Legge del raffreddamento di
Newton
• L’obiettivo di questo esperimento era lo studio della
temperatura di un oggetto che si raffredda partendo
da una temperatura significativamente superiore alla
temperatura ambiente, in funzione del tempo.
• Con un apposito strumento effettuiamo la misura e
raccogliamo in una tabella la misura della
temperatura in gradi centigradi e il tempo a cui
questa misura si riferisce in secondi.
• Trasferiamo i dati così raccolti in un file EXCEL e
registriamo anche la temperatura ambiente in una
delle caselle del file.
• Rappresentiamo in un grafico l’andamento della
temperatura in funzione del tempo.
time (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
temperature (°C)
80,7
80,2
79,3
78,6
77,7
76,8
75,9
75,1
74,3
73,5
72,7
71,9
71,2
70,2
69,4
68,8
68,1
67,4
66,7
66,0
65,2
64,7
63,9
63,3
temperatura (°C)
raffreddamento
90,0
80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
0
20
40
60
80
100
120
tempo (s)
qualche considerazione sul grafico:
• ha un aspetto ragionevole?
• fino a quale valore scenderà la temperatura?
• quale funzione matematica può rappresentare l’evoluzione temporale
della temperatura?
• c’e’ bisogno di trattare i dati in qualche modo?
• La discesa della temperatura sembra seguire un andamento
esponenziale, ma:
– la funzione esponenziale negativa ha 0 come limite, mentre il limite dei
nostri dati è la temperatura dell’ambiente circostante (in generale
diversa da 0).
• Excel non è in grado di aggiungere un “offset” alla funzione
esponenziale.
• L’”offset” da sottrarre ai dati è la temperatura ambiente.
• Nella colonna C calcoliamo la differenza di temperatura DTamb tra il
corpo in esame e l’ambiente e riportiamola in un grafico.
• Se, per t  ∞, la temperatura del corpo tende alla temperatura
ambiente, ci possiamo aspettare che, per t  ∞, DTamb tenda a 0.
differenza di temperatura (°C)
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
0
20
40
60
80
100
120
tempo (s)
Possiamo ipotizzare che, se avessimo continuato a prendere misure, la differenza
di temperatura sarebbe arrivata a 0.
E’ possibile verificare l’andamento esponenziale secondo una legge del tipo:
Y = A e –kt
e determinare anche i valori di A e di k che consentono di rappresentare meglio i dati.
differenza di temperatura (°C)
70,0
60,0
y = 61,531e-0,0142x
50,0
40,0
30,0
20,0
10,0
0,0
0
20
40
60
80
100
120
tempo (s)
• Questa funzione esponenziale sembra rappresentare bene i nostri dati.
•Che significato fisico ha la costante A= 61,531 ?
per x=0 (cioe’ all’istante iniziale) y = A  A rappresenta la differenza di
temperatura tra corpo e ambiente all’istante iniziale
• E la costante k = 0,0142 ?
k e’ un indice della rapidita’ di diminuzione della temperatura (cooling rate, s-1)
• Quali sono le loro unità di misura?
Per valutare se l’adattamento e’ buono, possiamo utilizzare un piccolo trucco
matematico.
Linearizzazione del problema:
come si puo’ trasformare la dipendenza esponenziale in una dipendenza lineare?
funzione logaritmo = funzione inversa della funzione esponenziale
cioè
quindi se
ln(ex) = x
Y = A e –kt  ln(Y) = ln A – kt
linearizzazione del problema :
• calcoliamo il logaritmo della differenza di temperatura e mettiamolo nella
colonna D.
• rappresentiamo i dati in un grafico in funzione del tempo.
• controlliamo l’adattamento ai dati di una funzione lineare, cioè di una retta.
• quale significato hanno le costanti trovate?
• hanno il valore che ci aspettavamo?
4,5
4
y = -0,0142x + 4,1195
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
20
40
60
80
100
120
Da un punto di vista qualitativo possiamo dire che la velocità
con cui il corpo si raffredda, diminuisce con il passare del
tempo.
Possiamo dire qualcosa di più quantitativo?
Esiste una dipendenza dalla differenza di temperatura?
• costruiamo il grafico della velocità di diminuzione della
temperatura in funzione della differenza di temperatura
• in colonna E calcoliamo la variabile DT/Dt dove T è la
temperatura del corpo e t è il tempo.
• riportiamola in un grafico in funzione di
DTamb
0
velocità di raffreddamento
(°C/s)
-0,1 0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-1
differenza di temperatura tra corpo e ambiente(°C)
60,0
70,0
• Come ci si aspettava, la velocità di diminuzione della temperatura
del corpo è più alta quando è maggiore la differenza di
temperatura tra il corpo e l’ambiente.
• Consideriamo una curva di tendenza lineare per trovare il migliore
adattamento ai punti. Impostiamo l’intercetta = 0.
(Perché ?)
0
velocità di raffreddamento
(°C/s)
-0,1 0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
y = -0,0144x
-0,8
-0,9
-1
differenza di temperatura tra corpo e ambiente (°C)
60,0
70,0
• Che significato ha la costante -0,0144 ?
• Quale è la sua dimensione?
• Possiamo scrivere l’equazione appena trovata come:
dTcorpo/dt = -k (Tcorpo – To)
dove k = 0,0144 s-1
cioè la velocità di raffreddamento è proporzionale alla
differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente
(legge del raffreddamento di Newton)