CORSO DI LAUREA IN ING. DELLE TELECOMUNICAZIONI, ING. DELL’AUTOMAZIONE E ING.
INFORMATICA (corso B) – A.A. 2007/08
1. Sia dato un filo indefinito carico con densità lineare λ=8,86nC/m. Determinare il potenziale elettrostatico in tutti i
punti dello spazio.
Successivamente, una carica Q=8,86nC viene posta in un punto che dista 0,5m dal filo carico. Determinare la posizione
dell’unico punto in cui si annulla il campo in tali condizioni.
ϕ (r ) =
λ
1.59 ⋅ 10 2
V
=
r
2πε 0 r
x=d+
2.
Q 1 Q⎛Q
⎞
−
⎜ + 4d ⎟ = 13.4cm
2λ 2 λ ⎝ λ
⎠
Calcolo del potenziale del piano indefinito
ϕ ( x) = −
σ
x
2ε 0
3. Una sfera metallica S, cava ed isolata, con raggio interno R1=6cm e raggio esterno R2=8cm, possiede una carica
Q=1nC. Determinare l’espressione del campo e del potenziale in tutti i punti dello spazio. All’interno di S viene posta in
modo concentrico una sfera metallica S’, di raggio R=4cm e con carica q=1nC. Determinare:
a. La differenza di potenziale tra S ed S’
b. Il valore del campo nel punto P distante r=10cm dal centro del sistema.
c. La sfera S’ viene spostata all’interno della cavità in modo da non essere più concentrica. Determinare le
cariche Q1 e Q2 presenti sulle superfici della sfera cava.
Q
Per r > R2
E (r ) =
Per r < R2
E (r ) = 0V
4πε 0 r
m
2
=
8.99 V
m
r2
ϕ(r) =
ϕS' − ϕS =
Q
8.99
=
V
4ππ0 r
r
Q
= 112.35V
4ππ0 R2
q ⎛1 1 ⎞
⎜ − ⎟ = 75V
4πε 0 ⎜⎝ R R1 ⎟⎠
Q+q 1
(b) E ( r = 10cm) =
= 1.8 kV
m
4πε 0 r 2
(c) Q1 = − q = −1nC Q2 = Q + q = 2nC
(a)
ϕ(r) =
4.
Una sfera conduttrice S1, di raggio R1=2,5cm, possiede una carica Q ed è isolata. Essa viene circondata da un
guscio sferico S2, inizialmente scarico, concentrico con S1, di raggi R2=10cm e R3=12cm. In queste condizioni il
campo elettrico in corrispondenza della superficie di raggio R3 è pari a 3kV/m. Determinare:
a. Le cariche affacciate sulle tre superfici conduttrici di raggi R1,R2,R3;
b. La d.d.p. tra i conduttori S1 e S2.
(a) q1 = Q
(b)
5.
q 2 = −Q q 3 = Q
ϕS − ϕS =
1
2
q ⎛ 1
1
⎜⎜ −
4πε 0 ⎝ R1 R2
con
Q = 4πε 0 E ( R3 ) R32 = 4.8nC
⎞
⎟⎟ = 1.296kV
⎠
Una sfera conduttrice S1 di raggio R1=10cm è portata al potenziale φ0=18kV e poi isolata. Viene a questo punto
circondata da un guscio conduttore di raggi R2=20cm e R3=22cm, concentrico con S1, inizialmente scarico ed
isolato.
a. Calcolare i potenziali di S1 e S2;
b. Se S2 viene collegato a terra, determinare il potenziale di S1
Q = 4πε 0ϕ 0 R1 = 2 ⋅ 10 −7 C
1 Q
= 8.17 kV
(a) ϕ S 2 =
4πε 0 R3
Q ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟ = 8.17 kV + 8.99kV = 17,16kV
4πε 0 ⎝ R1 R2 ⎟⎠
Q ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟ = 8.99kV
=
4πε 0 ⎝ R1 R2 ⎟⎠
ϕS = ϕS +
1
(b)
6.
2
ϕS
1
All’interno di un guscio sferico S’ conduttore di raggi R2=10cm e R3=15cm è posta in modo concentrico una sfera
conduttrice di raggio R1=5cm. Il guscio viene portato ad un potenziale di 2000V e poi isolato.
a. Determinare la carica sulla sfera S e sulla superficie interna e su quella esterna di S’
Si carica a questo punto la sfera S con una carica Q=20nC. Determinare:
b. La carica sulla superficie interna e su quella esterna di S’
c. Il potenziale di S.
(a) q1 = 0
(b) q 2 = −Q
(c)
ϕS =
q2 = 0
q3 = Q' con
Q' = 4πε 0 R3ϕ S ' = 33.4nC
q3 = Q + Q' = 20nC + 33.4nC = 53.4nC
Q + Q'
Q
+
4πε 0 R3 4πε 0
⎛ 1
1
⎜⎜ −
⎝ R1 R2
⎞
⎟⎟ = 3.2kV + 1.8kV = 5kV
⎠
7.
Una carica puntiforme Q è posta al centro di un guscio sferico di raggio interno a=10cm e raggio esterno b=15cm,
nel cui volume è distribuita uniformemente una carica elettrica con densità volumetrica ρ.
a. Determinare l’espressione del campo elettrostatico in tutti i punti dello spazio
b. Sapendo che il campo elettrostatico è nullo nei punti all’esterno della sfera di raggio b e che la differenza
di potenziale tra le due superfici sferiche di raggi a e b vale φb-φa=100V, determinare i valori della densità
ρ e della carica Q.
(a)
E (r ) =
Per r < a
(b)
(c)
Q
4πε 0 r 2
E (r ) =
Per a < r < b
Per r > b
1
E (r ) =
⎛
r 3 − a3 ⎞
⎜
⎟
Q
Q
+
g
b 3 − a 3 ⎟⎠
4πε 0 r 2 ⎜⎝
1
1
Q + Qg
4πε 0
r2
4πε 0 (b 3 − a 3 )(ϕ b − ϕ a )
Q=
= −5.29nC
3b 2 b 3 a 2
−
−
2
a
2
ρ =−
Q
4
π (b 3 − a 3 )
3
= 0.531 μC
m3
B
S1
A
S2
8.
Una sfera conduttrice S1, di raggio R1=12cm, è circondata da un guscio sferico conduttore S2, concentrico con S1,
di raggi R2=12cm R3=24cm ed. Il potenziale elettrostatico nei punti A e B distanti rispettivamente RA=16cm ed
RB=28cm dal centro del sistema vale ϕA=2,2kV e ϕB=1kV . Determinare: 1)le cariche affacciate sulle tre superfici
conduttrici di raggi R1, R2, R3 .
S1 viene collegata ad S2 con un sottile filo conduttore. Ad equilibrio elettrostatico raggiunto determinare: b) il
potenziale nei punti A e B; c) l'energia elettrostatica del sistema.
[Vedi pagine 254 e 324 del libro di testo, problema I.13]