Aspetto di una distribuzione
Un altro aspetto che si prende in considerazione in una distribuzione è la sua
forma.
Per rendersi conto se una distribuzione è simmetrica basta mettere a confronto la
media con la
mediana: se esse coincidono la distribuzione è simmetrica; inevitabilmente se
sono diverse la
distribuzione non è simmetrica.
Si definisce il coefficiente di asimmetria di Pearson il coefficiente che mette
proprio in relazione la media con la mediana.
Vien da se che se tale coefficiente è pari a 0 la distribuzione è simmetrica;
altrimenti no.
In quest'ultimo caso la distribuzione non sarà simmetrica.
In generale il coefficiente di Pearson assume valori compresi fra -3 e 3.
Dato un insieme di dati con media x e scarto quadratico medio s, risulta che:
1 − il 68% dei dati è compreso fra x − s e x+ s;
2 − il 95% dei dati è compreso fra x − 2s e x + 2s;
3 − il 99.7% dei dati è compreso fra x − 3s e x + 3s;
Variabili e correlazione
In una analisi statistica ìè doveroso confrontare più indici tra loro che fanno
riferimento allo stesso numero di dati.
Nasce spontaneo chiedere se esiste un legame quindi una correlazione fra le
variabili osservate.
La prima mossa da fare è quella di disegnare un grafico relativo, per esempio, a
due variabili.
Tale diagramma è detto grafico di dispersione.
Si riportano sull'asse x i dati relativi alla prima variabile e sull'asse y i dati della
seconda variabile.
E' evidente che se esiste una correlazione fra le variabili devono risultare
nel grafico.
La covarianza può essere sia + sia - ed il coefficiente di correlazione ha lo stesso
segno della covarianza.
La correlazione si dice positiva se Sx y > 0; si dice che c'è
La correlazione si dice negativa se S xy< 0; le variabili sono non correlate
se Sxy = 0
Il coefficiente di correlazione r è compreso tra −1 e 1; in particolare r = ±1 se i
punti sono perfettamente allineati sulla stessa retta.
Retta di regressione
Ricordando che -1 < r < 1 e che se r = 1 o r = -1 i punti sono allineati sulla stessa
retta un modo per calcolare la retta di regressione.
Il coefficiente r è vicino a 1 quindi implica una forte correlazione positiva tra le
variabili.
Regressione non lineare
In generale riportando sul grafico di dispersione i dati ottenuti con delle
osservazioni
(x1 , y1), (x2 , y2), ..., (xn , yn), può accadere che la correlazione tra tali dati non
sia lineare, cioè nel grafico stesso i dati non sono disposti su una retta ma bensì
su una curva.
Inevitabilmente la curva che approssima i dati non sarà più un polinomio di primo
grado, la retta, ma ma un polinomio di grado > 1. Considerando un polinomio di
secondo grado si otterrà la parabola dei minimi quadrati.