La retta di regressione lineare.
Felice Iavernaro
Dipartimento di Matematica
Università di Bari
http://dm.uniba.it/∼iavernaro
[email protected]
11 Luglio 2007
Felice Iavernaro (Univ. Bari)
Regressione lineare
01/07/2007
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La retta di regressione lineare: ESEMPIO (1/2)
La seguente tabella riporta il peso e l’altezza delle studentesse di una terza
classe di una scuola media inferiore.
Peso
Altezza
42
1.48
43
1.5
43.5
1.53
45
1.51
45
1.50
46.5
1.52
47
1.55
48
1.53
48.5
1.57
Ci chiediamo se per la classe esaminata le due grandezze, peso ed altezza,
siano relazionate in qualche modo l’una con l’altra.
Proviamo a rappresentare in un piano cartesiano i dati della tabella
riportando sull’asse delle ascisse i valori dei pesi e sull’asse delle ordinate i
corrispondenti valori delle altezze.
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La retta di regressione lineare: ESEMPIO (2/2)
Si evidenzia un andamento pressoché lineare e ci chiediamo se è possibile
determinare una retta che meglio delle altre possa rappresentare
analiticamente tale andamento.
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La retta di regressione lineare: definizione
Data una generica retta r del piano di equazione y = ax + b, misureremo
la distanza dei punti (xi , yi ), i = 1, . . . n dalla retta r mediante la seguente
quantità:
F (a, b) =
n
X
[(axi + b) − yi ]2
i=1
Tale quantità p
dipende dai coefficienti a e b che definiscono la retta
(l’espressione F (a, b)/n è detta scarto quadratico medio).
Il nostro obiettivo è determinare quella retta (ovvero i coefficienti a e b)
che rende minima la funzione F (a, b)
Definizione
Si definisce retta di regressione lineare la retta di equazione y = a∗ x + b ∗
tale che:
F (a∗ , b ∗ ) = min F (a, b)
a,b∈R
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Interpretazione geometrica dello scarto quadratico medio
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La retta di regressione lineare
I coefficienti a∗ e b ∗ della retta di regressione lineare y = a∗ x + b ∗ sono le
soluzioni del sistema di due equazioni nelle due incognite a e b:

∂F

(a, b) = 0,

∂a

 ∂F (a, b) = 0.
∂b
essendo F (a, b) =
n
X
[(axi + b) − yi ]2 . Calcoliamo la prima equazione:
i=1
n
X
∂F
(a, b) = 2
[(axi − b) − yi ] xi
0 =
∂a
i=1
!
!
n
n
n
X
X
X
2
=
xi a +
xi b −
xi yi
i=1
i=1
i=1
Si procede analogamente per la seconda.
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La retta di regressione lineare
Si ottiene cosı̀ il sistema lineare













m
X
!
xi2
a +
i=0
m
X
m
X
!
xi
b =
i=0
a
+ (m + 1) b
i=0
xi yi
i=0
!
xi
m
X
=
m
X
yi
i=0
che risolto ci dà a∗ e b ∗ .
C’è un modo molto più comodo e significativo di esprimere la soluzione.
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La retta di regressione lineare
Introducendo le quantità:
m
1 X
xi (valor medio delle ascisse xi )
x̄ =
m+1
ȳ =
1
m+1
i=0
m
X
yi
(valor medio delle ordinate yi )
i=0
m
var(x) =
1 X
(xi − x̄)2
m+1
(varianza di x)
i=0
m
cov(x, y) =
1 X
(xi − x̄)(yi − ȳ )
m+1
(covarianza di x ed y)
i=0
la soluzione del sistema è
a∗ =
cov(x, y)
,
var(x)
b ∗ = ȳ − a0 x̄
OSSERVAZIONE: il punto (x̄, ȳ ) appartiene alla retta.
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La retta di regressione lineare
Per l’esempio precedente si ha:
a∗ = 9.8121e − 003
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b ∗ = 1.0758e + 000
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ESERCIZIO∗
La seguente tabella riporta il numero di pagine ed il prezzo (in Euro) di
alcuni libri di una stessa casa editrice.
Pagine
Prezzo
480
13
550
15.4
436
13.2
344
10.8
792
18.3
832
16.5
324
10
368
11
324
7.2
464
19
544
14
320
11.5
384
13.2
Rappresentare in un piano cartesiano i dati della tabella riportando
sull’asse delle ascisse il numero di pagine di ciascun libro e sull’asse delle
ordinate i corrispondenti prezzi.
Determinare l’equazione della retta di regressione lineare e rappresentarla
sullo stesso grafico.
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