IL PERIODO
DELLE
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Il grafico della funzione seno
La funzione sinx è periodica di periodo 2. Le funzioni sin(-x) e –sinx coincidono e sono
periodiche di periodo 2.
Il grafico della funzione coseno
La funzione cosx = cos (-x) è periodica di periodo 2. Anche la funzione –cos x è
periodica di periodo 2.
Ora studiamo le curve y = a ⋅ sinx al variare del parametro a. A tale scopo
assegniamo ad a i seguenti valori positivi:
a=1
a = 1/2
a=2
Come si può osservare, il confronto permette di evidenziare che per a < 1 si ha una
contrazione nella direzione dell’asse delle ordinate mentre per a > 1 si ha una
dilatazione. Rimangono fissi i punti di intersezione con l’asse x: il periodo delle funzioni
rimane perciò 2.
Il valore del parametro a preso in valore assoluto si dice ampiezza della funzione
sinusoidale.
Studiamo ora le curve y = sin (bx), assegnando a b i seguenti valori:
b=1
b = 1/2
b=2
Dal grafico si osserva che se b < 1 si ha una dilatazione lungo l’asse delle x, mentre per
b > 1 si ha una contrazione. Il periodo della funzione sin (bx) varia rispetto alla funzione
sin x, nel seguente modo:
se b < 1, il periodo diventa 2b
se b > 1, il periodo diventa 2/b.
Il parametro b viene detto pulsazione della funzione sinusoidale.
Studiamo ora le curve di equazione y = sin x + c. Tracciamo il grafico delle
seguenti funzioni:
y = sin x + 2
y = sin x – 2
I grafici della figura soprastante, raffrontati con quello di y = sin x, permettono di
concludere che le curve della famiglia y = sin x + c, con c numero reale, sono il risultato
di traslazioni verticali della sinusoide, verso l’alto se c > 0, verso il basso se c < 0.
Analizziamo ora la famiglia di funzioni di equazione y = sin (x – c), con c costante.
Tracciamo quindi il grafico delle seguenti funzioni:
y = sin x
y = sin (x – 2)
y = sin (x + 2)
Il confronto con la sinusoide evidenzia una traslazione orizzontale delle curve. Più
precisamente, si ottiene una traslazione orizzontale lungo l’asse delle ascisse pari a c
unità verso destra se c è positivo, pari a c unità verso sinistra se c è negativo.
Si dice che la funzione y =sin(x-c) è sfasata di una quantità c rispetto alla funzione y
=sin(x).
Il grafico della funzione y = cos x non è altro che una traslazione della sinusoide
verso sinistra di /2.
Studiamo ora la famiglia di funzioni di equazione y =asin(x-c). A tal fine
tracciamo i grafici delle seguenti funzioni:
y =sin(x)
y =3  sin(x-1)
y =(1/3)  sin(x+1)
Si ha così una dilatazione o una contrazione secondo l’asse delle ordinate ed una
traslazione orizzontale secondo l’asse delle ascisse.
Consideriamo ora il caso in cui una funzione sia data dalla somma algebrica di
due o più funzioni. In tal caso il grafico relativo a tale funzione somma algebrica
di due o più funzioni si ottiene sommando algebricamente i valori delle ordinate
dei punti delle funzioni addendo in corrispondenza dello stesso valore di ascissa.
Facciamo alcuni esempi.
Consideriamo le seguenti funzioni di equazione:
y = sin(2x)
y = sin(3x)
Sommando queste due funzioni si ottiene y =sin2x+sin3x e, pertanto, il seguente
grafico:
Osserviamo che la funzione risultante non è sinusoidale, ma è periodica di periodo 2.
Consideriamo ancora le funzioni di equazione:
y = sin(4x)
y = cos(x)
Sottraendole, otteniamo y=sin4x-cosx e, quindi, possiamo tracciare il seguente
grafico:
Quando si sommano due o più funzioni, dunque, la funzione risultante
generalmente non è più una funzione sinusoidale come si può notare nei
precedenti esempi. Tuttavia, la funzione risultante può ancora essere una
funzione periodica.
Si può dimostrare che la sovrapposizione di due funzioni sinusoidali di diverso
periodo è una funzione periodica se solo se il rapporto fra i due periodi T1 e T2 è
un numero razionale. Quindi, deve essere T1/T2 = m/n.
Se la frazione m/n è ridotta ai minimi termini, il periodo della funzione
risultante è T=nT1=mT2.
La somma o sovrapposizione di due funzioni sinusoidali di uguale periodo,
invece, è comunque ancora una funzione sinusoidale di uguale periodo a quello
delle funzioni addendo.
In generale, una funzione y = f (x) è periodica di periodo T ( con T > 0 ) se si ha:
(*) f ( x + k T ) = f (x)
ovvero, se sostituendo ( x + k T ) al posto di x, il valore della funzione non
cambia.
Il più piccolo valore positivo di T viene detto minimo periodo o periodo
principale.
Le funzioni goniometriche, come sappiamo, sono periodiche e precisamente sen
x e cos x hanno minimo periodo T = 360° oppure T = 2, mentre tg x e ctg x
hanno minimo periodo T = 180° oppure T = .
Vediamo adesso, direttamente con alcuni esempi come si determina il periodo
delle funzioni goniometriche.
Esercizi svolti
1. Determinare il periodo della funzione y = cos 2x
Sappiamo che la funzione coseno di un angolo è periodica quindi per la (*) si ha:
cos [ 2(x + k T )] = cos 2x → cos ( 2x + 2 k T ) = cos 2x
essendo 360° il periodo del coseno di un angolo, si ha che il 2° membro
dell’ultima eguaglianza si può scrivere come:
cos 2x = cos ( 2 x + k360° )
quindi per transitività segue che
cos(2 x  2kT )  cos(2 x  k 360)  2 x  2kT  2 x  k 360  T 
k 360
 180
2 kT
2. Determinare il periodo della funzione y = sin ( 3x + a)
Per la periodicità del seno di un angolo deve verificarsi la (*) e tenendo in
considerazione il periodo di 2 del seno di un angolo si ha:
sin [ 3 (x + kT ) + a] = sin ( 3x + a) = sin [( 3x + a) + 2 k π]
quindi segue che:
sin [ 3 (x + kT ) + a] = sin [( 3x + a) + 2 k π ] → 3 (x + kT ) + a = 3x + a + 2 k π
3x  3kT  a  3x  2k  a  T 
2 k
3k
Esercizi svolti
3. Determinare il periodo della funzione:
y  tan(2 x  60)
Dobbiamo determinare T > 0 di modo che:
tan  2  x  kT   60  tan  2 x  60   tan  2 x  60  k180 
Abbiamo un’equazione con la tangente ed essa è soddisfatta se e solo se:
2  x  T   60  2 x  60  k180  2 x  2kT  60  2x  60  k180  T 
K 180
 90
2K
Regola generale per la determinazione del periodo
Dai due esercizi precedentemente svolti possiamo dedurre la regola generale per
la determinazione del periodo di funzioni goniometriche. Infatti se dobbiamo
determinare il periodo della funzione di equazione generale:
y = a sin (ω x +  )
procediamo al solito nel seguente modo:
a sin [ ω (x + k T ) + β ] = a sin [(ω x + β ) +2 k π ]
da cui
ω (x + k T ) + = ω x +  +2 k π
 x   kT  6   x  6  2k   kT  2k  T 
2 k
2
T 
k

Quindi il periodo generale del seno e del coseno di un angolo è
2
T

Analogamente si procede per la determinazione del periodo minimo della tangente
o della cotangente di un angolo, basta solo sostituire il loro periodo π nella regola
precedente al posto di 2, cioè:
T


Esercizi
Determinare il periodo delle seguenti funzioni:
1)
2)
3)
4)
5)
y = sin (5x)
y = 2 ⋅ cos(4x)
y = 3 ⋅ tg(4x+/2)
y = sin(3x) + cos(2x)
y = 2 ⋅ sin(4x) + cos (5x) + 3 ⋅ tg (3x - )