Corso di esperimentazione di fisica 1
A.a.2007-08
Rosaria Mancinelli
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Il metodo dei minimi
quadrati
con Excel
Fit lineare (1/6)
Ipotizziamo di avere una serie di N dati
(x,y). Sia  l’errore sulle y
Guardando l’andamento dei punti
1
0.9
y
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
è ragionevole supporre che y sia una
funzione lineare di x, cioè
y  mx  q
0.7
Fit lineare (2/6)
Per trovare l’equazione della retta che meglio approssima i dati
usiamo il cosiddetto metodo
dei minimi quadrati
Innanzitutto, si individua un peso da dare ai singoli punti sperimentali:
poiché è ragionevole supporre che minore è l’errore statistico più rappresentativo è il
punto,
1
[Se gli errori sono
2
i
al punto ( xi , yi   i )
si associa un peso
uguali, i dati hanno
pi 
lo stesso peso
N 1
statistico, cioè
2
i 1
i
p=1/N ]

Fit lineare (3/6)
Dalla teoria si ricava che la retta che meglio approssima i dati è:
y  a  b
con
b y
b 
  xx
essendo
1

N
i 1
1
i
2
y
a 2

a 
z  i 1 pi zi
N
ed essendo il valor medio della generica grandezza z:
In termini dell’equazione in x,y:
ma
q  b  ax
b
y  mx  q
m a
q    x
2
b
2
a
2
2
Fit lineare (4/6)
Procedendo in modo sistematico…
si determinano
x  i 1 pi xi
N
y  i 1 pi yi
N
Fit lineare (5/6)
Si costruisce la variabile
i  xi  x
Si calcolano:
  i 1 pii
2
N
2
y  i 1 pi (i yi )
N
e
Fit lineare (6/6) Si trovano così i parametri della retta
1
b 
N
1
essendo
b y

i 1
 i2
y  a  b
 y
a 2

a 
b
2
1
ma
y  mx  q
0.9
0.8
m a
y
da cui si ricavano i
parametri di
ysper
0.7
yteo
0.6
q  b  ax
 q   b2   a2 x 2
0.5
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
x
0.5
0.6
0.7
Test del chi quadro a due code (1/2)
Abbiamo così determinato la retta che
meglio approssima i dati. Ma quanto è ragionevole supporre che i dati siano distribuiti
secondo l’andamento lineare appena determinato?
Fissato un certo livello di confidenza, verifichiamo che i dati siano correlati linearmente
secondo l’andamento determinato.
teo
y
 ai  b
i
Innanzitutto costruiamo le “ordinate teoriche”:
Quindi determiniamo gli
scarti rispetto agli errori
statistici:
yiteo  yisper
i
Test del chi quadro a due code(2/2)
Dagli scarti si calcola il chi quadro
y y
  i 1 
i

2
teo
i
N
sper
i



2
Il valore del chi quadro per
Livello di confidenza del 95%
Numero di gradi di libertà =N-2
Varia tra
dunque
2
2
2
teo




,inf
sper
teo,sup
e
il test è positivo