Corso di formazione in INGEGNERIA SISMICA
Verres, 11 Novembre – 16 Dicembre, 2011
Costruzioni in c.a.
– Metodi di analisi –
Alessandro P. Fantilli
[email protected]
Verres, 18 Novembre, 2011
Gli argomenti trattati


1. Modellazione strutturale
2.Metodi di analisi lineari



3. Metodi di analisi non lineari



2
2.1. Dinamica (analisi modale o multimodale)
2.2. Statica
3.1 Statica (pushover)
3.2 Dinamica (time-history) – cenni -
Bibliografia
Definizioni
1. Modellazione strutturale

La modellazione strutturale consiste nel passare
dalla costruzione alla struttura


Struttura: sistema fisico di masse, elementi di
smorzamento e rigidezze che influenzano, in modo
significativo, la risposta meccanica della costruzione
su cui sono applicate le azioni.
Azioni: causa o insieme di cause capaci di indurre
stati limite nella struttura (§2.5.1 NTC 2008). In base alla
loro intensità nel tempo, le azioni si classificano in
(§2.5.1.3 NTC 2008):


3


Permanenti (G)
Variabili (Q)
Eccezionali (A)
Sismiche (E): azioni derivanti dai terremoti
Regole generali di modellazione
1. Modellazione strutturale

La struttura di c.a. è da intendersi come lo
scheletro resistente costituito da:



Elementi verticali: pilastri e muri portanti.
Diaframmi orizzontali: solai.
Nel caso in cui la modellazione strutturale
è finalizzata all’analisi sismica, occorre
prestare attenzione a:


4

Tridimensionalità della struttura
Diaframmi orizzontali
Effettiva distribuzione di masse e rigidezze
Effetti tridimensionali
1. Modellazione strutturale


Le strutture devono essere considerate come
tridimensionali e l’azione sismica di progetto è
composta da due componenti orizzontali (tra loro
ortogonali) ed una verticale.
La componente verticale deve essere considerata
obbligatoriamente nei seguenti casi (§7.2.1 NTC 2008):








5
Presenza di elementi pressoché orizzontali di luce > 20 m.
Elementi principali precompressi (esclusi i solai di luce < 8 m).
Elementi a mensola di luce > 4 m.
Strutture spingenti.
Pilastri in falso.
Edifici con piani sospesi.
Ponti.
Costruzioni con isolamento.
Diaframmi orizzontali
1. Modellazione strutturale

In generale, un diaframma orizzontale è infinitamente
rigido nel proprio piano(spostamenti nel piano uguali per
tutti i punti) se, modellato con la sua reale deformabilità
(solaio flessibile), gli spostamenti orizzontali calcolati
durante un’analisi sismica non superano per più del 10%
quelli ottenuti in condizione di infinita rigidezza (§4.3.1
EC8).
Modellazione di un solaio flessibile
6
Elemento membrana
Elementi biella
Diaframmi orizzontali
I solai possono essere considerati infinitamente rigidi nel
loro piano a condizione che (§7.2.6 NTC 2008):
1. Modellazione strutturale


7

Siano in c.a., o latero-cemento (con soletta di c.a. di spessore 
4 cm), o misto accaio-calcestruzzo o legno-calcestruzzo (con
soletta di c.a. di spessore  5 cm e opportunamente connessa ai
travetti di acciaio o di legno).
Siano presenti aperture che non riducono significativamente la
rigidezza.
Risposta di una colonna
8
Digrammi di momento flettente
Solai  rigidi a flessione
Deformazioni
di interpiano
1. Modellazione strutturale
Azione sismica
4° piano
Solai  flessibili
3° piano
2° piano
1° piano
shear
type
bending
type
Distribuzione di masse e rigidezze

Le masse possono essere:
1. Modellazione strutturale



Le rigidezze:



9
Ripartite lungo gli elementi strutturali
Concentrate nei baricentri (o nei nodi) – è la soluzione
più adottata –
In genere si fa in modo che i solai siano infinitamente
rigidi nel loro piano (in questo modo il solaio può solo
avere due traslazioni ed una rotazione nel proprio
piano)
Per gli elementi strutturali come travi e pilastri (solidi
di S. Venant) la rigidezza da considerare è quella
flessionale. Nel caso di pareti (lastre) occorre anche
considerare l’effetto del taglio.
In generale, l’azione sismica impegna pesantemente la
struttura, ed è dunque necessario considerare,
nell’analisi strutturale, la riduzione di rigidezza che si
verifica nella fase post-elastica.
Un caso semplice
10
Edificio di 3 piani
3

3.2m


3.2m
2

3.2m
1

Travetti orditi in direzione y
Due telai in direzione x
Solai infinitamente rigidi nel
piano e a flessione (shear type)
Modulo cls Ec = 30 GPa
Masse solai
piano
1
2
3
0
5.0 m
5.0 m
1. Modellazione strutturale

y

x
Pilastri
2
(kg/m )
1200
1200
800
lati
pilastri
0–1
1–2
2–3
Bx (m)
0.4
0.35
0.3
By (m)
0.3
0.3
0.3
Calcolo delle masse ai piani
1. Modellazione strutturale

11
Le masse da considerare nell’analisi sismica, sia a
SLU che a SLE, si ottengono dalla seguente
combinazione di carico:
massa 



G1  G2   j 2, j Q2, j
g
G1 e G2 sono i carichi permanenti strutturali e non
strutturali, rispettivamente
g= accelerazione di gravità
Qk sono i carichi variabili ridotti del coefficiente di
combinazione 2,j (tabella 2.5.I NTC 2008):
Semplificazioni

1. Modellazione strutturale







Posso trascurare l’azione verticale.
Si fa riferimento ad un solo telaio in direzione x (simmetria).
La massa dei pilastri è trascurabile rispetto a quella dei solai.
La massa dei solai è equamente ripartita sui due telai.
Il cinematismo è definito dal vettore {u} – spostamenti dei
singoli solai – composto da tre elementi  3 gradi di libertà.
Le forze sismiche {P} saranno applicate nel baricentro dei solai.
Si richiama la sola rigidezza flessionale dei pilastri (si trascura il
contributo a taglio), perché i solai non si deformano.
L’effetto di smorzamento è prodotto dai soli pilastri.
P2
12
u3
P3
P1
c3
u2
c2
u1
c1
P3
m3
P2
m2
P1
m1
u3
u2
u1
1. Modellazione strutturale
Equazioni del moto

Nel caso dell’oscillatore semplice
mu  c u  k u  P  t 


Nel caso del sistema analizzato
 M u  C u   K u  P  t 

13
Si lavora con grandezze scalari
Si lavora con matrici e vettori
P3
m3
P2
m2
P1
m1
u3
u2
u1
Matrici [M] e [C]
1. Modellazione strutturale

14
Nel caso in esame la matrice delle masse è di tipo
“diagonale” :
0
 m1 0
 M    0
 0
m2
0
0 
m3 
dove:
m1=massa solaio 1°piano= 0.5  1200 kg/m2  5 m  5 m = 15000 kg
m2=massa solaio 2°piano= 0.5  1200 kg/m2  5 m  5 m = 15000 kg
m3=massa solaio 3°piano= 0.5  800 kg/m2  5 m  5 m = 10000 kg
Massa totale = 40000 kg

In generale, la matrice [C] è non diagonale. Nel caso in
esame:
 c1 c1,2

C   c2,1 c2
 0 c2,3

0 

c2,3 
c3 
Matrice di rigidezza [K]
1. Modellazione strutturale



15
La matrice di rigidezza è la stessa di
un’analisi statica. Il suo prodotto [K]{u}
da luogo alle forze di richiamo elastico ai
vari piani {PE}.
Il generico temine kij della matrice,
rappresenta dunque il valore della forza
di richiamo PEi, quando lo spostamento
uj=1 e tutti gli altri spostamenti u sono
nulli.
Consideriamo, ad esempio, il caso in cui
u2=1: si possono calcolare k21, k22 e k23.
PE3
u3
PE2
PE1
u2
u1
PE3=k23
PE2=k22
PE1=k21
1
Matrice di rigidezza [K]
1. Modellazione strutturale

T12

Se si isola il secondo piano:
T12
PE1=k21
12 EJ12
PE1  k21  2 T12  2 3 u2
l12
T23
T23
PE 2  k22  2 T12  T23  
12 EJ12 12 EJ 23 
2 3

 u2
3
l23 
 l12

16
Se si isola il primo piano:
PE2=k22
T12
PE3=k23
Se si isola il terzo piano:
12 EJ 23
PE 3  k23  2 T23  2 3 u2
l23
T12
T23
T23
Il termine 12EJ/l3
1. Modellazione strutturale

17
Nel caso di deformate dei pilastri di tipo
shear type, 12EJ/l3 è il taglio prodotto in
una trave incastrata ai due estremi e
soggetta ad un cedimento u=1 in uno
dei due incastri
12 EJ
T 3 u
l
N.B.: tale formula vale solo nel caso di
comportamento lineare elastico, in cui EJ è
la rigidezza flessionale della trave.
T
l
u=1
1. Modellazione strutturale
Calcolo di [K]
12 EJ 01 12 EJ12 
7
k11  2  3
5.87
10
N m




3
l12 
 l01
 k11
k
K

   21
 k31
k12
k22
k32
k13 
k23 
k33 
[K] è simmetrica: kij = kji
(teoremi di reciprocità)
12 EJ12
k12  k21  2 3  2.36  107 N m
l12
12 EJ12 12 EJ 23 
7
k22  2  3



N m
3.84
10

3
l23 
 l12
12 EJ 23
k23  k32  2 3
 1.48  107 N m
l23
k13  k31  0
18
12 EJ 23
k33  2 3  1.48  107 N m
l23
Analisi dinamica lineare
2.1 Analisi dinamica lineare






19
È il metodo di analisi “di riferimento”, e consiste (§7.3.3.1
NTC 2008):
Nella determinazione dei modi di vibrare della costruzione.
Nel disaccoppiamento delle equazioni del moto
Nel calcolo degli effetti dell’azione sismica per ciascuno dei modi di
vibrare calcolati, e combinazione di questi effetti
Da un punto di vista matematico si risolve il sistema
 M u  C u   K u  P  t  (0)
generalmente composto da equazioni differenziali
accoppiate, trasformandolo in un insieme di equazioni
disaccoppiate.
Si opera in campo lineare elastico, e le non linearità del
materiale vengono considerate attraverso l’uso di un
opportuno spettro di risposta e del fattore di struttura q.
Calcolo dei modi di vibrare
2.1 Analisi dinamica lineare




20
Si fa riferimento alle oscillazioni libere del sistema in
assenza di smorzamento. In tali condizioni [C]={P}=0,
ed il sistema generale diventa:
 M u   K u  0 (1)
È un sistema di equazioni differenziali omogenee, e si
suppone che la soluzione sia del tipo:
u    sin  t  (2)
Sostituendo (2) in (1) si ha il seguente sistema di
equazioni omogenee:
2


  M    K    0 (3)
Oltre alla soluzione banale {}={u}={0} (assenza di
moto), vi sono altre soluzioni per pulsazioni 
(autovalori) che soddisfano la seguente equazione:
det  2  M    K   0 (4)
Calcolo dei modi di vibrare
2.1 Analisi dinamica lineare

21

Vi sono dunque n soluzioni, dove n = numero di
incognite di spostamento = numero di gradi di libertà
del sistema.
Nel caso in esame (n=3), Eq.(4) diventa la seguente
equazione algebrica:
 3   2       0

dove: = 2, =-2.25·1012, =1.79·1016, =-3.53·1019
=1.23·1022
Che fornisce le seguenti soluzioni:
1 = 441.3  1 =21.01 rad/sec  T1 =0.3 sec
2 = 2434  2 =49.34 rad/sec  T2 =0.13 sec
3 = 5080  3 =71.27 rad/sec  T3 =0.09 sec
Calcolo dei modi di vibrare
2.1 Analisi dinamica lineare

22
Il generico modo di vibrare i ha dunque pulsazione i ,
periodo Ti , e spostamenti {u}i:
ui   i sin i t 


Il vettore (autovettore) delle componenti dello
spostamento {}i è definito a meno di un valore arbitrario
imposto ad una componente (ad esempio 1=1).
{}i si calcola risolvendo il sistema (3):
 k11  i2 m1

k21


k31

k12
k22  i2 m2
k32
  1  0 
   
k23
  2   0 
   0 
2
k33  i m3   3 i  
k13
Calcolo dei modi di vibrare
2.1 Analisi dinamica lineare

Componenti
1 (m)
2 (m)
3 (m)

{}1
1
2.21
3.15
Vettori
{}2
1
0.94
-1.47
{}3
1
-0.74
0.31
Se {}i è soluzione del problema del moto libero, lo sarà
anche {}i:
i  Qi   i

23
Nel caso in esame si ha:
Dove Qi è una costante arbitraria che per comodità è
posta pari a:
Qi 
1
 i   M    i
T
Calcolo dei modi di vibrare
2.1 Analisi dinamica lineare

24
Nel caso in esame si ha:
Q 1= 0.0023
Q 2= 0.0044
Q 3= 0.0064

Componenti
1
2
3
{} 1
0.002
0.005
0.007
Vettori
{}2
0.004
0.004
-0.007
{}3
0.006
-0.005
0.002
{}i rappresenta il modo di vibrare (deformarsi) al
periodo Ti
T1=0.29 s
m3
3(1)
T2=0.13 s
3(2)
m2
2(1)
2(2)
m1
1(1)
1(2)
T3=0.09 s
3(3)
2(3)
1(3)
Disaccoppiamento delle equazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

L’oscillazione del sistema sarà una combinazione dei modi
u     q
(5)
Funzione del tempo e dello spazio
Funzione dello spazio
Funzione del tempo

dove [] raccoglie tutti gli autovettori {}i ordinati per
colonna e {q} è il vettore dei coefficienti.
Se si pre-moltiplicano i termini di (0) per []T e si
sostituisce la (5) nella (0) si ottiene:
 M  q  C  q   K  q   
T
25

P  t 
Le nuove matrici di massa, smorzamento e rigidezza sono
tutte diagonali  ho disaccoppiato il sistema
Disaccoppiamento delle equazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

26
Matrice di massa
1 0 0  Si ottiene una matrice identità [I] perché
T
 M      M    0 1 0  i vettori {}i sono m-ortonormali: i vettori

 {} sono stati normalizzati rispetto a Q .
i
i
0 0 1 

Matrice di rigidezza
12 0
0   441.3
0
0 

 
T

2
 K      K     0 2 0  
0
2434
0




2
 0
0
5080 
0
0

3


Disaccoppiamento delle equazioni

Analogia con l’oscillatore semplice:
2.1 Analisi dinamica lineare

27
L’equazione generale del moto
mu  c u  k u  P  t 

Si trasforma in
u  2 u   u 
2


dove
P t 
m
c/m=2
k/m=2
La matrice di smorzamento, in analogia con l’oscillatore
semplice, è posta pari a:
0
0   2.1 0
0 
 2 11
T
   0 4.93 0 
C     C     0
2


0
2 2

 

 0
0
2 33   0
0
7.13

dove 1=2=3= 0.05 (caso di struttura di calcestruzzo)
Disaccoppiamento delle equazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

28
Se la forza agente {P(t)} è un terremoto, si avrà
T
T
(6)
  P  t       M ug 
Accelerazione al suolo

L’accelerazione al suolo è la stessa ai vari piani:
u 
g

1

 i ug  1 ug
1

(7)
Sostituendo (7) nella (6) si avrà:
 184 
T
T




  P  t       M i ug   g ug   64.6 ug
44.5



{g} = vettore dei coefficienti di partecipazione di modale
(i termini gi hanno le dimensioni di massa1/2)
Disaccoppiamento delle equazioni
2.1 Analisi dinamica lineare


Dal sistema iniziale accoppiato
P3
 M u  C u   K u  P  t 
P2
m2
P1
m1
u3
u2
u1
Al sistema disaccoppiato di tre oscillatori semplici
q1  2.1 q1  441.3 q1  184 ug
g12
T1 = 0.29 s
Massa= g12 = 33850 kg
29
m3
q2  4.93 q2  2434 q2  64.6 ug q3  7.13 q3  5080 q3  44.5 ug
g32
g22
T2 = 0.13 s
Massa= g22 = 4170 kg
T3 = 0.09 s
Massa= g32 = 1980 kg
2
2
2
g

g

g
Massa totale = 1
2
3  m1  m2  m3  40000 kg
Disaccoppiamento delle equazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

30
Al modo di vibrare i-esimo si hanno:

gi2
Massa partecipante MM i 
massa totale
i




Massa partecipante cumulata
Nel caso esaminato si ha:
MMAi 
modo di vibrare
1
2
3
 gj
2
j 1
massa totale
MM
85%
10%
5%
MMA
85%
95%
100%
Dovranno essere considerati tutti i modi con MM > 5% e
comunque un numero di modi con MMA > 85% (§7.3.3.1
NTC 2008).
Nel caso esaminato si può trascurare il 3° oscillatore
(terzo modo di vibrare)
Calcolo delle sollecitazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

Il calcolo delle sollecitazioni può essere fatto con una:

qi  t  

31
Analisi “time history”: definito un accelerogramma ( ug) si
risolvono gli oscillatori semplici con l’integrale di convoluzione (o
di Duhamel) e si ottengono le qi(t):
gi
i
t
 ii  t  



x
t
e
d


sin



 g   i
0
Si ricavano quindi gli spostamenti
u  t      q
e le sollecitazioni taglianti e flettenti ad ogni piano (sono funzioni
di {u(t)}).
Si tratta di un procedimento concettualmente semplice, ma
laborioso, e pertanto si usa raramente.
Analisi con lo “spettro di risposta”: in questo caso non si valuta
l’evoluzione temporale di spostamenti e sollecitazioni, ma solo i
massimi valori assunti da queste grandezze durante l’evento
sismico.
Calcolo delle sollecitazioni
32
Analisi con spettro di risposta elastico orizzontale (§3.2.2.2
EC8) – spettro delle accelerazioni per suolo di tipo A –
1.2
1
0.8
Sa/g
2.1 Analisi dinamica lineare

0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
periodo (s)
Si possono quindi calcolare le accelerazioni massime Sa per
ciascun modo di vibrare (o ciascun periodo Ti) e quindi i massimi
valori di qi:
qi ,max  gi  S d ,i  gi 
S a ,i

2
i
modo
1
2
3
T (s)
0.29
0.13
0.09
2
Sa (m/s )
10.3
9.37
7.75
qmax
4.29
0.25
0.06
Calcolo delle sollecitazioni
2.1 Analisi dinamica lineare


Calcolo degli spostamenti massimi nei vari modi:
u  t i,max  i  qi,max
Calcolo delle sollecitazioni nei vari modi
3
2
1
33
0
T3
M3
M 1,i
6 EJ 01
 2  u1,i  u0,i 
l01
M 2,i
6 EJ12
 2  u2,i  u1,i 
l12
M2
12 EJ12
T2,i 
u2,i  u1,i 

3
l12
M1
12 EJ 23
6 EJ 23
T3,i 
u3,i  u2,i  M 3,i  2  u3,i  u2,i 

3
l23
l23
T2
T1
12 EJ 01
T1,i 
u1,i  u0,i 

3
l01
Calcolo delle sollecitazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

34
Le azioni calcolate ai vari modi vanno opportunamente
combinate


se i periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro meno del 10%
si utilizza una combinazione quadratica completa CQC (§C7.3.3.1
NTC2008).
Se i periodi di oscillazione Ti sono ben distinti tra di loro si
utilizza la radice quadrata della somma dei quadrati SRSS
(§7.3.3.1 NTC2008).
CQC  E    ij Ei E j
i
j
SRSS  E   Ei2
i
dove
E= valore globale dell’azione (u, T, M)
Ei= valore al modo i dell’azione
ij= coefficiente di correlazione tra modo i e j (§C7.3.3.1
NTC2008)
Calcolo delle sollecitazioni
2.1 Analisi dinamica lineare

Nel caso in esame si ottiene:
spostamenti
modo
1
2
3

u1 (m)
0.01
0.0011
0.0004
u2 (m)
0.02
0.001
-0.0003
Tagli
u3 (m)
0.03
-0.016
0.0001
T1 (kN)
174
19
7.66
T2 (kN)
141
-0.76
-8.95
Momenti
T3 (kN)
69
-19.9
3.39
M1 (kNm) M2 (kNm)
279
226
31.3
-1.22
12.3
-14.3
M3 (kNm)
110
-31.9
5.43
I periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro più del
10% e dunque si usa la SRSS per combinare le azioni
calcolate ai vari modi:

Se considero tutti i modi:
spostamenti
u1 (m)
u2 (m)
0.010068 0.020027

Tagli
u3 (m)
0.034
T1 (kN)
T2 (kN)
175.2018 141.2858
Se considero solo i primi due modi:
spostamenti
u1 (m)
0.01006
35

u2 (m)
0.020025
Tagli
u3 (m)
0.034
T1 (kN)
175.0343
T2 (kN)
141.002
Momenti
T3 (kN)
71.8923
M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
281.0195 226.45525 114.66078
Momenti
T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
71.81232 280.7502 226.00329 114.53214
Non c’è sostanziale differenza tra il considerare 2 o 3 modi.
Osservazioni sul calcolo di M
2.1 Analisi dinamica lineare

Il generico momento flettente è calcolato nell’ipotesi di
comportamento elastico dei materiali
6EJ
M  2 u  EJ  
l

Nel caso esaminato si ha:


Curvatura (deriva dal cinematismo della singola colonna)
Rigidezza flessionale
EJ  Ec J om
36
u
 6 2
l
(8)
Momento d’inerzia della sezione di c.a.,
omogenizzata rispetto al calcestruzzo,
e ipotizzata interamente reagente
Modulo elastico del calcestruzzo
Osservazioni sul calcolo di M
Il legame momento curvatura di una sezione di c.a. è
nonlineare
Me=EJ
1
EJ
EJ*
Momento
2.1 Analisi dinamica lineare

1
Mu
My
M
Mcr


37
EJ= Ec Jom= rigidezza flessionale della
sezione interamente reagente
ed in regime lineare elastico
Mcr= momento di fessurazione
My = momento di snervamento
Mu= momento ultimo
 = curvatura - Eq.(8) EJ*= rigidezza secante
Curvatura
A parità di curvatura, la risposta reale della sezione è
caratterizzata da una rigidezza minore (EJ*), e da un
momento reale M =EJ* < Me.
Osservazioni sul calcolo di M
2.1 Analisi dinamica lineare

Se dunque si vuole calcolare la risposta effettiva della
sezione, occorre ridurre il momento di un fattore di
riduzione R pari a:
Me
R
M

Me è stato calcolato con riferimento ad uno spettro delle
accelerazioni, pertanto R rappresenta anche il rapporto
tra l’accelerazione del sistema elastico Sale e la
corrispondente accelerazione del sistema non lineare Sa,nl
Lineare elastico
R
38
S a ,el
S a , nl
Non lineare
Osservazioni sul calcolo di M
2.1 Analisi dinamica lineare

39
Il altre parole, il calcolo delle sollecitazioni va fatto con
uno spetto di progetto, ottenuto riducendo quello
elastico con un fattore di struttura q (§7.3.1 NTC2008).


q=1 se la struttura non dissipa (cioè non entra in campo
nonlineare), come accade nel caso degli stati limite di
esercizio.
q>1 se la struttura dissipa (cioè entra nel campo nonlineare),
come accade nel caso degli stati limite ultimi. In questi casi, il
valore di q dipende dalla classe di duttilità, dalla tipologia
strutturale (§7.4.3.2 NTC2008) e dalla regolarità della struttura.
Ovviamente, in questi casi occorre che le membrature
soddisfino dei requisiti di duttilità (come, ad esempio, la
gerarchia delle resistenze) che a loro volta dipendono dal tipo
di classe. La NTC 2008 stabilisce due possibili classi: classi di
duttilità alta (CDA) e classi di duttilità bassa (CDB). L’EC8 ne
individua tre: high ductility class (HDC), medium ductility class
(MDC), e low ductility class (LDC).
Calcolo con spettro di progetto
40
Se q=5, lo spettro di progetto a SLU per azioni orizzontali
(§3.2.2.5 EC8) – suolo di tipo A – diventa
1.2
1
0.8
Sa/g
2.1 Analisi dinamica lineare

0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
periodo (s)
Si possono quindi calcolare le accelerazioni massime Sa per
ciascun modo di vibrare (o ciascun periodo Ti) e quindi i massimi
valori di qi:
qi ,max  gi  S d ,i  gi 
S a ,i
i2
modo
1
2
3
T (s)
0.29
0.13
0.09
Sa (m/s 2) qmax (m)
2.06
0.86
2.37
0.063
2.91
0.025
Calcolo con spettro di progetto

Nel caso in esame si ottiene:
2.1 Analisi dinamica lineare
spostamenti
modo
1
2
3

u1 (m)
0.002
0.0003
0.0002
u2 (m)
0.004
0.0003
-0.0001
Tagli
u3 (m)
0.06
-0.0004
0.00005
T1 (kN)
34.9
4.96
2.88
T2 (kN)
28.3
-0.193
-3.36
Momenti
T3 (kN)
13.8
-5.04
1.27
M1 (kNm) M2 (kNm)
55.8
45.3
7.93
-0.309
4.06
-5.37
M3 (kNm)
22
-8.06
2.04
I periodi di oscillazione Ti differiscono fra loro più del
10% e dunque si usa la SRSS per combinare le azioni
calcolate ai vari modi:

Se considero tutti i modi:
spostamenti
Tagli
Momenti
u1 (m)
u2 (m)
u3 (m)
T1 (kN)
T2 (kN)
T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
0.002032 0.004012 0.060001 35.36815 28.49942 14.74634 56.50671 45.61822 23.518614

Se considero solo i primi due modi:
spostamenti
u1 (m)
u2 (m)
u3 (m)
0.002022 0.004011 0.060001
41

Tagli
T1 (kN)
35.2507
Momenti
T2 (kN)
T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
28.30066 14.69155 56.36067 45.30105 23.429972
Non c’è sostanziale differenza tra il considerare 2 o 3 modi.
Confronto dei risultati
1
0.8
Sa/g
2.1 Analisi dinamica lineare
1.2
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.8
1
1.2
periodo (s)

Con lo spettro elastico
spostamenti
u1 (m)
0.01006

u2 (m)
0.020025
Tagli
u3 (m)
0.034
T1 (kN)
175.0343
T2 (kN)
141.002
Momenti
T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
71.81232 280.7502 226.00329 114.53214
Con lo spettro di progetto
spostamenti
42
0.6
u1 (m)
u2 (m)
u3 (m)
0.002022 0.004011 0.060001
Tagli
T1 (kN)
35.2507
Momenti
T2 (kN)
T3 (kN) M1 (kNm) M2 (kNm) M3 (kNm)
28.30066 14.69155 56.36067 45.30105 23.429972
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare

43

Essendo la struttura regolare in pianta, l’analisi dinamica
lineare va condotta per ciascuna delle due direzioni
orizzontali. Quindi oltre alla direzione x, sviluppata in
precedenza, va condotta un’analisi anche in direzione y
(§4.3.3.1 EC2).
Nel caso in esame di struttura simmetrica rispetto alle
direzioni x ed y, il baricentro delle masse e quello delle
rigidezze coincidono. Quindi, i singoli impalcati subiscono
solo uno spostamento in direzione x, nel caso dell’analisi
in direzione x, ed un solo spostamento in direzione y nel
caso dell’analisi in direzione y. In entrambe le circostanze
non esistono rotazioni degli impalcati, né spostamenti
nell’altra direzione.
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare

ei   5% Li

ey44
Tuttavia, non potendo conoscere con esattezza la
posizione delle masse e delle rigidezze, ed anche
l‘evoluzione di queste ultime in campo non lineare, ci si
tutela con l’introduzione di un’eccentricità accidentale,
nelle due direzioni, pari a (§4.3.2 EC2, §7.2.6 NTC2008):
dove Li= direzione dell’impalcato perpendicolare alla
direzione dell’azione sismica.
In queste condizioni, l’analisi della struttura va fatta con
almeno 4 carichi (2 per ogni direzione principale), con lo
stesso segno delle eccentricità ai vari piani:
y
Ex
Ex
x
ey+
y
y
x
y
x
Ey
ex-
ex+
x
Ey
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare

Ognuno dei 4 casi può essere risolto in due modi


Modo rigoroso: ricorrendo ad un modello spaziale (analisi 3D) in
cui i singoli solai hanno due traslazioni ed una rotazione. A questa
condizione ci si riconduce anche quando non esiste la regolarità in
pianta della struttura.
Modo semplificato: facendo sempre un’analisi 2D, come quella
sviluppata in precedenza. Si calcolano quindi le forze statiche
equivalenti di piano per ciascun modo di vibrare i:
F i ,max   M ui ,max   M i  qi ,max   M i  Sa Ti 
Al generico piano j, si combinano le azioni calcolate agli n modi di
vibrare:
n
 
F j   Fi
i 1
45
j
2
e si calcola il momento torcente equivalente:
Mt j  F j e
2.1 Analisi dinamica lineare
Completamento dell’analisi
Tale momento si decompone in una serie di forze statiche, applicate
ai vari telai, in modo da generare lo stesso momento torcente. Nella
prima analisi, ad esempio, si ha (2° piano):
y
ey-
Ex
x
F2
y
x
y
+
x
Mt2
Effetti valutati con
l’analisi modale
Effetti valutati con
un’analisi statica
Il momento torcente provocherà una rotazione dell’impalcato, ed un
singolo pilastro sarà soggetto a due forze in direzione x ed y:
y
Mt2
x
S x, p 
 I x, p  y p
m

2
2
 I x, p  y p  I y, p  x p
p 1

Mt2
S y, p 
I y, p  x p
m

 I x, p 
p 1
y 2p
 I y, p 
x 2p

Mt2
m = numero di pilastri nel singolo piano
46
dove Ix,p e Iy,p sono i momenti d’inerzia del pilastro p-esimo rispetto
alle direzioni x e y, ed xp yp le distanze dei pilastri dal centro di massa.
2.1 Analisi dinamica lineare
Completamento dell’analisi
In pratica si viene ad avere ogni telaio soggetto a forze orizzontali
statiche. In direzione x si avrà:
u3
PE3
mm

PE ,i   S x , p
p 1

PE2
i
PE1
u2
u1
dove mm = numeri di pilastri del piano i-esimo presenti nel telaio
considerato. Si calcolano quindi gli spostamenti e le sollecitazioni:
3
2
1
47
0
T3
1
M2
12 EJ 01
T1,i 
u1,i  u0,i 

3
l01
M1
12 EJ12
T2,i 
u2,i  u1,i 

3
l12
T2
T1
u   K  PE 
M3
T3,i 
M 1,i
6 EJ 01
 2  u1,i  u0,i 
l01
M 2,i
6 EJ12
 2  u2,i  u1,i 
l12
12 EJ 23
6 EJ 23
u

u
M

u3,i  u2,i 


3,i
2,i 
3,i
3
2
l23
l23
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare


I valori di u, T e M sono gli effetti E calcolati con le analisi
modali eseguite separatamente nelle direzioni x e y, sia
con il metodo rigoroso che con quello semplificato.
Si combinano quindi gli effetti E prodotti dalle analisi nelle
varie direzioni con le formule (§7.3.5 NTC2008, §4.3.3.5
EC8)
Ex combinato con 0.3E y
E y combinato con 0.3Ex

dove Ex è l’effetto prodotto dall’analisi sismica in direzione
x e Ey è quello prodotto dall’analisi in direzione y.
Si può anche tenere in conto l’azione verticale:
Ex combinato con 0.3E y e con 0.3Ez
48
E y combinato con 0.3Ex e con 0.3Ez
Ez combinato con 0.3Ex e con 0.3E y
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare

Nel caso in esame consideriamo il calcolo del momento
flettente Mx in un pilastro del generico impalcato i:

Si fanno le 4 analisi e si ottengono 4 valori di Mx
y
ey-
Ex
Ex
x
y
ey+
y
x
Ey
ex-
M x1

M x2
ex+
M x3
x
Ey
M x4
I valori di Mx sono ottenuti considerando anche i carichi verticali,
oltre all’azione sismica E, secondo la combinazione
G1  G2  P  E   j 2, j Q2, j
49
y
x
dove P è l’effetto prodotto dalla precompressione.
Completamento dell’analisi
2.1 Analisi dinamica lineare

Si fanno quindi gli inviluppi di 32 situazioni
M x  M x1  0.3M x 3
M x  M x1  0.3M x 3
M x   M x1  0.3M x 3
M x   M x1  0.3M x 3
M x  M x1  0.3M x 4
M x  M x1  0.3M x 4
M x   M x1  0.3M x 4
M x   M x1  0.3M x 4
M x  M x 2  0.3M x 3
M x  M x 2  0.3M x 3
M x   M x 2  0.3M x 3
M x   M x 2  0.3M x 3
M x  M x 2  0.3M x 4
M x  M x 2  0.3M x 4
M x   M x 2  0.3M x 4
M x   M x 2  0.3M x 4
M x  M x 3  0.3M x1
M x  M x 3  0.3M x1
M x   M x 3  0.3M x1
M x   M x 3  0.3M x1
M x  M x 4  0.3M x1
M x  M x 4  0.3M x1
M x   M x 4  0.3M x1
M x   M x 4  0.3M x1
M x  M x 3  0.3M x 2
M x  M x 3  0.3M x 2
M x   M x 3  0.3M x 2
M x   M x 3  0.3M x 2
M x  M x 4  0.3M x 2
M x  M x 4  0.3M x 2
M x   M x 4  0.3M x 2
M x   M x 4  0.3M x 2

A cui si aggiunge il calcolo di Mx che deriva dall’analisi a SLU della
struttura in assenza di sisma, considerando agenti i seguenti carichi
 G1 G1   G 2 G2   p P   Q1 Qk1   j 0, j Qk , j  Qj
50
(di solito in questo caso si considera la situazione di pieno carico,
per cui le situazioni di carico complessive sono 33).
Riepilogo
2.1 Analisi dinamica lineare

L’analisi modale, con spettro di risposta e nell’ipotesi di
solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei seguenti punti:










51


1. Valutazione di [M], [K]
2. Si calcolano i periodi di vibrazione Ti
3. Si calcolano gli autovettori {}i
4. Si calcolano il vettori di partecipazione modale {g}
5. Si calcolano le masse partecipanti MMi
6. Si di definiscono i periodi di oscillazione principali
7. Si valutano le accelerazioni spettrali Sai
8. Si calcolano le sollecitazioni (e le forze statiche equivalenti {F}i
nel caso di analisi 2D).
9. Si calcolano gli effetti secondo la combinazione CQC o SRSS
10. Si aggiungono gli effetti dell’eccentricità accidentale (4 analisi)
11. Si fanno gli inviluppi delle 32 situazioni
12. Si aggiunge la 33a situazione legata all’assenza di sisma
Osservazioni sull’analisi modale
2.1 Analisi dinamica lineare


Nel caso in cui il solaio non è possibile considerarlo
infinitamente rigido assialmente e/o a flessione e
nelle situazioni in cui la massa di tutti gli elementi
deve essere tenuta in conto, è opportuno eseguire
l’analisi modale 3D facendo riferimento al metodo
degli elementi finiti (FEM).
Dall’analisi modale 3D si evince il comportamento
dinamico della struttura e dunque si evince la sua
“regolarità”:


52
Si ha una regolarità in pianta se la struttura ha un
comportamento disaccoppiato nelle direzioni x e y.
Si ha una regolarità in altezza quando la regolarità in pianta
si ripete ai vari piani e non ci sono eccessive differenze di
spostamento tra un piano e l’altro. La presenza di un modo
di vibrare che prevale rispetto agli altri è indice di regolarità
in altezza.
Analisi statica lineare
2.2 Analisi statica lineare




Rappresenta una semplificazione dell’analisi dinamica
lineare (modale), e consiste nell’applicare alla struttura
delle forze statiche equivalenti a quelle che produce
l’azione sismica (dinamiche).
Anche in questo caso si ipotizza un comportamento
lineare della struttura, facendo ricadere le non linearità
nel fattore di struttura q.
La valutazione delle forze statiche si evince dallo spettro
di riposta e dal primo modo di vibrare della struttura, che
deve prevalere rispetto agli altri modi.
Si può applicare l’analisi statica lineare quando:

53

Si ha una struttura regolare in altezza
Il primo modo di vibrare è da solo rappresentativo del
comportamento della struttura sotto l’azione sismica
Regolarità in altezza
2.2 Analisi statica lineare
Secondo le NTC 2008 (§7.2.2), una struttura è regolare in
altezza quando:




54
Estensione per tutta l’altezza dell’edificio dei sistemi resistenti verticali.
Masse e rigidezze costanti o variabili gradualmente lungo l’altezza (le
variazioni di massa da un piano all’altro non superano il 25%, la
rigidezza non si abbassa da un piano al sovrastante più del 30% e non
aumenta più del 10%).
Differenza inferiore al 20%, in strutture intelaiate in classe di duttilità
bassa, tra il rapporto fra la resistenza affettiva e la resistenza richiesta
calcolata ad un generico piano e l’analogo rapporto calcolato per un
altro piano (ad eccezione dell’ultimo piano di strutture intelaiate di
almeno 3 piani).
Restringimenti graduali della sezione
orizzontale da piano un al successivo
(vedi Figura), ad eccezione dell’ultimo di
edifici con almeno 4 piani.
2.2 Analisi statica lineare
Regolarità in altezza
55
Anche l’EC8
(§4.2.3.3) definisce
regole simili. In
particolare i primi
tre punti sono uguali
(anche se non sono
definite
quantitativamente la
brusca variazione di
massa e rigidezza),
mentre per i
restringimenti,
impone le limitazioni
schematizzate in
figura.
Il 1° modo di vibrare
2.2 Analisi statica lineare

56
L’analisi statica lineare si può applicare se il periodo T1 del
1° modo di vibrare soddisfa le seguenti condizioni rispetto
allo spettro di risposta considerato (§7.3.3.2 NTC2008) :


T1 ≤ 2.5 TC
T1 < TD
N.B. La prima condizione garantisce che gli effetti taglianti relativi al
primo modo di vibrare siano effettivamente predominanti sugli altri
modi. Tale ipotesi è alla base del metodo statico lineare. Si ricorda
che il punto C dello spettro di risposta elastico è funzione della
categoria di suolo.
Stima di T1

Per calcolare T1 si può fare riferimento a:
2.2 Analisi statica lineare


Risultati dell’analisi modale
Metodi empirici come quelli normativi
 La NTC 2008 (§7.3.3.2) e l’EC8 (§4.3.3.2.2) suggeriscono, per
costruzioni che di altezza H ≤ 40 m e la cui massa sia
pressappoco uniforme sull’altezza, la seguente formula:
T1  C1 H 3/ 4

dove C1=0.085 per strutture a telaio in acciaio, C1=0.075 per
strutture a telaio in calcestruzzo, C1=0.05 per strutture di altro
tipo.
L’EC8 suggerisce anche la seguente formula
T1  2 d
57

dove d è lo spostamento orizzontale elastico in sommità
dell’edificio, ottenuto applicando orizzontalmente i carichi
gravitazionali
Metodo di Rayleigh (più affidabile di quelli normativi)
Metodo di Rayleigh

Per calcolare T1 con il metodo di Rayleigh
2.2 Analisi statica lineare
539.6 kN
527.3 kN
527.3 kN

G1  G2  P  E   j 2, j Q2, j


58
1) Si calcolano i carichi gravitazionali di ogni piano secondo la
combinazione
2) Tali carichi si dispongono come carichi orizzontali Wi ai vari
piani e si calcolano gli spostamenti i dei piani in condizioni
statiche lineari
3) Si calcola T1 con la formula
1  Wi  i2
1 539.6  0.22  527.3  0.162  527.3  0.092
T1  2
 2
g  Wi  i
9.81 539.6  0.2  527.3  0.16  527.3  0.09
Calcolo del taglio alla base
2.2 Analisi statica lineare

La risultate delle forze statiche orizzontali (cosiddetta
taglio alla base Fh) equivalenti all’azione dinamica si
calcola con la seguente formula:
1
Fh  Sa T1   W   
g



59

dove W= peso complessivo della costruzione (somma dei Wi ai
vari piani);
Sa = ordinata dello spettro di risposta delle accelerazioni in
corrispondenza del periodo fondamentale T1;
= 0.85 (se la struttura ha almeno tre orizzontamenti e se T1<2
TC);  = 1 (in tutti gli altri casi);
g = accelerazione di gravità
Calcolo della distribuzione delle forze
2.2 Analisi statica lineare

Il taglio alla base Fh è distribuito lungo i piani
proporzionalmente alle forze d’inerzia corrispondenti al
primo modo di vibrare. Tale modo è approssimativamente
lineare, per cui, si assume che le componenti del vettore
{}1 siano espresse da:
zi
i ,1 
zn

Le forze di piano risultano dunque:
Fi  Fh
Fi
Wi zi
n
 Wj z j
j 1
60
Fn
F1
Completamento dell’analisi
2.2 Analisi statica lineare

Si calcolano spostamenti e rotazioni in modo statico
partendo dalla relazione
F    K u


Se la struttura è regolare in pianta, l’analisi statica
lineare va condotta per ciascuna delle due direzioni.
Nel caso di struttura simmetrica rispetto alle direzioni x
ed y, gli effetti torsionali accidentali possono essere
presi in considerazione amplificando le sollecitazioni su
ogni elemento resistente della quantità:   1  0.6 x
Le
61
dove x è la distanza dell’elemento resistente
dal baricentro delle masse (distanza
perpendicolare alla direzione dell’azione
sismica); Le = distanza tra i gli elementi
resistenti più lontani misurata allo stesso modo
Completamento dell’analisi
2.2 Analisi statica lineare

ei   5% Li

ey-
Si fanno dunque le 4 analisi
y
Ex
Ex
x
ey+
y
y
x
y
x
Ey
ex-

62
Se non esiste la regolarità in pianta della struttura, va
eseguita un’analisi 3D. In questo caso, occorre tenere in
conto sia l’eccentricità effettiva tra il centro delle masse
e delle rigidezze, sia quella accidentale, nelle due
direzioni, già definita nel caso dell’analisi dinamica
ex+
x
Ey
E si calcolano le sollecitazioni considerando anche carichi
verticali, oltre all’azione sismica E, secondo la
combinazione
G1  G2  P  E   j 2, j Q2, j
Completamento dell’analisi
2.2 Analisi statica lineare

M x  M x1  0.3M x 3
M x  M x1  0.3M x 3
M x   M x1  0.3M x 3
M x   M x1  0.3M x 3
M x  M x1  0.3M x 4
M x  M x1  0.3M x 4
M x   M x1  0.3M x 4
M x   M x1  0.3M x 4
M x  M x 2  0.3M x 3
M x  M x 2  0.3M x 3
M x   M x 2  0.3M x 3
M x   M x 2  0.3M x 3
M x  M x 2  0.3M x 4
M x  M x 2  0.3M x 4
M x   M x 2  0.3M x 4
M x   M x 2  0.3M x 4
M x  M x 3  0.3M x1
M x  M x 3  0.3M x1
M x   M x 3  0.3M x1
M x   M x 3  0.3M x1
M x  M x 4  0.3M x1
M x  M x 4  0.3M x1
M x   M x 4  0.3M x1
M x   M x 4  0.3M x1
M x  M x 3  0.3M x 2
M x  M x 3  0.3M x 2
M x   M x 3  0.3M x 2
M x   M x 3  0.3M x 2
M x  M x 4  0.3M x 2
M x  M x 4  0.3M x 2
M x   M x 4  0.3M x 2
M x   M x 4  0.3M x 2

63
Si fanno quindi gli inviluppi di 32 situazioni (in assenza di
azioni sismiche verticali)
A cui si aggiunge la situazione di pieno carico che deriva
dall’analisi a SLU della struttura in assenza di sisma,
considerando agenti i seguenti carichi
 G1 G1   G 2 G2   p P   Q1 Qk1   j 0, j Qk , j  Qj
Riepilogo
2.2 Analisi statica lineare

L’analisi statica lineare, con spettro di risposta e
nell’ipotesi di solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei
seguenti punti:








64
1. Valutazione di [K]
2. Si stima il 1° periodo di vibrazione T1
3. Si valuta l’accelerazione spettrale Sa
4. Si calcolano le forze statiche equivalenti nei vari piani
5. Si calcolano le sollecitazioni (aggiungendo gli effetti
dell’eccentricità accidentale - 4 analisi 3D).
6. Nell’analisi 2D, si aggiungono gli effetti dell’eccentricità
accidentale con l’amplificazione delle sollecitazioni
7. Nell’analisi 3D, si fanno gli inviluppi delle 32 situazioni
8. Si aggiunge la situazione di tutto carico legata all’assenza di
sisma
Osservazioni conclusive
2.2 Analisi statica lineare

65
Sia nell’analisi modale che in quella statica, si è fatto
riferimento ad analisi 2D (modelli piani) ed analisi 3D
(modelli spaziali). Questi ultimi sono necessari se le
strutture non sono regolari in pianta
regolarità
Pianta
Altezza
sì
no
sì
sì
no
no
no
sì

modello
2D
2D
3D
3D
analisi
modale
statica
modale
statica
La struttura è regolare in pianta se (§7.2.2 NTC 2008):
a) la configurazione in pianta è compatta e approssimativamente simmetrica
rispetto a due direzioni ortogonali, in relazione alla distribuzione di masse e
rigidezze;
b) il rapporto tra i lati di un rettangolo in cui la costruzione risulta inscritta è
inferiore a 4;
c) nessuna dimensione di eventuali rientri o sporgenze supera il 25 % della
dimensione totale della costruzione nella corrispondente direzione;
d) gli orizzontamenti possono essere considerati infinitamente rigidi nel loro
piano rispetto agli elementi verticali e sufficientemente resistenti.
Analisi non lineare

3. Analisi non lineare

Ma quanto è affidabile tale fattore di struttura?

66
Nelle analisi lineari il calcolo delle sollecitazioni è fatto
sempre in regime lineare elastico.
In tali analisi, la non linearità di comportamento
strutturale viene presa in considerazione attraverso lo
spettro di progetto, che differisce da quello elastico per la
presenza di un fattore di struttura q>1.
In alternativa ai metodi lineari si possono utilizzare i
metodi di analisi di tipo non lineare, in cui il calcolo delle
sollecitazioni è fatto considerando la reale risposta non
lineare dei materiali che compongono la struttura.
Analisi statica non lineare
3.1 Analisi statica non lineare




L’analisi statica non lineare è comunemente chiamata
pushover (= andare oltre), perché porta ad esplorare
quello che succede dopo il comportamento elastico.
Nel caso di strutture regolari in pianta, l’analisi pushover
è possibile eseguirla usando due modelli piani (2D),
ciascuno per ognuna delle due direzioni principali.
Si applicano alla struttura 2D i carichi gravitazionali e
alcune azioni orizzontali ad ogni piano della costruzione.
V= taglio alla base è la risultante delle forze orizzontali
n
V   Fi
i 1
67
Analisi statica non lineare
3.1 Analisi statica non lineare

68
Le forze orizzontali sono scalate tutte, monotonamente,
di un fattore  fino al raggiungimento delle condizioni di
collasso (7.3.4.1.NTC2008)






Durante tale incremento si misura lo spostamento
orizzontale di un punto di controllo, coincidente con il
centro di massa dell’ultimo livello della costruzione.
Il diagramma V-D rappresenta la curva di risposta,
cosiddetta curva di pushover.
Distribuzione delle forze Fi
3.1 Analisi statica non lineare

69
La distribuzione delle forze orizzontali è uno dei problemi
principali dell’analisi pushover. Secondo l’EC8 (§4.3.3.4.2.2)
devono essere applicate almeno due distribuzioni:
Fi  pi  V

Uniforme: ad ogni piano le forze Fi sono proporzionali alle masse
agenti nei singoli piani
mi
pi 
n
 mi
i 1

Modale: ad ogni piano le forze Fi sono legate alle deformata
modale. Se l’edificio è regolare in altezza, si fa riferimento al primo
modo di vibrare (è quello dominante). In tali casi
pi 
i mi
n
 i mi
i 1
La curva di pushover
3.1 Analisi statica non lineare

70




Altro problema principale è la definizione della curva di
pushover. Per ottenere tale curva, stabilita la distribuzione
delle forze (uniforme o modale), occorre incrementare
proporzionalmente tutte le Fi e calcolare lo spostamento D
per ogni incremento. Occorre dunque eseguire un’analisi
non lineare, generalmente di tipo numerico (FEM), in cui
la risposta delle singole sezioni della struttura è
rappresentata dal legame momento curvatura.
La curva di pushover
3.1 Analisi statica non lineare

71

Nel calcolare la curva di pushover, sia i carichi verticali che
quelli orizzontali (funzione della masse di ogni singolo
piano), vanno calcolate con la seguente combinazione dei
carichi
G1  G2  P  E   j 2, j Q2, j
Gli effetti torsionali accidentali si possono analizzare come
nel caso dell’analisi statica lineare di struttura simmetrica
rispetto alle direzioni x ed y (§4.3.3.4.2.7 EC8): si amplificano
le sollecitazioni su ogni elemento resistente della quantità:
x
  1  0.6
Le
dove x è la distanza dell’elemento resistente
dal baricentro delle masse (distanza
perpendicolare alla direzione dell’azione
sismica); Le = distanza tra i gli elementi
resistenti più lontani misurata allo stesso modo
Dalla struttura 2D all’oscillatore
3.1 Analisi statica non lineare

Dalla struttura nel piano (2D), avente più gradi di libertà e
risposta V-D





Si passa all’oscillatore semplice con un grado di libertà e
F*
risposta F*-d* (detta
F*y
Curva di capacità)
72
d*
d*m
Dalla struttura 2D all’oscillatore
3.1 Analisi statica non lineare

La massa m* dell’oscillatore semplice sarà:

n
m   mi i
i 1



i sono gli elementi del vettore della prima forma modale
normalizzati al valore unitario relativo al punto di controllo
La forza F* e lo spostamento d* risultano:
V
D


F 
d 


 è il coefficiente di partecipazione modale o di
n
trasformazione, e risulta pari a:
 i mi

i 1
n
2
 i mi
i 1
73

La curva di capacità F*-d* termina nel punto di picco di
coordinate F*y-d*m
Bilinearizzazione di F*-d*
3.1 Analisi statica non lineare

74
La curva di capacità è generalmente trasformata in una
bilineare. Il primo ramo passa nell’origine e cresce fino alla
resistenza F*y-, mentre il secondo ramo è orizzontale e da
d*y a d*m .
d m*
Em*   F *dd *
0

Il punto d*y è ottenuto dall’equivalenza energetica (la
curva bilineare e quella iniziale devono avere la stessa
area E*m), ossia A1 = A2:

E* 
d *y  2  d m*  m* 


F
y


3.1 Analisi statica non lineare
Bilinearizzazione di F*-d*
K*
1

Si può quindi individuare la rigidezza iniziale dell’oscillatore
semplice, la sua pulsazione ed il periodo
K 
*
75
Fy*
d *y
 
*
K*
m*
T 
*
2
*
Il massimo spostamento
3.1 Analisi statica non lineare


Si valuta la massima risposta del sistema ad un solo grado
di libertà in termini di spostamento massimo d*max.
Si utilizza lo spettro di risposta elastico degli spostamenti
(o delle accelerazioni) Sd(T)=Sa(T)/2:

Se T*TC la risposta del sistema è ottenuta direttamente dallo
spettro di riposta elastico
*
*
 
d max  S d T

Se T*<TC la riposta reale è maggiore di quella dello spettro e
risulta
*
*
d max
q 
*
76


  1 
Sd T
q
*




q*  1
TC 
T * 
   Forza di risposta elastica
m* Sa T *
Fy*
Forza di risposta reale
 
*
*
Se q*<1, allora vale sempre d max  S d T
Lo spostamento nella struttura
3.1 Analisi statica non lineare

Dmax   d max

Noto Dmax si entra nel diagramma V-D




Dmax

77
Lo spostamento massimo del punto di controllo
dell’edificio risulta
*
E si valuta qual è la situazione della struttura (formazione
di cerniere plastiche, cinematismi etc.)
Verifiche
78

Se l’analisi pushover è finalizzata al calcolo degli
spostamenti, e quindi a valutare l’affidabilità del fattore di
struttura q che viene usato per le analisi lineari elastiche,
la curva di pushover va calcolata con i valori medi dei
materiali, e non con quelli caratteristici.
Se invece si usa l’analisi pushover per vedere se la
situazione di stato limite ultimo della costruzione è stata
raggiunta durante l’evento sismico, allora la curva di
pushover va calcolata con opportuni momenti curvatura
M- delle singole sezioni:
M
Si tratta di fare l’inviluppo (curva
rossa) tra il legame M- ottenuto con
i valori medi (curva bleu) e la retta
orizzontale indicante il momento di
stato limite ultimo della sezione MSLU
SLU
Momento –M-
3.1 Analisi statica non lineare

Curvatura –-
Osservazioni
3.1 Analisi statica non lineare

79


Per gli edifici irregolari in pianta (pur con solai
infinitamente rigidi) è possibili applicare l’analisi pushover
su un modello di struttura 3D in una sola direzione, e non
in due direzioni come nel caso 2D.
Per gli edifici irregolari in altezza, la distribuzione modale
delle forze orizzontali potrebbe essere affetta anche dagli
altri modi di vibrare. Ciò accade quando il primo modo di
vibrare ha una partecipazione di massa inferiore al 75%.
Occorre in questo caso eseguire un’analisi multimodale.
In questo caso e durante l’evoluzione dell’evento sismico,
non è lecito assumere la stessa forma del profilo delle
forze.
(analisi adattativa)
Riepilogo
3.1 Analisi statica non lineare

L’analisi statica non lineare con modelli 2D nell’ipotesi di
solai infinitamente rigidi, si sviluppa nei seguenti punti:







80
1. Definizione del profilo delle forze orizzontali applicate.
2. Calcolo della curva di pushover (con presa in conto degli
effetti prodotti dalle eccentricità accidentali).
3. Definizione del curva di capacità (dell’oscillatore semplice di
riferimento).
4. Bilinearizzazione della curva di capacità e definizione del
periodo di vibrazione dell’oscillatore semplice.
5. Calcolo dello spostamento massimo nell’oscillatore semplice
attraverso lo spettro di riposta.
6. Conversione dello spostamento della struttura 2D iniziale
7. Verifica nella curva di pushover
Analisi dinamica non lineare
3.1 Analisi statica non lineare

In questo caso si integrano direttamente le equazioni
non lineari del moto, utilizzando un modello di struttura
3D e gli accelerogrammi (analisi time history)
 M u  C u   K u    M ug 






81

1. Si definisce un modello geometrico di struttura e gli
spostamenti da considerare {u(t)}
2. Si definiscono le masse applicate alla struttura [M]
3. Si definisce la matrice [C] del sistema da considerare
4. Definizione dei legami costitutivi non lineari della struttura
(legami momento curvatura nelle travature)
5. Selezione dell’accelerogramma
6. Si risolve al passo l’equazione del moto modificando, ad ogni
step, la matrice di rigidezza [K] (ed anche [C]) in relazione al
livello di non linearità raggiunto
8. Si fanno le verifica di sicurezza (come nel pushover)
Bibliografia
ENV 1992-1-1. Eurocodice 8 - Progettazione delle strutture per la
resistenza sismica. Parte 1-1: Regole generali, azioni sismiche e
regole per gli edifici.

NTC2008 - Norme tecniche per le costruzioni - D.M. 14 Gennaio
2008.

Mezzina, Raffaele, Uva, Marano. Progettazione sismo-resistente di
edifici in cemento armato. Edizioni Città Studi, 2011.

Petrini, Pinho, Calvi. Criteri di Progettazione Antisismica degli Edifici.
IUSS Press, 2004.

Favre, Jaccoud, Koprna, Radojicic. Progettare in calcestruzzo armato.
Hoepli 1994.

Chopra A. K. Dynamics of Structures : Theory & Applications to
Earthquake Engineering, Prentice Hall; 3 edition , 2006.

Ottima dispensa del prof. Renato Giannini:

82
82
http://host.uniroma3.it/dipartimenti/dis/didattica/Strutture/materiale_didattic
o/Dinamica2.pdf