CRESCITA DI POPOLAZIONI
BATTERICHE
I batteri (dal greco bacterion, piccolo oggetto) si
riproducono per duplicazione. Ogni batterio produce una
copia di sé stesso. Assumiamo che tutte le duplicazioni di
batteri avvengano nello stesso istante (duplicazione
sincrona). Indichiamo con Nk la numerosità alla k-sima
generazione di batteri (dopo k eventi di duplicazione), si ha
Nk = 2 Nk-1
Supponiamo che N0 =1, vale a dire che nella generazione
iniziale ci sia un solo batterio, troviamo facilmente che
Nk = 2k è una legge esponenziale
CRESCITA DI POPOLAZIONI
BATTERICHE
Supponiamo ora che la duplicazione batterica non sia
sincrona, vale a dire alcune cellule si duplicheranno prima
ed altre dopo. Fissiamo un’opportuna unità di tempo, ad
esempio un’ora, e sia N(t) il numero di batteri al tempo t
N(t) = N(t-1) + qN(t-1)
dove 0<q<1 è una costante, il termine qN(t-1) esprime la
percentuale dei batteri che si sono riprodotti al passare del
tempo da t-1 a t.
N(t) = (1+q)N(t-1), se indichiamo con N(0)=N0
otteniamo N(t) = (1+q)t N0
….ancora una legge esponenziale (quella dell’interesse
composto!)
DECADIMENTO RADIOATTIVO
Consideriamo al tempo t una massa M(t) di un isotopo
radioattivo. Al tempo t+1 la massa sarà diminuita, perché
parte degli atomi dell’isotopo si saranno trasformati in
atomi di un altro elemento, questa diminuzione è
proporzionale alla massa presente
M(t+1) = M(t) - qM(t) = (1-q)M(t) , dove 0<q<1
quindi 0<1-q<1
ovviamente M(t+1)<M(t)
M(t) = (1-q)t M0
dove M0 è la massa iniziale
FUNZIONI ESPONENZIALI
Diremo funzione esponenziale una funzione
f:RR della forma f(x)=abx dove b>0 è una opportuna
costante e a≠0.
b è detta base della funzione
esponenziale.
Dalle proprietà delle potenze
ab-x = a(1/b)x
abcx = a(bc)x
Si deduce che qualsiasi f(x)= abcx può essere considerata
come una funzione esponenziale, a patto di scegliere una
base opportuna
FUNZIONI ESPONENZIALI
La funzione esponenziale preferita dai matematici è
f(x) = ex = exp(x)
dove e=2.7182818284….. è un numero irrazionale noto
come costante di Nepero (John Napier matematico
scozzese 1550-1617)
e = limt+∞ (1+1/t)t = limx0+ (1+x)1/x
In generale si ha ek = limt+∞ (1+k/t)t = limx0+ (1+kx)1/x
FUNZIONI ESPONENZIALI
La successione (funzione che ha per dominio l’insieme dei
numeri naturali) f(n)= (1+k/n)n , per k>0, è un esempio di
funzione crescente, ma limitata, infatti si può dimostrare
che
1+k<(1+k/2)2<(1+k/3)3<...<(1+k/n)n<(1+k/(n+1))n+1<...< <
ek
Vedremo che ogni funzione esponenziale può essere scritta
nella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx
FUNZIONI ESPONENZIALI
Consideriamo una generica funzione esponenziale f(x)=abx
di base b (b>0), poiché essa dipende da due parametri
basterà conoscere due punti del suo grafico per
individuare le costanti a e b, infatti assegnati (x0 ,y0),
(x1,y1), dove y0 =f(x0 ), ed y1 =f(x1 ), si ha
b=(y1/ y0 )1/(x1 - x0 ) a= y0 /bx0
Osserviamo, inoltre che per ogni base b, f(0)=a
Se a>0, f(x)>0 per ogni x reale, f(x) non si annulla mai
Se a<0, f(x) <0 per ogni x reale, f(x) non si annulla mai
FUNZIONI ESPONENZIALI
Se b>1 , x0 < x1 implica bx0 < bx1 dunque se a>0, f(x)= abx
risulta strettamente crescente, se a<0 risulta strettamente
decrescente
Se 0<b<1, x0 < x1 implica bx0 > bx1 dunque se a>0, f(x)=
abx risulta strettamente decrescente, se a<0 risulta
strettamente crescente
FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI
Abbiamo detto che la successione (1+k/n)n , quando k>0,
tende crescendo a ek ; in particolare risulta
ek > 1+k
Quindi per k+∞ , 1+k tende a +∞ e quindi anche ek
essendo più grande non può che tendere a +∞
Avremo quindi:
limx+∞ ex = +∞
limx-∞ ex = limy+∞ e-y = limy+∞ 1/ey = 0
FUNZIONI ESPONENZIALI
TEOREMA DEL CONFRONTO
In particolare il Teorema del confronto (noto come
teorema dei due carabinieri) dice che se, per ogni x vicino a
x0 , si ha
g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)
limxx0 g(x)=limxx0 h(x)=L
allora anche limxx0 f(x)=L
FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI
Poiché si è detto che ogni funzione esponenziale può essere
scritta nella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx, corrisponde a c>0
una base b>1, mentre a c<0 una base 0<b<1
Avremo i seguenti limiti:
Per b>1
limx+∞ abx = +∞ se a>0, limx+∞ abx = - ∞ se a<0
limx-∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0
Per 0<b<1
limx+∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0
limx-∞ abx = +∞ se a>0, limx-∞ abx = - ∞ se a<0
FUNZIONI ESPONENZIALI: base >1
FUNZIONI ESPONENZIALI: base <1
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
Le funzioni della forma
f(x) = a(1- exp(-k(x-x0)) + b
sono utili ogni volta che si voglia rappresentare una
quantità che
-assume un valore specificato b in un punto specificato
x0
-inizia a crescere in maniera quasi lineare per x>x0
- al crescere di x, tende ad appiattirsi verso il valore
limite a+b
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
Le funzioni della forma
f(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + b
sono utili ogni volta che si voglia rappresentare una
quantità che non ha un punto di partenza preciso, ma per
la quale sappiamo che può variare da un valore limite
minimo ad un valore limite massimo, vale a dire che si
vuol esprimere un fenomeno di saturazione sia per x
tendente a +∞ , che per x che tende a -∞
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
f(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + b
Avremo:
limx+∞ f(x)=a+b
limx-∞ f(x)=b
f(x0)= b + a/2
Questo tipo di funzioni sono chiamate logistiche, sono
tipiche anche nell’ambito di dinamica di popolazioni, ad
esempio una curva di tipo logistico approssima molto
bene la crescita del numero di Drosophila allevate in
laboratorio.
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
Le funzioni logistiche hanno un andamento quasi lineare
vicino al punto x0 . Avremo modo di mostrare, in
seguito, che nell’intervallo [ x1 , x2] , dove x1 , x2 sono
gli unici punti in cui la funzione logistica assume i
valori
b + a/2 ± a/4, la funzione logistica differisce da una
funzione lineare per meno di un decimo della variazione
totale a
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
Esercizio: la quantità di semi, calcolata in percentuale,
che germinano entro una settimana dalla semina G
dipende dalla temperatura T del terreno supponiamo che
G(T) sia del tipo : G(T) = a/(1+ exp(-k(T-T0)) + b
In questo caso il limite inferiore deve essere
necessariamente 0, quindi b=0; il limite superiore deve
essere 100, quindi a+b=100 e dunque a=100.
Come scegliere T0?
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
T0 deve essere tale che G(T0 ) = b +a/2 = 50
Supponiamo di avere i dati sperimentali G(21)=36 e
G(26) =71
Poiché a/2 -a/4 =25 e a/2 + a/4 = 75, essendo i valori 36
e 71 compresi tra 25 e 75, l’intervallo [21, 26] è
contenuto nell’intervallo dove la funzione logistica è
quasi lineare; quindi possiamo stimare T0 dalla
relazione lineare G(T)= 7T - 111, imponendo 7T0 -111=
=50, da cui T0 = 23.
Rimane da determinare k o, equivalentemente e-k
FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI
DI SATURAZIONE
Poniamo e-k = q, abbiamo G(T) = 100/ (1+ qT-23 ).
Poiché si ha G(21) =36, possiamo porre 36 = 100/(1+q-2)
da cui ricaviamo q=3/4