UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE
Dipartimento di Architettura - Istituzioni di Matematiche I - aa 2015-16
Proff. C. Falcolini, P. Magrone
PRIMA prova in corso d’anno, 14 novembre 2015
Nome.......................................Cognome..........................................................Matricola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le risposte vanno accompagnate da spiegazioni esaurienti. Vanno consegnati SOLO questi fogli
Eser.
I
II
III
IV
V
Voto
I. Piano cartesiano e vettori
i) Dato il vettore v = (1, 4) calcolare |v| e l’angolo tra il vettore v e l’asse x.
ii) Scrivere le componenti del vettore indicato in figura
iii) Dati i due vettori v = (1, 4), w = (0, 2) calcolare v · w e l’angolo compreso tra di essi.
iv) Scrivere la matrice che ha per riga i vettori v = (1, 4), w = (0, 2) e calcolarne il determinante.
II. Rette e direzioni
Data la retta di equazioni parametriche
r:
x(t) = 3 + t
y(t) = 1 + 3t
i) Scrivere la retta in forma cartesiana
ii) Scrivere le coordinate di un vettore che abbia la direzione della retta r
iii) Scrivere le equazioni parametriche di una retta parallela ad r e passante per il punto P0 = (−1, 3)
1
III. Trasformazioni lineari nel piano
Siano A = (−2, 1), B = (−1, 1), C = (0, 2), D = (0, 0) quattro punti del piano.
1 2
(i) Data la matrice M=
2 0
indotta dalla matrice M.
, calcolare l’immagine del poligono ABCD tramite la trasformazione lineare
(ii) Calcolare l’area del poligono ABCD e della sua immagine.
IV. Trasformazioni di grafici di funzioni
Data la retta passante per i due punti (1, 0), (−1, 2),
(i) Determinarne l’equazione cartesiana e disegnare il suo grafico.
(ii) Ruotare il grafico di 30◦ in senso antiorario intorno all’origine e disegnarlo. (suggerimento usare la matrice
di rotazione)
(iii) Scrivere l’equazione cartesiana della retta trasformata.
2
V. Operazioni con i grafici
(i) Dato il grafico della funzione g(x) in figura
disegnarvi accanto il grafico di |g(x)|.
(ii) Facendo riferimento al grafico di g(x) del punto (i), stabilire qual é il grafico, tra i seguenti, di:
A) g(x) + 2
Figura .......
B) g(−x)
Figura .......
C) g(2x)
Figura .......
Figure 1:
Figure 2:
Figure 3:
3