Problema 1
Un'industria calzaturiera produce scarpe da tennis che vende a € 40 il paio e scarponi da trekking
che vende a € 50 il paio. Ogni paio di scarpe richiede 6 minuti di lavorazione a macchina e 5 minuti
di lavorazione manuale, mentre ogni paio di scarponi richiede 4 minuti di lavorazione a macchina e
10 minuti di lavorazione manuale. La macchina a disposizione può lavorare al massimo 4 ore al
giorno e l'operaio addetto alla produzione può lavorare al massimo 5 ore al giorno. Qual è la
produzione giornaliera più conveniente per ottenere il massimo ricavo nel rispetto dei vincoli?
[Grafico 1]
Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 40 € il paio e che gli
scarponi siano venduti a 90 € il paio.
[Grafico 2]
Risolvere lo stesso problema ipotizzando che le scarpe siano vendute a 45 € il paio e che gli
scarponi siano venduti a 30 € il paio.
[Grafico 3]
Problema 2
Un camionista deve trasportare della merce confezionata in due diversi tipi (C1 e C2) di casse. Ogni
cassa C1 ha un volume di 240 dm3 e pesa 25 Kg; ogni cassa C2 ha un volume di 210 dm3 e pesa 28
Kg. L'automezzo ha un volume di carico di 51 m3 (1 m3 = 1000 dm3) e una portata di 6 tonnellate.
Per non essere in perdita, l'autotrasportatore deve trasportare, per ogni viaggio, almeno 15 casse del
tipo C1 e 20 del tipo C2. Dal trasporto guadagna 5 € per ogni cassa C1 e 8 € per ogni cassa C2. Come
deve comporre il carico per realizzare il massimo guadagno? A quanto ammonta tale guadagno?
Problema 3
Un'industria dolciaria, che produce panettoni al costo di € 0.80 ciascuno e pandori al costo di € 0.50
ciascuno, segue una lavorazione che deve rispettare le seguenti condizioni:
• il triplo del numero dei panettoni più il numero dei pandori non deve essere inferiore a 750;
• il doppio del numero dei panettoni più il triplo del numero dei pandori non deve essere
inferiore a 850;
• la differenza fra il numero dei panettoni e quello dei pandori non deve superare 500;
• il numero dei pandori non deve superare 900.
Quanti panettoni e quanti pandori l'azienda deve produrre per sostenere la minima spesa? A quanto
ammonta tale spesa?
Se l'azienda vende i panettoni a € 4.80 ciascuno e i pandori a € 5.50 ciascuno, con quale
combinazione produttiva l'industria ottiene il minimo guadagno e con quale ottiene il massimo
guadagno? A quanto ammontano i due guadagni?
Grafico 1 (problema 1)
Grafico 2 (problema 1)
Grafico 3 (problema 1)
Problema 1
Indicando con x il numero di paia di scarpe e con y il numero di paia di scarponi prodotti
giornalmente dall’azienda, la funzione da ottimizzare (in questo caso da massimizzare) è data da
f (x, y) = 40x + 50y
I vincoli sono espressi dal seguente sistema di disequazioni:

6x + 4y ≤ 240 tempo di lavorazione a macchina



5x + 10y ≤ 300 tempo di lavorazione a mano
x≥0



y≥0
(Attenzione a convertire correttamente le unità di tempo: 4 ore = 240 minuti ecc.)
Si rappresentano sul piano cartesiano le equazioni delle rette che descrivono i vincoli, in modo
da determinare poi la regione ammissibile:
3
6x + 4y = 240 → 3x + 2y = 120 → y = − x + 60 (retta a)
2
1
5x + 10y = 300 → x + 2y = 60 → y = − x + 30 (retta b)
2
In particolare risultano determinati i punti A(0; 30) (intersezione della retta b con l’asse y) e
C(40; 0) (intersezione della retta a con l’asse x).
I vincoli “naturali” x ≥ 0 e y ≥ 0 fanno sı̀ che si debba operare all’interno del primo quadrante;
i vincoli “tecnici” legati ai tempi di lavorazione impongono di accettare le coppie di valori (x, y)
che giacciono al di sotto delle rette corrispondenti.
Resta da determinare il punto B di intersezione tra le due rette a e b; ciò si ottiene, come al
solito, risolvendo il sistema composto dalle due equazioni:
3x + 2y = 120
x = 60 − 2y
180 − 6y + 2y = 120
→
→
→
x + 2y = 60
3(60 − 2y) + 2y = 120
x = 60 − 2y
4y = 60
x = 30
→
x = 60 − 2y
y = 15
La regione ammissibile risulta pertanto delimitata dai punti A(0; 30), B(30; 15), C(40; 0) e
D = O(0; 0).
Si considera ora il fascio di rette di equazione 40x+50y = k che costituiscono le “linee di livello”
relative alla funzione da massimizzare. La “retta guida” del fascio stesso (corrispondente al valore
k = 0) è la retta d di equazione 40x + 50y = 0 → y = − 54 x, che passa per l’origine e presenta
una pendenza qualitativamente intermedia tra quelle delle due rette a e b considerate in precedenza
(ma < md < mb ovvero |mb | < |md | < |ma |, ossia 12 < 45 < 23 ). Al crescere di k la retta si sposta
progressivamente verso l’alto, e dal grafico (Grafico 1) si osserva immediatamente che, viste le
diverse pendenze delle rette in gioco, l’ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile
è quella passante per B. Il punto B stesso rappresenta dunque la condizione ottimale cercata
(x = 30 e y = 15, ossia una produzione giornaliera di 30 paia di scarpe e 15 paia di scarponi). In
questa circostanza, il ricavo massimo è dato da f (30, 15) = 40 · 30 + 50 · 15 = 1950 e .
*
*
*
Nel secondo caso la funzione da massimizzare diventa f (x, y) = 40x + 90y. La retta guida
c del fascio (40x + 90y = 0 ovvero y = − 94 x) presenta una pendenza “meno ripida” di ciascuna
delle altre rette (|mc | < |mb | < |ma |); dal grafico si osserva pertanto che, al crescere di k, l’ultima
retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è in questo caso quella passante per A. Il
punto A rappresenta dunque la condizione ottimale cercata (x = 0 e y = 30, ossia una produzione
giornaliera di 30 paia di scarponi e nessun paio di scarpe). In queste condizioni il massimo ricavo
è dato da f (0, 30) = 90 · 30 = 2700 e . (Grafico 2)
*
*
*
Nel terzo caso la funzione da massimizzare diventa f (x, y) = 45x+30y. La retta guida del fascio
(45x + 30y = 0 ovvero y = − 23 x) risulta parallela alla retta a; dal grafico si osserva pertanto che, al
crescere di k, l’ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è in questo caso quella
passante per B e C. Tutti i punti del segmento BC verificano pertanto le condizioni di ottimalità
cercate; ovviamente sono soluzioni accettabili solo quelle che corrispondono a valori interi delle
variabili x e y (x = 30 e y = 15; x = 32 e y = 12; x = 34 e y = 9; x = 36 e y = 6; x = 38 e
y = 3; x = 40 e y = 0). In queste condizioni il massimo ricavo, valutabile indifferentemente in uno
qualsiasi dei punti trovati, è dato (scegliendo ad esempio il punto C), da f (40, 0) = 45·40 = 1800 e .
(Grafico 3)