Minimi quadrati – regressione lineare
Se il diagramma di dispersione suggerisce una
relazione di tipo lineare si può determinare l'equazione
di una retta che approssimi "nel modo migliore" i dati
assegnati.
Sia dato l’insieme di n punti (x1 , y1 ), (x 2 , y 2 ),..., (x n , y n ) ;sia
y = Ax + B l’equazione della retta da determinare
Il criterio usato per definire "il modo migliore"
consiste nel minimizzare la quantità
Metodo dei minimi
quadrati
E =
n
∑ ( Ax i
+ B − y i )2
i =1
1
Minimi quadrati – regressione lineare
Metodo dei minimi quadrati: consente di determinare
un’unica retta di regressione per ogni insieme di dati.
Si richiede che sia minima la somma dei quadrati delle
lunghezze dei segmenti che costituiscono le distanze
verticali dei punti dalla retta.
80
70
(x i ,y i)
60
50
(x i ,A x i+B )
40
30
0
1
2
3
4
5
6
2
Minimi quadrati – regressione lineare
Si può dimostrare che i coefficienti A e B della retta di
regressione si ottengono ponendo:
∑ (x i − x )( y i − y )
A=
xi − x
-1
0
1
2
3
4
5
6
Somme totali:
∑ (x
B = y − Ax
− x)
2
i
i
Esempio:
xi
i
-3,5
-2,5
-1,5
-0,5
0,5
1,5
2,5
3,5
(x i − x )
2
yi − y
yi
12,25
6,25
2,25
0,25
0,25
2,25
6,25
12,25
10
9
7
5
4
3
0
-1
42
4,625
5,375
4,375
2,375
0,375
-0,625
-1,625
-4,625
-5,625
(x i − x )( y i − y )
-18,8125
-10,9375
-3,5625
-0,1875
-0,3125
-2,4375
-11,5625
-19,6875
-67,5
x = 2 .5
y = 4 . 625
A = − 1 . 61
B = 8 . 64
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Metodi di linearizzazione
Talvolta è possibile, con un cambiamento di variabile,
ricondursi alla ricerca della retta di regressione anche
per dati aventi andamento non lineare
Esempio 1: dati i punti (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), ...,(xn , yn ) supponiamo
che la relazione che intercorre tra i dati sia del tipo
y = C⋅xA
Prendendo i logaritmi di entrambi i membri ln y = ln C + A ⋅ ln x
e ponendo X = ln x Y = ln y
B = ln C si ha
Y = AX + B
si ricava l'equazione della curva approssimante ponendo C = eB
dove A e B sono i coefficienti della retta Y = AX + B
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Esercizio
Trovare la curva del tipo y = C ⋅ x A che approssima i
seguenti dati:
xi
yi
1
1.5
2
2.5
3
0.9
3.5
7.5
17
30.5
xi
yi
X i = ln xi
Yi = ln yi
1
0.9
0
−0.1054
1.5
3.5
0.4055
1.2528
2
7.5
0.6931
2.0149
2.5
17
0.9163
2.8332
3
30.5
1.0986
3.4177
5
Esercizio_Soluzione:
35
30
A = 3 .181
25
y
B = − 0 .098
20
C = e B = 0.907
15
10
y = 0.907⋅ x3.181
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
Nella figura sono rappresentati i dati e la funzione approssimante
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Altri casi di linearizzazione
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