Interpolazione in nodi non equidistanti
Interpolare la funzione f ( x) =
1
, in [a, b] = [-5, 5] usando prima n+1 nodi equidistanti e
1+ x2
poi gli n+1 nodi di Lobatto - Chebyshev mappati in [a, b] ; provare per n = 2, 4, 8, 10, 12 e
controllare in entrambi i casi l’andamento dell’ errore.
 kπ 
 , k = 0, 1, 2, …, n (NB: sono n +1)
Nodi di Lobatto - Chebyshev: xk = cos
 n 
Mappa: da t in [-1, 1] a x in [a, b]: x =
b−a
a+b
t+
2
2
Minimi Quadrati
1. Assegnati i punti di coordinate:
x
y
-5
1.5
-2
2
0.5
-1
1
2.5
1.5
1
3
-2
6
3
si calcoli la retta dei minimi quadrati. Si disegnino sullo stesso grafico la retta e i punti in
tabella (cerchietti).
2. I dati della tabella seguente riportano le aspettative di vita per gli abitanti dell’Europa
occidentale in diversi anni
1975
72.8
1980
1985
1990
74.2
75.2
76.4
Si trovi la retta dei minimi quadrati che approssima questi dati e la si usi per stimare
l’aspettativa di vita della popolazione nel 1970, 1983 e 1998. Si verifichi poi che la retta
passa per il punto che ha per coordinate i valori medi delle ascisse e delle ordinate dei dati
in tabella.
3. Nella tabella seguente sono riportate le misure della densità r dell’acqua di mare (in
Kg/m3) in funzione della temperatura T (in gradi Celsius)
T
4
8
12
16
20
r
1000.7794
1000.6427
1000.2805
999.7165
998.97
A partire da tali dati si calcoli la retta dei minimi quadrati. Si considerino quindi le
seguenti misurazioni e si deduca se le approssimazioni trovate sono ragionevoli o meno:
T
6
10
14
18
r
1000.74088
1000.4882
1000.0224
999.3650
4. Il prezzo in lire di una rivista ha avuto il seguente andamento negli anni:
1986
1987
1989
1992
1994
1995
1997
1999
4500
5000
6000
6500
7000
7500
8000
8000
Calcolare la retta di regressione che approssima questi dati. Disegnare il grafico della
retta calcolata e dei dati nell’intervallo [1986, 2001]. Si stimi infine il prezzo della rivista
nell’anno 2001.
Spline lineari
ESERCIZIO 1
Si approssimi la funzione f(x) =1/(1+x2) nell’intervallo [-5, 5] con la spline lineare che usa
m sottointervalli equispaziati. Si disegnino sullo stesso grafico la spline e la funzione f e si
calcoli il massimo dell’errore nei punti usati per il grafico. Riportare i risultati ottenuti nella
sottostente tabella e commentarli:
m
10
100
1000
Errore p = 1
ESERCIZIO 2
Come nell’esercizio precedente, con le funzioni:
ƒ
f(x) = x sen(1/x)
in [0.05, 0.5]
ƒ
f(x) = excos(4x)
in [0, л]