Tecnologie digitali
Scheda di laboratorio 6/2007
Grafici e rette
Grafici lineari
Il grafico più semplice con cui si viene abituati a rappresentare la dipendenza tra due grandezze
y = f (x) presenta una scala lineare su entrambi gli assi ortogonali. Per realizzare il grafico,
occorre scegliere un fattore di scala Ux che esprime la quantità corrispondente ad una lunghezza
unitaria, tipicamente i centimetri, misurata sulla scala grafica. Se la grandezza x è dimensionata,
ad esempio rappresenta il volume di un certo corpo di composizione omogenea, essa viene espressa
con una unità di misura, come i metri cubi (m3 ). Analogamente si fa con la grandezza y,
scegliendo un fattore di scala grafico Uy . Nel caso di grandezze dimensionate è evidente il fatto,
che sussiste anche per funzioni puramente numeriche, che i fattori di scala sono generalmente
diversi e vengono scelti per ragioni pratiche in modo da consentire la rappresentazione più chiara
possibile della regione della curva che è di maggiore interesse.
Per eseguire dei grafici lineari è utile adoperare la carta quadrettata che si è avvezzi ad usare
fin dalle scuole di base. Questa ha la particolarità di avere una spaziatura uniforme nelle due
direzioni. Una versione più tecnica della carta quadrettata è la cosiddetta carta millimetrata
nella quale sono segnate due quadrettature, una con linee più spesse ogni mezzo centimetro ed
una sovrapposta con linee più sottili ogni millimetro, da cui il nome1 .
Tra le innumerevoli situazioni in cui sono utili i grafici lineari ci occupiamo qui del caso in
cui la dipendenza della y è di proporzionalità diretta dalla x. In questo caso, rappresentato
dalla uguaglianza
y = kx + h
il grafico in scala lineare è semplicemente una retta. Inoltre, con una semplice misura grafica,
fatta, ad esempio, con un righello millimetrato, si determina facilmente, noti i fattori di scala il
valore di k. Basta fissare due punti sulla retta tracciata e considerare il segmento che li unisce
come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono paralleli agli assi del grafico (vedi
figura 1).
Se le misure della lunghezza dei due cateti sono, rispettivamente lx ed ly risulta, dunque:
k=
l y Uy
l x Ux
(0.1)
x
y
0
0.022
1.1 0.041
Es. 1 Siano date le coppie (x,y) della tabella
Si riportino i punti corrispondenti su un grafico
2
0.057
3.4 0.081
5
0.109
lineare, scegliendo opportunamente ed annotando i due fattori di scala espressi in cm−1 . Si verifichi che i punti
1
Esistono numerosi indirizzi in rete a cui si possono ottenere immagini, ad esempio, in formato .pdf
di carte per grafici tecnici. Una di queste è curata dalla università di Plymouth e si raggiunge all’ URL
http://www.plymouth.edu/math/resources/GraphPaper.html
1
2
Figura 1: Esempio di misura della pendenza di un grafico rettilineo. I nomi tra parentesi
corrispondono all’uso anglo-americano. La pendenza della retta è detta in inglese slope.
siano allineati e si tracci la retta che li unisce. Si scelgano ora due punti qualunque sulla retta e si costruisca il
triangolo rettangolo che ha come ipotenusa il segmento di retta compreso tra essi, e con i due cateti paralleli agli
assi. Si misuri con un righello la lunghezza dei due cateti e si calcoli il coefficiente angolare della retta secondo
la (0.1).
Es. 2 Un caso un poco più interessante è rappresentato nella figura, dove sono riportate le velocità di
recessione in km/sec di cinque galassie (Virgo, Ursa Major, Corona Borealis, Bootes e Hydra) in funzione
della loro distanza espressa in milioni di anni luce. I punti sono disposti approssimativamente su una retta la cui pendenza H è chiamata costante di Hubble. La figura è tratta dal sito di un corso di astronomia alla Michigan State University (ora non più attivo); è possibile trovare maggiori informazioni su questo problema al sito http://cfa-www.harvard.edu/∼huchra/hubble/ del Harvard Smithsonian Center for
Astrophysics e ai collegamenti mostrati in esso. Misurando sul grafico stampato sulla scheda i fattori di scala e le lunghezze si determini un valore per H e lo si confronti con quello calcolato all’indirizzo fornito sopra. Si confronti anche con il valore2 correntemente accettato, reperibile per esempio alla NASA, all’indirizzo
http://map.gsfc.nasa.gov/m uni/uni 101expand.html
Scala logaritmica
Molto più raro è l’uso scolastico delle scale logaritmiche. Una scala logaritmica su di un asse
può essere disegnata considerando che a partire da una origine (designata con 1) si riportano i
valori di una grandezza x a distanze dall’origine che sono proporzionali al logaritmo in base 10
(indicato col simbolo Log) del valore stesso:
d = c log(x)
Il valore riportato nell’origine non è necessariamente il valore 1; si può ridefinire la origine ad
una qualunque potenza (positiva o negativa) k di 10 e le distanze a cui si riportano i valori di x
saranno proporzionali al logaritmo dei rapporti tra i valori stessi e l’origine 10−k . Vediamo in
figura un esempio di scala logaritmica che si estende su tre decadi (dette anche cicli).
2
Si faccia attenzione che le unità di misura usate dagli astronomi sono (km/sec)/Mpc. Il Megaparsec indica
una distanza un milione di volte quella, detta parsec di una stella che è vista da punti diametralmente opposti
sull’orbita terrestre secondo un angolo di un secondo. In termini degli anni luce 1 parsec ' 3.26 anni luce.
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Figura 2: Velocità di recessione delle galassie in funzione della loro distanza
Figura 3: Esempio di scala logaritmica
Se l’origine coincide con il valore 1 il secondo 1 corrisponde a 10 e viene tracciato ad
una distanza c dall’origine. Il valore 100 corrispondera ad una distanza d100 = cLog(100) =
2c. Analogamente si sarebbe potuto considerare l’origine in 10−3 e le successive decadi corrispondenti a 10−2 e a 10−1 ; il punto corrispondente al valore 0.03 si trova a distanza d0.03 =
cLog(3 10−2 /10−3 ) = cLog(3) ossia esattamente nello stesso punto dove si trovava il valore 30
quando l’origine era in 1. Inoltre, per le proprietà dei logaritmi3 , coppie di punti che si trovano
ad uguale distanza su una scala logaritmica stanno tra loro nello stesso rapporto.
Es. 3 Lo studente verifichi con un righello che le coppie di valori 5 e 10 e 30 ed 60 si trovano a distanze uguali
sulla scala di figura. Quanto vale per la figura il valore del fattore di scala c?
L’uso più importante della scala logaritmica si ha quando la grandezza che si considera ha
un intervallo di variazione che abbraccia diversi ordini di grandezza e le scale lineari perdono
praticità.
Crescita esponenziale e grafici semilogaritmici
Ci siamo già occupati di una dipendenza molto importante nel caso della crescita esponenziale
y = y0 eαx
3
(0.2)
In particolare quella per cui la differenza tra due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto degli argomenti.
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Il grafico in scala lineare di questa dipendenza mostra un andamento monotono crescente con la
concavità rivolta verso il basso.
Figura 4: Esempio di curva esponenziale, disegnata sia in scala lineare sia in scala semilogaritmica
A prima vista il grafico non è molto diverso da quello di una crescita a potenza del tipo
y = axn +b. La situazione cambia drasticamente se usiamo per l’asse della grandezza dipendente
y una scala logaritmica, ovvero riportiamo il valore y ad una distanza d = cLog(y) dall’origine.
Un grafico che ha l’asse verticale in scala logaritmica e l’asse orizzontale in scala lineare è detto
grafico semilogaritmico. In MatLab se y ed x sono i vettori con i punti da graficare il grafico
semilogaritmico si ottiene con il comando semilogy(x,y) .
Poichè il logaritmo in base 10 ed il logaritmo naturale, simbolo ln, in base e sono nella relazione Log(a) = ln(a) Log(e), la distanza sull’asse verticale per i punti espressi da una relazione
del tipo (0.2) è in funzione di x:
d = cLog(y) = cLog(e)ln(y) = cLog(e)αx + cy0 Log(e)
In sostanza i punti della funzione esponenziale nel grafico semilogaritmico sono allineati
su una retta la cui pendenza è legata alla costante della esponenziale che può quindi essere
determinata per via grafica. Infatti, scelti due punti sulla retta:
α=
1 Log(y2 ) − Log(y1 )
Log(e)
x2 − x1
Ora, misurando la lunghezza c di una decade si vede che il numeratore della seconda frazione
è semplicemente:
ly
c
dove ly è la separazione in lunghezza tra i due punti proiettati sull’asse y; analogamente il
denominatore della seconda frazione è, come nel caso della scala lineare x2 − x1 = lx Ux . Infine
la formuletta per calcolare la costante esponenziale vale:
α=
Es. 4
La tabella
x
0
1
2.3
3.2
5
y
1
0.53
0.23
0.13
0.041
ly
cLog(e)lx Ux
(0.3)
rappresenta cinque punti della funzione y = e−0.64x . Riportare i valori su
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un grafico semilogaritmico con due decadi4 e l’origine in 10−2 e verificare che si dispongono su di una retta.
Determinare con il righello la costante grafica c della scala logaritmica misurando la lunghezza di una decade.
Determinare il fattore di scala Ux della scala lineare. Scegliere due punti ben distanti (perche?) sulla retta. Si
misurino le lunghezze grafiche delle distanze tra le proiezioni dei due punti e si applichi la formuletta (0.3) per
determinare la costante della esponenziale. Si confronti il valore con quello fornito. Si raccolgano i valori calcolati
da tutta la classe e se ne faccia la media e la standard deviation.
Es. 5 Anche per il grafico semilogaritmico prendiamo un esempio più interessante, ricavato dalla letteratura
scientifica. La figura 5 mostra l’andamento temporale della fluorescenza infrarossa emessa dagli ioni di Cr2+
inseriti in una matrice cristallina di ZnS; questo andamento è quello tipico registrato al termine di una eccitazione
a forma di impulso, ottenuto cioé eccitando gli ioni per un certo intervallo di tempo con una radiazione laser, e
poi interrompendo l’eccitazione in modo repentino, idealmente in un tempo infinitesimo. Il modello che descrive
la fluorescenza successivamente all’interruzione dell’eccitazione è descritto dalla formula:
I = I0 e−t/τ
Come si vede dalla prima parte della figura, il parametro τ dipende dalla temperatura del cristallo stesso.
Misurando direttamente nella figura 5 i fattori di scala e la pendenza delle curve, si verifichino i valori di τ riportati
nella seconda parte della figure. Infine, si verifichi che il tempo di risposta tipico del sistema di rivelazione è
inferiore al valore minimo riportato in figura.
Leggi di potenza e grafici logaritmici
Talvolta si usano anche grafici in cui entrambe le scale, orizzontale e verticale, sono logaritmiche.
In altre parole le distanze grafiche dx e dy a cui vengono riportati i valori di due grandezze (più
precisamente i rapporti dei valori rispetto alle rispettive origini) x ed y sono proporzionali al
logaritmo, ma con fattori grafici cx e cy generalmente diversi.
Ciò che ci interessa mostrare in questo paragrafo è che una dipendenza tra due grandezze del
tipo a potenza:
y = axb
comporta che il grafico su una carta bilogaritmica è rettilineo. In effetti prendendo il logaritmo
in base 10 da entrambe le parti si ha:
Log(y) = Log(a) + bLog(x)
ossia l’equazione di una retta la cui pendenza fornisce il valore dell’esponente. Per la determinazione grafica basta osservare che se si prendono due punti sulla retta le distanze grafiche
tra le loro proiezioni sui due assi risultano
dx = cx (Log(x2 ) − Log(x1 )) dy = cy (Log(y2 ) − Log(y1 ))
per cui
b=
Log(y2 ) − Log(y1 )
dy cx
=
Log(x2 ) − Log(x1
dx cy
Es. 6 La più celebre legge a potenza della fisica è probabilmente la terza legge di Keplero la quale stabilisce
che i quadrati dei periodi T di rivoluzione dei pianeti intorno al Sole sono proporzionali al cubo del semiasse
maggiore dell’orbita. In formule :
T = aD3/2
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La carta corrispondente può essere scaricata e stampata all’indirizzo citato prima scegliendo il file
2slog100.pdf.
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Figura 5: Grafici tratti dal lavoro di I. Sorokina et al. “Continuous-wave tunable Cr2+ :ZnS laser,
Appl. Phys. B 74, 607–611 (2002)
Proponiamo di determinare l’esponente 3/2 da una misura su un grafico logaritmico. Per questo abbiamo
bisogno di una tabella con periodi e semiassi dei pianeti e la troviamo, ad esempio in Wikipedia alla pagina http://en.wikipedia.org/wiki/Attributes of the largest solar system bodies. Lavoriamo con le
unità di misura naturali ossia le unità astronomiche AU per le lunghezze (1 AU ' 1.5 108 km) e gli anni per
i periodi (1 y(ear) = 3.1536 107 sec). I raggi (medi) delle orbite variano su tre decadi e i periodi su quattro.
Procuriamoci una carta bilogaritmica con queste caratteristiche5 e riportiamo i punti sperimentali, verificando
che stiano approssimativamente su una retta.
Es. 7 In tutti gli esercizi ci siamo limitati a considerare la pendenza delle rette. Si cerchi di capire cosa
rappresentano le intercette delle rette con gli assi nei vari casi.
Es. 8 Una volta imparato ad usare il righello per misurare i parametri nei diversi tipi di grafico, è possibile
ripetere gli esercizi usando le stampe dei grafici ottenute con i comandi plot, semilogy e loglog di MatLab.
Anche se la quadrettatura non è molto fitta, si possono eseguire misure con buona accuratezza. Si ripetano gli
esercizi con questa tecnica per convincersi della equivalenza della situazione.
5
Il file log4by3.pdf a http://www.plymouth.edu/math/resources/GraphPaper.html fa al caso nostro.
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