del
sapete
fiumi
gli indocili
golare
si
tanto
come
che
,
moltd
da
ammiri^
,
fosse
stato
prevenuto
^
'
a
ben
y
0
da
anche
ben
avvertito
solo
voi
Que^
.
ste
altre
molte
e
io
cose
direi
y
che
farei
fo
la
chìa^
e
y
del
grànde^^a
la
con
non
"
vostro
coW
ma
nome
ampic^^
y
de^ vostri
altresì
mio
lumi
libra
picciol
reputandolo
Voi
potete
e
prosperare
fama
so^
questa
to
inet-
non
y
procurargli
ap^
y
di
presso
chi
li
potrebbe
non
intende
Cose
queste
aqua^
y
d
quando
piacere
non
y
che
voi
di
tanto
Matematica
sapete^
y
piacciuto
del
fosse
vostro
nome
che
cose^y
più
avesse
Ma
in
già
chi
a
le
non
mie
parole
'
direi
sapesse
di
queste
di
le
non
e
y
Ne
?
aggiungere
merito
al
io
commendare
udite
volte
già potrei lusingarmi
le
celebrità
tanta
.
con
che
esse
"
.
già
da
logia
gran
si
tempo
maggiori
:
ed
resero
ogn^i
di
ogni
e-
voi
encomiopure
X
fiQJcrebbe
pure
^ai vaghe
se
che
;
le
del
sono
grandi
meritare,
laudi
le
ottenere
X
»o
della
pregovi
merito
che
amano
più
sen^a
di
e
aa
a
cui
to
pertanMatema-r
un
,
piccol
vostro
Usando
diritta
in
essere
questo
di
valersi,
mente
accogliere benignatributo
,
continuarmi
ch'offroal
la
,
vostra
rosa
che
atto
per
,
senipUcita
sembra
lieo
aT;ioni
conducono»
gloria
glia
le
ma
,
delt
gloria
,
medesima
a^^
poco
la
non
e
anime
Protezione,
umilmente
vi
alla
bacio
quale
la
gene-i
nell*
sacra
,
Porpora
vivamente
mi
raccomando.
CPU.
OPUSCOLO
I.
Logaritmi
De*
...A.
.MPiA
numeri
dé^
negativi.
nobilissima
e
non
,
difficilissima
cho
meno
,
è
si
questione
che
quella
impren^
,
do
ad
ora
già
esaminare
di
principio
nel
questo
,
secolo
da
promossa
in
Bernoulli
Leibnitz,
dall'
ravvivata
seguito
da
e
Giovanni
Eulero
e
,
,
d'Alembert,
dal
del
difese
de'
aderV
di
sentimento
al
i
opinione
de'
logaritmi
imaginarii,
essere
T
primo
sostenendo
Leibnitz
negativi
numeri
il
quali
secondo
il
e
che
Bernoulli
li
reali
,
ed
stimava
eguali
delle
quelli
a
quantità
posi«
,
tìve
L'una,
;
T altra
e
buon
Matematici
opinione
difensori
di
numero
tra'
ottenne
tra'
e
se*
,
di
guaci
meritano
Eulero
il Foncenex
ricordati
di
principalmente
e
il
fra
Walmesley
j
,
Bernoulli
del
quelli
sto
argomento
ziale
le
ora
esporremo
Riccati,
e
che
spero
l^oi
il Frisio.
su
di
il lettore
qu(^•
impan-
,
del
curante
e
meditazioni
nostre
,
solo
e
il
sere
es-
vero
rimarrà
alla
fine
,
di
dissertazione
questa
doversi
su
tal
convinto
per
punto
seguire
nuovi
il
gomenti,
ar-
parene
dei
?
:,
.
n%
X
del
Leibnitz
tenere
e
'de* numeri
fermo,
per
,
negativi
logàfltml
i
imaginarii
essere
E
pef
.
la
prendere
iarsi
da'
tosa
Suoi
principii
dee
come
,
alcuna
quando
vuoisi
questione
fondo
a
,
disaminare,
«
pili estesa
la
e
la^loro
secondo
logaritmi
I
2.
incominciò
così
che
idea
prima
inventori
( che
per
mi
desse
i
che
il
di
essi
termini
di
mostrarlo)
corrispondenti
ca
qualunque
potrà
aritmetica
rie
de'
-sioni
logaritmi
allo
diverse
infiniti
avere
i
aritmeti^
di
una
sdfid
stesso
la
tempo
d'infinite
così
:
logaritmi
tra
progressione
stessa
i termini
per
geometriche
potrà
la
serie
,
dare
che
sono,
termini
due
le
onde
indipendenti
loro
idea
questa^
seppe
geometrica*
progressione
Secondo
3.
e
progressione
ai
ve-*,
,
,
non
ordine
per
"
medesi*
farsi
altro
quahinque
una
Nr^
che
primo
potea.
,
mirabilmente
de*
inventore
come
che
Barod
,
considerarsi
Tuso
il
singolarmente
e
piuttosto
può
ì
diedero
ne
,
,
loro
significazionei
se*
progres-
quantità
ogni
potendosi
rife^
d'infinite
pro^
viceversa
ogni
,
tire
al
termine
corrispondente
pressioni aritmetiche
diverse
e
,
quantità potrà
tità
diverse
,
logaritmo
essere
potendosi
•rispondente d'infinite
tra
loro
riferire
d'infinite
al
termine
quan-»
'cor*
progressioni geometriche
differenti*
'
^
.
4.
Ve-
X
Venendo
4.
-
4-
"c.
d^P
tà
qualunque
due
serie
"c.
3^3
Q^,
d
e
ci
serie
P,
essere
d
e
progressione
^'Q.+
Q^,
0.4-
4"
^*P
quanti*
aritmetica
+Q.+
^^"
»rf" (potendo
mente
egual-
^j
quantità
essere
qualunque)
quantità
de'
e
quelle
possibili
le
tutte
presenteranno
delle
binazioni
ogni
e
rfP, +
,
dalla
0.+
(potendo
d'*P
progressione
P, +
serie
nella
compresa
4-
4^
ogni
generalmente
geometrica
espressa
X-
13
co^m-^
loro
logaritmi
còr^
rispondenti.
Secondo
5.
idea
questa
esservi
non
de'
"
alla
luogo
numeri
negativi
vedesi
apertamente
questione,
sieno
i
se
reali
logaritmi
imaginarii
o
^
,
essendo
poiché
due
le
de'
serie
logaritmi
e
,
de'
numeri
tra
ijuantità negativa
d'infinite
che
egualmente
riferirsi
positiva
potrà
indipendenti
loro
ai
progressioni
ciascuna
ciascuna
tità
quan-
corrispondenti
termini
aritnietiche
.
6.
qual utilità
di
Ma
sarebbero
logaritmi
i
,
se
jsi
si
non
prendessero
quella
utili
sono
ne
in
in
non
se
generalità
loro
quanto
,
indicare
sono
le^
per
alle
quantità
i loro
rapporti
quali
dai'
?
ci
posr
rapporti
i
logaritmi
Es**
del-
facciamo
,
passaggio
queste
tità,
;
e
se
passare,
ossia
a
quai
non
da
noi
potremmo
come
sapessimo
ed
terniini
a
a
quelli
quali
qual
a
quan«
progres-
,
sipne
geometrica
dovremmo
riferire
i dati
la-
Xi4X
ossìa
garìtmi
della
i termini
data
progressione
9
aritmetica
£^
?
dunque,
necessario
perchè dai
,
alcun
Jogaritmi
utile
in
gressionì
sieno
.denti
perciò
e
5
Ora
7*
geometrica
termini
due
"ssi
due
aritmetica
le ^due
progressioni
basterà
determinare
la
daranno
ne
ambedue,
in
corrispondenti
termini
lorodipen*^
tra
determinato^
sieno
q,
3
prò*
^
iqiialche modo
determinare
per
le due
che
venga
ne
poicbèi
ragiona
la
e
,
differenza,
geometrica
di
se
perciò
e
due
nuflfieri2,
logaritmi, sisa^
tiyjÓM
Quante
ni, che
tanti
B.
che
Tra
progressiione
Così
le
poi
fofoiare
dati
i
i
logaritmi
di
diverse
progressiof
loro
dipendenti^
trsL
sistemi
numeri
«
essere
1,2
saranno
3,4
i differenti
due
della
intendasi
4
sono
si possono
saranno
gli altri termini
aritmetica
e
j
tutti
dei
logaritmi
quantità
o
%
considera
,
rate
metrica
termini
due
come
delle
sempre
geometriche
e
progressione
una
inserirvi
possiamo
noi
prendendo
iiali
di
infiniti altri
medie
,
che
s^ inseriranno
dendo
delle
pjogressione
"on
rio
sì
logaritmi
resteranno
de'
geometrica:
mntemnno
deMogarìtmi
le
nuovi
le
ma
,
zioni
proporzio*»
pren^
proporzionali aritmetiche
medie
i nuovi
j'anno
serie
nella
mini
ter-
corrispondenti ^
termini
i
geo^
due
termini
sa**
della
progressioni
le leciproche retar
stesse.
j.
Ora
X
X
15
*
Ora
g.
il
se
primo
sia
geometrica
della
termine
dell' aritmetica
quello
i
ne
progressioze-
,
quantità
qualunque
'ro^.
determinerà
secondo
la
da
quantità.
sarà
e
della
allora
Se
tal^ermine
il
logaritmo
due
le
vogliasi
della
essere
nità
l'u-
i,
quantità
proposta
,
determinate
essendo
serie
detta
di
logaritmo
il
il
e
aritmetica
progressione
darà
zero
tà
all'uni-
geometrica,
progressione
termine
cominciante
riferita
proposta
lendo
vo,
prendere
converrà
il
di
logaritmo
il
trovare
geometrica
ro
nume-
nella
luogo
suo
poi
e
altro
un
sione
progrestermine
il
trovargli
,
corrispondente
dalla
interamente
che
occuperà
5
geometrica
la
quantità
Questa
nella
altresì
perciò
e
5
go
il luo-
quantità prima
seconda
perciò
ne
progressio-
il
mo.
logarit-
suo
de
corrispon-
cui
a
penderà
di-
che
Vedesi,
nell'aritmetica.
,
il
logaritmo
è
ed
i
di
il termine
gressione
pro-
una
,
geometrica
che
unità
quale
il
corrisponde
l'unità
segue
,
alla
,
logaritmo
di-
zero
,
dei
base,
cesi
la
dipende
tale
loro
il
perchè
logaritmi,
da
essa
rispettiva quantità.
logaritmo
di
un
dato
Se
appunto
se
fos-
poi
numejro
si
e
,
domandasse
la
base
de'
converrebbe
logaritmi
,
del
o
I
,
e
progressione
,
^
del
dato
,
il
numero
aritmetica,
proposto
logaritmo
poi
formare
prendere
tante
medie
tra
una
tà
l'uniproporzio-
i6X
X
Queste
10.
o
il
nella
nella
indi
aritmetica.
due
primarie
dedurre
gì' infiàiti
quali
delle
metrica
geo-
sorgenti
,
di
sistemi
diemmo
noi
dere
ve-
serie
serie
le
sonò
di
maniere
de' termini
numero
corrisponda
numero
ali* unità
il dato
e
,
progressione aritmetica,
formata
qual
T unità
con
eguagliassero
numero
della
che
geometriche,
nionali
garitmi
lo-
idea
una
za
sen-
,
né
esponenziale
modo
alcun
in
ricorrere
alla
né
equazione
alla
mica,
logarit-
della
costruzione
,
le
la
quali
dei
natura
che
anzi
cose
logairitmi
e
determinata
spiegare
a
già
suppongono
,
fissa
servire
V idea
medesimi
dei
che
,
,
principalmente
progressioni
r=
dalla
due
che
vantaggi
quella supposizióne
da
poiché
i
tutti
terminare
de-
nel
facemmo
corrispondenti serie,
nascono
o
delle
natura
geometriche.
e
supposizione,
le
I
dedursi
deve
aritmetiche,
Dalla
11.
hg.
ben
che
cioè
dei
ritmi
loga-
no
dipendo-
,
i quattro
tile
T
tutto
u-
,
cioè
fanno,
ne
che
Teoremi
seguenti
che
i.
il
di
logaritmo
un
,
prodotto
dei
sia
fattori,
dividendo,
alla
che
2.
eguale
sia
del
eguale
e
alla
del
il
dei
somma
logaritmo
,
di
una
Moltiplicato
potenza
nella
dei
differenza
divisore
sia
quantità
eguale
di
3.
che
logaritmi
un
ziente
quo-
logaritmi
il
ritmo
loga-
all' esponente
semplice,
4.
the
lo-
il
delia
questione,
logaritmo,
ti,
dal
e
X
come
si
deduce
fine,
per
cui
che
dall'uso
e
18
X
^
furono
fa,
ne
se
dall'idea
e
introdot^
dal
e
vantaggio
,
che
se
mai
di
e
potessero
di
questione
come
forze
co-
guardare
ri-
questa
parole,
delle
questione
equivo^
potei intendere,
Matematici
valenti
della
mai
di
,
seppi
non
involgesse
cosa
né
ambiguo,
assai
qual questione
che
comprendere
co,
me
la
aspetta,
ne
di
menti
altri-
non
vive
della
e
,
contingenza,
che
tali
necessità
o
furono
veramente
sembra
Alembert
mesley
leggi meccaniche^
scoperte
propenso
Frisio
e
delle
così
a
«
gli
che
qui,
del
altri
d'Alembert^
contrario
poiché
.tichino
dei
nostro,
dell'Eulero,
assai
la
alle
loro
ìq
tutti
e
volte
mente
aperta-
opinione
nell'
dimen-
ne
se
è
eh'
questione
la
prendere
tuttoché
senso
esposto
e
di
indicano
Frisio,
parere
quello delLeibnitz,
Ma
*
,
-avvertirò
Wal-
pensare*
decisi
più
sembrano
ly
essere
fondano
prin*
,
sulla
cipalmente
natura
e
che
,
legati,
e
medesima
dipendenti,
semiordinata
ha
essi
per
assissa
due
credono,
e
corrisponde
positiva
e
pure
cioè
e
,
loro
tra
alla
come
doppia
essi
per
che
negativa
ro
lo-
tra
alla
stesso
logarrtma
,
corrispohdere doppio
debba
garitmica
Lo-
,
così
eguali
rami
che
,
son
della
costruzione
,
^
negativo
e
,
questi
numero
pure
positiva
eguali
cioè
9
che
X
che
i
dei
quelli
di
negavi
de' numeri
logaritmi
desimi
X
19
i
sieho
me«
positivi
.
Fissato
14.
dico
de'
garitmi
mento
medesima
cune
delle
dei
Leibnitz
i)ellissima
prire
curva
forza
hanno
non
maniera,
logaritmi
oltre
positivo
zU
che
3.
dell'
arrivò
opinione
Eulero
imaginarii
di
uno
i-
aree
la
particolarmente
e
cui
con
:
favore
in
sussistono,
infiniti
delle
gli avversarli
dirette
prove
costruzione
dalla
mezzo
per
tirano
ne
,
numero
argo"»
nuovo
un
che
gli argomenti
perboliche
equa*
,
contrario
della
che
e
i lo^
dalla
che
2*
traesi
nostro
prò
a
:
de' Lo*
darsi
non
negativi
Logaritmica,
questione
idea
prima
e
evidentemente
numeri
della
zione
della
stato
genuina,
deducesi
garitmi
in
dalla
che
I.
lo
pertanto
asco*
ciascun
avere
reale
ciascun
è
,
negativo
numerò
imaginarii
il
averne
metodo
qual
infiniti
pure
tutti
ma
,
io
libererò
da
tutte
,
le
opposizioni
mossegli
dimostrerò
4.
che
da
Matematici
valenti
sussistendo
:
proporzion
la
,
BernouUiana
sarà
della
facile
zioni)
da
il
vendicarla
essa
altro
conchiudere
per
circonferenza
i
dalle
forte
al
diametro
contraddi*
molte
argomento
logaritmi
(e
nasce
ne
de' numeri
negativi
,
essere
diversi
(k
quelli
dei
ed
positivi
essere
,
imaginarii
:
.
15.
Perchè
nel
sistema
medesimo,*
che
i lo*
X
di
inchiude*
garitmi
si
quelli
pure
rebbe
primieramente
X
20
numeri
i
tutti
de' numeri
avessero
compresi
tutti
pure
essere
in
ti,
e
termini
infinito
li sorpassi,
dal
passi
cioè
finita.
Altronde,
I
...7
z
•••
si
terminata
dall'
saggio
pas-
alcun
il zero,
tra
lo
la
e
rap-,
tà
quantinuare
conti-
a
#5
una
tutti
che
infinito
rapporto
stesso
è
sicuramente
che
possibilio,
i numeri
si
considerar-
possono
progressione
i termini
•^^••.r'^i,"*^,
i
indicherà
indole,
qual
il
essendovi
non
corrispondere
facciancr
aritmetica
ella
•••
espressi da
come
ca,
se
3
gersi,
fin-
,
primitermini,
tra' due
altra
un
negativo
sempre
fissato
potrà
non
progressione dovendo
la
e
mantenere,
a
così
vesta
e
,
,
negativa,
quali
ai
lero
,
finito
almen
porto
parti da
le
,
al
zero
impossibile
ò
da
arriverà,
mai
non
che
ambe
e
siderarsi
con-
ne
progressio-
una
,
,
siccome
da
terminata
da
da
per
crescen*
questi
potranno
cavati
Ma
prendansi
se
positivi possibili
decrescenti air infinito
limiti
due
DifFatti
numeri
geometrica
negativi.
i
tutti
compresi
come
essendo
cui
,
positivi possibili potessero
i numeri
i
tutti
-4)rdine
sa*
fingere
il poter
necessario
impossibile.
è
questo
negativi
,
,
progressione geometrica
una
positivi
geometri*
della
...#,
0,1,^,3
positivo
e
rie
se-
.negativo
,
,
termini
della
geometrica
eqm-
po.
X
di soli
posta
né
positivi
né
più
altro
de' numeri
logaritmi
detti
pure
in detta
compresi
è
i
saranno
quando
numeri
progressione
che
ripiego
sì
negativo
e
termine
te
persuadere
del
è
negativa
poiché
il
esempio
tra
i
e
che
media
2
—
+•
essere
la
questione
Ma
il
che
citato
alla
si,
osservi-
il d'Alembert
da
maniera
discorso
dire
noi
qui
E
apparire,
medie
piuttosto,
2
.
prende
posi tiva^
possiamo
proporzionale
manifestamente
progres»
le
tutte
né
4
,
la
della
danno
ne
possibili :
proporzionali
che
memoria
,
complemento
di
procura
nella
Opuscoli
riunite
esse
diffatri
dicendo
de* suoi
I.
ciascun
possa
.
d'Alembert
T.
sione
per
Ciò
negativamente
e
che
prendere positivamen^*
indifferentemente
,
si
geometriche
ro
nume-
procurare
,
progressioni
simo
il mede-
che
medesimo
ai
5
nelle
? Non
,
che
positivo
essere
geometrica
asserire
corrisponde
logaritmo
vi,
negati-
potessero
,
6.
Dovè
meno
.
dunque
vi
X
21
noi
è
non
sta
propo-
sicuramente
.
del
degno
suo
poiché
autore
in
una
sione
progres-
,
geometrica
relazione
che
air
e
Ora
a
di
tutti
ultimo,
ciascun
essere
conviene
ma
se
siavi
la
media
fuori
lo
progressione
che
di
che
3
la
la-so-
i
estremo,
tri conviene»
tu
2
,
lo
^
primo,
al
essere
a
,
B
ha
non
proporzionale
quello altresì
proporzionale,
terza
termine
4
^
8 i
i^,"c»
ève-
e
è
che
verp
proporzionale
e
perchè
tra
dovrà
sia
ma
1,4;
che
+
*
non
è
vero
insieme
fìngersi
introdurre
volendo
naie
negativa
8
la
mutare
di
4
,
negativo
pure
"
media
una
conviene
dia
me-
che
8
con
,
onde
è
^
estremo
essere
possa
2
—
egualmente
fi
—
,
proporzio*^
progressione
,
e
di
ch'ella
positiva
positiva,
mente
impossibile
la
che
una
sostituire.
ne
se
pren-»
serie
diverrà
sola
progressione
luogo
in
le
negative
le
escluse
rimangano
alternativa*
poi
se
si possano
che
,
positive
senza
in
Dunque
gativa.
tità
negativa;
e
consecutive^
due
dano
renderla
era
tutta
ne"^
sarà
delle
quan*
loro
eguali
positive
sì
e
,
progressione
la
muti
progressione
dai
garitmi
trica
sola
tutti
aritmetica
possibili dell'
lutti
progressione
possibili
ci
non
ha
i
luogo
soli
a
ra
dubitare
negativi
che
considerata
progressioni geometriche
maniera;
alla
positivi
i lo«
,
de' numeri
delle
alcuna
geonie**
numeri
,
garitmi
iniì*
i lo«
,
rappresentante
meri
nu-
progressione,
rappresentante
della
termini
i
potendo
non
una
termini
i
esaurendosi
nita
in
inchiudersi
tutti
e
onde
;
né
ciò
in
è
modo
in
natu*
sianvi
non
alcun
che
opinione
nostra
la
ultimo
ìtk
rio
contra-
asserì*
,
ice
con
Eulero,
numero,
e
essere
imaginarii,
tali logaritmi
poiché
ciò
infiniti
ottinumente
si concilia.
16.
Ma
di
X23X
d'Alembert
Ma
i6.
dice
memoria
nel
principio della citaLta-
potersi concepire
non
come
una
,
deir
che
diviene
^u' suoi
torni
—
I
2
—
i valori
tutti
negativi
metica
debbansi
assolutamente
realmente
alla
iti
suppone
i
,
negativi
numeri
modo
lo
che
non
dalla
anzi
delle
natura
,
geometriche
e
aritmetiche
possibile, deducendosi
vi
non
negherò
da
quelle
~
in
sono
cP
serie
arit-»
luogo
o
logaritmi de!
egli in
cun
al-
progressioni
noi
im-^
detti
che
garitmi
lo-
,
alcun
assolutamente,
io
garitmi
da
"c.
,
provammo
,
scorra
"'
primo
prova
,
loo,
esprimere
poter
imaginarianlente
o
3
—
ri^
o
—
della
trasferito
logaritmi
de'
a
o
^^
=
^
#
—
2
—
ritmi
loga-
della
serie
i
—
discorso
Questo
17.
la
sa
pos-
de'
sèrie
posto
o,
mentre
o,
la
ripassi da
e
numero)
valori
=
se"'
passi,
...
,
che
cP,
—
diversi
i
esprime
che
logarit*
all'imaginario^
«P
*-•
potrebbesi credere,
che
che
da
passare
il
per
il
rappresentante
bruscamente
e
prendesi
( che
ordinata
dall' assissa
rappresentata
,
Logaritmica
della
mo
viene
che
quantità
ritornare
che
modo.
Così
non
potrebbero
su' loro
passi
i lo^
e
cor^
,
rispondere
ai
numeri
negativi
a
quella
guisa
,
che
le
ascisse
farebbero
torneando
prese
indietro
sull'asse
e
pondenti
ris-
,
alle
semiordinate
,
quando
negative
,
84
pure
la
curva
avesse
due
mi;
ra-
X^4X
mi
detti
di
za
questo
ma
;
è
non
una
logaritmi
della
prova
solo
ma
conghie
una
,
del
ra
s
andamento
loro
ch'essi
tasse,
su'
suoi
supposizione
in
vi.
oltre
In
sono.
dove
passi
esisten^
ì
che
Tidea
ttu«
con*
di. ritornare
logaritmi
si
con*
,
siderino
nella
aritmetica
progressione
come
,
farsi
deve
è
idea
una
che
niente
dice
è
Chi
indeterminata
e
vaga
,
,
,
determina
che
la
serie
.
de'
logaritmi
?
?
Finalmente
i
positivi
Sarebbe
ella
aventi
ciò
va
altre
tutti
i valori
"c.
a,3
dicendo
( lo
che
forse
nella
dimenticato
avere
poiché
le
se
serie
—1—2
le due
"c.
3
logaritmi?
per
disimbarazzo
per
suddetta
memoria
lo
della
stato
de' numeri
)
stione
que-
positivi
,
,
e
negativi
qual
si
vogliano
mai
tra
loro
questione potrà
divise
rare
conside-
intorno
nascere
,
ai
logaritmi
quelli
mai
egli
de'
dei
che
secondi
,
positivi
provare
?
logaritmi
—
"c*
q
i
considerare
di
a,/,
di
negativi
egli, essendo
accennando
do«
y
serie?
stessa
i,
tro
addie-
della
serie
la
serie
volte
mostra
può
stessa
la
che
serie
di ritornare
quella
impedire
indipendenti
serie
di
la
può
di
y
scorrere
chi
re
retrocede-
a
dall' idea
aliena
soggiunge
arbitrarii
limite
suo
come
più
Ma,
i8.
Ma
pìh
progredisce,
sempre
pò
idea
Qual
ai
arrivata
la
loro
cosa
eguali?
così
ro
avrebbe-
appunto
Ma
come
che
essere
può
noa
,
pò-
X
( quando
e
Molto
coti
cerca
che
di
opposizione
fin
óra
quando
o
sin
una
cangisi
non
pre
risguardò sem-
ora
altresì delle loro
fondate
dovrebbero
incapacitàdi
positivo ^
indicarono
sempre
che
quali
eguaglianza della grandezza
la
sembrassero
realmente
significatodel
relazione
quantità ma
quanto
le
,
y
solo
non
il
equazione,
di
d' introdurre
ingegno
mutisi
non
negativo^
ridea
25X
sempre
farne
ha)
si
per
colo,
del cal-
datura
altresì di
fronte
una
(la quale
il difetto
rilavarne
non
relazioni)
sulla
a
le
del-
fetto
il di-
che
credere
poi
,
r
e
risultato
senso
che
teorema
/(—
I
il
che
)*
della
si
non
poiché
ili
y
Siccome
le
radici
potrà
ed
^
la
per
=:
sia- —1=1,
coir estrazione
senso
i)*
(—
pure
eguale
radice
:
dunque
non
si
al
che
si arriverebbe,
dall'
può
essere
inferire
essere
operazione
re
dedur-
i)*
/(—
a/—
i
equivale in
involge l'estrazione della radice.
dunque
nel
cotiviene
potenze
al*
cautela,
que-,
passaggio delle
usare
di molta
sta
\
all'
i*
radice,
questa
sia
potenza
una
moltiplicato
che
un
di
logaritmo
,
=
si è
2/1
=
i
—
,
dall'essere
=:/i*
passaggio dall'equazione
all'altra z/
/i»
=
esponente
se
al
fondamento
ve
ser-
^
•
di
ad
anteriore
comune
Il
dell' analisi
industria
tal
più rispettabile di qualunque
e
,
poiché
^
il
spaventa
calcolo
^ni
si nascondesse
inganno
"
X27X
sta
sarà
pure
delle
potenze
i)*
(—
queste
i-f-i^^^i-^i)
considerando
1+15
hanno
i* si
=:
combinazioni-^
+
Estraendo
,
di
radice
la
logarirmi
radici
quelli delle
a
dai
passando
necessaria
le
tro
quati~i^
—
quali
non
trovo
ne
,
che
due
soddisfacciano
che
all' eguaglianza
che
,
sussistere, onde
deve
rigetto le due
ste,
do
z=:
debbo
zìi
di
radice
doppio
i)*
di
i*,
e
si possono
2/
perchè
I
—
pure
radici
queste
e
dell'uniti
positiva
in
così
do^
,
2/1
z/
ovvero
x
—
,
T
equazione
sussista
Che
*
qualche
regge
ta
del-
logaritmo
,
^e
zl^t
all'altra
combinare
prendere ,02/1=
vrò
=
il
maniere
quattro
/i*
=
prendere
{—
poi passane
.
lY
di que*
una
0
,
Siccome
altre
equazione /(—
dall'
queste
prese
equazione
logaritmi
dell'unità
quelli
e
1
tra
negativa
^
è
ciò
di
perchè
e
1
-^
alcuni
hanno
ne
che
sono
,
proporzionali
gtiali 0
stabilire
questo
per
ve
X
-^
5
ti logaritmi imaginarii
gl'inani
tra
t
molto
e
loro
tra
;
generalmente
favore
in
meno
né
ma
del
può
si
/i
essere
e-
moderno
/!
tz:
ana^^
)
lista
conchittdere,
Ma
20.
per
dalla
la
re
sentire
natura
quale
col
penetrante
il* peso
della
delle
oltre
y
s^uente
—
era
troppo
non
i.::?:
essere
-
!•
il d'Alembert
diiScoItà
dedotta
progressioni geometriche
le
cose
dette
che
discorso
di
cerca
a
me
al*
"
rispondevi»
sembra
y
guai-
e«
X28X
inconcludente
gualmente
che
dunque
Dice^
tri
una
in
curva
ordinate,
dovrebbe
negative
assisse
fondasi
sulla
triche
e
dirassi
e
metica
basta
:
dire,
al*che.
progressioni
positiva
m
in
Ma
reale
e
«
,
diversamente
probk'
il
progressione
in« cui
curva
una
fatta
cui
in
or«
,
assisse
le
geoiìie*
parabola
la
^*
=:
jf
enunciare
trovare
non
il discorso
sarebbe
curva
la y
prese
le
,
delle
abbiamo
negativa
e
corrispondenti
valesse
del^ equazione
dinaria
reali
se
tal
le
assisse,
,
natura
pure
,
ma,
ordinate
avere
cui
geometrica,
di queste
quadrati
i
come
al*
,
progressione
in
fossero
assisse
degli
strano
,
•
le
pia
e
^
arit*
ordinate
le
^
,sieno
i
come
di
quadrati
che
la
deir
curva
assisse, per
queste
equazione
ha
reali
ordinate
delle
che
dalla
tanto
Così
negative
garitmica
dicendo
e
e-.
della
\(^
problema
trovare
una
in
curva
,
assisse
essendo
in
progressione
una
sieno
0
tive
posi-
cangiando
,
,
o
del
T enunciazione
gualmente
le
^
•
,
cui
delle
parte
h^
z=z
y
,
corgersi
ac-
i
come
piuttosto
in
aree
le
qualunque
di
logaritmi
le
come
ca,
aritmeti-
progressione
nate
ordi-
,
queste
assisse
corrispondenti
,
-^—
,
sparisce
la
difficoltà
nella
quantità negative
o,
I,
2,3
oltre
impossibilità
della
progressione
di
che
delle
ca
Geometri-
le ordinate
delU
,
-
Io-
X29X
formando
logaritmica
tosto
altra.
progressione
che
la
a
che
che
rio
necessa-
3,2^150
«P....
Geometrica
tinua
con-
termine
di
una
principio
di
un
ultimo
o
piut*qualun«
dunque-
progressione
una
basta
è
non
progressione
,
appartenga
;
ia-
non
formano
non
progressione Geometrica,
una
que
all'infinito
ò^ino
da
terrotta
continua
serie
una
gressione
pro-
5
sia
positiva
progressione
o
il
i
—
che
2
—
alla
contrario
di
Ma
21.
così
il
prima,
chi
direbbe
ragionasse
della
maniera
che
mai,
parabola
plemento
com-
d'Alembert
un
che
sostengo,
enunciato
darebbe
ne
non
il
come
geometrica.
primieramente
E
?
è
che
e
progressione
questa
problema
in
quasi
torna
,
,
senso
gltra
nella
che
ma
pri-
solo
un
mo
ra-
,
di
poiché
curva
decrescendo
assisse
ossia
della
il limite
sarebbe
infinito,
geometrica
i
della
saranno
progressione
ma
;
disgiunti,
né
si
uno
zero
ali'
se
assis-
progressióne
benlsì
stessa
/ami
i due
connesse,
alle
in
queste
pure
potrà
dere
pren-
sione
progres-
essendo
non
lo
per
potrò
una
e-
per
decrescente
stessa
A
formanti
B
il passare
la
oltre
dunque
prima
modo
prendasi
impossibile
assisse
altre
che
continuando
negative
alcun
A(fig.i)
ad
sino
sempio
da
geometrica
progressione
in
le
appunto
,
di
curva
considerare
^
negativo
per
rapporto
air altro.
Che
se
nella
pri-
X
progressione
prima
positive
mente
introdurremo
converrà
hegativa^
X
30
prenderle
^
positivi ^
negativi
e
negative,
due
gativa,
Ma
la
Se
inchiude
dice
due
detta
=
j^
non
tutta
ne*
di
ramo
sareb^
curva
^^ale
1^
^*9
poiché
falso
è
Questo
altro
equazione
prendano
ne
primo
il
egli,
rami
se^
diverrà
interamente
.
detta
poi
«
dell'equazione
curva
alternativamente
curva
progressione
pnre^
«
fae
la
svanirà
e
curva
di
interrotti
tratti
che
avremo
non
e
assissa
alternativa*
tutte
negative
e
,
dei
qualche
,
dice
ne
che
non
se
,
debbano
ordinate
le
loro
tra
essere
i
come
,
quadrati
delle
né
ississe
alcuna
impone
legge
,
delle assisse, la qual legge
andamento
air
dovessero
«e
dovrebbe
avere
dalla
indicata
ed
che
equazione
condizione
condizione
sta
le arsisse
e
,
re
curva
dico
solo
,
le
;
une
quazione,
né
entro
che
le
ora
legate
essere
qiìtste
nell'altre,
che
e
per
ed^
rappresenta
per
debbono
essere
la
ogni
ma
que*
alla determina**
sola
una
prietà
pro-
ordinate
con
V andamento
ad
esamina^
tà
pia proprieessere
involte
curva
l'altra
per
perciò
determinare
a
possano
come
:
legare fra loro
a
;
abbastanza
determinata
resta
basta
contenere
necessaria
che
curva,
condizione
della
è
non
della
zione
deve
chiusa
in-
,
)
necessaria
es*
essere
pure
)
se
se
inchiunella
«
22.
Co-
e^
X3tX
può
ii/Come
della
costruzione
resti
esclusa
della
r idea
,
il dire
problemst
modo,
che
progressione
geometria
la
Né
forma
formandole
che
in
logaritmica
della
ne
questa
se
ca
il
egli poi propórre
?
essenza
ordinate
della
giova
logarit'-
9
Mica
formano
non
piuttosto
che
dovendo
tali
esser
che
-proprietà
quando
trica,
geome-
poiché
progressione,
essenziale
la
infinito
sino
zero
progressione
una
altra
qualunque
per
da
continua
serie
una
curva
camminino
assisse
le
della
in
,
aritmetica
progressione
sieno
esse
pronte
,
mare
progressione
una
for^
a
vedesi
geometrica
in
,
qualunque
maniera
geometrica
essere
curva
V
idea
inchiusa
della
neir
,
progressione
dell»
andamento
•
ciò
Da
23.
alcuna:
geometrica
curva
dal
che
apparisce,
pure
dice
egli
come
darsi
non
,
facendo
cui
sia
=:
^
"p
—
sol
un
=
"^
5
valore
in
cp
sia
x^=^^y
e
in
cui
ginaria, prendendo
lo
dovere
stesso
poiché
niutia
dizione
e
"f
la
che
9s
=:o
abbia
non
h
poi
jf
negativa
non
nella
avvenire
le
facendo^
e
che
divenga
ima^
,
geometrica
curva
che
in
,
dedursi
Logaritmica
inchiude
debbano
ordinate
può
la
tutte
^
cpn^
e^BQi
,
prese
in
geometrica
progressione
una
qugndo
.
Je
assisse
mctica
si
prendano
nella^
,
quale
in
una
progressione
progressione
arit^
geometrie^
im-
è
X3^X
impossìbile
il
dal
passaggio
al
o
negativo
la
e
,
qual condizione
delle
•dente,
ad
porta
ne
quali
curve,
concede
una
lo
come
può
non
trascen-
curva
lembert
d'A-
stesso
sicuramente
tutto
,
dicesi
che
dirsi
quello
delle
algebraiche
dovi
essen-
,
assai
della
è
caso
essenziali
diiTerenze
cioè
massima
che
positiva,
nel
la variabile
che
negativa
o
nostro
può
non
equazione
alla
dare
prenda
si
,
negativo
valore
un
che
lando
(par-
,
,
mai
) quella
Logaritmica
le altre
/tra
onde
non
,
ò
meraviglia
la
se
divenga,
^
imaginaria
o
,
dire
meglio
per
la y
Ciò
24.
in
siavi
non
alcun
poiché
negativa
nendo
dive-
modo
tale
questa
,
non
divenire.
mai
può
,
dedotto
argomento
in
resta
posto
progressioni
dalla
in
il
tutto
delle
natura
favore
vigore
suo
della
V
che
geometri-
opinione
che
,
nello
sistema
stesso
i
tempo
logaritmi
si possono
non
de' numeri
ad
avere
positivi,
e
un
tivi
nega-
.
è
Ora
25.
Chiudere
in
logaritmi
egli possibile
equazione
una
cioè
la
loro
logaritmi
rappresejitare
intero
un
relazione
di
tutti
sistema
i
,
numeri
co'
che
déa
ne
abbiamo
possibili?
data^
niente
o
de'
possibili
Dopo
v' è
in-
,
V i-
di
più
,
facile
Dalla
.
le
formola
generale
progressioni geometriche
rappresentante
vedesi,
che
i
mi-
ter^
'
X54X
2^.
esatta
Da
questo
primieramente
la
definizione
dell'Eulero
vedcsi»
che
essere
dice
1 lo^
,
garitmi
poiché
sione
gli esponenti
realmente
Vedesi
rà
Y
sempre
che
più
o
e
in
di detta
il
logaritmo
non
altera
progress
radice
della
base
lo
che
Tidea
de'
^
sa^
sempre
,
unità
for^
dell^ unità
logaritmo
il
radice^
geometrica
progressione
una
di
poi
data
una
camminando
le potenze
aritmetica,
mano
di
gli esponenti
essere
logaritmi^
,
solo
ma
oltre
in
Apparisce
logaritmi de'
quazione
la y
base
determina
utilmente
positiva
mài
nel
all' analisi
poiché
nella
mettasi
per
jioco
i
poiché
immaginarii
ciò
presso
es-
detta
equa^»
negativi
tale
da
la
introduzione
da
de' numeri
logaritmi
e*
;i?,
esattamente
degl' infiniti deducendo
che
i
restando
della
^#
capo
sona
in
equazione
,
ninna
si
maniera
medesima
solo,
prova
che
lo
maniera;
immaginarii,
I
espressione
deduce,
che
la
e
dimostrazione
sua
vi
non
in alcuna
sono
è diverso
veramente
hanno
poiché questi
logaritmi
dall'
pure
de'^ numeri
sere
es-
una
negativi
•
hanno
rie,
infinite
realmente
ma
queste
equazione,
'e
non
conviene
espressioni immagina-*
si possono
dedurle
«.
,
negativa
essersi
ed
;
darsi
non
valore
qualunque
l'Eulero
zione,
negativi
diventerà
non
generalità
loro
evidentemente,
numeri
/?* mj;
la
dedurre
da
altre
da
detta
farmole^
e
Qon
mètodi^
altri
e
con
i
logaritmi
ad
quantità
virtù
in
de'
involti,
essere
è
non
quali
Venendo
legati
e
meraviglia
tre
al-
con
che
vestano
,
rapporti
nuovi
più
espressioni ;
nuove
e
^
in
distintamente
luogo
altro
ciò.
ma
dilucideremo
•
finàlrtiente
Vedesi
creda
moderno
un
fondamerito^
poco
di
autore
positivi
ì numeri
tutti
quanto
con
comprendere
poter
co*
negativi
e
loro
ritmi
loga-
j
nello
henziale
stesso
±
base,
alla
chi
rr
a-
air
e
che
già; di
il
darà
non
che
quantità
chiude
in-
tivo^
posinon
doppio
positive
de
ve-
segno
,
X
segni
segno
chi
positivo
a
ì
variabile
doppio
y
di
cioè
Secondariamente
Testando
che
il
espo-»
te
primieramen-
essendo
natura
sua
negativo?
e
Poiché
la y
,
equazione
duplicando
"^
esponente.
sa
non
nella
tempo
?
In
zo
ter-
la
base
,
luogo
chi
a
è
non
che
noto
posta
,
negativa,
i valori
positivi
un
della j^
e
tivamente
alterna-
onde
negativi
,
avrema
,
da
diverso
sistema
diventeranno
che
quello
si
ciprea,
de'
nume-
,
giacché
fi
dei
comprenderà
noa
negativi
possibili,^
e
la
che
ciò
metà
escludendo
la
metà
positivi?
,
27.
ven^mo
Mi
alta
considerazione
della
Uy^
.
garitmica,
misteri.
C
ed
entriamo
Giovami
2
avanti
profondamente
ogn'
altra
rosa
in
qjuesti
avver-
tire,
X36X
algebraico
problema
che
un
immediata*
dipendente
e
delle
natura
aritmetiche
e
logaritmi
,
dalla
mente
de*
problema
il
essendo
che
tire^
progressioni
debbonsi
non
geometri-p
abbandonare
le
3
si
quelle
difficoltà
che
ne
in
vista
nella
geometria
intervenire,
che
costruzione
ve^
sua
diversamente
modificarsi
a
nella
che
inquanto
,
equazione
sua
inchiudesse
non
i casi
tutti
^
le soluzioni
tutte
e
analitico
problema
nisse
benissimo
potendo
presentare,
la
possa
,
un
tirano,
5
alcune
di
da
che
dirette
prove
che
indicharebhe
ne
j
la sintesi
,
ella
può
le
le
semiordinate
in
geometrica,
daranno
mi
tanti
ed
?
linea
una
ca,^
aritmeti-
queste
se*
di
una*cur-
assisse
avranno
punti
semiordinate
cui
,
tra
in
.
progressione
ài
le
prenda
io
mi
logarit-
rappresentarsi
in
miordtnate
va
Se
loro
co*
camminanti
assisse
e
numeri
geometricamente
problema
il
Ecco
de*
relazione
La
28.
,
quella
foro
relazione
che
hanno
ì numeri
,
coi
Diviso
logaritmi.
ed
Infinitesime
eguali
,
queste
Sia
CG
=:
infinitamente
altra
sia
CM
=::
in
(fx
parti
dì
una
,
parti,
ordinata
AT(fig,2.)
Tasse
ordinata'
un'ordinata,
y
onde
prossima,
DH
=:
e
ss
,
rispondenti
lueticamente
•
alle
assisse
Regnerà
e
MO
un*
NO=zdy^
si^nvi
finite
in-
altre
proporzionali
arit*
lo
rap^
pertanto
stesso
por-
X37X
.
dz
zzz
altresì
dunque
avremo
:
lo
e
stesso
to
rappor-
,
perciò luogo
avrà
y
le ordinate
tutte
tra
porto
onde
z
:
4}^
dz
:
essendo
ziali
differen-
ì loro
tra
=:
la
costante
dy:
:^
:
j^
j
ne
ragio-
y
dy
di
dx
=z
j^
:
onde
facendo
j^
:
ben
o
ay
j/;^
anche
dy
:
della
equazione
^
:
dx
=:
y
i
z
%
curva.
dx
Dalla
29*
dy
avremo
costante
,
=r
—
dx
—-z^dy
equazione
crede
Bernoul-
X
li,
ì
d* Alembert
e
logaritmi
dedursi
de' numeri
darsi
invincibilmente,
ed
negativi
essi
essere
,
ai
eguali
dicon
de*
logaritmi
numeri
1 equazione
ti%i
,
positivi , poiché
=:
—
dy
=
X
,
on,
X
^^
,
sarà
de
Ma
3C.
x^
^
primieramente
differenziale
la
l
zrn
che
avverto
Ìl equa*
,
zione
te
l^
^=z:
y
natura
e
dà
ne
non
mai
l'andamento
espressamene
della
ma
curva
,
,
solo
esprime
ne
coordinate,
questo
il
prendere
3
degli
In
di
basta
siavi
che
si
,
salvando
T
secondo
go
luodichi
in-
semiordinate
è
curva,
segno
denti
gli acci-
*
delle
segno
le
del-
elementi
ritrovare
a
curve
ramo
doppio
,
C
insegna
doppio
né
Inchiuso
altro
ne
doppio
un
che
relazione
medcsiffie
delle
pjBrchè
e
la
necessario,
necessariamente
possa
equazione
l' uno
^'
per
T
Diffattl
sia*
X38X
«iavi
differenziale
r equazione
=
- —
.
Se suppongo
alla
il segno
muuto
T
x
equazione
,
"^dn
?
?
dx
?
.
differenziale
Potrò
ha
non
perciò argomentare
io
un
ramo,
che
Dimostro
t
no.
L'equazione
postax
e
della
—
=
-
—
dunque
alle
—
h
negative
k
è
proposta
«y
curva
in
questa
nega
tiva,
equazione
^^
-,
curva
?
Te-
a^:^co*
=
differenziando
conoscere
Ma
equazione.
V
corrisponde
può
ognun
:
che
differenziale
quazione
me
perche
si muta,
questa
haj^=±
si
immaginaria*
diventa
^
\
córva
la
Dunque
ad
rispondente
ifon
mutarsi
curva
col
avere
che
questa
allcx
argomentare
x
Siccome
negativa
curva
negative,
un
ramo
che
trovare
negativo
mutando
nata
si
non
muta
l'equazione
di
questa
posso
mentare
argo-
ris-^
ramo
un
dovrò
n"m
della
il
,
dal
dunque
non
abbia
cosi
cor-
ramo
un
l'equazione differenziale
,
dal
negativa.
^
supporre
pondente
può
non
?
•
.
poter
ca
logaritmiairordi-^
segno
differenziale
della
logaritmica
.
31*
che
piìi il
Di
supponga
ttionei
in
Diffiititi
raziocinio
certo
come
modo
del
BernouUi
quello
può^U.
parmi
è
che
inque»
conchiudere
i
es»
sire
^X
?^sere log.
suppone
non
se
log.
x'^^
di
logaritmo
ed
?;;;—
^
*—
e
,
reale
essere
=*^^.
dall'essere
^
—
X
39
—
essere
il differenziale
perciò
darsi
tale
del
mo
logarit-
è sicuramente
giacché reale
,
,
il
far
Il
detto
il
e
nel
di
-miglior fondamento
che
sia
numeratore
una
ralmente,
gene-
ha
non
abbia
anzi
•
del
il denominatore,
negativo,
-quello che
trattiamo
ora
di
preso
canone
altresì che
caso
canone
il logaritmo
,
cioè
torizzato
au-
il differenziale
sia
è sempre
poiché
denominatore
dal
l'integrale
numeratore
denominatore,
egli
essere
quella integrazione
il di cui
frazione,
dicasi
stabilisce, che
-generale, che
del
Né
dififerenziale?
suo
la questione
riducesi
alla
,
frazione
là
siccome
medesima
col
equivale
che
-numeratore
"^Qsì
+
senza
ogni diiBcokà
positivo
poi per
poter
della
più rami,
o
no,
logaritmi
'
(J
in
4
un
nel
puossi
modo
de? numeri
solo
logaritmo
".
mezzo
logaritmica
in
il
stessa
che
:.deHa- equazione
dedurre*,
essi
positivi
sistema,
55
abbia
no
rappresentie
,
compresi
la
al-
to
sospet-
r
integrale della
per
differenziale
i
caso
parte^i
,
Per
32.
aitra
,
segno
denominatore
del
sì net
Dall'
•
questo
schivando
e
errore
prendere
in
presa
denominatore
di
questione
identica
medesima
negativi
sali ne(;essario.inte-
X4o5f
direttamente
tegrarla
che
principio
di
tizion
delle
quello
Pongo
j^
dx
dz
:=
metodo
per
né
;
altro
:^
+
serie
Sia
z^dz
-f-
=:
quando
o
w=:%—
+
—
sostituendo
invece
ofldei^=:
di
z
%^
3
4
5
A
"c.
=:
0
,
I
—
valore
suo
"
sarà
o^
—
—
il
-{- %Va
5^"*
=:
99
?
?
2^
^
onde
rf^c
=;=
—
%'^2
—
a
z
usare
.
%*
fatta
dunque
dj^=:dzy
i"
zdz
'-
possiamo
pe,
.
=
.sicuroda
"c.
j
—
i
e
sarà
3
I,
Se
poi pongasi
"'
negajtivo,
il
suo
logaritmo sztk
-J-J'
33-
0«
X
quantità
Una,
^uale?
può
non
ella
serie
^ytrse
42
X
ìa
quante
rappresentarsi ?.
diversi
con
diver5[e
metodi
in
re
manie-
di-
quante
potrà
non
ella
svolgersi?
primieraimcnte
Ma
3S-
dw
logaritmi
caso
dofi
nel
poiché
serie
poiché
ad
esr
chi
di
e
in
divergente
serie
essere
dei
non
serie
?
no
dan-
ne
si conchiur
non
,
eguali.^ Né
esse
dalla
nascere
le
stre
no-
quantità
stessa
,
è
termini
identica
metà
l'altra
segno
e
rali
gene-
disuguaglianza
quantità risolte
metà
la
rela*
pìh
le
di
o
le
,
possono
quantità
è
la
di
quaur
di
stessa
,
di
segno
,
Ora.
•
non
è
questa
disuguaglianza.^
aperta
Ma
3^.
ritmi
integrando
pure
(/^ avremo
'
=
+j/
x/^,
=:
%.
la
^*
+
quale
deMogar
mezzo
per
differenziale
l'equazione
?
=:
con-
quantità
almeno
cioè
dirittamente
^
pure
esprimere
ad
qùaiitità
due
r identica
.
di due
inutili
dette
se
,
re
pu-
inutili
essere
assoluto
di eguaglianza
tità
saranno
quando
Poi,
?
i
divergenti
esse
di
derà
lo
non
nel
,
^ss^re
eioni
"
j^
il valore
primerc
diverse
,
serie
le
perchè
i
di
.caso
siedasi
dirà
"
y
espressioni de*
contesa
senza
sono
le
se
5^
.
coi
^
=:
doppj segni
^,
equazione
e
/ ±
"
no
non
,
dà
tutti
i valod
di j^
positivi.,
e
negativi,,
so-
•
.
.
mg
X
jolo
positivi ,
i
segno
—,
zione
rappresenta,
numeri'
vedemmo
logaritmi
logaritmica
la
dunque
differenziale
equazione
sere
pio valore
di. ^
che
^
ci
esempio
per
se
es«-
dop**
un
=;
^
?
possono
diano
ne
^
x
t—
,
dispari
numeri
sieno
m
n
di
nell'
potrebbero
,
infiniti valori
noi
esponenziale
che
dice
natura
indicati
mai
equazione
d' Alembert
Ma
37.
air
la
questi rami
se
come
,
passando
svanire
Anzi
?
de'
potremo
ìntendianjiOj venissero
li
noi
come
rami
allora
sarebbe
,
j^
n
n
)^=i?^=:
+
x:redo
Io
V(?'",
che
V
equa-
,
zione
j^
±
=;
y
dei
che
tivo
^**
dia
non
punti conjugati
,
pou
U
equa*
relazione
perciò
e
,
Come
piit
ella
avere
prendasi
detta
t
dire
altei».
j
,
inchiude
e
co' loro
i;iegativi, se
con^c
pure,
e
+
il segno
prendasi
se
positivi, e
jiativamente
della
X
43
e
ramo
sconnessi
vi
S!9no
corrisponde
non
allorché
come^
negativa
cui
a
^
si
e
,
,
punti dell'asse
nega^
,
che
talmente
continuati
pel
k
metta
^^
infiniti
ordinata
'^t
\
^
,
qual
i
'
'
numero
può
non
=:
±
n
compreso
essere
da
quando n^mi^im
equazbne^
^
"^
'
?
-,
v^^eF
essere
"*
non
dispari
è
in
:t
—
;; onde
g^nei^Ie
non
T
j
p
X44"C
adatta
si
non
ciò
il
curva
uniti
può
non
di
solo
ma
esse«
punti
,
oltre
In
divisi.
punti
di
punti delibasse, eper«
i
della
negativo
ramo
composto
re
tutti
a
ben
conviene
ricordarsi
che
^
r
equazione
di
y
logaritmi
può
to
non
e
logaritmica
una
,
due
che
medesimo
nel
nella
luogo
suddetti
dai
tuttoché
metiche
arit-
progressioni
tutti
tempo
valori
i
valori,
della
debbono
ta
forma-
esclusi
intendersi
venissero
a-
possono
non
geometrica
progressione
separatamente
valori
quan^^
,
,
ver
in
non
se
onde
geometriche
e
sistema
un
rappresenta
le
rappresentare
,
"li "
^ne^
dal
ammessi
x
.
jS» L'equazione
meglio
per
intero
dire
sistema
r
di
della
dunque
Logaritmica
che
equazione,
niente
logaritmi
involge
ne
dice
in
o
utt
re
favo-
,
de* Bernoulliani
e
forma
invece
che
ne
,
positivi
)
^
mostra
sì,
ma
fiostra
39.
poirà
per
penso
de'
nella
logaritmi
Ma
la
glianza
disuguanumeri
de'
della
costruzione
.
delle
mezzo
ella
avere
ciò
offre
negativi
Logaritmica
ne
i medesimi
contro
argomento
mo
fortissi-
un
,
non
più
rami
osti
in
iperboliche
aree
?
Io
alcun
credo
che
modo
alla
opinione.
La
curva
costruire
dell*
sempre
equazione
che
n
sia
di^
numero
=
%{
~
impari
,
e
in^
X45X'
Costruite
intero.
e
le
in cui r assìssa sia AN
qualunque
un'assissa
sia
area
ordinate
là
la
=
=
supponendo,
la
AN;
=::
Ora
cercata
curva
=
-
ad
corrispondente
proporzionali
saranno
PN
.
-^
AR
fig.j,
,
—
fatto y
q
T ordinata
"^
l'area
-Cercare
vien
con
Iperbole opposte,
chequest*
queste
a
alla
cui
le
curva
aree
sa--^
assi^sa
stessa
j^
.
positiva
F
Sia
-j- npsr
rapporto
NPSR
sarà
-f- AnpG
essendo
che
deir
area
AR,
=:
NPOA
npsr
NPOA
V
è
negative
negativa,
pure
assissa
cioè
Ar
dx
avrà
,
+
NPOA
valori
risponde
tero
Ar
rispondente
^
due
curva
stessa
,
—
a
io
Ar
,
r. ordinata.
NPOA
=:
,
all'area
AN,
Aw
AnpG
ma
,
rapporto
que
ad
rispondente
area
corrisponderà
negativa
o
3
dell'area.
valore
.
=
sol
rami
di
e
di
renti
diffe-
segni
dunque
^
^
impari
numero
n
simili
eguali
dun^
:
,
valore
essendo
-^
NPSR
=
di j^
eguali
un.
due
NPSR
sarà
assissa
questa
a
la,
in*
te
similmen-
e
,
posti
da
una
^arte
dall' altra
e
della
nea
lì-
,
K^
40.
Questo
evidente
discorso
Ma
del
d' Alembert
L
Foncenex(Tom.
a
me
re
pa-
dell' Accada,
.
di
Torino}
dice-, che
benché
5Ìeno
uniti
per
kg*
k
X
le
iperbola equilatera,
quando
Unita
negativa
ta
e
dell'
r at^éa
lui
do
è
k
nelP
Alembert
^
dò
V
e
sia
^
diven^»'
e
^
negativo
ed
altre
simili
risponda
assai
bene
alla
de^ numeri
conferma
mi
positiva
^
posizioni
op-
,
appendice
i logaritmi
secon«
e
infinita
e
quando
queste
che
parmi
:
,
positiva ^
a
.|
sono
dlvien
iperbola
^
Ma
infinito
noi
aree
finita
e
^
opposti déli^
rami
i due
continuità
deUa
legg^
X
4"
memoria
sua
negativi
pra
so-
in^
più
e
^
l'ordine
osservare
il d^
cui
con
^
le
camminano
nella
ii^^z=:jri^
4al punto
A
dal
aree
fig.4" dove
N^
punto
assisse
le
prese
l*espressìon dell'area
9c^:=:yt=::a
equazione
della
curva
essendo
quale
le
e
nella
aree
^
è
—*
,
4
s
Or
posta
cagion d'esempio
a
2—
area
positiva
^^
area
positiva
si ha
è
caso
dell*
aree
La
4i«
?
parte
ma
ha
e
l'altro
altro
la base
ostante
ha
T
medesima
sto
Que-
i^i.
—
analogo
quello dell'
a
•
dunque
due
avere
negativa
dall' altra
la
rr
^
apparisce
5
non
ponendo
si
i^
e
? —
Logaritmica
,
ciò
?
iperbola equilatera
curva
V
?'
sommamente
costruzione
positivo
!=r
^
cioè
positiva, h diverso
detta
sud-
rami
uno
uno
da
una'
)
parte
il sistema
dalla
de'
dal
dell' assintoto
logaritmi,
sistema
;
che'
dero-
ga-
\
X
garititiiche
ha
la
ciò
perchè
sintesi unisce
ma
r analisi
base
ti
può
non
un
di
problema
dati
e
sistema
muta
«
it sistema
che
ha
5
sistema
ma
la medesi-
ha
che
5
abbiamo
Ne
di ciò mol^
.
simile
caso
condurre
circoli
si
della Logaritmica ,"
rami
unire
negativa
ma
esempi ^
due
i due
positivacol
base
base
negativa^
ma
^
mutando
La
k
base
stessa
)
e
X
47
una
La
somministra
ne
comune
tangente
sintesi
il
a
insieme
abbraccia
.
la tangente
rispetto a
^
parte
i centri
parte
te
)
il
e
di
centro
dà
còme
^
sciogliesseun
mo
in
problema
altro, che
Ecco
.
non
che
è
,
e
geometriche
geometricamente
Logaritmica
sistenti
come
par^
tangente'
una
se
sciogliesse
ne
fare col
nulla che
mutasi
il
algebraico^
5
pri*
problema
dipendente
e
quando vogliasicostruire,
concedendo
Né
rami,
due
la
pure
pajan
nostri
taluno
a
discorsi
,
Logaritmica
corrisponderpotessero
ora
aver
ora
,
«
gli anteriori
aver
negammo
che
da
resta
generale teoria delle progressioni ariimch
tiche,
la
quella
paratamente
tangenti se-
l'altra
come
sima
mede-
dall'altra
^^
avesse
pertanto
questione
dalla
e
circolo
un
delle due
una
dair altra
un
circoli
delP altro
centro
ma^^f analisi
:
due
dei
dalla
restano
5
rispetto a cui il
una
cui
abbiamo
.
ad
negato
due
poiché
rami
solo
un
insus-^
tali
q
,1
sistema
^.
o
,
sostenemr
mo.
X
che
ino
le
avversar;
questi dae^rami
di
^ìsLttìoancora
42.
erano
veniamo
k\ celebre
che
Io
vane.
dimostrazione
alla
ere-
di Eulera:
contraddetta,
tanto
e
la esistenza
per
verissimo,
esser
Ma
^
:
àegV
prove
5
X
4»
liberiamola
e
,
dà
opposizione.
ogni
memoria
I-
Tanno
per
=
/(
f
0*
/(
a/
,
l(
=:
fatta
e
sendo
-**
ni
dunque
;/x
=
^
l
=:
cui
nnn
dal
y
3,/"
che
dice
Ora
il
dal
e
,.
lunque,
qua-
niy
^=:
ì
+
es-»
9c7
t=z
overo
^
{1
.
Frisio
+
n
yt
)'* equazione
la
sia
seguito
Pessuti
Signor
y
il lo*
trova
^c,
che
Sig. Caiandrelii
si,
non
^
chiarezza
bastante
con
=
^
infinita
ancora
,
vede
i-iy
{i -\^ iy
-*
'="
x
data
Eulero,
gftrit«a
-f-
i
numero
96
sarà
»
-^z
quindi
«
U
,
con
di
prendasi
n
essendo
^
:=z
y
,
poi
s^
=
y
-f- /)
(i
I
=
;
(i -f* ^j"
avremo
quantità
sia
I
di;
,
-j- iy
i
i
se
iperbolico
=
nella
pertanto
dell' Accademia
che
1749.
4-
I
egli
atti
logaritmo
il
infinitesima,
sarà
negli
inserita
Berlino
Dice
suppdrsi
dal
come
,
semplicemente
durre
Hh
/(i
-\^ i)
/(i
JY
=
i
z=:
poi de::*
possa
-f
/
2/
$i
2./"
V*
—
i
,
,
i
±4p^
discorso
nqn
$x
1
-^
simile
vede*
"c.
con
a
Ma
quello
bastante
il
di
dir
uno,
è
ciò
che
fare
uà
dicesse, che
chiarezza
dai
come
,
sup-
X
della forma
X
so
V^
i-\
rox.—
+
naturali
meri
i"
itr
^5
to
n
^
cos.
sin.
e
i
=
di
e
—
,
»,
che
posto
-f
(1+
dell'equazione
y
1,
-—
—
,
i valori
dà
0
nu*
infini-
n
generale
fattor
il
,
+
n
conseguenza
i
i
^
,0
essendo
eh*
n
per
di
luogo
negativi
e
fa,
=
—
raggio
,
il che
"c.
3
riesca
positivi
del
in
successivamente
mettendo
è
,
semicirconferenza
la
p
—
n
n
denotando
^
sin.
i
—
n
_
^—
'^
1
—
=:
sia y
o
2x/r
=
I
dà
che
o"
,
appunto
j^
è
Non
;=
dunque
i
#,
i±
semplicemente
/(
dall'
deduce
Io
#)=:/,
/(!.+
dair
e
/(i -f- #)* =
supporre
0^
+
/(i
che
Il
=
/
8cc.
dal
di
supporre
eguale
di
eguale
e
una
e
così
di
porre
sup-
do.
discorren-
via
"
ed
egli legittimamente,
posto
)
^j poiché
=
una
averne
2i,
3'
-f ^)
ragione
una
avere
/(j +
4p^-i
i
"c*
»i
deduca
T Eulero
che
vero,
i,±4pV^—
—
zp^'^^^
±
supporre
2"V^
±
±05
=
dentemente
evi-
si
ancora_5j^e posta «?=£,
i"c*
±4^V^—
haj^cioè/i±=o,±2;"V^—
I,
deduce
e
ciò
+
/i
essendo
posto
/(i +
era
se
/) =
/
sarà
anche
^)
+
^) =^(i
+
/(i
Iji-j-i)
,
cioè/(i+;)
4./1,
i
±
4P
^
^
^
=#
"c.
In
+
somma
0,
i +
ipy^-i,
dair
l'Eulero
ave-
X
/(t
avere
-f-,0
X
SI
-f- ì)*
/(i
i
=
%i
^
i
,
^(
iy
+
I
i +
ì
=
=
to
avete
=
j'
quando
^
=
19
=
,
-^
a^
=
*
—
—
quando
avere
j/
be
del
quando
=::
j^
metodo
a^
^=:4f,
3/t
quando
che
terreb*
.
secondo
questo
te
è
Non
ad
passerebbe
^
,
"c*
appun--
?
rz:
5
274
I
uno
8i»
=
^
^—
a^
- —
dall*
i*,
2^
che*
veduto^
/(i -f-i)
avere
i :t ^p
I
abbiam
come
ad
passa
^—
2p
,
"c,
?/
niente
legittimo
meno
nien«
,
evidente
meno
quello
che
Eulero*
tiene
,
43.
Né
valori
di
vedo
iy
è
già
sui
appurata
qual
il
fa
come
cade
questione
il
Sig. Pessuti,
di
valori
già
non
dei
uno
imbarazzarsi
serva
i
valori
dei
la
mentre
-f- 0
/(i
sopra
»
è
ì
che
a
questa
^
valori
^
di
+
0
2^
V^—
/(i
è
^
±
anche
?^
valori
che
ha
,
Altra
44.
allo
±
di
di
x^
valóre
è
di
2^
—
lori
va-
«^
^
~
T unità
anche
x
valore
sono
-f- 4*^* -f-
i
de*
che
perchè
i
,
cui
il pensare,
valori
i
valori
essere
sarebbe
.
difficoltà
metodo
stesso
i
/(i-f-^)
equazione
per
che
y
possan
di
essere
neir
X
6
Jo
quanto
possano
di
":c*
J
—
sono
#,
3
s::^
V*
4^
perchè
il pensare
strano
^
i
,
tanto
i
di
di
il
muove
Sig. Cajaqdrelii
ed
Eulero
è
che
è
im«
,
che
possibile
,
a
un
dato
Di
numero
(i
+
^)'
divenire
possa
qualunque
x
/
lo
che
e^uare
egli
cre«
de
X
de
di
svolgendo
provare
in
mio
X
52
cui
è
/
serie
in
infinitesima,
detfo
ed
confrontandolo
pure
de
infinita.
sia
n
forza
ogni
binomio
col
{y +
Ma
subito
che
infinito,
n
3
^j')",
ciò
ch'egli
si
rifletta
4-
(I
^^nt
^
q
sere
per»
nel-
^^
xA
A
quando
sia
i infinitamente
il secondo
finito
numero
un
lo,
picca-
ni
termine
^
può
dall'unità
diverso
un
:
I
i
::
finito
numero
al
;?
T
come
analogia
lo
esige
necessario
è
che
Punita
sia
Ciò
n[n
).^'
I
—
.
termme
—
—
—
,
'—,
che
si
in
converte
è
—
essere
per
^
infinito
posto
•
,
terzo
e
,
.,
n
questo
,
non
jl
sarà
quarto,
es*
chè
per-
,
facendo
cui
che
===
infinito,
;/
e
,
i)«
8cc.
—
'
in
dice
,
la
bìncv^
che
chiaro
,
'
,
i.z
altro
è,
non
e
nt
che
la
metà
così
si
troverà,
del
che
,
mine,
il
qual
si riduce
ad
del
quadrato
essere
il quarto
ter-
è che
non
-7-
mero
nu-
6
la
via
sesta
parte
del
cubo
del
numero
ni
e
così
,
discorrendo
Ora
.
potendo
concepirsi #
ed
/i
,
'
tali,
X
tali
che
il
ni
numero
X
55
pochissimo
sia
maggiore
,
dell'unità,
finito ?
sia
Che
di j'
in
Il
tgVi
à'^
in
Tanno
Opuscolo
un
=
X
-f. i^a"=
^
lo
che
=:^
di
valore
ciascun
serva
neir
se
ricavato
»
a
equazione
determinato
numero
verificare
.
equazione
sarebbe
d^
sario
neces-
fa
corrispondono
si
pertanto
che
T Eulero
dall'Eulero
non.
al
infiniti
loche
ciò
provi
,
,
egli dice
x,
equazione
V
egli
come
«
Quando
garitmi
numero
,
conchiudere
per
il
dalP
,
che
dicendo,
si determini
soggiunge
,
do
essen-
dubbio
altro
promove
che
-f- k^'
1
00,
impresso
,
=
=
finita
Euleriana
dimostra
non
va
pro-
si avrà
ì
=
jf
quantità
1782.
dimostrazione
la
;^
dy
quantità finita.
:
Caldani
Sig.
Bologna
contro
1
af"
::
numero
non
di
caso
essere
è
che
ndy^
=
j^" questo
nei
per
,
i:;?
primo
se*
ny^'^^
termine
T Eulero
poiché
1
ny^'^^dy
45*
del
contro
:rr
qualsivoglia
a
il secondo
poi
la suddetta
che
^
eguale
il differenziale
niente
e
vede
non
diventare
può
rie
chi
provarsi
tolta
resta
,
difficoltà
ogni
provare
che
:
d^
purché
€
^
=
là
come
ma
=l
di
niente
x
-{- h»
sìa /==«",
esigono
pih
sempre
come
le
qui
che
facile
,
e
,
ralmente,
gene-
si suppone
condizioni
volute
,
D
3
dall'
"
X
Tom.
troduz.
I*
=
fatti
In
in«
sa
ognun
•
»
!V(M-+ l^"c.
+
+
,
(vedi
calcolo
suo
)
7.
cap«
i^Jf
/.
,h,
istituire il
ndr
Eulero
dair
X
54
1,2.3
l.Z
i.i^
Ognuno
che
ancora
sa
-+•
i
^*
+
^
=
,
^
i.a.3
i.a
~-
I
4.
L
?^
'
J
.
1,2
I
i
=:
8cc.
-^.-^
^
1,23
4^*^ è
Dunque
00
essere
per
identico
con
+• ^«
i
.
sia
qualvolta
ogni
4-
^==
giacché
«
k7=zlay
si
poi
lo
come
abbia
vore
5::
^'^
necessario
«he
i fondamenti
esigono
dì
=
«",
su
qua-
affinchè
Eulero
F^+Té»
è chiaro
desume
che
quanto
ii Sig. Caldani
sia
na
va-
in
fa*
)
dubbj
de*suoi
«^
sia i
i
supporre
,
=1
prova
I.+
dell'una
nriembro
,
la
Tequazior
deir altra.
il discorso
appoggiato
è
primo
membro
primo
col
identico
li
il
la determinazione
verificare
a
equazione
j
4(J. Essendo
t
anche
servire
i»'*==
ne
sia
(qualunque
*
deve
*)
di
è
"^»
dall'
ricavato
0
Dunque
k=:^la.
e
^,
=
di
qualsiasi valore
I
i
Qui
.
"
\
si
non
né
"»
=
dall* equazione. V"
la
salva
la
3^^
27
condizione
che
condizione
=
sia!
i
»
y
cioè
X5SX
_
cioè
V^5
/^rr/
Dunque
può
non
V^^^
essere
.
=
^
+
I
«
in
non
se
qualche
Dunque
caso
.
qual meraviglia
i
tutti
non
se
valori
di
che
z
,
all'equazione
servono
trovi
ne
se
^3^*=:
air altra
imche
+
i
E^
27?
abbia
che
uno
=27,
%
qual
Caldani
non
fòrmole
in
ne
architettate
che
modo,
de'
mosse
de' numeri
logaritmi
Signor
le
posta
si dovesse.
ficoltà
dif-
tre
pure
dimostrazione
diretta
questa
a
bella
a
trovarvi
pur
d' Alembert
11 celebre
47.
il
se
,
avesse
che
va
prerogati-
troverebbe
si
pur
accidente,
questa
,
; il
servono
dell' Eulero
negativi
che
imma-
,
ginarii
li stabilisce
infiniti
e
le
alla
del
197.
pag.
a
è
prima
che
=
Eulero
vuole
come
essendo
»
tutti
può
non
positivi
e
n
finitament
in-
sentare
rappre-
Ora
io
co
di-
,
sarà
che
che
vero
Eulero
si
sarà
forse
,
,
male
espresso
che
qui bisogna
rappresenta
non
può
appunto
resta
4
intendere
^
abbia
-f* • )"
D
ma
,
Eulero
fiiÈ
I
logaritmi
piccolo,
(1 -+-»)"
numeri
dei
che
(
i
senta
rapprey
,
^
non
»»
infinitamente
grande
che
sciolgono
,
,
perchè
li
Opusco.
+*)'
/(i
si
mio
parer
y
La
de' suoi
Tomo
primo
facilmente
che
e
quali leggonsi
,
,
dire,
voluto
tutfio
mai
un
che
sistema
diventare
provato,
/(i-f-w)''
:
che
quantità
che
se
tiva,
nega-
i numeri
ne-
ga-
X
gativi
negativi
in cui
sistema
onde
;
l'hanno
che
segue
il
reale
i numeri
,
te
assolutamen-
logaritmi
i loro
hanno
o
immaginario
"
positivi
numeri
che
avere,
nel
logaritmo
loro
i
possono
non
X
5^
,
immaginari)
anche
li hanno
se
q
reali, li haQ*
)
in
no
da
diverso
sistema
un
quello
che
serve
,
ai
numeri
positivi
.
La
48.
è
difficoltà
seconda
equazione
V
che
,
2"5—
y
2^
I
,
I
=
*~
1
^
±
«•
c^os.
—
.
,
4-
V^
—I
s$?ì.
7f^
.
'
alla
quale
/
=
j
dà
»
n
n
arriva
j
—
"è
e
nella
e
intero
numero
un
quale
+
=:
j^
i)t
(2"^—
180%
^=:
qualunque,
,
solo
non
Eulero,
V
1
—
come
,
vuole
Eulero,
anche
ma
poiché supponendo
diventa
ciò
che
di j;
T
00,
,
si
/—
cioè
o,
»=
o
verifica
=0,
i
equazione
Ma
dico
io
.
troppo
è
Qual
luogo
=
cioè
1,
prova
niente.
in
=
1
j'
=:
"'
in
la
^
perciò
e
,
quantità
non
che
finita,
queir equazione
se
prova
sia
posta
=:
»
00
,
riduca
non
T
denotando
a
quazione
±
y
V^^
equazione
qualsivoglia
supposta
I
-^
che
.'
j^^
,
.
.;^
=
i
?
Facciasi
quantità
diventa
;?=oo
i:
^
1
a
Q
per
jgjtj
"^=:^
finita
T
;
i-\
essere
1
=
=:
=:
—
1.
e-
j
c"
Dunque
1
ar*
i
i
zero,
la
=
fattori,
non
a
X
38
che
se
X
buoni
son
mettendo*
trovano
ne
ciò
ma
sarebbe
uno
,
sbaglio
perchè
leggiero
non
fattori
i
di
,
formola
la
qualunque
formola
=
da
o
stessi,
ciò
con
sia
o
cato
vendi-
il celebre
direttamente
logaritmi
negativo
mero
Farmi
no
opposizioni
onde
dell'Eulero,
li
sempre
.
le
tutte
infiniti
sono
o,
una
^
arriva
immaginarli
da
diversi
e
metodo
re
trova-
a
ciascun
per
numeri
de*
quelli
mh
,
positivi,
Ma
dirà
taluna,
manifestino
delle
modo
in
in
modo.
ne
me
offerse
uno.
con
lo
accompagnato
narii
quando
,
Concoide
52.
della
k
al
di
Sia
lo
CO
ì
niun
il circolo
e
sta
manife-
si
non
maniera
ordinaria
archi
quattro
come
egli
In
immaginario,
arco
considero
un
:
quan-
si
ma*
immagi*
caso
delia
circolare.
(fig.5)il
raggio
esso
è
Non
?
esempi,
Poiché
da
bas^
Concoide,
varii
nella
nifesta
no
manifesti-
si
e
contraddittorio
verun
considero
considerazione
metodo
altro
ciò
di
si
non
,
con
Cercai
connesso
do
geometriche
maniera
certa
negative
nella
alcuno
progressioni
immaginarli
può avvenire,
mai
come
quantità
logaritmi delle
i
ciò
no
han-
ne
,
51.
che
immaginarli
reale
di
uno
infiniti
oltre
che
A
il
circolo
polo,
facendo
AC
OD
la
base
V intercetta
=;
circolare
OMegua^
CP
*^ CO=iay
^y
XS9X
Onde
r
sarà
equazione
^{b-\- *)* -j-yy
cioè
OM
,
bb
bit
-"
—
y"
=
che
4
diventa
maneggiata
,
j^»^
—
"^
~
4^jfJy»
f
Zà'bii*
—
+
la qual
in
equazìo^ie
questione
Ora
il
portato
è
6=0
tagliata
infatti
come
retta,
chiaro
ha
che
fatte
{^a
r-*«
è
un
in
sei
A
nel
che
A
=;:
3*r
-
^yjr)
circolo
C,
o,
per
l'equazione
a^*y
=:
accompagnato
nel
fattore
linea
'^
A
«.
fatta
cioè
colo
cir-
un
raggio
za-
divenu
la
o
"®^^
°'
-.4«v5"-
(««+"'/)»
immaginarii compresi
sia
diventa
e
curva
una
C,
curva
centro
per
da
punti
centro
la
la
essere
quando
,
,
+
poter
succede
polo
,
Pure
mostra
qual
ala
cur-
,
da'
quattro
archi
(x» rf^^^)» =;
55.
Qui
o.
Qui
53.
fattori
i
dividendo
te
equazione
V
è
l'equazione
=
che
per
di
trattasse
un
quantità
una
de*
,
i
avesse
x
the
portasse
y
a
si
sei
•
problema
notata
Ma
o
(xx -f »')* giacché
per
,
leva*
si possono
immaginarli
che
valori
competono
,
nell'equazione
X
x^
-f
4a^x^
—
5"^*^* +
?
^
.^
+
cioè
(xx
$
8^V
—
-}- ct)(xx-^ccy
/i.aa
-^
Sa'c'x"^
—
direbbe
si
non
3cV
=
egli giustamente
^
~
o
dovfeb*
non
e
,
anzi
besi
dire
che
y^4aa—ccy
+
e
X
«
che
quattro
r%
—
=
V"
—
quantità
ha
metodo
per
reale
di
e
lori
va-
sesia
c^
i/r,
V
—
vengono
dere
dipen,
immaginarii
infiniti
,
immaginarii
i fattori
delle
che
equazione
una
rS
—
a
,
tutti
cioè
logaritmi
i
legittimo
risoluzione
fattor
un
^=
dunque
Se
due
immaginarli,
rS
—
—
r*?
—
dalla
V*
X
reali,
sono
sempre
sono
,
V^
=
che
ha
quantità
questa
^
perchè
non
positiva
ha
pure
op-
si
,
?dovrà
dire
che
ogni
quantità
un
,
logaritmo
quantità
ogni
della
li
cui
credo
contro
e
,
alla
ora
in
favore
T
io
li
tutti
ha
proporzione
del
cerchio
fortissimo
opinione
del
immaginarii,
infiniti
circonferenza
da
trarre
e
negativa
Veniamo
54.
na
reale,
immaginarii
BernouIIiacol
argomento
del
medesima
Ora
Leibnitz
•
e^che
io
tro,
diame-
poter
Bernoulcosì
giera-
f
è cèrta
Egli
^ipna^
cercando
che
noi
questo
il
noto
rapporto
reale
che*
lo
^e
già
quando
cer^
innanzi
conosciamo,
non
reale
esser
il
ad
calcolo
dovrà
eguale
esso
così
rapporto
,
dal
un
sicuramente,
scopre
,
datoci
già
cercasi
cui
a
è
,
.rapporto,
no
sapendosi
esso
,
un
o
ad
poiché
il calcolo
siccome
,
sìa
primere
es-
ra
manie-
essere
reale,
essere
il
e
se
di
qualsivoglia
,
chiamo
dia-^
eertissimo,
calcola
troveremo
pure
eguale
altro
in
che
tale
esser
del
mezzo
per
E'
reale.
del
,
dovrà
eguale,
è
rapporto
rapporto
j
proporaione
la
circoferenw
alla
metro
che
essere
,
il
quando
reale
calcolo
proceda
rettamente
,
uè
,
falsi
principi!
ammetta
tale
Ma
sicuramen-i
.,
è
te
dunque
metodo;
l'usato
diametro
e
il
circonferenza
la
espresso
,
/
dovrà
I
—
/
se
reale
essere
;
sia
non
I
—
rapporto
immaginario
sere
es-
dunque
sarà
Che
immaginario
poi
il
.
di
V—
I.
/
:
quantità
di
modo
quando
reale
credo
non
tuttoché
le
sia
I
—
rapporto
/
—
sia
i
•
,
immaginario,
Frisio
siavi,
il
che
ovunque
esservi
ma
si
gare,
ne-
che
sa
spaventato
comparivaria
vedervi
e
ilpoSsa
avevano
tssQ
assurdi
chi
negasse:
lo
immaginarie
,
deva
cre-
paralogismi
.
,
Cosi
:
y
I
—
i
può
non
,
/
V-^
per
reale
ma
i\
tra
dubitò
non
che
asserire
la
formola
danica
Car-
,
era.
falsa
e
,
né
inutile
,^
bastò
a
disin-
so
felice,,
Fuso
gànnarlo
può
non
volte
molte
egli
sicuramente
che
non
ste$^
fatto
aver
gli
e
,
fece
re
"condo
la
il
e
se^
detta
concepire
ri^
trovare
una
siasi
qualunque
eguale
essa
che
quasi
un'equazione
l'incognita,
separare
ad
espressione
di
maniera
comune
soluzione,
di
esse^
non
risolte,
soluzione
alla
bastasse
non
grado
terzo
generalmente
ancora
state
di
equazioni
T
dire,
Ma
•
che
pìh
negherà
Chi
?
=
essere
?
i
Con*
^
verrebbe
inventare
Algebra
nuova
una
non
se
,
si
volessero
accettare
la
Ma
SS»
proporzione
circonferenza
mosse
esprimesi
I
da
celebri'
io
Si*
diff.
===
—
diametro,
evitare
al
al
tang.
are.
dsQ
a
che
via,
tra
le
,
con.
^
tang.
are.
dx
^dn
.
Il
1*1
X—
Il
?
Il
*
??
1
1
1
.
iit
I
?
Il
II
»
Il
d9$
II
I
II
IH
MI
mimimm^mmmtm
d»
?
^^_
cui
risulta^
tale
sarà
KdH
porto
rap-
è la seguente
==:
^
la
difficoltà
metodo,
arrivato
e
pei
giustamente
Per
tss^K
per
il
tra
ella
ì
I
•
Matematici
giungo
vi
~jr
:
Bernoulli
supponesi
to,
/—
^—
idee
queste
„
_j
é
^
5( "J3 X
jL.-'*
la
??
*—
aV—
I
*
C,
constante
V—
—
?
determinando
-*
I
-*~—
=
V^
i,—
^
—
z
—
V^—
I
—
.
stn.^
f
:l^_^
=
COS.
9
—
,
sm.9
v:r7+
COS.
?X'
/^^
^^
^.y
p.ZY
—
r
I
—
9
sin.
—
cos^^\r^x^sin.p
X^.
=:
I
^.V^
cós*
"?
?
"
?
—
;
:
—
^
20,V^
I
—
W;?,^
V^~*i—
rQ5,y
_^
19
y-
(m,9V*~I^j/;y,»)*
I
—
^
^
20
V*
—
I
^
~
5//?,
^
V—
I
~
COS.
0
_^
-f- W».
2*
V*
—
I
coj,
^
V*
—
I
—
cos.f
-j-sin. ^V-^i
»
__
COS.
9
—
cioè
sin.^^iY-^
t
9
I
h—
-f
»
X^4X
V^
2^
(cos. p ^sin.
I
~
V
^
—
i"
_
(
-|-(wu. ?")*)=
V—
^
)* -f- ( sin.
^
y
(p
^^^
4" sìn.^V^^^i )*(essendo(r^5.
{cos."ti
=
"r
COS.
cioè
I
al
eguale
onde
raggio,
I
=
e
-f- sin.
co^.
p
(fy
V^
I
—
•
.
V^
{are. tang.x)
è
=
x) -f-sin. ( are.
{are. fan
COS.
i
—
).V*
tan.x
i
—
{arc.tan.x)V^^x
V^i +
x=
se
chiamata
I
e^
mo
=:
/ V
:^
V—
—
r;=^
V
quadrante,
al
cioè
-
.
2
2
S
t
=:/—
V^ITi
onde
.1^
:
I
Se
I
^=:^
avremo
.
1=:/—
"/"—
«•
se
•!
=:—
/t-
:
I
T
:
i
nr
^"^
*
'
XX
avre-
Se^=:
;—
avremo
i^'jrv^—i
•—
+
semicirconferenza
la
V
=
eguale
"^1
^1+^
^
l
^
v^
n:
X
.—
:
,
/
*
'^
—
a^rV
;
I
—
2T=:2V/'~i
se
I
=
:;=
avremo
2^
,fl"
/i
I
,
;/i,
;
2«
.!_:
=;
^
=:
«•=;
V
i
,
—
i
iv/'"—.
^:
I
/i
,'2
/i.
:
/
:
volmentc
divise
e
cioè
avrebbesi
ima-
quantità
una
per
pure
,
ginaria
X
^^
X
yj=^g"-g
sen.
,
alle
—
realmente
nella
rono
da
si arriva
del
serie
quali
che
alcune,
calcolo
nostro
sioni
espres-
occor*
Ma
ogni
.
assurdo
sparisce ogni
tuttoché
espressioni
reali
essere
qual
involte
che
del
volta
dette
imaginarii
d'
vi
non
mostrisi
ha
poter
piii facile
cosa
.
,
Buttisi
Sj.
in
indeterminati
de' coefficienti
e^^'^^
quantità esponenziale
la
V-i
e^
avremo
metodo
col
serie
—
j
^
i^±
V^^
^
z
^'v^—
^V—
p^
I
a.j
e
risolta
in
a
2,»3.4.5
2,3.4
-
p'
I
,
,
serie
la
pure
quantità
esponenziale
.^•3*4*5
^•3'4
a.3
2.3.4,5,o
6
p
"c.
onde
cos.
p =
-|-
2
2^-3-4-S-^
2
-^
"c.
—
2.3.4
2
quantità
come
^
vedesì
in
cui
gì' imaginarii
,
sta-
re-
X67X
esclusi.
Stano
-*
Così
1
;
sin.
avremo
Scc.
?
f^zzfV'-'i
dividendo
e
per
%
-^
V—
avremo
I
2*
—
^^-^
4
.
serie
2.3.4.S
2.3
"'
"c.
'
?
?
?
,1
?
2
il valore
esprimente
del
nella
seno
quale
,
appariscono gì' imaginarii
non
re
pu-
^
?
.
S8.
Ma
la
metodo
altro
per
proporzione
,
da
ella immune
Sia
d.(P
=
del
raggio
-f-
=:
della
i
dn
chiamata
I
2V^-.i
4
B
2
V—
—
•
circolare
sarà
x
^
X
*
la
'
I
I
^
^'"^
rTFZTr
_»
«
r
'
I
sì
^f^JTiJ^IÌZ
l.
^
I
=
=:
dx
=
p
—
?
dell'arco
,
integrando
che
pare
me
tangente
_
—
A
è
non
XX
j
e
Bernoulli,
r elemento
j
I
fece
come
paralogismi?
—
dedotta
Bernoulliapa
Ora
r?
•
semicirconferenza
X
I
—
•«i—y—
y^i
I
se
avremo
x
X6iX
onde2r
/p=/—
=
Contro
Bernoulliana
i
dedurre
di
maniera
questa
2:2t=V—
I,
la
m'accorsi
che
:/—
i.
ne
proporziostata
essere
u-
,
sata
dal
pure
do
1* intera
essere
/ V"
periferia
,
—
^
per
espressa
.
eguale
essere
.ilyr^-^izzz—^
r^
—
risultane
che
detto
dedurre
puossi
non
I
—
fu
Sig. Pessuti,
/'—
—
perchè
I
y
,
/i
Io
sarebbe
che
dedurrebbesipure,
che
proverebbe
che
i
secondo
noulli
eguali
;s9no
lo
che
dal
logaritmi
noi
per
suddetto
un
calcolo
.
di Ber-
negative
proveniente
assurdo
ragionasi
Ma
r^r—
quantità positive,
delle
sarebbe
a
quantità
delie
logaritmi
a;
eguale
il parere
5
a
benissimo
•
dall'
passando
espressione
^^
altra
/
?
?
dalla
i
—
.
/ v^—
all'
x
,
.
\
quale
s'
inferisce
,
^
che
il
logaritmo
di
—
i
sia
imaginario
e
de-
,
ducesi
benissimo,
che
la
stessa
periferia debba
X
X/9
eguale
essere
pure
a
/i
-
sbagliasi
ma
•
,
,
^
i
che
ciò
da
quando
logaritmi
ai
guali
raccogliere generalmente,
si vuol
delle
quantità- negative
logaritmi del^e
perchè
si
non
che
non
eguale
logaritmo
il
può
raccoglier
delle
quantità
proporzionale
o
medesima
della
si
sa
eguale
di
In
I
di
nugatoria
è
sarebbe
come
de'
quali
dicesse
che
/
due
equazioni
^^
di
„^»^^«ir=o,
,
.
o,^'
=^
^
di;)^
e
l'altro
differenti
sono
due
x,
-f- a^~
x*
—
mente
total-
di
quella
i valori
è
i
•—
logaritmi
,
nelle
ritmi
loga-
questione
una
,
'uno
de'
de*
qualcheduno
questa
somma
•
è
negative
che
dell'Eulero-,
m^tà
alla
se
,
positiva,. Infatti
quantità
il metodo
per
altro
qualcheduno
a
e-
quantità positive
medesime
,
sono
,
dall'
che
trovato
aver
tanto
=
jc
quanto
i
^
"
=
volesse
I
che
sostenere
eguali.
sono
,
che
glia"
ad
no
y
circolari
tutti
egli
Sig.
Il
59.
Caldani
corrispondendo
medesima
una
abbia
archi
avere
la
un
tangente
che
tang.
medesimo
se*
infiniti
archi
che'
seguirne
bano
deb-
Ma
positivo
w/^
per
e
,
intero
mera^i-^
0
non
.
=
o
semicirconferenza
qualunque
si
differentissirai
espressione
stessa
^nv.
da
loro
tra.
,
la
ad
necessariamente
quegli
vero
per/»
poi (pag. io.)
m
denotando
ro
nume-
un
negativo
?
Dun-
,
E
3
^ue
è
'
X7oX
Hh
tang.
are.
que
^
Hh
+
a^
ha
o
+
3^
"c.
4^
cioè
espressioni
infinite
Se
o
dunque
-^
è
il
=
tang.
are.
-^^^^
li
•
la
par
r
±
p
+
ip
y
Essendo
poi p
/i
equazione
=
ebene
+
=
porta
^
cioè^^^^^
wj",
^^_^
/i
+
=
sussisterà
/V~'
I
come
fa
Mi
.IV^'^i
^'
•
sia
8cc.
ip
y
T arbitrio
non
e
che
meraviglia
,
questo.
a
±
=0,
necessità,
che
o^
o
seniprc
si
^
«ietta
rn^=^
s
egli
y
Qualsivoglia altro
valore
si
o
Infatti
intero
^^
/i
m
V equazione
.
diventa
ad
dia
,
~:^iV'Zr^^
==
.
^
''
$§:'''
=
cioè
(/i)""
--
—
—
1.
^
Ninno
Ijre
V
/i
''?
=
vèr
=
/i
'
"
.
.
poi pretenderà
d/
vèi
"""'
—
X
=
/
che
mai
V^^
si
^
=
possa
'i
ma
stabi*
benà
"
pò-
X.7iX
potrà
/
V*—
^
dalla
I
quale
che
dedurre
^
tende
pre-
5
sia
/
=
i
—
Ma
o
.
che
assicura
Io
chi
-^
—
-?
di
a
12.
^
,
egli
pag.
^_^
/ V^—
=
I
alla
/^^i
equazione
questa
stabilisca
si
,
Sig. Caldani
il
poi
Giunge
60.
che
chiunque
pretendere
equazione
qutUa
in
la
,
/
quantità
la
"/*—
-T
garitmi
di
Caldani
queir equazione
sp
V—
i
ridursi
perchè
Or
loga-
il
Secondo
dovrebbe
teorie
le
sussistono
termini
che
noi,
infiniti?
sono
i
tre
e
sappiamo
?_Nòn
medesima
tutti
in
sia
i
Sig.
o=:o-
a
vuol
egli
.
/
dedurre
che
Forse
riducasi
:=
i
—
a
possibile'che
è
non
=
o
piuttosto
non
e
o,
?
o
quell'equazione
che
Bisognava
?
o
=:
q
V
re
auto-
,
Dall*
il dimostrasse
altra
sappiamo
parte
,
.
che
/ V—
=
I
V^—
p
-
I
^
/iv/'
i,
—
—
I
pag.13.)
come
fatti: ciò
pxr-^iScc.
.2
2
(Caland.
In
^
'^p \r—
,
2
1"
2
2
^
/V*—
-
3
però
e
può
queir equazione
succederebbe
è
non
se
a
difficile
andare
cagion
a
d'
tendere
l'ino
=
esem*
,
pio
nel
E
primo
4
termine
fosse /v^—i
=
^/^ ^~ij
nel'
o.
X
nel
/v^—
2."*
=
I
X
72
V
*
-
nei
e
I
—
membro
2*
^
2
fosse
/v^—i
=
4
J?^ V^
—
4
finalmente
dimostrazione
la
che
Riccati
fatta
aver
la
stabilire
a
esser
legittima
pure
il celebre
suppone
,
Vicenzo
s'avrebbe
4
parmi
'Ma
6i.
poiché
ij
—
vare
per arri-
il BernoulJi
tuttoché
proporzione
nota
Conte
,
ad
esso
in
e
seguito
molti
a
altri
di
Arrivato
paralogismo
all'espressione
.
V—
,
del
,
^
semiquadrante
/
i)
)—
//
—
i^V^—
+
(%
r
,
.
fetta
in-
paresse
,
{
.
Riccati
dice
il Conte
alla
proporzione
conf.
V
Bernoulli
:
V
la
-^
suddetta
arrivare
per
cir-
la
come
i
fatta
che
supporre
infinita, lo
la tangente
quadrante,
del
i
—
dovrebbe
al diam.
cioè
/
che
=
%
oo
,
succede
che
nel
caso
riducasi
espressione
k
I
—
/
^
—
.
la
e
circonferenza
2V"
=
•—
i
2
2/
la
sto
^
—
che
formola
ad
è
--^^^^
esso
essendo
V—
I
si
dire
quanto
a
che
non
di
caso
=
1
2;=:oo
.ma
que-
avvenire,
possa
chè
per-
imaginaria perchè moltiplicata
tuttoché
potesse
nel
divenisse
—
pare,
che
per
npn
rapporto
ostante
non
a
:5:=
potrà
per
rar
trascu-
00
non
ren-
de-
X
che
ro^
sia
che
questo,
X
74
vuol
si
Infatti
infinito
veramente
infinito^
supporre
sia
problema.
Fig.^.
gualménte
in
P
cercasi
la
C
che
il
aggiunta
BD
sia
ai
di
quadrato
del?
e
e^
disegualmente
alla
aggiungersi
rettangolo
metà
della
sta
da
BD
retta
divisa
AB
rette
divisa
MN
e
talmente
due
Date
il
proposto
.
tutta
la
della
CD
aggiunta
in
prima
AB
neir
compch
la
come
somma
,
conda
al
AC
due
delle
quadrati
de*
CB
=
=
MP
e
=
Af
si
icx
:
onde
la
per
-jr
ce
PN
=/»
dividendo
nr
del
4"
-f-
+
**
^^
quindi
e
xji
,
problema
***
avras^
^^*
^^
••
"
•
hb
^"^^
-
tè-j^aa
4
=
,
condizione
^^^
se*
ta
Fat-
PN..
parte
,
BD
della
PN
,
della
quadrato
doppio
MP
parti
i
aa
*^
••
( A4 -f* ^^)
-{-aa)
^cc{àb
y
{bb^aa)
\
tLL
[bb
—
zcx
—
aa)y
—
X
e
però
xk
zcx
'—
•
.
.
.
^
Qo
aa
^
( bb
aa)
^
+
e
bb
^
i
—
-^-^ aa
^
Dunque
—
—
^
zabc
—
i
i.c
di
valori
due
x
^*
cioè
x
^=-
e
—
-^
chi
—
—
non
^
—
—
=r
eccettuerà
sono
sempre
il caso^
in
Ma
imagmarii
cui
sia
x
,
-.
.
a
ijifini*
tesi-
.iesima
rispetto
in
cui
ad
M
*
a
cioè
sia
o
il punto
,
vicino
infinitamente
sia
o
PN
P
infinita,
,
qual
nel
ed
reali
amendue
caso
cioè
eguali
valori
i
ci
^==^
x
di
99
E
considerando
diventano
,
anciie
il
sinteticamente
problema
è
siccome
,
che
impossibile
di
sieno
retta
una
due
medesime
due
i
delle
rettangoli
dei
maggiori
così
parti
è
due
parti
delle
quadrati
che
impossibile
,
sia
-f-
ce
Kx
bb
;:
zcx
:
,
bb
:
aa
-^
-{- da
,
bb^-{-
poiché
rimane
bb
^
aa
in
cui
ce
-f-
:
XX
è
bb
: :
zcx
quando
sia
=
r
ce
facendo
caso
-f-
ce
:
=;
zcc
i^
bb
:
:=z
b
eppure
o
,
qual
-{-
bb
:
aa
—*
solo
un
T
verificarsi
possa
,
e
;
aa
-^
Y
e
'=z:
ìmaginàrio,
cui
e
si
ha
però
sparisca rispetto
da
a
diventa
analogia
que
Dun-
sussiste
di
x
nei
sempre
il caso,
eccettuare
6
sia
qual
unico
,
è
ì9
reale
ed
eguale
a
nel
co
.
il valor
che
ostante
sta
que-
e
aa^
,
non
analogia
^
che
bb
so
ca-
zero.
OPU-
ia
caso
.*-,;*^'
OPUSCOLO
IL
delh
spinta
Della
"vohe
*
JLii
ìE
I.
contrarietà
che
opinioni
di
veggorh-
,
si
su
poche
non
potranno
,
di
essa
di
godere
tsstte
fallace,
di
almeno
o
non
che
evidenza
sopra
,
le
tutte
altre
à\
^
e
grado
credere
far
sannd,
incerta,
quel
che
quelli
a
,
non
molto
tici
Matema-
tra'
regnare
avventura
per
scienza
questa
materie
scienze
convenirle
pretende
Ma
.
così
chi
la
in
pensasse
leggieri insorgono
non
facoltà
illustre
sta
delle
e
di
coltivatori
i
tra
che
dejlle contese,
vista
molte
que*
opinioni
,
nelle
si
quali
dividono,
alla
attribuendo
,
male
argomenterebbe,
Matematica
i difetti
le
e
pe,
col-
,
che
e
za,
de' Matematici
tutte
la
delle
certezza
dalla
palmente
Quanto
versano.
maggiori
princi^
degli oggetti
pia questi
sono
i rapporti
sono
dipende
scienze
semplicità
L'eviden*
sono.
cui
su
composti,
to
tan-
conviene
con
che
,
un
sol
abbracciare,
atto
L'oggetto
estrema
delle
semplicità
Matematiche
non
pure
essendo
esso,
,
quantità
astratta
e
,
ed
connèttere,
generale
se
re.
ordina-
è
che
parlasi
dell*
o
la
'dell*
,
AI-
/"
X7iX
Algebra
quantitàQumerica,
la
o
)
inetica, o
T estensione
Meccanica
poi,
il
tempo
,
semplice,
concedendo
nel
meno
evidente»
stesso
rito di
errare
suo
delle
generali
e
,
e
di
progresso
co^
intrecciato
meno
occasioni
meno
da*
allo
spi*
facilità dubitando
piitdi
pas^i fatti,dovendo
nessioùe
meno
del
ritrovarne l'origine, riandando
di
errore
e
,
e
viene
non
oggetto
suo
,
e
,
teitipo
T ideal
chiarezica dell' oggetto
e
sviluppo
uno
allo
spazio anche
riesce
gnizioni pi^ ordinato
rà
La
il d'Alem*
pure
^quale mila Geometria
semplicità,
La
z.
lo
oltre
perciò
e
avvtsrte
come
considerazione,
in
della Geometria.
se
,
bert, abbracciando
del
deirArit*
se
facilmente
la
vedersi
principi!
,
co'
col
o
con-*
Je pia
proposizioniparticolaricon
di queste
i
senso
delle definiziooi.
3,
gli errori nelle Matematiche
Ma
che
trimenti
nelle altre
scienze,
^
ordinariamente
néHe
calcolo
Il
i)e'prÌQcipti.
volte
i dati
sì b^nc.
,
ma
isfaaglia;
non
si fonda
cui
su
istanno
non
ma
conseguenze
al^
non
aiolte
veri
son
non
,
onde
è
i risultati
ii calcolo,
all'errore, se
alquanto dal
falsi ;
son
tanto
si istituìil calcolo
piii sicuro
quanto
più sicuramente
i dati
vero
e
non
le
reggono
ne
condurrà
Mancarono
•
osservazioni
sulle
,
del ritpmo della Cometa
quali
per/
l'an-
'
X79X
Tanno
si
inutifmentc
aspettata
il calcolo
i daH
corressero
fu
perciò
1758.;
avvisò
ne
che
,
alia
data
terra
distanza
che
grossolana
Meridiano
base
per
prese
allora
torno
in-
velocità
a
calcolo
la
del
di
avevasi
il calcolo
e
la Luna
data
una
«
dazione
degra-
Ja
essere
contenere
per
con
avvenne
come
dovesse
qual
gravità
della
del
apparire,
cercando
Newton
pie
3
doveva
dopo
mesi
:
una
sura
mi-
grado
uti
riusciva
non
mai
,
le
secondo
viste
sue
che
Natura;
anni
inesatta
questa
e
nella
del
mente
fingere
ma
misura
ritardò
la
leva
vo-
il sistema
Natura
,
cioè
gravità universale,
mutua
quando
ci
die-
non
,
della
della
per
che
Newton,
conoscere
quelle
eran
pur
,
Piccart
Fradicia
in
e
sino
Nervood
a
ghilterra
In-
in
,
diedero
ne
riuscì
pib
non
miglia
e
di
la
mezzo
,
sessantanove
alle
qaale corrispose
sue
vedute*
Altro
non
di
ma
,
grandiose
4.
sessanta,
che
piti esatta,
misura
una
vantaggio
che
meno
dalla
abbiamo
calcolo
dal
poi
nella
Geometria
ricerca
,
del
ed
vero,
duzioni
e
è
dai
che
il
risultati
,
la
in
,
lestamente
scere
delle
più
appariscono
falsità
dei
fanno
ne
cono-.
la
nel-
che
beninteso
principii
de-^
mani^
che
quanto
assurdi,
dalle
volte
9
condotta
del
non
calcolo,
o
nella
della
serie
sianyi paralogismi
lo
che
mostrazion
dinoa/
,
è
poi
X8oX
è
così
poi
facile
ad
avvenire
cfii il
Pure
ere-
^
derebbe
ad
?
risultati
di
onta
che
distriiggono
y
il
nenso
a
segno
di
volere
veri
creder
idolatra
si
cotxiuae,
suo
per
che
quasi
do
il buon
contro
piu:ttosto ricredersi
di
risultati
il calcolo
;.nh
qualche
vLn*
o
acquistar k)de
o
T avvilisse
e
il calcolo
que'
onore
senso,
pure.il vinces"e
alcuni
potesse
,
cerla
da
quan^
vòglfono
supposizione
o
^
dato
qualche
mutare
su
diressero
cui
il calcolo
,
mancò
che
e
verità;
di
za.
ragionevolez-
di
e
,
Siffatta
portato
la
dire
a
nel
poiché
Cometa,
il calcolo
a sostenere
costanza
che.
lysS,,
il calcolo
Io
be
avreb-
ritornata
die? va
era
quando
,
alcuna
in
si. vedeva.
guisa. non
moderno,
$...Ua
Autore
iUustfe
delle
calcolo
onde
di
rilevasi,
da
che
gli eguali
indizi!
innocenza,
ciascuno
due
la
,
dice
essa
de'
e
si
,
sarebbe
(
è quanto
tano
mili-
cui
qyaii
se
in
fossero
colare
parti-
-'
k
dicci
la misura
cercasse
) cioè
^
—
,
3
che
probabilità
più Jirobabiie
rei\tà:
egli
la
e
colo,
cal-
^sso
contro
volte
su^
,
da
cavate
inquisito,
un
essere
innpcen^
giurisprudenza,
esem.pip
per
indizj)
alcuni
déir
regole
conoscere
dell'innocenza
sya
delle
esséryi
il
nire
dive-
giorno
un
criminale
uiil^nelU
assai
già, dice
probabilità. possa
che
spera,
.
dire
sarebbe
,^59049
quasi cinquanta
sene
.
vqI-
X
r
unità;
eguali
indizia
per
la
dovendo
dobbiamo
mai
vare
arri-
ciò
d'Alembert:
il
principio
legge
della
o
,
,
che
al^
possibilità del
la
prova
del
invece
se
accostarci
restare
ben
come
degl*
numero
dobbiamo
non
sempre
5
posto
quale
il
cresca
più
tanto
alla
contrario,
più
quanto
certezza,
X
82
T autore
assunse
che
indizio
ciascuno
bert
d'Alem-
col
assumeremo
abbia
decimo
un
dei^
,
del
probabilità
la
la di
geometrica,
serie
antecedente,
suo
cui
avremo
nel
somma
una
nostro
ca-
2222222222
.
,.
.
sarà
so
,
di
maggiore
•
.
due
°
col
prossimamente
prisio
lasciò
che
che
è
di
un
pure
te.
della
fosse
retto,
esso
la
larQ
ultima
a
di
uà
le
introdusse
tensione
peso
la
la
che
tensione
forze
da
e
siero,
pen-
delle
funi^
la
ta
scor-
nel
teoria
nuova
ad
sono
dietro
misu-
dall' azione
prodotta
liberamente
scorre
un
risolventi
legittima,
funi
principila
e
rinovò
,
maniera
Quanto
de'
risoluzione
una
delle
falsità
studii
vasti
Meccanica
sola
quella quando
angolo
di
nella
suoi
ne'
la
contro
sedurre
la
fu
non
pure
guardingo
sempre
si
quarto
un^
«
8.
e
di
che
riducesi
dall' unità
differisce
.presso
^
a
continue
frazioni
delle
mezzo
poi*
'_
gOOOOCOOGO
che
.
terzi,
poco
di
gli
delle
la
calcolare
riuscisse
funi
a
spinta
la
delle
teoria
nuova
giudizio
voi-*
di
illustri
X
Matematici
che
funi
delle
tioRiccati;
diretta
spinta delle
la
di
e
maniera
la
volte
Giorda*.
esaminare,
della
teoria
nuova
ne
pensio-
Conte
celebre
al
della
titolo
proverò
mi
ora
la
col
produssi
,
nella òis*
evidentemente
lo dimostrai
sertazione
X
85
reggere
cor-
di
quale
colare
cal-
non
tanto
principio,
quanto
y
il
fonda
che
gli assurdi,
su
tic
di
opere
il capo
Frisio
ultimamente
titolo
Il
9»
"
vi
de
delle
che
che
da
egualmente
ad
alti
e
E
C,
za,
la for-
trovare
,
può
superiore
due
Presi
EF,
T
diviso
il peso
tutto
la
BCEF
da
orizontale
in
OG
Espressa
O
in
GH,
dell*
nascere
punti E,
EC^
arco
EF
le
la
la
e
raccolto
gravità O,
proposto
arco
piano
cadere
OM,
altra
peso
es-^
y
OG
CHL,
per
I*
,
e
perpendicolare
del
e
EF
inclinato
perpendicolare
verticali
forza
di
tà
me-
per
supposto
centro
il
sopra
si, conduca
tutta
B
nel
connessione
obliquamente
menisi
F/in
Tarco
€
DG
a
,
in
arco
un
alzata
e
punto
il peso
perpendicolarmente
M
ha
*
Dato
:
ADCba^
nel
tutto
fomicum
il seguente
( fìg. 7.)
perpendicolare
una
SQ
volta
Tomo
impresse
firmitate
è
problema
qualunque
per
ben
per
qualche
secondo
teo-
,
per
e
necessario
avere
del
3.
nelle
venirne
Sarà
dirò
io
quanto
sott' occhio
suo
pretende
altri.
dagP
proposte
intendere
sui
aptore
nostro
la
da
Mw,,
retta;
"
Fa
OM
X84X
medesima
alla
OM
delle
Om
due
le
O
liei punto
forza
dice
) Mw,
Ftìsìo
parallelamente
agendo
Mm
sostituire
potranno
(
altre
la
quali
si
5
farà
EF
ad
sforzi
di
a
da
scorrere
suo
ma
luogo
il
piano
del
staCcamento
agendo
pendicolar
perta
tut-
la
forza
al
piano
e
1*
e
s'impiegherà
EF
piano
EF
piano
Om
tra
rirà
confe-
niente
L,
Tal
AFED,
al
nello
in
si
superiore
Tarco
tutto
F
dal
muovere
inferiore
arco
che
bene,
tale
to-
,
del
da
sopraincombente
peso
parte,
una
al
o
all'uno
Così
GH.
GL;
^r/dair
piano
perpendicolare
forza
o
EF
,
Taltra
e
il citato
sarà
alla
piano
nte
co-
altra
aurore
•
Ma
IO.
quanto
di
erronea
la
calcolare
al
forza
della
piano
EF,
OM,
che
avrebbe
di
qual parte
trovare,
sostfensi
dal
del
O
peso
delV
spinta
quella, che
piano
è mai
non
ed
fa
del
ef?
inclinato
pendicolarm
per-
si
aifatto
è
trattasse
in
raccolto
EF,
luzione
riso-
La
1* autore,
qui
peso
niera
ma-
ECe
arcò
quando
luogo,
rimanente
questa
O
if
supposto
libero
la
Ma
•
che
questione,
L'
prendesi
è
FECB
arco
qui
a
h
trattare,
dal
tanto
sostenuto
ben
versa
di-
no
pia-
.
EF,
vede,
G,
contro
quanto
che
esercita
dal
il peso,
uno
Taltr^?
piano GB,
che
sforzo
Dunque
si
sapere
chi
raccolto
suppone
contro
a
però
e
Tuno
la
piana,
non
in
è
proporzio-
ne
X85X
del
m
assoluto
peso
sforzi
da
condurre
convien
due
O
rette
una
,
.
all'un
perpendicolare
OG
ali* altro
perpendicolare
M
qualsivoglia
nella
parallelogrammo
la
dal
viene
quale
dalBelidor,
Couplet
la
to
esercita-
allo sforzo
EF
OH:
come
de
dal
adottata
il
compiere
risulterebbe
piano
al
punto
un
OM
totale
ON
altra
preso
onde
perpendicolarmente
GL
indi
;
verticale
peso
T
piano,
MGON,
del
proporzione
due
questi
di
ciascun
a
la.
dalBossut,
e
Hire,
tutti
da
5
i
Matematici
che
mi
leggere
di
occorse
tal
su
punto*
la
Contro
11.
fatta
i citati
secondo
Frisio
nei
Corollarii
dice
perchè
tal
è
non
più
autori
al
risoluzione
«el
na
buosi
spio
che
ultima
mieramen
pri-
e
esser
non
5
OM
oppone
cose
problema,
citato
la
forza
della
risoluzione
ha
,
dell'angolo
caso
facendo
.quella già da
Frisio
nella
égli riduce
lui
più
Tensione
Ma
questo
forze
nella
dimostrato
Foni,
delle
proporzione
la
delle
risoluzione
evidentemente
della
stabilita.
luzione
riso-
ultima
qual
la
retto,
^
già
stato
ne
dissertazio-
mia
n^
di
errore
è
a
dirne
occorre
altro*
Dice
12.
in
secondo,
nella
luogo
suddetta
,
maniera
di
calcolare
grande
un
F
3
la
spinta
riuscendo
assurdo,
.
dell'arco
lo
vi
venir-
sforzo
mag-
OQ
X8òX
del peso
maggiore
v*è
in
mai
assoluto
Ciò
questo?
che' acquista
il
OM.
è
del
effetto
OM
pesò
che
Ma
assurdo
momento,,
circostanze
dalle
in
,
cui
di
trovasi
il
o
move
discendere
poter
non
EF
piano
se
ri-
non
,
il
o
piano
CB,
le
li
qua-
,
.
obbligano
circostanze
OM
peso
OG,
ne
due,
forze,
due
in
secondo
una
a
la ON,
cioè
OG
risolver
quel
la direzio^
secondo
una
secondo
l'altra
e
appunto
già
non
e
in
al
perpendicolare
,
EF,
piano
medesimo
al
lela
secondo
l'altra
e
piano
cioè
Mw,
là
£F
paraU
qual
seconda
,
risoluzione
fa
che
ha
non
il piano
è
si
come
riguardo al
verun
CB,
però
e
detto,
se
può
non
nel
non
contrasta,^
go,
luo-
aver
in
ciaso
cui
,
11
raccolto
peso
sul
libero
1
in O
piano
facesse
non
EF,
nel
e
che
altro,
poggiare
ap-
rimanente
fosse
affatto.
angolo
posto
PSR
un
=
e
w,
peso
secondo
T
.—r—-r-r
intera
larmente
ad
che
poi {fig.S)j
Soggiunge
3-
fatto
T
iw
chiamato
angolo
qualunque
P
nel
luogo
ordinaria
maniera
di
forza
EF
dal
da
nata
esso
secondo
che
T
GPR,
C
e
be
sareb-
calcolare
perpendicolui
ne
rebbe
ver-
,
altro
assurdo,
cioè
che
se
BC,
e
,
sezione
della
EF
forza
vicino
SP
al vertice
piìl sempre
s'accosti
prendasi
la
direzione
ali' orizon*
ta-
la
X
l'angolo
tale,
e
zzzi
sin*2.m=:0j
sia
retto,
onde
la
forza
orizontale
del
dato
sh
è
Ma
s' abbia
quando
uh
sostenere
a
nata
V
infinita?
Se
interposto
chi
lo
è
è
non
nella
la
struttura
e
cadrà
?
Dunque
/a ciascun
che
no
pia-
equilibrio
di
è
la
infinita
?
Prende
in
re,
pu-
dut?
seguito
T
Bernoul-
tenuta
delle
forma
dei
Giacomo
lui
esso
quella
ciascun
contro
c^ensurare
da
si
definire
per
volte
in
cui
te
tut-
Cercando
GBg
dell'arco
Bernoulli
secpndo
agente
dell'arco
tangente
AG^
j)erpendicolare^O
forza
^ Ggy
Og
F.
dal
g
la
direzione
suo
calata
luogo,
da
,
riflette^, che
viene
nei
eguagliata
g
il
dal
si
alzar-
e
in
aP
GO
di
la
momento
to
momen-
eserciterebbe
momento
centro
di GO
il peso
tutto
,
ii quale
raccolto
4
in
qual forza
cori
potesse
srhoversi
il sostegno
intorno
vicendevolmente
sostenessero
.
(fig. 12.)
iP
che
infinita
,
parti
2P.
è
non
infinita, ed essendo
sostentano
maniera
ii
F
intermedio
peso
tale
peso
il peso
esercita
occasione
autore
'
il
forza
vede
non
che
piani,
"peso
la
sostenerlo,
che
della
citar
eser-
,
questa,
F
contro
cade,
non
per
le
debbono
,
che
quando
piani
due
essere
chiaro
che
tra
,
,
questi
debba
forza
la
verticali
piani
do
assur-
peso
,
due
il
egli
.
che
sin.m
contro
peso
infinita
sarebbe
EF
piano
PSR
verticale
dall'anione
X.
87
gravità Bperpen-
il
X88X
pendicolarmente
perciò
Qg-
a
F
assunse
=:
,
P.GO
V.Gg
....
=
-^
-FTTT
forza
la
forza
della
la
secondo
Contro
14.
dirigesi
che
intera,
inferiore
,
j
la
medesima
essere
.
5
'
OM
Og
Stabili
c
di
G
co
ar-
CO*
di
maniera
che
Frisio
T
contro
tangente
questa
osservò
in
calcolare
nascerebbe
una
,
forza
la
con
quella
delle
quali
da
volta
risoluzione
che
te,
risolversi
produrrebbe
la
tutta
espresso
dell'
arco
tangenziale
e
,
una
peso
metà
forza
la
GO
sarebbe
che
e
della
il peso
potrebbe
OM,
minore,
una
OM
retta
superiore
del
da
maggiore
in
delle
e
forza
alla
di
avrebbesi
non
secondo
l'azione
assomigliasse
GM,
orizontale
moto
^,
forze
altre
aggiunta
GM
alcun
G
due
in
la
nel-
Bernoulli
del
nien-*
Così
peso:
Frisio
.
15.
il
perch^
Ma
citato
che
quanto
vero,
che
converrebbe,
autore,
forze
due
fosse
applicate
falso,
fosse
medesimo
un
a
osserva
vette
,
e
in
poste
un
brio, quando
sono
alle distanze
IO
medesimo
direzioni
dal
Questo
piano
d'
equili*
li
proporziona-
recitprocamente
punto
in
sono
delle
appoggio
riflesso avrebbe
dovuto
lo-far
.
riconoscere
j6.
all'autore
Quindi
del
vederi
problema
il
suo
errore.
(fig.9),
di
trovare
che
zione
risolu-
nella
T
intero
mea^
mo^
X90X
nascerà
che
ia,
GS
la
i' inferior
perpendicolarmente
AG
parte
Indi
superiore
due
sì
deve
AB,
sforzerà
di
dirsi
e
e
cui
dalla
forza
la
condo
se-
per
dividersi
che
.
citata
eser-
,
secondo
in
dell'arco
tangente
aGL
la
altre,
G^
tangente
delle
una
potrà
quali dirìgasi
divìdersi
secondo
la
P.GL.NG
I
on^ontale
'
nel I
r^TVT
GN
'
r-
G
punto
e
sia
—
,
^
*^.^
P.KG
P,GL,KG
?
-=
^^
'
V
„
,
1
altfa
Vt
gl"
T
e
Pertanto
P.GL.KL
j^L.SG^
-^
?+? /*
^
^
fl')5e
•^
forza
della
e
^
lCL:GÌr=P-
=
s.a
il momento
P.(r +
dirigasi verti-
.
calmente,
=:
.
.
3
P.GL.NS
rà
,.
orizontale
della
quello
sa-
verticale
=:
3
si dirà
perciò
che
T
intero
,
momento
|o
per
^-^-
P.
rovesciamento
"J!""'^
—
del
onde
;
sostegno
-^
^V7y' +
Avverto,
che
avrebbe
pélla
anche
potuto
fig.9.
larghezza
r
1* autore,
appresso
per,
altezza, del
PR
PQ.=
=
KG
nella
e
g
/"
RA
,
GH
=
,
fìg.jo.
=
HL
r
GL
=
QA
/^
:,
KL
r,
y
=
h
a
y
,
:^
accorgersi
stesso
se
ognuno
come
sostegno
GL
="'
\
^^'^^^•
"^^^
Q.-J' ?/=P.
finale
equazion
T
(aù nf- rr
sarà
rà
sa-
=\y
=
Ora
.
fl^
fatto
^
X
X9i
=2
4
o,"
=
verrà
o
~
Quindi
{ mettendo
è,
che
oo
il differenziale
=^^
giacché
cmola
r)
-^
P,
=:
r.
•
KL
i?
3.0.
P(—
,
il
mettendolo
sarà
massimo
momento
di
viene
=;o
for-
questa
l'assurdo
,
Y
q)
z=z
Kt»
quando
z=:
il che
q
corrisponde
,
benissimo
a
ciò
Posto
%i.
l'arco
al
può
più
romano
arco
numero
vedere
in
dell'
momento
dell' altro
momento
13,
paragonare
per
il massimo
stia
massimo
detto
si
non
coir
gotico
al
stato
questo,
qual proporzione
uno
è
che
perchè
dendo
ca-
,
il
nel
-
in cui
punto
nell'arco
p/)trà dire
,
to
nel
gotico
nell'arco
che
il momento
il
=;
neirarco
chiave
nella
P
A/?
gotico
la
AT
di
e
y^
romano
Presa
gr.
sa-
30.
{^^yr^)
:=^V.%^———^y
arco
h
O
.
.
parte
infini-»
B
AL
2P
=;
.
rorria-
chiave
nella
momento
p.A^.AK
rà,
sto
que-
Solaniea-
v'è
non
(fig*n),
gotico
Y
poi
è orizontale,
I4 tangente
,
;==
romano
,
essendo
no
dell'arco
momento
punto,
si
te
massimo
la
parte
AG
pure
di
presa
gnjo.
„.
neir
sarà
del
:
X92X
del
primo
momento
per
come
,
terrori
T
trova
aa.
autore.
l'autore
Volendo
poi
applicare
le
formole
caso
della
blema
i numeri
Milano
al
nel
vi
sostituendo-
del Duomo
Cupola
?•(?
Pro^
seguente
generali
formola
della
usa
di
compenso
un
di
-^.y'+j'),
—
r
nelF
trovata
=
^
la
o
Problema
antecedente
quale essendo
sbagliata
P.(-^^
dovendo
e
,
,
essere
mettendo
cioè
"^y^r)
(per
esser
,
YT
qx2l
o)
"=•
a
P
(
così
r^j'),
—
—
il
momen-
.
della
to
30-^
cioè
potrebbe
dal
la
dovrebbesi
resistenza
nore
che
la
^
che
ruinff
quali
a
secondo
volte
quattro
quella
i
•
quello
teoria,
nuova
sua
opporre
di
di
vedesi
che
31J-—
milioni
quadruplo
dire
a
tradurre
quale
la
vale
Fautore,
trova
riuscirà
impulsione
mi**
teoria
vera
domanda.
23.
Propone
in
i momenti
della
resistenza
esprimendo
to
e
dalla
la
della
in
Finterò
rivoluzione
volta
per
intorno
seguito
la
il Problema
sostegno
un
per
'
di
di
tutta
un
e
volta,
solido
un
rettangolo
rivoluzione
all'asse
della
parte
gonare
para-
laterale,
impulsione
qualunque
di
di
na*
verticale,
piano
la
vilineo
cur-
Cupola
.
,
La
La
eh'
solyzionq
,
ai
nel
come
dà
ne
dovrà
correggersi
,
modo
seguente
egli
.
fatta
dicendo
;
sarà
Problema
primo
la
risoluzione
\
^
?
»—
^
^
stn.zm
forza
la
tutta
(fig.8.),
il Problema
secondo
e
nascerà
che
orizoptale
alla
perpendicolare
nel
'.
il
e
'-
EF
la forza
terzo
sarà
F
punto
^
'
sezione
,
riferito
momento
al
5
-^
dovrà-
P
punto
essere
"^^
f
_j
=
\
%
sìn.zm
Parimenti
sarà
forza
la
:•
verticale
condotta
e
—
77—
quella
QK
m
5
?
^
sm.%m
.
'
w
sarà
€
^XS
•—
+
^/
—
) shjn
cos,m
,
*
il momento
la
(r -^y
—
differenza
dei
—
—
ossia
momenti
il
tutto
mento
mo-
,
sarà
d'impulsione
,
«(S +
perchè
-i-
ff *) [ (^ +/")
(
j/"?.w
)*
—
^^
-r—
—
ed
=
^) J/Ì7.IW
.
cos.m}
eguagliando
per
,
*^
sm.zm
il
(r -{."^
—
caso
z,cQs.m
dell'equilibrio quel
momento
a
tutti
mo-
l
X
ftioftienti delle
X
94
resistenze
+^.)"*
^K»"
("» +
-
i) (rry«— ^^'~'^^c*r-* -)
-|- ^(^—
ordinati
,
i
nascerà
termini
l'
equazione
cubica
?
^'+^-"'+tM
sin.m
3"f' ) [(aj-p)
(6S +
2{a'{-b)
Paragonando
24.
trovata
nella
deir
soluzione
dello
di
Accademia
le
T
specie
e
le
il
) cos.m]
ddf
anno
liti
da
Sig« Bosstit
Problema
stesso
Parigi
g
equazione
arrivò
cui
a
*—
cos.m
l'aiitore
quella,
con
(r
—
negli
gonate
para-
1774*
denominazioni
atti
analoghe
,
si
che
accorse
era
del
il coefficiente
diverso
,
terzo
termine,
del
che
egli
ragione,
del
diverso
e
con
e
Bossut
crede
ciò
si
co
il
insieme,
credette,
momento
e
che
nella
al
è
ne,
termi-
pia
dop-
assegnare
correggere
che
la
soluzione
egli
volendo
,
.
calcolare
il quarto
poterne
prima
La
tutto
della
volta
momento
nell'Atti-».
resistenza
sino
alla
sezione
dell'anello
£F^
cilindri*
co.
X
potrebbe
che
Cd,
che
anello
dalla
prodursi
dovesse
rettangolo AD,
deir
X
95
aggiungersi
il
momento
rivoluzione
dalla
nascerebbe
4et
rivtìluzidrtc
,
di
il
tutto
rettangolo
KF,
all'altezza
zato
porzione
ne
calcolata
Dh^
Ae
sopra
per
la
verrebbe
la
qual
due
insieme
appartenendo
la
cosa
al
comu"»
ad
Volte
air
AD
base
essere
primo
al
e
,
secondo
La
rettangolo
ragione desuf
seconda
•
ta
da
egli
me
che
questo
l'unghia cilindrica
golo
all'asse
intorno
avendo
chiama^
Bossut
,
rispondente
»S
datoan*
un
a
poi T angolo FSH,
w
,
è
che
lo
alla
perpendicolare
forza
FKA
angolo
stesso
sezione
orizoQtale
poi
^-^
EF
forza
la
stabilisce
-^
:
—
la
—
cos.m
is$n.m
sm.zm
.
2=:
»S
-T
tan.m
;
la forza
verticale
'-
^—
—
—
:
.
*
=
sm.zm
^S
7
che
nel
potrebbe
.
incongruente
disgiunta
che
la
egli
forza
,
la
verticale,
parere
quale,
,
Torizontale
dal
costante
sia
dato
dal
nasce
aggiunto
e
dice
,
da
C
vertice
dove
periórmente
su-
sima
la mede-
tutto
per
^S
peso
ne
la direzio-
,
della
gravità
sino
pertanto
delle
secondo
ad
è
perpendicolare
A
lui
dove
è
sostituire
volta
alla
parallela
la
sua
scendendo
di-
Dévesi
.
ne
risoluzio-
forze.
25.
Ma
X96X
abbastanza
Ma
25.
è
ora
chiaro
non
avere
,
Trisio
ultima
questa
per
Che
il Bossut
dalla
cima
fino
C
forza
la
poi
.
costante
ragione motivo
ali*
di
surare
cen-
verticale
imposta
sia
A
non
,
deve
sembrare
si
mentre
strano
ménte
propria-
tratta
,
dello
le
sforzo,
mutandosi
direzione
che
fatti
In
lo sforzo
verticale
nel
momento
insieme
resti
sempre
la
il medesibiamo
ab-
secondo
risoluzione
riesce
qu^
mutarsi
Problema
nel
facendola
che
notato,
del
può
potenza
modo,
in
sforzo.
lo
TOO
la
sia
o
re
dove-
a
costantemente
P
=:
•
E'
z6.
nel
deir
di
Attico,
dee
assai
tutto
della
detta
porzion
l'Attico,
al
punto,
della
e
in
Applicaado
17.
antecedente
Santa
quale
pertanto
poi
Problema
Genneffa
la
c^i
di
vedemmo
adoperare
di
non
la
posta
sotto-
spinta.
la
delP
la soluzione
Cuppla
della
caso
della
esser
nostra,
ti
sempre
Cupola
calcola
usa
da,
piè-diritto,di
del
T autóre
Parigi
te.
vet-
perchè
sarà
parte
al
due
cosa,^
comune
si
alla
coipune
proveniente
gran
piccolo rispetto al peso
stenza
esi-
momento
valutarlo
non
sia
non
il
è
che
il divario
che
trascuranza
questa
peso,
d'Attico,
però
che
bada,
peu
troduce
in-
quando
Bossut,
su.pposiz,ionedeir
la
non
sottrarsi
Credo
si
calcolo
suo
quella porzioa
Cupola,
che
verissimo,
poi
sua
buona:
la
di
ne,
equaziodovrasi
quale
pren-
den-
X
X
9»
.
dal
muta
Js
essendo
za
secondo
superiore
ftsò
di
maggiore
la
lunghe:^'
sua
forza,
la
dx
della
3,
sarebbe
pre^^one
ciò,
Ma
peso
è
non
assurdo
forza
si
varia
posizione
ad
za
macchina
che
e
Bernpulli
g
di
za
se
produrre
lo
che
GO,
ia
GP,
forza
il
questo
la
forza
verticale
di
ridursi
ai
una
ve^
accre-^
possono,
nel
metodo
^
che
notare,
stesso
moto
che
T autore
al
Je for*
beAchè
del
-centm
tuttavia
momento,
vicendevolmente
possono
fa T ufficia
#
relativamente
esercitino
si
scaricar-
forza
conviea
GO
GP,
quale
£
interposizione
T
le macchine
Soggiunge^ poi
30.
ze
della
energia
r
scere
che
sa
ognun
del^
stessa^
forza
più potrà
lo
per
se
una
s^pzjit
il
cprpo,
in
può
può
e
maggiore
essere
non
la
quella for^
momenti,
come
termini
,
,
yìene
considerata
due
qualche
un
termini
diversi
perchè
i
contro
te
quei
medesima
succede,
di
di
una
secondo
teroiini
due
contro
quando
poiché
veruno,
questi momenti
di
forza
ciò
scarica
acquistare
ciascun
di
avver-
.
tii"
la
del
totale
principio
dal
sino
come
forza
della
maggiore
moto
non
sostituirsi,, trattandosi
da
G
che
iti: N
lafor^
se
9
equivale
alle
duf
orizontale
di
GM
giravità,
ÙM
pottir
alla semplice
sostituirsi
caso
^GP^
lo
dalk
nascerebbe
che
dice
forza
egli
assurdo»
ju
Io
sere
es-
X99X
-Id
ji.
.
ìCy
resto
attdtìtto,
ìin
comi^
ìnitkhè^
di
uomo
còtàt
Àfi
verticale
che
AB
inclinato
no
e
ài
h
la
altro
Itiano
togliere ogni dubbio
tocchi
il
]igisce.con
utìa
è lo
che
sua
gravità
non
e
dair
e
neli'
verticale^
piano
cale,
verti-
ori2on-
dire, àgi^
che
stésso
agisdt
controlli
parte
dall*
Ora
:
dall'uno,
la
Dùnque
i eguale
parte
il globo
che
il pia-
fa
equilibrio,
in
piani
due
sia
piano
OQ.
sostenuta
dei
duca
pro-
primo pia-
che
globo sarà
jie
un
il
R
in
sostenuta
senza
OQ.
)
Tangolo,
sarà
essere
nell^altrò.
uno,^e
Per
dall'altro
gravità
verticale
piano verticale
col
gravità
parte
uno,
può
lui
possa
forza
Se
fiAH)
all^angolo
mate-
una
RI
il ^condo»
ini
uOi
nelle
il Frisio
piano inclinato
un
ìl glòbo
r
vaglia
tanta
,
unaorìzontale»
(fìg.14)
comprcndtk^
so
sicurameaté
«ra
assurdo»
trovala
non
e
"
talmente»
nei
punti di
è
Cty/e
CI,
anche
la
che
pressione,
G
»
indi
la verticale
esprimendo
che
la
l'ipotenusa
esercita
il
CM
in
nessuno
gravità
CR
globo
non
contfa
geneo
omo-
CR
rette
RM
tirata
dal
condotto
j§gurale
parallela aRC,
CM,
per
CM
si'
esercitar-
suppesitoll globo
della
centro
incontri
Jiitare, che
che
deve
così
RI,
contatto
verticale
MN
globo
poi {'azione
gravità C"
di
centro
a
Siccome
,
parallela
M,
e
nalmente
fi-
puòdudei
assoluta
esprima
la
il. piano
in-
'
X
AB,
Jhcfinato
che
Sionè,
Ecco
esercita
forza
una
CR
e
orizontaléCNIa
pfes*
contro
il
OQ*
verticale
produce
tempo
cateto
il
e
nello
di
stessa
stessa
se
GN
*
.
Questo
32.
(fig. iz)
Bernoulli.
in
parte
e
dall'altra
GN,
posto
forze
l'altra
di
la
lui
che
è^ Io
forze
due
gravità
faccia
alla
che
stesso,
due
in
S
dell'arco
chetto
dell'ar-
G
li
dire,
che
orizontale
una
arco
sotto^
B
faccia
alla
GB
simile
T archetto
contro
perpendicolare
GN,
in
G
l'arco
appc^giatd
T altro
contro
in
soluzione
riguarda
inflessibile
perpendicokre
una
Biff,
B
della
casa
Egli
risòlve
e
il
vette
un
come
una,
B^,
è
appunto
Giacomo
da
che
maggiore
,
di
piano verticale
CM
forza
una
orizontale
una
"t
100
va
ve
risolsca^
a
,
ricarsi
Verticale
che
BH
va
iungata
faccia
la
contro
;
che
Bv
è
prolungata
l'altfa parallela alla tangente
à
scaricarsi
è
il
raggb
d'osculo
GS
^
facciaG,,ché
la
contro
GL
la
pro*^
è
Non
dun-
.
tgùe
sa
torto,
a
la
per
PO
genti
orizontale,
una
BO
gravità
egli
a
espres-*
fórca
questa
secojida
-
conehiade
Problenìa
si riducono
OG
e
la
della
:
Finalmente
del
Vute
risolve
PG
GS.
tangente
33.
suppotvendo
verticale
nelle 4ue
*
che
a
nel
della
questo,
vertice
il Frisia,
catenaria
che
B
;
,
le
che
le soluzioni
piii rice*
condotte
due
(%i3)
la
tann
qual«*
sarà
K
poscia
nel
la
Oi
presa
B,
punto
G
;in
quali due
le
|)untoG,
-compiuto,
e
,^
Oa
diagonale
di
gravità
dice
egli, considerando
con
tutta
la
tangente,
tangente,
che
resti
luogo
Problema
e,
è
dubbio
tutti
i
alla
è
sario,
neces-
onde
punti,
non
del
^ohizione
delle
composizione
di
maniera
sciogliere
che
geometri,
,
ze
for-
le
tutte
nella
la
omessa
altri
con
secondo.
sembra
détto
ceru,
manifesta
.
Tolto
34.
che
ad
altra
Io,
perpendicolare
maniera
in
proposi
questo
agisce
solo
non
moto
qual
alcun^
alla
perpendicolarmente
compqj^ì
perciò
Problema:
forze,
in
centro
GTB
'^^^torbatpl'equilibrio
ancora
debbano
pel
appendice.
sua
peso
bOgo^
poi
l'arco
54^ qualche
vi
vedo
non
che
e
la
del
altresì
ma
ne
tensio-
eguale
Conchiuso
che
forza
la
sia
e
.
così
chiudendo
soggiunge
GB,
quest'arco
di
passi
O,^
tensione
parallelogrammo
verticale,
sia
dell'arco
T
gravità
di
il
di
forza
alla
ia
taglino
forza
alla
O^- eguale
e
si
tangenti
eguale
qualsivoglia
in
GO
un'altra
orkontale.^
Sarà
X
loi
via
l'errore
in
è
cui
il
Frisio,
,
la
sola
quella
in
retto,
risoluzione
delle
ultima
cui
le
forze
sia
la
legittima
risolventi
resta
che
forze,
sieno
in
golo
an-
to,
tol-
insieme
,
il
paradosso
e
levato
ogni
,
legittimità della:
-:Q
3
soluzione
del
dubbio
Problema.
$u
Il
der
la
ve-
XioiX
der
che
po(
seduzione
la
stessa
che
affatto
dosène,
doveva
e
errore
che
quella ,
far, ch'ali
risparmiasse
delle
comune
le
si
di
senza
forze
trova
del
che
correzioni
ha
)
hi^
in
quesu
è
la
seryen*
s'aQcorgesse
)
t^$o
trova
,
delia^ rlsoluzion
servirti
si
che
,
appendice.
OPU^
suo
ÌR""
OPUSCOLO
La
teoria
m.
delle
parallele
rigorosamente
dimostrata
•
j.Kjh
adU
ii^kOAUT
Geometria
ti di
pit"sìone
che
pretende
clemen^
a' suoi
la
severità
od
,
metodo
del
rigore
il
Euclide,
tosa,
mostrata
i quali
che
di*
,
avrebbono,
(he
se
che
di
secolo
j^
nell^es**
abbonda
non
al*
o
crede,
e
:
nostro
sicuramente
gente
le
nel
di
numero
vivevano
dubitato
vissuto/fos^te
Euclide
porci
al
evidente
pure
di dubitai^ne
mostrato
cotal
se
per
fosse,
non
meno
al genio
scienza,
allora
nelle
,
ogni
di
Euclide
pia che
della
natura
sofistici, che
di
prande
alla
o
da
temuto
si debba
geometriche
cose
,
,
idee
sue
minori
con
scrupoli
sarebbe
,
Altri
proceduto.
più
tenuix)
air indole
venire
che
sono
d'ogni
dell^
meno
non
il
pensano,
^
Euclide
da
todo
poi
altro
me?
con*
Geometria
,
ai
che
desiderii,
e
alla
desiderando
intelletto
questo
,
che
sempre
tolta
conosce
tanto
quanto
o
^
oflFuscbi
e
,
G
•
il possa
4
ogni
la
potendQ
perfezione
di
e.
convenendogli
,
vedere
,
dai
,
nebbia
sacra
quelb
dell'umano
di
luce
vero.,
,che.
dubbiezza,
che
dell'evidenza
realmente
ne
così
sce*
vra
X
di
vra
dubbiietà
ogni
poi concedono
to
che
,
ordine
altro
Tan«
.
dell'antichità
quel genio
deduzione
nella
presentargli
il vcjro
a
credono
quasi
X
104
potersi
non
delle
e' connessione
nere
te-
veri*»
,
geometriche
tà
quello
^he
,
in
quando
parte
ben
se
so,
in
la evidente
sia
triche;
lo
regna,
dir
tenne
i di
stesse
rinunziare.
Né
che
sola
una
verità
delle
vicendevoli
cui
rappòrti
,
di
verrebbono
troppo
;Sai
del
di
essere
marne,
ritrovata,
ingegno,
e
dubitarne
pre
zioni
cognizioni
sino
possibili
siasi
felicità,
sua
che
non
ne
e
che
la
già
da
di
Euclide
altre
suo
sem«
combina*-*
note
saranno
il
potremo
le
geo*
migliore
troppo
noi
tutte
for«
a
pensassero'
inalzerebbe
questo
a$«*
fortuna
alla
delle
scienza
combinazioni
la
e
che
piuttosto stimino,
o
le
tutte
darebbe
primi,
di
corpo
metriche;
di
de'
stato
un
Euclide
di
merito
dall'altra
limitarsi,
a
geenne^
ingiurioso sarebbe
parte
una
per
ed
chiarezza,
vogliano^
combinazione
che
verità
«Ile
quello
ciò
con
egli
y
alla
vogliasi
non
che
evidenza,
eh'
,
e
non
si
,
nel
le
esaurite
saranno
del
forze
ingegno
comune
ricercarle
.
2.
la
e
A
me
pare,
severità
di
credono
che
Euclide,
che
molte
i
primi ,'
e
cose
di
assai
di
":
.
quali spiace
degli antichi,
cb' essi
quelle
,
,
dimostrano^
ai
potessero
da' moderni
geometri
cor-
pi^.
accettar
veri
per
che
iCipii)
chiari
avessimo
non
interno
sarebbe
contraria
gannati
quelli ad
a
pqre
in*
essere
queflo
a
prin**
quando
sembrai^o,
ne
vm
molti
esame
maturo
s«nw
di
spirito
,
precisione
in
seAipre
cautela
ai
conviene
cui
con
che
,
rapporti rigorosi ,
di
serie
lung^
e
il
,
deve
sommo
cannaini
li Geometra
progresso
maneggiar
quale
cari
di
e
,
deli*
e
rajiocrf^ir
con*
»
nettere^j
li
se
di
e
sol
un
,
gli fugga
uno
de -qua-*
«bbracciare
atto
pàò
non
forw
la
della
di*
,
in
che
intendere
mostrazione
vedrà,
0
ste,
è
giochi
molti
se
di
e
ed
pronto
azzardoso
del
Di
modo
Geometra
altro
pulosa^
3.
Ma
poiché
2
combi^
dì
volle
e
esattezza
,
sarà
déìe
egli
attaccati
sdeiiza,
che
a*
difetti
4el
precisione
a
che
Sarà
che
più
sctu-
fece
nel
curvatura
."
mente
immancabil-
stare
principii,
trattasi?
la
doppia
necessario
qualche
in
come
^
sato,^
po-
e
Clairaut,
usare
seppe
curve
lento,
«sere
Geometria
la
quando
originale
Kbro
deve
li accennati
tutti
partecipa
per
com^*
combinazione
di
spirito
lo
e
va-^
,
,
nazione»
quantità
spirito
uno
in
pieni di
sono
di
rapporti
giochi ricercasi
ne^
che
essere
non
Geometri
eccellenti
riescano,
non
binazioni,
d* Alembert
di^se
ben
che
meraviglia,
tal
vero
,
Quindi
rii
dal
diverso
risultato
un
consi-»
punto
un
,
di
sono
egli
quella
delitto^:
un
o
una
X
viltà
una
Q
Geometrìa
alla
scienza
altra
X
107
il
principio
un
da
prendere
quando
un*
dall'
sia
un
,
canto
evidente
serva
per
dee
e
in
la
caso
e
irragionevole
fine
amando
ì-
sue
dimo-*
sue
parreb-
Qeometri
che
più
tantc^
che
delle
la natura,
di
ot^
il
scarsamente
di
più pienamente
e
grazioso,
meglio
più
o
co'proprii mezzi,
che
de'
le
^
speditamente,
più
alle
riserva
pia difficilmente,
loro
le
corso
si mostrerebbero
tenere
veduta
il
Superstiziosa
questo
stolti
ze
meravigliosamente
più chiara
abbreviare
stràiioni?.
bemi
in
porre
per
,
e
daU^ altro
,
più
arrivarvi
altrui
coir
corso
soc-
i limiti alle scien-»
che
cose
tutte
tra
,
loro
i
ni,
quali
loro
onde
le verità
tutte
che
conoscere
quasi
questne
^
tutte
dei
soggetti
Perciò
io
fanno
e
j
non
col
degli oggetti
^
perche
Newton
no
han-
|^.varie^
.sdegnarmi
mai
potei
nqff
disgiunte
come
secondo
in.più classi dividono
fossero
alcuni
degli uoiiii^
9
tra
4*
l'arbitrio, pure
conoscendo
non
1^ relazioni
possono
tà
9onQ
connesse,
come
introdusse
1'
9
idea
del
onde
mi
nella
moto
le variazioni
con
degli ii^nitesin
Geometria
delle
velocità
delle
ordini
a
,
,
flussioni
spiegò così
degl' ipfinitesiriii
i
chiaramente
lo
che
bene
non
varii
ot««
"
liennero
che
altri
,
geometriche
sempre
già. formate
le
vollero
considerare
^
e
quantità,
non
mai
te-
X
tetìcr
dietro
già
che
ed
Pappo,
idea
sta
rigoroso ed
rese
infinitesimi
degli
il metodo
esatto
del
mani
nelle
Que^
Geometri.
illustri antichi
altri
^
Archimede.^
somministrata
avevano
ne
Tidca
genesi «econdo
Ioto
alia
X
IC8
Leibnitz
Newton
•
l'abbandonò
che
do
di
simo
approssimazione
noh
errori.
Per
retta,
a
è
pia
venisse
sarà
sem-*
luminosa
quella del
Geo^
»
S*
Riguardo
da
considerarsi,
alla
poi
che
principiiegli
dei
natura
debbono
non
perchè
chiari
men
cor^
,
Inglese.
metra
'
mio
parer
lo
calco-
esso
dati' Eulejro
particolarmente
e
di
Leibnitr;
del
principii
i
di
compenso
un
per
Metafisica
la
quanto
niede»
risultati àtl
i
e
meto-^
un
a
,
esatti, che,
sono
secondo
pre
il metodo
ridusse
alcuni
definizio-
di
mancano
dersi
cre-
,
ne
di
o
Poiché
dimostrazione
idee
fossero
essi
se
.
,
semplici
prime,
e
arri vercbbesi
come
finirli
de-
a
,
cioè
a
risolverli
altre
in
guisa
tèrta
vi
Come
sono?
ogni
li compongano,
cosa?
che
senza
,
miinti
la
dimostrazione
idee
queste
poi preteòderassi
giacché pur
principio
se
di
ad
un
altri-
si; ticeva
prova
noa
dimostrare
arrestarsi
conviene
in
che
idee,
,
,
all' infinito
andrebbe
*
Cosi
ben
intese
le
suddette
,
dalle
altre
scienze
Matematiche
tante
non
cose,
meno
definizioni
che
,
si
bero
bandirebche
dalle
,
non
sono
che
,i
X
ripetizioni delle
che
X
IC9
definite
cose
ti
e
conteur
,
dell' idea
teremmo
che
chiara
abbiamo
ne
e
,
più
al
onde
indicheremoio
ne
distinguere
direbbesi
in
kabet
parp»s
gliasi
ridurre
è
che
re
dall'altra.
cosa
che
la
kabet
guod
id
guod.
vò-i
viene
^xunsum
di-s
a
extra
,
piu^
quando
quale
cattivo
meno
senso
Né
è
T estensione
partt^^
eletta
id
qualche proprietà
una
una
Fisica^
al
,
expen-
,
né
sum
più
,
là
trovare
definizione
della
esempio
per
farla
di
contenti
e' sarebbero
retta
s' affaticherebbero
i iGeometri
di
linea
conoscere
,
indicandone
gualche
esempio
durre
te
due
tra
son
la
dati
verrebbono
piuttòsto
della
principii delle
condurre
lo
cioè,
d^
la
cose,
che
di
rischiararle,
dicono
in
Wolfio
per
vérité
tutte
dice
non
per
deve
pò*
al
es--
non
deve
che
,
ricerche
l'autore
termini
pertanto
regola
Je
do
quan-
e
é magr
tutto
usare
stessa
con^
esempio
Riguardo,
spirito in
ben
il
che
altri
.
della
come
tol-.
conviene
cose
ingannati,
sere
modo
provare
parte
sua
Pejp egual
che
proposizione.
dispensarsi dal
giore
possa
dimostraziom
difettose
per
si
y
oscurano,
meno
che
breve
punti.
tante
le
stessa
teva
eh
più
la
^ss^k
dicendo
proprietà
sua
ro,
ve-
larechpr-^
de
darsi
del
un
intiera
,
,
che
condenso
a
quelle
proposizioni
,
così
pajono
evidentemente
vere,^
che
njs-
non
^
,
che
pos,
X
ad
possa
terna
negarlo
esse
sentire
senza
Ma
ragione
.
,
molti
sono
non
prodiicodo
che
sentire
rittDsi
quando
sentimento
questo
fanno
ne
che
principii "
ne
convizione^
di
e
questi segreti rimproveri
loro
dar
di
iiamo
pur
stessi
se
per
ifl''
pena
una
della
rimproveri
secreti
e
X
no
pieno
un
consenso?
le
Quando
6.
cipii, vi
marti
molta
ha
piiì^
parte
tutti
in
di
angolo
li
ad
esempio
Pare
,
causa
cuna
deir
onde
cura
due
linee
non
la
al-^
si alzano
che
un
gli estremi
di
punto,
possa
altra
)
una
ter--
una
esse-^^
Questa
ragione,
pare^d
altri
abbastanza
cosa
dimostrano
stessa
^
egua«
concepire
sanno
•
persuade
pur
trì-^
un
lati
oppongano
non
con
in
thaggiore
re
in
^
concorrono
e
i
si
di
cui
inclinate
egualmente
2a
^
per
^
che
evidente,
che
ragione
la
per
alcuni
angoli eguali
ad
sti-^
cùn^^
là medesima
y
per
prin-»
nello
maniera
la
è
non
certi
a
mioxrederé
a
sicuri
meno
o
che
pire
poi riduconsi
còse
che
si-*
indiretta^
mente*
*
Io
7.
non
nego
si riduca
tutto
che
a
desiderabile
che
^
queir
lasci
non
cosa
esser
ultima
esattezza,
di
dubbiezza
e
re
rigo-
alcuna
sorte
,
^i
che
e
^
procuri
sieno
che
da
di
e
richiamare
proprii della
tutti
vengano
ogni
a^
cosa
scienza
che
^
egualmente
e
principi!,
trattasi,
concepiti
,
e
te-
e
tenuti
le
guere
fermi
per
viene
prendere
di
sentimento
risoluzione,
in
di
ostinarsi
fu
altri
da
diretta
il
plice
sem-
da
una
giacché
idée
al
in
vero
ogni
si
entrarvi
quella
essendo
subitameatè
le
tuite
piik
speranza
apra
,
tra
via
efediamo
,
T ottimar
ta
at-
conviene
noi
ne
h
quanto
per
che
o
altra
per
pervenirvi
quella
eon«
disgiunto
sentimento;
tentata,
se
ma
sono;
anche
tale,
giungere
,
di
è
tanto
risvegliare, questo
non
che
di
quest'ut
^
dimostrazione
a
noi
convizione,
condotta
e
di
sono
dimostrazione
per
distm-»
saper
che
quelle,
da
precisione,
timà
suscettibili
che
cose,
conviene
ma
;
.
ia*
pi^
che
strade
,
ci
dimente
menta
qtiest^ultimo
a
fatica
frutto
dal
di
dare
già conosciuta
desi
le
sperare
^
^""
)
alle
tasi
trat-
noa
sdodi
ma,
di
verità
una
posnriarij
a
come
dVe-
dimostrata
egualmente
kvoro^
in
cui
le
scienze
che
riuscirvi
tatti
po$«
colti-!
^
vichiedesi
aggiustatezza
ordinaria
cano
di
poiché
vano,
è
esser
noa
forse
ch^
^.e
scuole,
insieme
sano
verità^
dimostrazione
rigorosa
la
^
scoprire^alcui^fr nuova
una
dicono
poiché
compensata
mai
venctndo
non
le
ridurre
nel
tempo
rigore
finale
coaviené
t"rmine;
ispendere assai
non
cose
conduiqé al
tra
di
pensare
quelli.,
scienze
,
mentre
finezza
ciò
in
che
non
che
di
non
spirii
^
con.
re
pu-
esito
si.appli*
trattasi
di.separ*
rare
H
rare
falso,
dal
vero
paralogismi
solani
di
o
riconoscere
di
ma
"tei gros*
misurare
ia
certo
,
discorsi
alcuni
i
dei
di
e
£i[si,
rifiutare
perchè
ma
non
gli ingegni
e
nelle
logorare
e
scienze
intttilmen'^
può
sì
non
di
specie
una
dove
se^
^ritardare
per
introdurre
per
,
ot^
,
che
tenere,
"tto
scienza,
serica
•
sembra
della
pirronismo
Io
avvertemie
queste
Geometra
progressi
te
perchè
non
di
Senza
vero
certessza,
sicuri.
abbastanza
S.
della
gradi
i
modo
quat
babilità,
maggior
un
il
e
genio lento
suo
di
minorgfado
o
prorr
scrupuloso
e
non
,
ardirà
combinarsi
mai
jtiòsità,
dirà
e
lo
produce
li"6vendo
9.
di
qimtioiie
io
delle
Geometria
dello
scienza,
stione
onde
inetta
come
la
inutile
spirito
sincero
molti,
che.
ed
proscrivono
ciascuno
di
vantaggiosa
e
per
se
vedere
la
formarsi
una
«udii.
come«
n^-^
-come
possa-
promuovono,
che
quello
deve
credersi
e
,
me
que*
di
cia^cux^'
,
opinioni
queste
tale
,
,
cassarla,
che
altri
di Questa
che
altri
disn
yl
Jnutile
condannano,
^
elementare
uoa^
credei
essendovi
e
medesime.
scienze
Bon
accompa-^
,
esaminiate
ora
.ampiamente.
correre
che
diani"«
d'in^venzione
spirito
T incremento
spirito
azzardo,
di
quasi
prdinaiiamente
gna:
quello
cim.
migliore
direzione
possa
insie^
cotesti-
in
'
'
'
-•
-
t
.
IO.
Dì-
^
X
un^ altra
definiziohe
la
mai
non
s*
X
n4
condizione
è, ^the
che
vicendevolmente
accostano
di
più
55
fosser
che
quello
da
vicine
principio
altresì
dot|e
air
",
infinito
è
che
quelli,
sembrami
che
e
che
dcfiniscon
dicesse
realità
assùmersi
da
ma
il
noi
a
rai.)
pa-
definito,*
il
non
da
era
antichi
GÌ'
tra
e
,
ed
il Grandi,
Manfredi,
Wolfio,
vicini
art.
.
Tacquet,
Euclide.
seguitarono
più
il
rallele
pa-
migliori,
( Enc.
proprietà
questa
provarsi
Clavio,
rette
de'
definizione
,
nostri
è
d- Alembert
nella
di
linee
pur
5
involgono
la
due
che
modo
bene
ché
poi-
,
che
questo
a
distanza
medesima
la
sempre
conservan
re
di-
quanto
3,
di
prò-
,
5
,,
adottarono
la
altri
ed
tri
al-
finizione
de-
seconda
^
.
Sim^on
Tommaso
i2.
che
bellissimi
elementi
metri
la
con
dice
ni,
V
insieme
unire
tro
di
similmente
parallele quando
più d'ogni
Geometria
degli
esattezza
facilità
che,,
le
antichi
desiderata
tanto
suoi
ne*
seppe
,
due
linee
àt^
Geo*
da'modefsi chiamano
perpendicolari
terminate
,,
da
„
linee
due
queste
elleno
dovunque
si
3,
che
prendano
*^
di
tra
è
ed
loro
da
,
come
teoria
eguali
sono
che
forma
materia;.
questo
ne
dà
secondo
Foichè
Geometra
severo
passa
sopra
alcuni
stabilisce
la
in
a
tutto
tarsi
no-
k
tutta
quello
y
difficoltà
per
prima
in
questa
delle
prò-
sue
proposizioni
chQ
linea
uaa
p^rpcndico»;
retta
^^
lare
a
di
una
yy
anche
altra,"
air
;due
rette
che
,
quan*
,,
ad
paTalIelc
«sono
perpeadicolare,
seconda
per
„
do
i
parallele
due
medesi*
una
5,
^7
ro
poi
anche
parallele
terxa,.soao
ma
),
parla più.
non
neir
non
li^^.
alterni
parallele gli angoli
le
tra
yy
La
è
nona
.sono
•egua^
ed
dell'ottava,
T inversa
se
^chc
dice,
,.che
proposuione
ottava
lo*.
parallele "
delle
,
5,
di
tra
ha,
„
corollario
per
che
),
eguale
alP
rallek
",
èj
esterno
„
interno
né
linee
le
opposto^
già
^
,,
Pargolo
se
,-.
parla delle
sono
pa-
parallele.
,
poi jiice
Yarignon
13*.
duq
ch'egli chiama,
,
linee
parallere"quelle
rette
che
tagliate
da
una
,
fanno
terza
l'angolo,
all' interno
eguale
esterno
.
Bezout
opposto
parallele
gli due
Ma
comincia,
lar
dal
doveva
che
iiqea
una.
,
ta^
,.
faccia
parallele^
non
che
supporre
delle
teoria
sua
•
il
assumere
aagpli
e^sse
eoa
Varignon
eguali
^
di-^
ma
,
mostrare
che
due
che
T
linee
tagliate
da
modo
in
angolo
sia
esterno
,
interno*
i
loro
poi
il
no
punti
supposta
,
parallele
,
egualmente
r
certe,
egli
assunse
cioè
distanti.
equidistanza,
proprietà
tea
,.
ck*
ali*
eguale
tutti
in
,
g^metricamente,
provare
di
sieno
opposto
terz%
una
,
quasi
per
non
che
le
Al
era
assioma
difficile
dotate
esse
quali
Bezou^
è
e
quella
tutta
,
H
a
so-^
dif-
^
I4
X
difficoltà
consiste
proprietà,
le
delle
prie
da
che
che
provare
a
tagliate
linee
due
X
n^
ima
noi
a
sieno
di
alcuna
teraa
sappiatno
parallele
convenendo
^
ara
esser
in
tutti
esse
quel*
pro«"
i
loro
di
che
,
cioè
punti equidistanti,
parallele
Oltre
«
dal
moki
pretenderanno
,
possibilità della
la
dimostri
che
Beaont
cioè
supposizione
sua
vor"*
,
ranno
che
altra,
debba
necessariamente,
la
anche
Dalle
14.
taglia w^C
sia
che
prodotta
si
che
non
dea
semplice
dette
Quelli
ì
ossia
di
due
io
penso,
che
poi
fosse
in
per^
i«
una
severi
pia
sona
domandano
paralle«
del.
possibilità
linee
isicura
almeno
o
d«lla
giudica
se
che
Tidea
che
Ma
dubbio,
dimostrazione
lismo
si
non
definire.
sanno
quella.
vedesi,
parallele
qualche
spargono
di
parallela
cose
delle
aobiamo
^na
che
linea,
una
,^
tagliare
'\
che
provi,
i 4oro
tutti
punti
,
equidistanti:
formarci
possiamo
parallele,
e
dimostrare
la
^ssibilità cosi ragionando*
loro
di
sovra
essa
linea
una
(%i)
Data
13;
possibili,
SD
delle
chiara
un'idea
che
C
0
linea
qualunque
FDA
la
o
linea
B,
verso
o
CB^
0^
punto
un
cioè
la
per
noi
;
cui
si
conduca
casi
tre
avremo
la
taglierà mai
sa-
,
^
j^ndosi
gliare
e
taglierà laCfi^ver»
DA
non
indefinita,
già,
«ir' al
che
che
tra
,
linea
una
in
un
retta
sol
puà
non
punto
i
^^
ta*
primi
XnrX
tltìe casi
della
il
bracciando
terco
la
di
A
parallelismo
tutti
ridea
i casi
del
quasi
dettò
continuità^
Geometria
senka
di
Dibàtti
per
che
verso
che
in
vrà
da
poi
l'idea
basta
può
stare
DA.
si
linea
la
rav^
Ora
verso
passare
per
alle
il
caso
il
di
taglierà
k
tagliarla
taglierà più
passaggio
intersezioni
in
chiaro
è
:
andrà
s-
potendo
la
fare
C
C
versò
noti
di
prima
CB
con
(non
chiaro
,
ravvolgersi
a
punto)
è
B^
verso
A
allota
e
sol
tcrsezioni
provare
non
d'intersecazione
B,
C.
mi
Per
là
piìrito D
seguitando
uà
confronto
%
cui
se
discostando
CB
so
al
il punto
più,
^
y
intorno
sempre
quello
ab^
parallejismi^
.
che
,
modo
questo
..
parallelismo
possibilitàdi
volga
è
caso
,
formò
e
convergenza
^
chiamo
io
Tidea
linee
delle
divergenza
che
daniio
tìe
ciii
in»
dalle
B
verso
d^
tagli
la
non
ver-
da
,
alcunaparte,
altrimenti
vi
sarebbe
salto
un
ma»*
nifesto*
Ma
ló^
che
si
per
pòssa
anche
a*
qual
altra
linee
rette
più severi
non
D'
inetto
-è
detta
due
3
4alia
cui
?
essere
piacere:jìnalment;:
teoria
dimandare:
Converrebbe
in
Alembert
proprietà
la
tutti
i
de' loro
che
rispoade
punti
dfi
di due
punti egualmente
,
dall'avere
Problema^^
un
,
•
H
sia
proprietà dipenda
di
distantì
egli proporre
parte
una
risdiuzione
può
dipenda
vicendevolmente
A
equi-
X
equidistanti
X
n«
giacché
bastano
punti
due
"!e«
a
,
la
terminare
dimostrazione
La
17.
quasi
si
Molti
retta.
Teorema
questo
d'Alembert
pose
pro-
a*^ Geometri
,
accinti
dimostrarlo,
a
sappia
io
linea
di
isfida
per
sono
che
no
della
posizione
fatto
venne
ma
di
niu-
a
darne
la
mostrazi
di-
,
,
Il
Pagnini
le
stampò
se
ingegno-
sue
.
ricerche
egli
ma
confessa
stesso
che
poterono
dei
risvegliare
non
Geometri
stri
non
,
,
Io
dubb^
darò
he
ora
in
illu--
varii
zione
dimostra-
una
.
che
soddisferà
spero
5
di
l'ordine
rosamente
terrò
Non
rigor»
.
Euclide
Ma
non
merò
assu-
,
alcuna
tampoco
perchè
e
le
;
che
sia
non
evidentemente
,0
^
accennerò
de' Teoremi
dimostrazioni
dente
evi-
o
provata
dubbio
alcun
nasca
non
paròle
poche
mi
stessa
se
per
cosa
in
che
y
necessarii
sono
•
iB.Tcor.
i.-Due
che
triangoli
hanioo
due
essi
lati^
j
lati
eguali
T
e
angolo
'che
sia
eguale
da
compreso
,
interamente
saranno
eguali
^
,
D.
è
Questo
'gruenza
chiaro
il
per
principici
principio geometrico,,
e
della
che.
coiv-
può
«n-
,
schivarsi
che
?
•
'Còrd,
'dalla
Quindi
i.'
metà
di
perpendicolare
una
linea
una
avrà
tutrì
dagli
estremi
alzam
i suoi
^
egualmente
Così
4ihea
.
distanti
( fig
2
) il
punto
£
della
di
ti
pundetta
jperpeadi-'
X
sarà
colare
EB
da
poiché
D,
CaroL
onde
EB
perpendicolare
A
D
+
AC
altro
fosse
CF
=
CI"
4-
die
;"
EBD
fuori
punto
distante
eguabnente
Se
A
ED.
CF
CF
=
della
dagli
e-
sarebbe
F
esempio
per
.
,
da
triangoli AEB,
=
sarà
vi
distante
i
AE
Non
2.
stremi
egualmente
(Ttor.i.)
eguali,
?ono
X
119
FA
=
lo
,
assurda.
è
^he
Corei.
isoscele
sarà
della
base
|à
il vertice
Quindi
3.,
perpendicolare
nella
onde
a* lati
del
E
triangolo
dalla
alzata
in
eguali
me*
golo
trian-
un
,
(fig'3)
AC
a*^ lati
eguali
Poiché
guali
angoli eguali,
opposti
saranno
opposti
saranno
essendo^
se
viceversa
e
A
CB
.=
angoli
A
e-
sia
non
.
CB
=
ma
(Teor.i)
esempio
per
,
triangolo AD3
il
BQ'
=1
sarebbe
è
che
io
ACB,
=
assurdo.
;
la
CsroL^
faccia
si
è
A
maggiore
angolo
il lato
opposto
FAC
sarà
F
=
(fig. 2 )
AFD
triangola
iia
FDi
FC
air
giore;
mag-
AC,
=
,
+
Fq
CD
dunque
AD,.
Coro/,
Due
AG
ma
triangoli
saran
V
-h CD
è
la iaversa
AD,
FD^V
j.
CD,
+
AC
=
sta.
manife-
eguali
pure
,
acb
ACB
(fig.j). quando
due
avranno
angoli
^
eguali CAB
=
l^djacenjte eguale
CBA'
a
=
ad
b
e
il
,
,
aà
pure
adjacente
lat9
a
detti
'"
"
H
,
4
AB
••
an-
X
Perchè
angoli eguali
fosse
ma
gote
CAB
r/7Ì ;
he
:^
^^
( Teor.
) il trian-
i
DAB
angolo
=
assurdo
è
che
T
e
z=:
^
^
»
3
CwdA
eguali
linee
Due
ó.
di
su
alla
fanno
Perchè
retti,
che
ranno
concorre-
linee
le
FA
,
CAB
gli angoli
non
dendo
ca-
intemi
gli angeli
supposto
.
facendo
due
di
somma
(fig.4)
che
rette,
terza
ima
mai
£B
hsst
non
sarebbe
bc
=
=
te
BC
se
.
BD
DAB
X
120
£BA
eguali
aUa
,
di
somma
AC
=
retti
due
AD
unita
e
inC,
coAcorrano
essendo
BD
presa
CAB
-f- CBA
,
-f- ABD,
CBA
=
FAB
sarebbe
ABD
=
e
,
il
triangolo CAB
CB
+
AC
e
—
{Teór.t}^
ABD
—
AD
CD
=
onde
AD
è
che
do
assur-
^
,
•
Ct?ro/i
potrà
vi
non
è
Quindi
7.
che
chiaro
che
essere
un
in
sol
angolo
,
to'j
e
sarà
un
forliori
a
retto,
ottuso
gli altri
ottuso,
nn
onde
;
ret-
vi
se
duesaran-
acuti.
jio
Coróf.
si
o
solo
un
lo
triango-
un
8.
possbno
Là
più
breve
dal punto
condurre
nea
qualunque
que
saranno
più
rf
di
è
BH
la
le
tutte
A
linee
(fig.^)
maggiori
,
dalla
aiscòstan
alla
li^
leofali-^
perpendicolare;
suctessivaménte
che
perpendicolare
quanto
Perchè
•
A£
di
opposta
AB
opposta
all'angolo
a
un
retto
angplo
B
sarà
maggiore
Condotta
minore
•
poi
f22X
X
percìè
e
onde
acuto
che
ottusa
n
è
impossN
,
e
fosse
Se
retto.
triangolo
nel
bile essendovi
condotta
V
ON
AB
verrebbe
ArP
NOE
Tangolo
cN
presa
lo
ONE
AB,
:=
assurdo
stesso
duo,
sarà
")ue
n^inore
triangolo
il
sia
prendali
si
plicabile dovunque
iunque
mostrato
egualmente
bisogno,
comp
ad
io
altro
qua^
dir
noa
bo
ne
dinjostrazio-
lamia
per
e
ap«
teorema
Pagnini
vedrassi
servirà
ma
dal
è
0"
puìnto
1)ì questo
.
jfie
dimostrazione
Questa
i.
uso.
,
CotqL
corde
Le
3.
.
compresi
centrici
jme(fesimi
tra
egual angolo
un
cioè
glori
cerchi!
ctm-
ossia
raggi,
to
sot-
successiv"imente
sono
al
crescono.
di
archi
degli
nug--
dei
crescere
ccrchii
•
,^
Cosi
(fig.7)
AB
triangoli
ACB
metà
alla
di
pure
vedesi,,
ad
e
allora
essendo
DCE„
che
condotta
CH
perpendicolare
essa
di
metà
la
essendo
•
isosceli
AB,,
per
Poiché
DE
^
DF,
serà
pas-
mente
perpendicolar-
e
eguali i triangoli
DCG
,
onde
ECG
GD
AH
CH
ma
AH
V
^^G
HB
GF,
S
,
serverai
tcore.ma
i
zq.
jdel
onde
a
Teor.
raggio
sarà
j.
non
La
tocca
il corol.
per
,
e
perpendicolari
saranno
,
,
AB
dunque
pure
ad
te
anteceden-
!"DC.
altro
perpendicolare
il cerchio
sto
Que-
uso.
air
estremità
iji altro
punto
tangente.
(fig;7). Si
tiri OL
sarà
CL
a
V
CI,"n-
^
quc
,
,^
^tfe il puntò
discorso
^o
ÌM
è
Cvrof.
«
fa
91
che
i
cadrà
I4
fuori
di
Tra
la
Io
:
altro
qualunque,
perpendicolare
I.
cerchio
del
stc^»
4eila
pupto
CI*
a
tangente
r
e
arco
si
non
5
può
condurre
cada
nissun'
ih
«d
due.
ÌÈ
perciò
e
che
e
CI,
non
Io
non
gli
ta-
perpendicol^trc
CO
il
dunque
cadrà
lE
tutta
perciò
k
^
CO
che
linea,
Condotta
punti
sarà
ìE
cerchio,
del
entro
altra
dentro,
ia
del-
O
punto
taglierà il
e
,
cerchio
che
prodotta
Car^.
Bue
1.
in
sia
altro
(fig.8)
rette
punto*
che.
ED
MB
,
facciano
30
con
arco
un
^
è tangente,
hon
fatto
F
to,
in
altro
un
angolo
un
la
la
e
,
che
BD,
F
punto
B
=
A
punto
un
taglierà
questo
prodotte
eguali
MB
in
Preso
concorreranno.
descritta
acuti
angoli
,
Nel
.
pun*
linea
incontre-
,
xà
la BA
cioè
in A
«arehbe
AFB
centro
FC,
direzione
la
nel
B
=
perchè
;
condotta
CFB
=
da
desse
pren-
la
A
è
che
lo
se
AF
assurdo
.
Se
noi
nella
prenderemo
BM
altra
\ un
^
punto
.
più.
lontano
tagliare la
lo
essere
1*
C
BD
in
CFB
angolo
altro
un
di
stesso
prima
AFB
=
j
all'angolo
B
il
centro,
per
,."
punto
arco
CA
iù
vicino
a
B
perchè
potrà
Noa
,
essere
essendo
pure
eguali ambedue
CI
f
pttuta.
un
•
f
doyrà
pcrc1hè^ ssireblae
perchè
potrà
Non
nuovo
=:
CB
=:
,
+
AG
+.
GF
=
C"ì
i-
Gl,^ed
essendo
AG
X
AC
+
h"
V
AG
è
che
X
124
sarebbe
CG
perchè
assurdo
V^ GF
Gì
pure
,
deve
Gì
più
essere
)
discostandosi
breve
GH3
r
deve
che
prendere
la BD
gliare
da
punti
i
toente
potendo
in
questo
né
stesso,
A
altro
due
per
andare
promovendosi
suctessiva«
dovrà
B
oltre
punto
ta*
non
e
,
successivi
centri
lo
essere
aiiderà
B
verso
onde
D
Dun*»
4
Tarco
M,
promovendosi
verso
B
a
centri
per
essendo
B,
a
eguale
versò
un
perpendicolare
vicina
perchè
acuto
dovendo
que
più
cadere
CIB
angolo
dalla
meno
prèndendo
a
una
,
distanza
certa
tagliare la
condotta
nella
BD
al
in
AM
il
D,
dalqual
dovendo
centro
arriveremo
centro
la
punto
formare
un
eguale all^ angolo
data
la
con
EDB
dato
DE
linea
onde
là
in^
pure
questa
,
contrerà
coinciderà
B
==
linea
ango«»,
,
Io
a
BM
•
Teor.
21.
D
delle
Uniti
4,
BD
CA
eguali
,
dicplari ad
AB
i due
loro,
tra
linea
la
(fig.tf)C,
punti
e
sarà
CD
e
perpen*
lare
perpendico-
,
inC,
guale
ad
£) alle
e
due
CA,
e
DB,
e
sarà
e-
AB.
.
P.
è'
Gli
angoli ACD,
è. dimostrato
Ma
sono
^
i^xQ acuti,
piente
ti
le linee
cpi^cprrere,
gli angoli
interni
BDC
pure
AC,
ma
spnd
essendo
DBÀ
come
fos*
Se
retti
•
final-
dovrebbero
BD
CAB
eguali
eguali
a
perchè
due
ret*
ciascu^^
,
no
X
è
no
^etta
non
mai
potranno
^ix«*
concorrere
y
insieme
dovrebbero
que
X
ns
concorrere
e
non
correre.
con-
^
poi gli angoli eguali ACD
Se
J^DQ
^
fossero
concorrerebbero
ottusi
le
linee
prolun^
,
dall'altra
gate
Essendo
acuti
essere
dovendo
parte
i loro
conseguenti
retti
dunque
gli angoli
«
ACD
svà
BDC
il triangolo
ACD
ABD^
=
,
hanno
che
due
triangoli
eguale
Iato
un
perchè
AB
se
fosse
BE
maggior
di
DC
sarebbe
=
Cp,,
DE
BD
e
,
guali porzioni,^
rebbesi
CD
a
e
le
ad
ad
che
to
due
estremità
loro
dunque
AB
chC'
resta
due
hanno
loro
distanti
vedeisi
e
sarà
in
sono
perpendicolare
a
tutti
che
pure
ed
prova.*
punti
,
gualmente
étroye*
,
linee
DB.
perpendicolare,
^ssp
,
do
assur-
ancora
presie
,
unite
linea
questa
eguale
e
è
che
lo
perpendicolare
alla
prolungate. AG
fosse
onde
DE)
DA
==
jpiù0E
accostandosi
Così
condotta
esempio
per
^
goli
rettan-
ipotenusa
T
e
^
eguali
sono
coniune
che
facilmente
provandosi
é««
stanti,
gli altri equidi-
quando
retta
una
,
jlue altre, queste
saranno
parallele,
CoroL
I.
Quindi
dedurre,
ogni
(rhe
qual volta
ora
per
che
sarà
due
avranno
già sappiamo
cscnipio,
se
facile,
linee
come
de,
Ve-
parallele^i
saranno
alcune
delle
convenire
ad
gli
o^nun
proprietà ,
e$sc
lele,
paral-
angolialterni (figlio)
ÀCN,
"'
X
ACN
MNC
i
X
126
AB,
lince
eguali^le
saranno
N!
la
parallele perchè supposto il punto F»
condotta FO
metà di CN,
perpendicolare^
e
ad
AB,
saranno
,
FM
NFM
OFC
al vertice
Tutta
quando
la
NI
teoria viene ad
restante
faranno
goli interni
la
risguardante
su
della
di
di due
somma
dove
dalla parte
fanhb
to
assioma, fu da molti preso
Proclo
che
principir,
che
teorema
infelicemente
pende
„
„
„
vuole
la
rette;
detti
a
*
an^
da-"
dimostrare^
(vedasiil Pagnini).A
i
il Glavio.
me
re
pa-
dimostrare,.secondoi
il potesse
pone,
e
,
quali mi
dalla teoria dtUè
come
-
gli an^^
Euclide
fu da
Questo
che
fa'H
convergen*»
terra
una
goli
ma
essere
solo da dimostrarsi
Resta
cadendo
minbri
concorreranno
per
^
,
lihee, cioè che due «linee concorreranno
delle
.
linea soIjd-
una
le AB
ambedue
di Euclide
teorema
za*
sarà
MO
onde
dimostrata»
cilmente
il
iriangolr
i
,
ad
perpendicolare
22.
the
chiaro
eguali,ed egualigli an**
saranno
,
goli
è
NI
a
Il
dimostrazione,è
sembra
non
pendano
di-
liifìeeproporzionali
,*
principio,da cuidi^
il seguente r,.
Sedai
neé
prolunghinoinfinitamente ^ue li*
formanti angolo, la loro distanza sùpere-
rà
ogni finita grandezza ".
un
punto
si
così dimostrare
col centro
;
Hi descrivano
ìiel vertice
'
"^uesto puossif.
successivantenté
dell'angolo variì cerchi
•
*
eoa*
I
i
X
tt)fìcéntricì
dì
dell' estremità
distanza
la
X
T17
qucstr
,
raggi
còrde
dette
corde
le
saranno
:'
è
si
ma
,
que
dun-
maggiori
successivamente
sono
chc^
provato
,
detta
finalmente
£«'
ogni
grandezza.
nita
dimostriamo,
Ma
aj.
le
supererà
distanza
parallele,
facciano
la
somma
la
ad
di Euclide
teorema
(fig.p)
Siano
.
AB
il
le
gli angoli
di
due
V
che
BS
B
dcl-^
minori
tiro
paralle-*
una
ABL
angolo
co»
,
SBA
Da
del*
te
rigorosameni
AB,
R
retti.
dovendo
AR
AR
refte
teoria
la
supposta
essere
giore
mag-
,
ABC
di
perchè
fa
RAB
con
retti
due
^
,
BL
cadrà
fuori
dell'angolo
parallele MD,
NF
onde
le
condotte
:
sarà
MB
OL
paraU
un
,
,
klogrammo,
ABS
MD
AB
=:
perciò
MG
,
MD
^
^
FD
a
questa
,
e
sarà
Dal
punto
C
cadrà
pure
dentro
AB.
NC
tiro
SCD
Taugolo
NE
durKjue
parallelogrammo
un
la
paralle-
CE
,
MG
=
ma
V
NC
NH
così
,
proverrà
ddlc
due
", MG
NH
dunque
,
/^
OQ^
IB
lipee AR
dunque
NH,
si fa
la
distanza
successivamente
,
minore
finalmente
dunque
concorreranno.
,
Restami
24.
che
che
ora
a
dire
di
una
definizione
,
da
sono
alcuni
due
altresì
si dà
linee
che
delle
parallele,
concorrono
a
è
ed
^
stanza
di-
una
,
infinita
Di
.
bert
si
contenta
dire
questa
essere
definizione
astrusa
d'Alem-^
e
difficile;
,
a
me
X
a
me
giamola
solo
non
le«
Presa
in
che
lei
a
falsa
distanza
una
che
perchè
sensibile,
se
convien
in
che
tutti
i
cioè
distanti
che
è
che
non
sieno
parallele.
due
quasi infinita
parallele
come
distanza,
approssimazione
ed
rigorosa,
Vero
dopa
per
.
che
le
punti
direzioni
della
sieno
6
esempio
che
altrimenti
Tidea
poiché
esatta,
Così
zione
è
non
considerarsi
è
non
delle
nec^Airiamente ogni
esclude
col
equi-*
che
linee
possono
questa
nia
,
,
o
biano
ab-
y
una
di
essa
dire
si"[no
,
la
che
non
concorrendo
non
con
punti
,
,
che
tale,
^ quanto
che
la
rono
concor-
pur
pure,
,
y
chiaro
abbia
non
inclinazione
qualche
sensibir
è
sia
traesse,
que*
,
scoso,
tuttoché
passa
rapporto
conviene
grande
rapporto
secondo
questo
9
alcun
pren^
che
omogenea
alcun
essa
con
essere
distanza
o
così
sia
^
a
ne
definizio-
citata
rigoros9^,
senso
quantità
un'altra
in
definizione
svoU
^
abbia
sta
nella
O
una
ad
rapporto
Ma
^
l'infinito
per
falsa
essei
attentamente.
prendesi
desi
dire
potesse
pare
X
u8
idea
una
idea
le
paralle-
d'inclloa^
idea
assumesi
una
in
Fisica
"
della
superficie
gravità
de'
terrestre
corpi posti
poco
tra
non
semidiametro
ha
alcun
di
di
Sl%
sensibile
rapporto
alla
terrestre
stanti
di-
loro
parallele, poiché la distanza
pertiche
in
cui
estremi*
,
tà
concorrono
le
dett^
Così
direzioni
.
-se
4ue
linee
mai
tèndo
mutare
alterare
mai
dirassi
r infinito
posto
la
loro
X
direzione
delle
linee
può
dunque
legittima
dice
che
concorrono
a
la
due
essere
,
,
linee,
sup«
equidistanti
essére
*che
parallele
.
|| che
pure
due
assoluto
potrà
non
posizione
ditnostra
si
:
concorrerebbero;
definizione
130
vicendevole
la
Nfa
z6.
X
infinita
distanza
una
•
Diifatti
si
non
degli
zione'
ammette
deir
assintoti
defini-»
la
giusta
come
dicendo
iperbola
es*
,
due
sere
che
infinite
tangenti
l' iper^
toccano
,
nelle
boia
esftremità
sue
tuttoché
si
sappia
,
gli
che
assintoti
^
incontreranno
non
mai
Tiper^
boia?
dimostrarsi
So
27.
assoluto
le
dil
nella
absolu
la
quest'altra
A
col
da B
avremo
DAB
sen.
oltre
Ger«
it^ni
P
durre
pro-
il punto
stante
di-
infinitamente
suppongo
,
ed
pure
(fig.^)
Congiunto
.
che
punto
potrebbesi
grandeur
infinito
Card.
de
dissertazione
egregia
dans
;
dal
data
dimostrazione
sua
V
supposto
concorrerebbero
parallele
bellissima
la
che
,
: sen.
=:BD^
ADB
,
j
ATI
onde
AB
BD
AB.s^^.DAB
ÀT^n
sen.PiDn
cadrà
AD
C
Supponesi
sen.T^hXy
dunque
AC
sopra
il
triangolo
=:
il punto
e
,
ABD
sendo
es-
=:o,
—
«q—
00
=:
ique
=
dun-
i
D
sopra
rettangolo
.
AC
parallela
a
imde
BD
,
CAB
pure
t
,
retto
.
Dun-
BD
Dunque
interni
goli
concorrerebbero
AC
e
,.
opposti
è
che
lo
retti
gli
an*
a
due
,
sarebbero
non
eguali
delle
d'essenza
egualmente
rallele
pa-
,
che
Ma
perciò?
Dunque
le
che
re
di-
potrassi
•
parallele concorreranno
za
distan-
una
a
y
infinita?
La
distrugge
le
non
l'idea,
che
prova
delle
essenza
tenendo
quando
parallele
,
la
cs^
loro
arrivassero
pure
,
il
i'
e
attuar
natura
,
debbano
tutto
dell' infi^nito
supposizione
infinito
suppbsto
percorrere
a
finalmente
concorrere*
9
che
Dal
vedesi
disparità
ia
definizione
delie
che
parallele
tata
ci-
la
tra
passa
quella degli
e
^
assintoti
ambedue
;
assoluto.
assintoti
GÌ'
dell' infinito
l' idea
supponenti
tuttoché
possa-
non
,
mai
jio
concorrere;
quelJa più
più
quanto
più
iperbola,
si
essi
diminuisce,
crescono
Quindi
g|i
che
si
può
assintoti
dire
in
divenendo
lo
zio
spa-
di
ghezza
lunper
stanza.
di-
frapposta
la
9onJscem»no^niai
natura
a
parallele
le
ma
j
loro
tuttavia
cosicché
si accostano;^
sempre
frapposto
T
con^
qualche
infiniti
ra
maltiediven-.
,
gano
tangenti
parte
è
perchè
dir
il
,
lo
dire
che
stesso
,che
per
noi
diverranno
una
,
perchè
mai
la
è, .impossibile
supposizione
,
£sL
questo
continuamente
dolo
e.
,
svanire
continuamente
^1
riraovenn
contatto
dall'altra
indica
il
loro,
,
continuo
/
accostarsi
:
non
si
potrà
poi dire
'
1.
2
al-
ia
xntx
maniera
alcuna
che
parallele concorrono
le
a
,
perchè
infinita
distanza
una
posta
,
estremità
loro
infinita
attualmente
lunghezza
ro
lo-
nelle
saranno
ch'erano*
distanti
egualmente
la
pure
,
da
principio.
Due
i3.
golo,
come
linee
poi ( fig.1
CÀ,
GB
congiunte
,
GB
diventeranno
non
punti
A
B
e
Poiché
to
di
più
r
ed
lontano,
AC
+
^=
il
A
nella
sen.h
onde
i
;
-r-~
pun^
linea
GB
B
AB
:
r^*on-
—
J^»*A+B'
parallela ad
CB
sarà
AGB
angolo
=
fissi
infinita
ad
sempre
avremo
AC,
:
divenendo
AC
restando
intorno
CA
'
de
terza
una
distanza
una
farà
si
concorso
sen.^
=
ad
ait-»
,
ravvolgendosi
G
con
parallele
che
,
facciano
) che
1
AC,
+
sen.k
svanendo
e
B
=:
onde
o
,
=
—
ciò
Né
00
può
meravi-
recar
.
o
te
dei
dei
deir
rapporti
crescenti
rapporti
decrescenti
angolo
C
le
sue
funzioni
triangolo
AC
funzioni
accosta
cresce
T
te
il lìmi-
come
Poiché
CB
la
quantità
angolo
il lato
contemporaneamente
AGB
deir
e
connesse
sono
la
con
angolo
gran^
CAB;
,
,
diminuendosi
zero
«
nel
lati
dei
lo
il Vtmì*
come
,
é
essenzialmente
ilezza
V infinito
si consideri
glia quando
C,
CA
è
:
alcune
ciascuno
al
suo
delle
fóé
s'
dunque
limite
tut*
tp-
X
contrario
tòchè
135
ciascuno
y
tli
no
da
arriveranno
zero
dire
meglio
arrivarvi
vare
Quantità
una
IBnita
tetti
pef
passa
essendo
dunque
possibili,
X
piir 4'altit"v
lonta*^
egualmente
isi V infinito
the
lo
^
contemporaneamente
:su|»posto
i grà*
che
vi
uno
o
^
arrivi
per
dovrà
^
£
piiò
questo
la divisibilità all' infinito
del
anche
pro^
continuò
poi-^
,
thè
rivato
se
^
tèmpo
al
realmente
siasi
non
zero
nòh
si
supponendosi
pervenuto
potrà
che
^
supporre
allo
ar«
stesso
àli^nfinito*
FINE,
NOI
RIFORMATORI
NOI
Stadio
Dello
Pa4ova
di
.
veduto
^VENDO
InqiiisitorGenerale
Francesco
cosa
contro
per
attestato
Princif»,
contro
a
la
Fede.
buoni
nel
Padre
di
MS.
D.
Materna^
vi
non
ser
es-
CattoIica^,
Segretario
concediamo
Stampator
di
€
te
nien-
nostro,
costumi,
Remondini
Giuseppe
Venezia
del
ec.
santa
del
e
di
Professore
Bologna
di
alcuna
parimente
Offizio
Franceschinìs
Università
nella
tìca
ed?
Maschcrom
Matematici
Opuscoli
Morìa
revisione
Tommaso
Gio*
Santo
del
intitolato:
Libro
di
^
F»
P.
del
approvazione
fede
la
per
cenza
li-
Venezia
,
che
di
materia
in
osservando
stampato,
essere
possa
Stampe
gli
presentando
e
le
ordini
solite
,
alle
Pubbliche
Librerie
di
Venezia
,
li
(^Andrea
( Cay.
dova
Pa-
•;:..--
•
Dat.
di
e
pie
co-
Novembre
20.
2785.
Querird
Proc.
Rif.
Morosini
Rif.
(
Regiftrato
in
Libro
a
Carte
20$.
al
Ciufeppe
Addì
Regift.
a
Carte
Eccellt
22.
239.
contra
Novembre
Libro
nel
la
GÌMnnantonU
Nam.
i888.
Cradentgo
Seg.
2785.
esistente
Beftemmla
Métria
nel
Magist»
ec.
Cessali
Nod»
PAULLUS
D.
Congregationis
Regularìum
Clericorum
Prapositus
S^PauUi
lìbrum
Quum
SCATI
JOSEPH
Generalis.
titulus
cui
Opuscoli
est
Ma^
,
tmuaki
a
nis
Francisco
D.
P.
Congregationis
professo
Presbytero
nostrae
duo
compositum
Franceschi-
Maria
Congregationis
ejusdcm
no-
,
eruditi
strae
viri,
leftione
id
quìbus
"
commisimus,
judìcio
gravi
rata
accu-
recognoverint
,
,
"
in
edi
lucem
probaverint
posse
Nos
;
ut
,
Typìs
mandetur
in
quantum
Nobis
fa-
est
,
cultatem
,
facimus
In
^
sigilloque
fieri
,
muniri
nostro
hos
fidem
quorum
jussimus
Datum
Ro-
•
fax
ex
Collegio
nostro
Ss;
Blasii
"
Caroli
,
decimotertio
Septembris
Kalendas
,
ni
Domi-
anno
Mdcclxxxvi.
'
D«
Paullus
A
Joseph
AhysfHs
Scati
Faepza
Prjep.
Cane.
Geii#