Flusso del campo elettrico attraverso una superficie
∆Φ i = Ei ∆Ai cos ϑi
se ∆Ai → 0
r r
dΦ = E ⋅ u n dA
r
un è il versore perpendico lare a dA
Sommando su tutta una superficie chiusa:
r r
Φ = ∫ E ⋅ un d A
LEGGE DI GAUSS
Una carica interna
r
q
Φ = ∫ E ⋅ uˆn dA =
εo
N cariche interne
1
Φ=
εo
N
∑q
i =1
i
La Legge di Gauss per il campo elettrico è valida
sempre e costituisce una delle
equazioni di Maxwell (la prima equazione)
Campo di una distribuzione di carica piana
uniforme indefinita
Sia σ la densità superficiale di carica
σ
E=
2ε o
Campo generato da due piani infiniti
uniformemente carichi (con segno opposto)
Siano: Q la carica sui piani
S l’area dei piani
Sia σ la densità superficiale di carica
(+ σ piano a sinistra, - σ piano a destra):
σ=Q/S
σ=
σ
E=
εo
Campo elettrico di una distribuzione uniforme
cilindrica di lunghezza infinita
Siano: λ la carica per unità di lunghezza
a il raggio del cilindro
λ
r>a E=
2πε 0 r
λr
r<a E=
2πε 0 a 2
POTENZIALE ELETTROSTATICO
Per poter introdurre il concetto di potenziale
occorre discutere del lavoro che si deve compiere
per portare una carica da un punto ad un altro
nello spazio dove è presente un campo elettrico.
Sulla carica q’ agisce la forza F del campo elettrico.
Il lavoro W che il campo elettrico esegue per portare
la carica q’dal punto α al punto β vale:
W =∫
β
α
r r
F ⋅ dl
Si può dimostrare che
tale lavoro non dipende
dal percorso scelto Γ1 o Γ2
ma solo dagli estremi
Per il campo creato da una carica puntiforme q il
lavoro delle forze del campo per spostare una carica q’
di prova da A a B dipende solo dalla posizione dei
punti iniziale e finale
L=∫
rB
rA
r r qq'
F ⋅ ds =
4πε o
qq'
=
4πε o
r
F=
r r
ur ⋅ ds
qq'
∫rA r 2 = 4πε o
rB
dr
qq'  1 1 
∫rA r 2 = 4πε o  rA − rB 
rB
1 qq ' r
ur
2
4πεo r
r
ur
θ
dr
ds
r+dr
r
r
ur
∫
rB
rA
cosϑ
ds
2
r
Quindi per il campo elettrico E generato da una carica
puntiforme q abbiamo dimostrato che il lavoro del
campo elettrico per lo spostamento di una carica q’
da A a B è indipendente dal percorso e vale:
LAB = ∫
B
A
r r
B r
r
F ⋅ ds = q' ∫ E ⋅ ds =
A
qq'  1 1 
 −  = −(EP, B − EP , A )
=
4πε o  rA rB 
= −[var .en. pot .]
Definiamo la differenza di potenziale tra A e B:
EP , B − E P , A
q'
q
= VB − VA =
4πε o
1 1
 − 
 rB rA 
Possiamo generalizzare la relazione
potenziale - campo elettrico: dL r
q'
r
= E ⋅ ds = −dV
L’unità di misura del potenziale è nel S.I. il VOLT V= J/C
L’unità di misura del campo elettrico [E]=V/m
Potenziale di una carica puntiforme q
r r
dV = − E ⋅ ds = −
q
dr
2
4πε 0 r
q
V=
+ costante
4πε o r
il potenziale è noto a meno di una costante,
di solito si sceglie arbitrariamente il suo valore
in un punto.
Ad esempio: si pone V=0 ad infinito
così:
q
V ( P) =
4πε o r
Il POTENZIALE V nel punto P assume quindi
il significato di LAVORO (compiuto dal campo
elettrico) NECESSARIO PER PORTARE UNA
CARICA UNITARIA POSITIVA DAL PUNTO P
DISTANTE rP DALLA CARICA SORGENTE q
ALL’ INFINITO
Potenziale di una distribuzione di carica
DISTRIBUZIONE DISCRETA:
avendo N cariche
qi i=1,2,…,N ognuna delle quali genera un
potenziale Vi in P
qi
Vi ( P) =
4πε o rP ,i
Il Potenziale totale del sistema di cariche
N
1
V ( P ) = ∑ Vi ( P ) =
4πε o
i =1
N
qi
∑
i =1 rP ,i
Per un CAMPO ELETTRICO QUALSIASI
E(P)=E(x,y,z)
Il potenziale elettrostatico è definito a partire
dal lavoro per unità di carica fatto dal campo
r r
L = ∫ q ' E ⋅ ds = − q ' ∆V
r r
∆V = − ∫ E ⋅ ds
dV = − Es ⋅ ds
Con ES la componente del campo in direzione ds
quindi in coordinate cartesiane:
r
 ∂V r ∂V r ∂V
E = −
i+
j+
∂y
∂z
 ∂x
r
r
k  = −∇V

La differenza di potenziale tra due punti è
proporzionale al lavoro fatto dalle forze del campo
per spostare una carica di prova da un punto all’altro
∆VAB
LAB
= VB − V A = −
q'
Il campo elettrostatico
è conservativo
r r
E
⋅
d
s
=
0
∫
Calcolo del campo elettrico e del potenziale
prodotto da una sfera conduttrice carica in
superficie
Siano: Q la carica posta sulla sfera
a il raggio della sfera
r
V
r
ur
E
r
r
a
r
E(r ) =
a
r≥a
Q r
u
2 r
4πε o r
r
E =0
r<a
Q
V (r ) =
4πε o r
Q
V (r ) =
4πε o a