Operazione "Impariamo a ricostruire"
rif. PA 2012-2511/RER
ANALISI STRUTTURALE
Analisi Dinamica Lineare e Analisi Modale
Ing. Riccardo Battaglia Ph.D.
Regione Emilia-Romagna – S.T.B. Po di Volano e della Costa
Dinamica delle strutture
Come già accennato il comportamento delle strutture soggette ad azioni dinamiche può
essere studiato mediante l’equazione della seconda legge della dinamica:
F = m⋅a
u
Nel caso di oscillazioni libere non smorzate:
u(t )
uɺo
k
m
p(t )
m ⋅ uɺɺ ( t ) + k ⋅ u ( t ) = 0
C
uo
t
Tn
equilibrio dinamico
Invece per oscillazioni smorzate (video 1 – tratto da “io non tremo” – ing. G.
Manieri):
u
un
un + p
tn
m ⋅ uɺɺ ( t ) + c ⋅ uɺ ( t ) + k ⋅ u ( t ) = 0 equilibrio dinamico
t n +p
t
Dinamica delle strutture
Se si considera un oscillatore smorzato ma soggetto ad una forzante l’equazione del
moto associata a quella di equilibrio dinamico diventa:
uɺɺ ( t ) + 2ξ ⋅ ω ⋅ uɺ ( t ) + ω 2 ⋅ u ( t ) =
F0
sin (ω0 ⋅ t )
m
dove: ω è la frequenza angolare (pulsazione), ξ è il coefficiente di smorzamento,
F(t) = F0·sin(ω0·t) è la forzante assunta come armonica, ω0 ed F0 sono la pulsazione e
l’ampiezza iniziale della forzante.
La soluzione risulta:
F0 (1 − β
⋅
u (t ) =
k
ovvero:
u (t ) = D ⋅
F0
⋅ sin (ω0 ⋅ t − ϕ )
k
2
) ⋅ sin (ω ⋅ t ) − 2ξ ⋅ β ⋅ sin (ω ⋅ t )
(1 − β ) + ( 2ξ ⋅ β )
0
2 2
0
2
 2ξ ⋅ β 
dove : ϕ = tan −1 
e D=
2 
β
1
−


dove β =
ω0
ω
1
(1 − β 2 ) + ( 2ξ ⋅ β )
2
=
2
umax
F0 k
Fattore di amplificazione dinamica
Se ω = ω0 allora (1-β2) = 0 e, in assenza di smorzamento, il fattore di amplificazione
dinamica diverge con la conseguenza che il sistema va in risonanza.
Dinamica delle strutture
Da punto di vista grafico si ottiene (video 2 – tratto da “io non tremo” – ing. G.
Manieri):
risonanza
Per ω0 << ω : D -> 1 e quindi u(t) -> F(t)/k = spostamento causato dalla forza statica
Per ω0 -> ω : D -> 1/2 ξ e per smorzamento nullo D -> ∞ risonanza!!
Per ω0 >> ω : D -> 0 e u(t) -> 0 = la struttura non risente della forzante
Dinamica delle strutture
Per evidenziare gli effetti della risonanza si considera il caso di sistema inizialmente a
riposo avente u(0) = ů(t) = 0:
u ( t ) = C1 ⋅ sin (ω ⋅ t ) + C2 ⋅ cos (ω ⋅ t )  ⋅ e −ω ⋅ξ ⋅t −
F0
cos (ω ⋅ t )
2ξ ⋅ k
Graficamente al variare di ξ (0,1; 0,2; 0,5) si vede che la soluzione in termini di
spostamento diverge (le oscillazioni sono sempre più ampie):
Dinamica delle strutture
Le azioni dinamiche più conosciute agenti sulle strutture sono:
•
Azione sismica caratterizzata ad una forzante detta accelerogramma che
poi, come si vedrà nel seguito, verrà trasformata in uno spettro di risposta.
Presenta periodo di oscillazione variabile generalmente da 0,1 sec a 0,5 sec;
•
Azione del vento, generalmente viene trattata mediante un approccio
statico equivalente ma solo a patto che il periodo della struttura sia diverso
da quello delle raffiche (circa dai 2 sec ai 4 sec);
•
Azioni derivanti da macchine (da studiare nello specifico ma con forzanti
ben note e di norma armoniche).
Generalmente le strutture civili “standard” hanno periodi di oscillazione
paragonabili a quelli che caratterizzano l’azione sismica (=> pericolo di
risonanza) ma esistono strutture esili (antenne, pensiline, ponti [Tacoma],
ecc…) che invece hanno periodi di oscillazione vicini a quelli di raffica (=>
instabilità aeroelastica [video 3]).
La risposta sismica
Se la forzante è un’azione sismica è possibile tradurla in un’accelerazione del suolo
fornita sottoforma di accelerogramma e le equazioni di equilibrio dinamico e del moto
diventano:
m ⋅ uɺɺ ( t ) + c ⋅ uɺ ( t ) + k ⋅ u ( t ) = − m ⋅ ɺɺ
xg ( t )
e.ne di equilibrio dinamico
uɺɺ ( t ) + 2ξ ⋅ ω ⋅ uɺ ( t ) + ω 2 ⋅ u ( t ) = − ɺɺ
xg ( t )
e.ne del moto
La soluzione in termini di u(t) è fornita dall’integrale di Duhamel da cui è poi possibile
determinare:
ů(t) = velocità relativa
ű(t) = accelerazione totale
La risposta sismica
Noti che siano i valori massimi della risposta (in termini di spettro di risposta) ad un
dato accelerogramma è possibile procedere al progetto della struttura.
Gli spettri di risposta forniscono, al variare di ξ (di norma da 0 a 0,2) il valore massimo
di u, ů o ű al variare del periodo T:
Procedendo in questo modo
per diverse registrazioni e
normalizzando ad un unico
livello standard di intensità si
ricavano gli spettri medi di
risposta che poi vengono
normati (cfr § 3.2 NTC 2008).
L’Analisi Sismica
Le NTC 2008, come è noto, indicano 4 diverse modalità di studio degli effetti
dell’azione sismica sulla struttura nel suo complesso [cfr. § 7.3 DM 2008] che
possono essere così sintetizzati:
Già trattata nei precedenti incontri
Analisi Statica Lineare: la forzante sismica viene applicata come azione
statica alla struttura che deve avere determinati requisiti geometrici [§ 7.3.3.2
DM 2008].
Analisi Dinamica Lineare: la forzante sismica viene applicata come azione
dinamica alla struttura [§ 7.3.3.1 DM 2008].
Analisi Statica Non Lineare: la forzante sismica è applicata come azione
statica e viene incrementata fino al collasso della struttura [§ 7.3.4.1 DM 2008].
Analisi Dinamica Non Lineare: la forzante sismica è applicata come azione
dinamica (set di accelerogrammi spettrocompatibili) valutando nel contempo
gli effetti non lineari sulla struttura [§ 7.3.4.2 DM 2008].
L’Analisi Dinamica Lineare
Per quali tipologie di fabbricati è applicabile?
Per tutte le costruzioni a patto che la struttura sismo-resistente
non sia mista (e.g. muratura/elementi in c.a.);
Come è possibile verificare se una struttura è mista?
Non vi sono indicazioni precise sulle NTC 2008 tuttavia
al punto 7.2.3 viene indicato come limite di rigidezza per gli
elementi strutturali secondari il 15%. Pertanto un elemento
strutturale (e.g. pilastro del portico) è secondario solo se il suo
contributo alla rigidezza traslazionale complessiva è
inferiore al 15%;
Ci sono differenze di requisiti per strutture in muratura e in
altri materiali?
No;
Esistono casi in cui l’analisi dinamica lineare non è applicabile
a prescindere dal materiale considerato?
Sì, quando la struttura è mista (e.g. muratura/elementi in c.a.),
in questo caso è obbligatorio utilizzare un’analisi non lineare.
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Si considera la struttura come un sistema a masse concertate nei baricentri dei diversi
piani (e.g. edifici multipiano con solai rigidi).
Si definiscono gradi di liberta (GDL) il numero minimo di spostamenti e rotazioni
indipendenti.
Per edifici ad “n” piani si ha:
• nello spazio: 2 GDL traslazionali per piano
(direzioni X ed Y) e 1 GDL torsionale (sull’asse
verticale Z);
• nel piano: 1 GDL traslazionale per piano
(direzione X - vedi figura a lato).
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Per sistemi non smorzati l’equazione di equilibrio dinamico può essere discretizzata
ottenendo un sistema algebrico di equazioni risolventi:
 M ⋅ uɺɺ( t ) + K ⋅ u ( t ) = 0

u ( 0 ) = u0

uɺ ( 0 ) = uɺ0
e.ne di equilibrio dinamico e condizioni iniziali
Matrice delle masse (simm. e semidef. Positiva);
Matrice di rigidezza (simm. e semidef. Positiva);
Vettore dei GDL (spostamenti relativi);
Vettore degli spostamenti relativi all’istante t=0;
Vettore delle velocità relative all’istante t=0.
La soluzione può essere determinata mediante un
approccio agli autovalori/autovettori:
(
)
Φ≠ 0
(
)
K − ω M ⋅ Φ = 0 → det K − ω M = 0
2
2
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Dal momento che le matrici K ed M sono simmetriche e semi-definite positive il
problema ammette soluzioni in termini di ωi reali (autovalori) a cui corrispondono le
pulsazioni del sistema a ciascuna delle quali è poi associato un modo proprio di vibrare
(autovettore) Φi che definisce la forma propria del modo di oscillare del sistema.
Considerando 2 autovettori qualunque Φi e Φj associati rispettivamente a ωi ≠ ωj si ha
per ortogonalità:
Φ j ⋅ M ⋅ Φi = 0
Φ j ⋅ K ⋅ Φi = 0
T
T
Φ j ⋅ K ⋅ Φ i = ωi2 ⋅ Φ j ⋅ M ⋅ Φ i
T
Φ i ⋅ K ⋅ Φ j = ω 2j ⋅ Φ i ⋅ M ⋅ Φ j
T
T
T
Poiché K ed M sono simmetriche sommando si ha:
(ω
2
i
−ω
2
j
)⋅Φ
T
j
ωi ≠ω j
Φj ⋅ K ⋅Φj
T
⋅ M ⋅ Φi = 0 → ω =
2
j
Φ ⋅M ⋅Φj
T
j
=
Kj
Mj
→ ωj =
Kj
Mj
Noti che siano i diversi ωi (i = 1…n) è possibile definire il vettore spostamento come
combinazione lineare tra le coordinate principali zi(t) e i modi di vibrare Φi. Con alcuni
passaggi algebrici è possibile dimostrare che le equazioni del moto di un sistema a nGDL (accoppiate) possono essere trasformate in un sistema di n equazioni indipendenti
ciascuna con un solo GDL.
Stesse considerazioni possono essere fatte anche per sistemi smorzati.
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Stesse considerazioni possono essere fatte anche per sistemi smorzati. In questo caso
l’equilibrio elastico si scrive come:
M ⋅ uɺɺ ( t ) + C ⋅ uɺ ( t ) + K ⋅ u ( t ) = − M ⋅ r ⋅ ɺɺ
xg ( t )
Dove: r è il vettore di influenza del sisma (definisce gli spostamenti in direzione dei
GDL per spostamenti unitari del suolo) e C è la matrice di smorzamento.
Procedendo come di consueto disaccoppiando i diversi GDL è possibile come in
precedenza definire il vettore degli spostamenti relativi come combinazione lineare tra
coordinate relative e modi di vibrare Φi:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
u ( t ) = ∑ Φ i ⋅ zi ( t ) → F ( t ) = K ⋅ u ( t ) = ∑ K ⋅ Φi ⋅ zi ( t ) = ∑ M ⋅ Φi ⋅ ωi2 ⋅ γ i ⋅ vi ( t )
Dove: γi=ΦiT·M·r/mi è il coefficiente di partecipazione modale (indica la percentuale di
massa che viene eccitata dal modo i-esimo), mi= ΦiT·M·Φi e vi(t) è la soluzione per
l’oscillatore soggetto alla forzante sismica.
Noto che sia F(t) è poi possibile determinare ogni altra sollecitazione come ad esempio il
taglio di piano associato al modo i-esimo da combinare secondo la combinazione CQC
ovvero SRSS (E rappresenta la generica sollecitazione/parametro):
E=
∑
i , j =1, n
ρij ⋅ Ei ⋅ E j con ρij =
8c 2 (1 + β ij ) β ij1,5
(1 − βij2 ) + 4c 2 βij (1 + βij2 )
2
⇔
E=
∑E
2
i
i =1, n
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Per meglio comprendere le due metodologie di combinazione dei modi di vibrare si
pensi alla norma euclidea delle risposte ai singoli modi (SRSS) e alla sua
generalizzazione che tiene conto della correlazione tra i diversi modi propri (CQC).
Di norma se i modi sono tra loro indipendenti, vale a dire che Ti < 0,9Tj la SRSS è la
combinazione usualmente considerata.
Viceversa se i modi sono tra loro correlati (con frequenze ravvicinate tra loro) è indicata
la CQC.
Le NTC 2008 al punto § 7.3.3.2 indicano l’utilizzo della combinazione CQC in quanto
più generale e coincidente con la SRSS nel caso sopra descritto di modi indipendenti
(ovvero frequenze tra loro distanti).
ECQC =
∑
i , j =1, n
se fi molto distante f j
ρij ⋅ Ei ⋅ E j
→
ESRSS =
2
E
∑ i
i =1, n
L’Analisi Dinamica Lineare - concetto
Esistono inoltre dei parametri dettati dalle NTC 2008 (cfr. § 7.3.3.1) da rispettare:
1. Eccitare una quantità minima di massa pari all’85% di quella totale;
2. Considerare, di norma, i modi che eccitano almeno il 5% della massa totale;
Dal punto di vista operativo l’analisi dinamica lineare prevede:
Modi principali di vibrare.
Massa eccitata complessiva
in direzione X ed Y ≥ 85%
(rif. § 7.3.3.1 NTC 2008).
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Consideriamo ad esempio una struttura composta da 3 telai di 2 piani aventi travi in
altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri:
Dati:
Zona Bologna;
Hpiano = 3,00 m;
Calcestruzzo C25/30, armatura B450C;
Solaio in laterocemento spessore 16+4 cm.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Per procedere all’analisi dinamica lineare è necessario prima di tutto fare un’analisi
modale della struttura definendo i GDL che si desidera considerare e di conseguenza
le matrici delle masse e di rigidezza elastica:
Per semplicità, volendo considerare un caso piano, si considera come unico GDL
quello alla traslazione orizzontale nel piano del telaio tipo.
Le matrici delle masse M e di rigidezza elastica K in questo caso sono:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Noti che siano i modi di vibrare e soprattutto i periodi dei modi principali è
possibile procedere all’analisi della risposta sismica.
È quindi necessario definire lo spettro di progetto funzione delle caratteristiche di
pericolosità sismica del sito in esame e del fattore di struttura q.
Se si tratta di un fabbricato residenziale sito a Bologna i parametri necessari per
determinare lo spettro sono:
Classe d’uso: II (edifici residenziali) -> coefficiente d’uso cu = 1;
Vita nominale: VN = 50 anni (periodo in cui si presuppone che non vi siano
manutenzioni straordinarie/invasive alle strutture. Di norma è 50 anni ma potrebbe
esser anche 100 anni);
Periodo di riferimento: VN·cu = 50 anni;
Coordinate geografiche: note per la località di Bologna;
Categoria di sottosuolo: fornita dalla relazione geologica-geotecnica (nell’esempio di
considererà sottosuolo di tipo C);
Fattore di struttura: q è funzione delle caratteristiche di regolarità della struttura,
della tecnologia costruttiva adottata (telai in c.a., acciaio, pareti in c.a., muratura,
ecc..) -> è da determinare.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Il fattore di struttura q pertanto risulta:
Tenendo conto del fattore KR=0,8 di riduzione per la non regolarità in altezza:
q = KR·q0 = 0,8·3,00·1,3 => q = 3,12
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare:
3
T1 = 0,075 ⋅ H 4 = 0,075 ⋅ 60,75 = 0,288sec
Fh = Sd (T1 ) ⋅W ⋅ λ g = 0,187g ⋅ ( 27000 + 9000) ⋅
Fi = Fh ⋅ zi ⋅Wi
(
1,0
= 6732kg
g
2690
∑j z j ⋅Wj = 4040 kg


)
Fi
H
zi
Fmod
 4135 
2690 
=
kg ≠ 
kg = Fst


 2397 
4040 
La struttura infatti non è regolare in altezza e quindi questo è un risultato atteso
-> non avrei potuto utilizzare l’analisi statica lineare
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 1
Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale:
f1 = 8, 805 Hz
T1 = 0,114 sec
M 1 = 6, 9%
f 2 = 4,57 Hz
T2 = 0, 219sec
M 2 = 93,1%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 2
Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 2
Come di consueto è necessario per prima cosa fare un’analisi modale della struttura
definendo i GDL che si da considerare e le matrici delle masse e di rigidezza elastica:
Sempre nell’ipotesi di caso piano (unico GDL quello alla traslazione orizzontale) le
matrici delle masse M e di rigidezza elastica K risultano:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 2
Il fattore di struttura q pertanto risulta:
Tenendo conto del fattore KR=0,8 in quanto la struttura non è regolare in altezza:
q = KR·q0 = 0,8·3,00·1,2 => q = 2,88
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 2
Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare:
3
T1 = 0,075 ⋅ H 4 = 0,075 ⋅ 60,75 = 0,288sec
Fh = Sd (T1 ) ⋅W ⋅ λ g = 0,202g ⋅ ( 9000 + 9000) ⋅
Fi = Fh ⋅ zi ⋅Wi
(
1,0
= 3636kg
g
1212
∑j z j ⋅Wj = 2424 kg


)
Fi
H
zi
Fmod
1676 
1212 
=
kg ≠ 
kg = Fst


1951
 2424 
La struttura infatti non è regolare in altezza e quindi questo è un risultato atteso
-> non avrei potuto utilizzare l’analisi statica lineare
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 2
Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale:
f1 = 18,14 Hz
T1 = 0, 06 sec
M 1 = 0, 7%
f 2 = 4, 74 Hz
T2 = 0, 21sec
M 2 = 99,3%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Consideriamo ad esempio una struttura composta da 3 telai di 2 piani aventi travi in
altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri:
Dati:
Zona Bologna;
Calcestruzzo C25/30, armatura B450C;
Solaio in laterocemento spessore 16+4 cm.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Analisi dei carichi e combinazione di carico sismica:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Ancora una volta si deve fare l’analisi modale della struttura definendo a priori i
GDL da considerare e le matrici delle masse e di rigidezza elastica:
Sempre con riferimento al caso piano si considera come unico GDL quello alla
traslazione orizzontale nel piano del telaio tipo.
La matrice delle masse M diventa:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
La matrice di rigidezza elastica K invece è così definita:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Il fattore di struttura q pertanto risulta:
Tenendo conto del fattore KR=1,0 in quanto la struttura è regolare in altezza:
q = KR·q0 = 1,0·3,00·1,2 => q = 3,6
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Confronto con i risultati ottenuti mediante analisi statica lineare:
3
T1 = 0,075 ⋅ H 4 = 0,075 ⋅ 60,75 = 0,288sec
Fh = Sd (T1 ) ⋅W ⋅ λ g = 0,162g ⋅ ( 9000 + 9000) ⋅
Fi = Fh ⋅ zi ⋅Wi
(
1,0
= 2915kg
g
 975 
∑j z j ⋅Wj = 1945 kg


)
Fi
H
zi
Fmod
1170 
 975 
=
kg ≈ 
kg = Fst


1733
1945 
La struttura è regolare in altezza e quindi questo è un risultato atteso
-> avrei potuto utilizzare l’analisi statica lineare
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 3
Risultati ottenuti mediante programma di calcolo commerciale:
f1 = 4, 309 Hz
T1 = 0, 232 sec
M 1 = 94, 4%
f 2 = 1,134 Hz
T2 = 0,882sec
M 2 = 5, 6%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Consideriamo ora una un solo telaio piano di una sola campata avente travi in
altezza caratterizzate da rigidezza flessionale molto superiore rispetto ai pilastri.
Come evidenziato nell’esempio 2 la risposta modale è dominata dal 1°modo di
vibrare. L’esempio si propone di studiare come varia la risposta modale al crescere
del numero di piani.
Dati:
Zona Bologna;
Calcestruzzo C25/30, armatura B450C;
Pilastri 30x30 cm;
Massa di piano 9000 kg.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Come visto in precedenza la struttura è regolare in altezza, se il telaio si ripete con
un certo interasse (rimanendo entro il limite delle 4 volte) è anche regolare in pianta
(come in precedenza quindi si avrà il fattore di struttura pari a q = 3,9).
Lo spettro di progetto risulta quindi:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Se la struttura ha 3 piani (nel piano XZ 3 GDL quindi 3 modi) si ottiene in termini di
risposta modale (video 4 – tratto da “io non tremo” – ing. G. Manieri):
Modo 1, f = 3,07 Hz
Modo 2, f = 8,65 Hz
Modo 3, f = 12,7 Hz
M = 90,7%
M = 8,2%
M = 1,1%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Se la struttura ha 10 piani (nel piano XZ 10 GDL quindi 10 modi) si ottiene in termini
di risposta modale (si riportano solo i primi 4 modi):
Modo 1, f = 8,71 Hz
Modo 2, f = 2,74 Hz
Modo 3, f = 4,97 Hz
Modo 4, f = 6,91 Hz
M = 78,8%
M = 14,4%
M = 3,5%
M = 1,6%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Se la struttura ha 30 piani (nel piano XZ 30 GDL quindi 30 modi) si ottiene in termini
di risposta modale (si riportano solo i primi 4 modi):
Modo 1, f = 0,16 Hz
Modo 2, f = 0,70 Hz
Modo 3, f = 1,49 Hz
Modo 4, f = 2,26 Hz
M = 66,4%
M = 21,5%
M = 5,6%
M = 1,2%
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Al crescere del numero di piani è possibile osservare che:
1.
Aumenta il numero di GDL e quindi di modi di vibrare ma quelli
significativi, vale a dire che eccitano una percentuale di massa
apprezzabile, rimangono comunque pochi;
2.
Il contributo dei modi superiori in termini di massa eccitata inizia ad
aumentare. In particolare per il 2° modo (forma modale contraddistinta
da 2 semionde) la massa eccitata cresce significativamente (nel caso
studio triplica) e pertanto le sollecitazioni sugli elementi strutturali ad
essa associate si incrementano.
Attenzione ai dimensionamenti delle sezioni!
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Quindi se un edificio (regolare in pianta e altezza) ha un numero limitato di
piani il comportamento è dominato dal 1° modo di vibrare quindi le
sollecitazioni massime di calcolo sono attese alla base del telaio:
Attenzione ai meccanismi di piano debole!
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 4
Se un edificio (regolare in pianta e
altezza) ha un numero elevato di piani il
comportamento non è più dominato dal
solo 1° modo di vibrare ma anche da
quelli successivi, in particolare il 2°,
quindi le sollecitazioni di calcolo vanno
ricercate anche lungo l’altezza del telaio.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 6
Considerando lo spettro elastico – q = 1 si ha:
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 6
Se si procede all’analisi transiente dinamica lineare (video 5), ricordando che il
capannone ha periodi propri di oscillazione dell’ordine di 1,5 sec, si osserva che i
contenuti in frequenza della forzante (lo spettro di risposta che ne risulta presenta
accelerazioni rilevanti in corrispondenza di periodi tra 1 sec e 2 sec) determinano
sollecitazioni elevate sulla struttura.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 6
Si osservi infatti l’andamento delle sollecitazioni M, T ed N sui
pilastri in correlazione alla forzante sismica alla base.
Momento (video 6): presenta delle forti variazioni sia in termini
di valore assoluto che di segno (arriva a picchi di 840 kNm – con
spettro elastico);
Taglio (video 7): presenta delle forti variazioni sia in termini di
valore assoluto che di segno (raggiunge un massimo di 122 kN –
con spettro elastico);
Sforzo normale (video 8): varia poco, dell’ordine del 5%
attestandosi all’incirca sul valore di 400 kN. Nella simulazione
non si è considerata la componente del sisma in direzione Z.
L’Analisi Dinamica Lineare – esempio 6
Procedendo ad una verifica sommaria con le armature rilevate in
sito composte da 4φ22 longitudinali e staffe φ8/20 cm si ottiene:
VRsd
Asw f yd
1, 01 2780
= 0,9 ⋅ d ⋅
⋅
⋅ ( cot α + cot ϑ ) ⋅ sin α = 0,9 ⋅ 37 ⋅
⋅
⋅ 2,5 = 8660kg ≈ 87kN
s FC
20 1,35
VRcd = 0,9 ⋅ d ⋅ bw ⋅ α c ⋅
f cd ( cot α + cot ϑ )
283 1
0,9
37
40
1,1
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
= 112800kg ≈ 1128kN
2
FC (1 + cot ϑ )
1,35 2,5
→ VRd = 87 kN < 122kN
( ρ = 1, 4 )
Verifica a taglio (senza GR – struttura esistente) – NON VERIFICATO