Istituti di Istruzione Superiore
di
Sestri Levante, Chiavari,Rapallo, Camogli
I fenomeni reali e le funzioni
grafici e proprietà di funzioni
trigonometriche, esponenziali e
logaritmiche.
Docenti universitari:
Emanuela De Negri, Danilo Bruno
Istituti :

I.I.S. Deambrosis-Natta di
Sestri Levante
ITCG In memoria dei
morti
della patria di Chiavari


ITC Liceti di Rapallo

ITN San Giorgio di Camogli
Docenti
Classi coinvolte

Daniela Oneto

Classi IV e V sez. A L.S.T.

Rita Cafferata

Classe III sez. B L.S.T.

Gianna Picasso

Classe IV A

Maria Elisa Canepa

Classe IV B

Carlo Mortola

Classi IV A e V A Mercurio

Teresa Balestra

Classe V AIM
Motivazioni e obiettivi

Consentire agli studenti di:

Acquisire e comprendere il concetto di funzione

Descriverne le proprietà attraverso l’utilizzo dei
grafici.

Risalire, dall’esame di un grafico, alle principali
proprietà della funzione e , in alcuni casi,alla sua
espressione analitica
1 di 3
Motivazioni e obiettivi

Aiutare i ragazzi a superare le difficoltà incontrate
nello studio delle funzioni
trascendenti,introducendole “ dal basso”, cioè
costruendone il significato attraverso la
realizzazione di semplici modelli

Potenziare l’interesse verso le funzioni in oggetto
come possibile chiave di lettura e di interpretazione
di fenomeni ed eventi reali
2 di 3
Motivazioni e obiettivi


Potenziare l’importanza delle funzioni in oggetto
come possibile chiave di lettura e di interpretazione
di fenomeni ed eventi reali
Sviluppare nei ragazzi la capacità di:
 Passare dall’osservazione di un fenomeno alla
sua formalizzazione
 Ricercare quindi una funzione che ne riassuma
le caratteristiche essenziali
3 di 3
Descrizione sintetica

Preparazione di diverse unità didattiche, indipendenti
l’una dall’altra, incentrate sul concetto di funzione e di
relativo grafico.

Sperimentazione con i propri allievi delle unità adatte al
tipo di scuola e alla classe.
1 di 2
Descrizione sintetica
Le unità realizzate e proposte vogliono sottolineare:

La valenza formativa e l’efficacia della didattica per
laboratori per le discipline scientifiche

L’importanza di portare i ragazzi a ragionare, fare
ipotesi, costruire un modello e verificare la coerenza
dei risultati
2 di 2
Risultati ottenuti per gli studenti:

Approccio “più amichevole” a concetti che appaiono astratti e
avulsi dalla realtà

Sviluppo delle capacità di tracciare grafici di funzioni di diverso
tipo a partire da quello di funzioni elementari

Comprensione e riconoscimento di proprietà invarianti

Capacità di decodificare e modellizzare problemi reali

Consapevolezza del ruolo della matematica nell’inter-pretazione
della realtà quotidiana.
1 di 2
Risultati ottenuti per i docenti:

Potenziamento della didattica del ragionamento scientifico

Condivisione da parte dei docenti delle discipline scientifiche di
metodi di insegnamento per lo sviluppo di competenze
trasversali di analisi e di sintesi ai fini

Lavoro in team trasversali di docenti per sviluppare le abilità di
argomentazione logica degli studenti
2 di 2
I laboratori
Descrizione sintetica delle
attività più significative
svolte con gli studenti
Elaborazione di grafici di funzioni

L’obiettivo è quello di arrivare gradualmente alla
rappresentazione cartesiana di funzioni, sia algebriche che
trascendenti, accostando allo studio tradizionale (con la
determinazione di campo di esistenza, limiti, segno, etc) alcune
semplici osservazioni relative alle trasformazioni geometriche.

Durante l’attività si mostra come ottenere la rappresentazione
cartesiana di alcune funzioni trasformando opportunamente i
grafici delle funzioni fondamentali. Tali funzioni vengono
presentate all’inizio dell’attività, dopo una breve introduzione
storica.
Composizione di funzioni

L’obiettivo è insegnare agli studenti il concetto di composizione
di funzioni. Date due funzioni f (x) e g(x), si verifica sotto quali
condizioni è possibile comporle, e si determina la funzione
composta h(x)=f(g(x)).

Gli studenti usano il programma Derive per determinare
esplicitamente e graficamente il dominio e l' espressione della
funzione composta di due funzioni assegnate.
Funzione parametrica

L’obiettivo è quello di portare gli studenti a capire come varia
il grafico di una funzione al variare della sua espressione.

Dopo aver rivisto con gli studenti i grafici di alcune funzioni
elementari, essi vengono utilizzati per studiare il grafico di
una funzione parametrica al variare del parametro, senza
usare gli strumenti propri dell’analisi.
Metodo di bisezione

L’obiettivo è quello di insegnare agli studenti il metodo di
bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione, evidenziando
l’utilità dell’uso del calcolatore nell’applicarlo.

Dopo una breve introduzione in classe, l’attività prosegue nel
laboratorio di informatica. Con l’ausilio del foglio elettronico si
ricercano gli zeri di una funzione data. Dopo una prima stima
ottenuta graficamente, si elabora la procedura del metodo di
bisezione per migliorare la precisione.

Si mostra inoltre agli studenti come calcolare il numero di passi
necessari per determinare lo zero con una approssimazione
fissata.
Crescite veloci e crescite lente

L’obiettivo è di guidare gli studenti alla scoperta di alcune
proprietà delle funzioni esponenziale e logaritmo, partendo da
situazioni prese da vari ambiti del mondo reale.

Si propongono ai ragazzi vari fenomeni reali modellizzabili
mediante l’uso delle funzioni esponenziale e logaritmo.
L’andamento della funzione viene ricostruito a partire da
tabelle di dati.

Contemporaneamente si ha occasione di parlare di numeri
irrazionali e dell’uso dei logaritmi nei calcoli (numeri e algoritmi)
ma anche di scegliere alcune dimostrazioni delle proprietà dei
logaritmi (argomentare, congetturare, dimostrare).
Interpretazione esponenziale e lineare
di un fenomeno

L’obiettivo è mostrare la differenza tra la modellizzazione
lineare e esponenziale di un fenomeno

Si spiega agli studenti il concetto di modellizzazione
matematica di un fenomeno e si analizzano le caratteristiche
dei due diversi modelli, quello lineare e quello esponenziale.
In laboratorio questo viene applicato ai dati relativi ad alcuni
fenomeni proposti dall’insegnante.
Un problema di scelta
 L’obiettivo è mostrare agli studenti come attraverso l’uso della
funzione esponenziale l’investitore possa scegliere quale sia la
più favorevole tra due possibilità di investimento.
 Si spiega agli studenti le leggi di capitalizzazione a regime
composto e a regime semplice.
 Si rappresentano sul piano cartesiano i grafici della due leggi e
studiando la pendenza della funzione a regime semplice si
individua quale delle due è più conveniente per l’investitore.
Un problema curioso: i due numeri

L’obiettivo è quello di mostrare agli studenti che i numeri 2 e 4
sono le uniche soluzioni intere dell’equazione
xy  yx

In laboratorio il problema viene risolto utilizzando l’operatore
logaritmo e analizzando poi le due funzioni che vengono così
ottenute. Attraverso
 semplici considerazioni su dominio e
codominio delle stesse si conclude la dimostrazione.
Esponenziale ed equazioni differenziali

L’obiettivo dell' attività è quello di calcolare la soluzione
dell' equazione f' = f, senza utilizzare le tecniche esatte di
soluzione, ma costruendo la soluzione “per punti”.

In laboratorio, l’equazione viene studiata partendo dalla
definizione della derivata prima come limite del rapporto
incrementale e valutando quest'ultimo per valori finiti
dell' incremento. L'utilizzo della scala logaritmica permette di
riconoscere nella soluzione così costruita una funzione
esponenziale, la cui base può essere calcolata e confrontata
con il valore del numero e di Nepero. Infine, un confronto con la
soluzione esatta permette di valutare l' errore commesso ad
ogni passo.
Rappresentazione grafica delle
funzioni goniometriche

L’obiettivo è quello di studiare le proprietà delle funzioni
goniometriche in relazione al grafico.

L’attività inizia con una parte teorica sulle misure degli angoli in
gradi e radianti, sulle principali funzioni goniometriche, sul loro
grafico e sulle funzioni goniometriche inverse. In laboratorio di
informatica con l’ausilio del foglio elettronico si costruiscono i
grafici delle funzioni goniometriche e delle loro inverse, si
studia come varia il grafico al variare dei parametri. Infine, si
considera la somma di funzioni goniometriche di diversa
frequenza ed ampiezza, si disegna il grafico e si utilizzano I
risultati così ottenuti per descrivere fenomeni fisici quali onde
sonore, oscillazioni smorzate e battimenti