PROBLEMA 2
Sia
1. A lato è disegnato il grafico Γ di
. Si dimostri che (2; 0) è
centro di simmetria di Γ e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali,
l’angolo che la tangente in esso a Γ forma con la direzione positiva dell’asse x.
2. Si dimostri che, qualunque sia
, le rette tangenti a Γ nei suoi punti di ascisse 2 +
t e 2 – t sono parallele. Esistono rette tangenti a Γ che siano parallele alla retta
21x+10y+31 = 0? E che siano parallele alla retta 23x+12y+35 = 0?
3. Si calcoli l’area della regione compresa tra Γ e l'asse x.
4. Sia
Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata
1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo assoluti o relativi?Si tracci il grafico di
,
si dica per quali valori reali di la retta
lo interseca in 4 punti distinti . Qual è il
valore di
?
Soluzione
1. Le equazioni della simmetria rispetto al punto (2:0) sono:
Sostituendo
nell’equazione
Poichè l’equazione rimane invariata , la curva è simmetrica rispetto al punto (2;0) .
Per risolvere la seconda questione calcoliamo la derivata di f(x) nel punto di ascissa 2
Il coefficiente angolare della retta tangente a Γ, nel punto (2;0)è uguale a
L’angolo che la tangente a Γ, nel punto (2;0), forma con la direzione positiva
dell’asse x ha ampiezza
.
Ovviamente se si vuole conoscere l’ampiezza dell’angolo ottuso che la stessa tangente forma con
l’asse x, basta calcolare il valore di
2. I punti di Γ di ascissa
sono simmetrici rispetto al punto (2;0) come anche le
rispettive tangenti, che saranno pertanto tra loro parallele.
In particolare, le ascisse dei due punti a tangente orizzontale sono, rispettivamente,
Soluzione di Adriana Lanza
Il grafico suggerisce che il punto (2;0) è punto di flesso per la curva Γ, la cui concavità è rivolta verso il
basso per 0<x<2 e diretta verso l’alto per 2<x<4, come è confermato dallo studio del segno della
derivata seconda
Il denominatore è positivo nell’intervallo ]0;4[, mentre al numeratore , nello stesso intervallo, il secondo
fattore è sempre negativo e il primo cambia segno, da positivo a negativo, nell’intorno di 2.
Pertanto possiamo affermare che f’(x) decresce per 0<x<2 e cresce per 2<x<4 e assume il suo valore
minimo per x=2.
Poiché
, il coefficiente angolare delle rette tangenti non può essere minore di -2
Esistono pertanto rette tangenti al grafico di f(x) parallele alla retta 23x+12y+35 = 0 ,
ovvero di coefficiente angolare uguale a
, mentre non esistono tangenti parallele
alla retta 21x+10y+31 = 0 che ha coefficiente angolare uguale
3. La regione compresa tra Γ e l'asse x è costituita da due regioni tra loro simmetriche rispetto
al punto (2;0)
L’area è uguale a
Osservazione:
la presenza del centro di simmetria, suggerisce che la traslazione che porta il punto (2;0) nell’origine O(0;0) trasforma f(x) in una
funzione dispari
=
che può essere utilizzata per trovare più agevolmente i risultati del punto 2 e del punto 3.
ovvero simmetrica rispetto all’asse y; possiamo pertanto affermare che f’(x) ha un asse
di simmetria nella retta x=2, quindi
una funzione dispari e l’origine è anche punto di flesso e punto di minimo per la derivata prima .
La derivata seconda
Essendo
a
esistono rette tangenti al grafico di F(x) che siano parallele alla retta 23x+12y+35 = 0 , ovvero di coefficiente angolare uguale
, mentre non esistono tangenti parallele alla retta 21x+10y+31 = 0 che ha coefficiente angolare uguale
L’area della regione compresa tra Γ e l'asse x uguale all’area che il grafico di F(x) delimita con lo stesso asse x
Soluzione di Adriana Lanza
4. Sia
è una funzione composta :
con z=
Studiamo prima la funzione nell’intervallo [0;2].
Se 0 ≤ x ≤ 2
Essendo f(x) una funzione continua, per il teorema dei valori intermedi ad ogni valore di z
compreso tra 0 e 2 corrisponde almeno un valore di x tale che f(x)= z.
Poiché però f(x) non è monotona nell’intervallo [0;2] ma è monotona crescente per
0≤x<
mentre è monotona decrescente
<x≤
, a ciascun valore
di z ≠ 2 corrispondono due valori distinti di x, uno a sinistra e l’altro a destra dell’ascissa
dell’ascissa del punto di massimo, x=
.
In particolare, esistono due valori ,
, tali che
, in
corrispondenza dei quali h(x) assume il valore 1 .
Si ha inoltre
La funzione
)
 nell’intervallo 0 ≤ x ≤ cresce da 0 fino ad assumere il valore 1 in corrispondenza
del valore x0
 nell’intervallo
≤
decresce da 1 a

nell’intervallo

nell’intervallo
<x ≤
≤
0________________
cresce da
decresce da 1 a
___________
__________ __________--2
I punti di ordinata 1 sono punti di massimo relativi, oltre che assoluti.
Il punto di coordinate
è punto di minimo relativo
Sull’intervallo[2;4] la variabile z assume valori opposti a quelli
assunti nell’intervallo [0;2] e poiché sen(-z) = -sen (z) , il grafico
della funzione h(x) può essere facilmente completato in modo che
sia simmetrico rispetto al punto (2;0)
Esistono in tutto 3 punti di minimo relativo.
Sono punti di minimo assoluto
Soluzione di Adriana Lanza
Una retta di equazione y=k incontra il grafico di h(x) in 4 punti distinti se
Il valore di
è nullo in quanto
e,per la simmetria di h(x) rispetto al punto (2;0), risulta
Soluzione di Adriana Lanza