UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Aerospaziale (Prof. S.M. Lenzi)
Prima prova di accertamento di Fisica I – 17 Febbraio 2006
Cognome_________________________ Nome ____________________ Matricola_____________
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Problema 1
Un punto materiale di massa m = 0,1 kg è appoggiato su una rotaia, composta da un tratto piano
scabro di lunghezza d = 2 m e da un tratto finale liscio circolare di raggio R = 40 cm. Il punto
materiale comprime inizialmente di Δx = 20 cm una molla ideale di massa trascurabile e di costante
elastica k = 150 N/m.
All’istante t = 0 il sistema viene lasciato libero di muoversi e la molla cessa di agire sul punto
quando torna alla sua lunghezza di riposo. Il coefficiente di attrito dinamico che agisce sul tratto d
vale μd = 0.2 N/m. Determinare
a) il lavoro della forza d’attrito;
b) la velocità del punto materiale nell’istante in cui giunge all’estremo superiore della rotaia
(punto C);
c) la reazione vincolare della rotaia in quel istante;
d) a partire da quel istante, con che tipo di moto continua e a che distanza dal punto A arriva al
suolo?
C
m
A
R
d
B
Soluzione:
a)
Wa = μ d mgd cos( π ) = −0.392 J
b) La velocitá si ottiene dall’energia cinetica. Il lavoro della forza d’attrito (non conservativa) e’
uguale alla variazione dell’energia meccanica
Wa = ΔE M
E Mi = 12 k ( Δx ) 2
E Mf = 12 mv 2 + mg 2 R
⇒v=
2Wa
k ( Δx ) 2
− 4 gR +
= 6.04 m / s
m
m
c) La forza vincolare N
mg + N = mv 2 / R
N = m( v 2 / R − g ) = 8.14 N
d) Il punto materiale continua con moto parabolico. Scegliendo un sistema di riferimento con centro
in B (asse positivo di x verso sinistra), le condizioni iniziali sono:
v0 x = v
x0 = 0
y0 = 2R
v0 y = 0
a = −g
Quando il punto arriva al suolo: y = 0
0 = 2 R − 12 gt 2
x = vt
⇒t =
4R
4R
⇒x=v
= 2.44m
g
g
Il punto arriva a una distanza l = x − d = 0.44 m a sinistra del punto A
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Problema 2
Un punto materiale di massa m = 300 g viene lanciato ad un angolo θ =60˚ mediante un’esplosione
istantanea da una piattaforma di altezza incognita e di massa M = 4 kg mobile su un piano privo
d’attrito. Il punto ricade a terra dopo un tempo t1 = 10 s alla distanza d = 50 m dal punto in cui è
stato lanciato.
Calcolare:
a) il modulo della velocità di rinculo della piattaforma immediatamente dopo l’esplosione;
b) il lavoro fatto dalle forze agenti sul sistema durante l’esplosione.
v
m
θ
M
d
Soluzione:
a) Nell’esplosione si conserva la quantità di moto lungo il piano orizzontale.
mv cos θ + MV = 0
Le equazioni del moto per la massa m sono:
x = v cos θ t
y = h + v sin θ t −
d = v0 cos θ t1 ⇒ v = 10m / s
1 2
gt
2
mv cos θ
= 0.375m / s
M
b) Il lavoro delle forze è uguale alla variazione di energia cinetica:
⇒V = −
W = ΔE k = 12 mv 2 + 12 MV 2 = 15.3J
Problema 3
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Un punto materiale di massa m = 0.6 kg ruota su un piano orizzontale scabro attorno ad un punto O
cui è connesso tramite una sbarretta ideale di lunghezza l = 0.5 m. All’istante t = 0 il modulo della
velocità del punto è v0 = 4 m/s. Sapendo che all’istante t1 = 1.5 s la tensione della sbarretta è T(t1) =
6 N, calcolare:
a) il valore del coefficiente di attrito μd fra il punto materiale e il piano;
b) la velocità che avrà il punto dopo aver percorso un giro dall’istante t0;
c) quale è l’angolo tra l’accelerazione totale del punto e la sbarretta nello stesso istante.
Soluzione:
Moto circolare decelerato:
dv
a) maT = m = −μN = −μmg
v = v0 − μgt
dt
Tl
v2
= 2.24 m/s
ma N = m = T ⇒ v =
m
l
v −v
μ= 0
= 0.12
gt
b) 12 mv 2 − 12 mv02 = −μmg 2πl
v = v02 − 4πμgl = 2.93m/s
c)
tgα =
aT
μgl
= − 2 = −0.0685 ⇒ α = −3.92 o
aN
v
Problema 4
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Un corpo puntiforme di massa m = 0.3 kg può scorrere senza attrito sulla guida OA di figura,
disposta in un piano verticale, costituita da un arco di circonferenza di raggio R = 1 m, sotteso da
un angolo α = 30º. Inizialmente la velocità del corpo è v0 = 2 m/s. Dopo il distacco dalla guida, il
corpo prosegue il suo moto sotto l’azione della forza peso. Determinare:
a) la velocità del corpo al distacco nel punto A;
b) il modulo della reazione vincolare esercitata in A dalla guida un istante prima del distacco;
c) il punto d’impatto del corpo sul piano orizzontale passante per O (si assuma in O l’origine
dell’asse x)
α
R
a) Si conserva l’energia meccanica
A
v0
1 2 1 2
mv0 = mv A + mgR(1 − cos α )
2
2
v A = v02 − 2 gR(1 − cos α ) = 1.17 m / s
x
O
b)
N − mg cos α = m
v2
R
N = 2.96 N
c) Dopo A il moto e’ parabolico
x( t ) = R sin α + v A cos α t
y( t ) = R(1 − cos α ) + v A sin α t −
1 2
gt
2
y = 0 ⇒ x = 0.74 m
Problema 5
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Un blocchetto di massa m = 0.3 kg scivola per effetto della forza peso lungo una guida circolare AB
priva di attrito e di raggio R = 0,2 m, posta in un piano verticale (vedi figura), partendo dal punto A
con velocità iniziale nulla. Al termine della guida il blocchetto percorre un tratto orizzontale scabro
BC, con coefficiente di attrito dinamico μd=0.2, di lunghezza d, fermandosi nel punto C.
Determinare:
a) la velocità del blocchetto dopo aver percorso l’angolo θ = 30° di figura;
b) la reazione vincolare della guida in quel punto;
c) il lavoro compiuto dalla forza d’attrito in tutto il percorso;
d) L’impulso trasferito dalla forza d’attrito al blocchetto.
A
θ
Soluzione:
a) Dalla conservazione dell’energia meccanica:
B
C
mgh = mgR sin θ = 12 mv 2
⇒ v = 2 gR sin θ = 1.4m / s
b) Dalla seconda legge di Newton:
N − mg cos(π / 2 − θ ) = mv 2 / R
⇒ N = m( g cos(π / 2 − θ ) + v 2 / R ) = 4.41N
c) Il lavoro compiuto dalla forza d’attrito è uguale al lavoro della forza peso perché la variazione
dell’energia cinetica è nulla.
Watt + W p = 0
⇒ Watt = − mgR = −0.588 J
d)
J = Δp = − mv B
1
2
mv B2 = mgR
⇒ v B = 2 gR = 1.98m / s
⇒ J = −0.59kgm / s
Problema 6
Tre conduttori sottili C1, C2 e C3, di forma sferica e raggi, rispettivamente, R1= 5 cm,
R2= 10 cm, R3= 20 cm, sono concentrici ed isolati tra loro. Sul conduttore C1
è depositata una carica Q1= - 2 10-8 C, e sul conduttore C2, una carica Q2= + 8 10-8 C.
1
Calcolare (
= 9 ⋅ 10 9 Nm2/C2):
4πε 0
a) La differenza di potenziale tra i conduttori C1 e C2.
ΔV1-2 =...................
b) L’energia cinetica (in eV) di un protone (carica e) che parte da fermo
dalla superficie del conduttore C3, quando passa per il punto P situato
a rP = 30 cm dal centro del sistema.
Ek =...................
Sulla superficie del conduttore C3 viene ora depositata una carica Q3 = - 6 10-8 C.
Calcolare in questa situazione:
c) La differenza di potenziale tra C2 e C3.
ΔV2-3 =...................
d) L’energia elettrostatica del sistema.
Ue =...................
C3
C1
R1
R3
P
r
R2
C2
Soluzione:
R2
R2
R1
R1 4πε 0 r
a) V12 = − ∫ E ⋅ dr = − ∫
Q1
2
dr = −
P
(Q1 + Q2 )
R3
4πε 0 r 2
b) E k = e (V ( P ) − V ( R3 )) = −e ∫
R3
R3 (Q
1
R2
R2
c) V23 = ∫ E ⋅ dr = ∫
+ Q2 )
4πε 0 r 2
Q1
4πε 0
dr =
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = 1.8 kV
−
⎝ R1 R2 ⎠
dr = −
e(Q1 + Q2 ) ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟⎟ = 900 eV
r
R
4πε 0
3 ⎠
⎝ P
(Q1 + Q2 ) ⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟ = 2.7 kV
−
4πε 0 ⎝ R2 R3 ⎟⎠
d) Si può risolvere in due modi. Il primo è utilizzando l’espressione dell’energia in funzione del
campo elettrico. Il campo elettrico per r>R3 è nullo:
Q 2 R2 dr (Q + Q2 ) 2 R3 dr
1
U e = ε 0 ∫ E 2 dτ = 1 ∫ 2 + 1
∫ 2
2 τ
8πε 0 R1 r
8πε 0
R2 r
=
Q12
8πε 0
⎛ 1
1 ⎞ (Q1 + Q2 ) 2
⎜⎜
⎟⎟ +
−
8πε 0
⎝ R1 R2 ⎠
⎛ 1
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = 9.9 10 − 5 J
−
R
R
3⎠
⎝ 2
Il sistema si può anche pensare come composto da due condensatori, uno con carica |Q1| e l’altro
con carica |Q1+Q2|.
1
1
U e = | Q1 | V12 + (Q1 + Q2 )V23 = 9.9 ⋅ 10 − 5 J
2
2
Problema 7
|___|___|
Un protone, dopo essere stato accelerato da una differenza di potenziale V0, si muove lungo l’asse y
ed entra in corrispondenza del punto O(0,0) in una zona compresa tra y = 0 e y = 0.4 m dove esiste
un campo magnetico B = 0.4 T, uniforme e perpendicolare al piano yz. Il protone esce dalla zona
dove esiste il campo magnetico con velocità v = 2·107 m/s formante un angolo γ con l’asse z.
Calcolare:
a) La differenza di potenziale V0 responsabile dell’accelerazione
del protone.
V0 = ..........................
b) L’angolo γ.
γ = ........................
z
x
O
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
γ
v
y
0.4 m
Problema 8
Un filo rettilineo indefinito, perpendicolare agli assi coordinati (x,y) di figura e passante per la loro
origine, e’ caricato con una distribuzione uniforme di carica positiva di densita’ lineare λ+=10-7C/m
. A distanza d= 2 cm dal filo, un piano ad esso parallelo e’ caricato negativamente con una
distribuzione uniforme di densita’ superficiale σ- = - 10-6 C/m2. Calcolare:
a)
Il modulo del campo elettrico nel punto P1 di coordinate (x1,y1)=(d/2,d/2):
E1= …………
b)
La differenza di potenziale tra il punto P2 sull’ asse y, di coordinate (x2,y2)= (d2,0),
ΔV= V2-V1 =…………….
con d2= 1 mm, ed il punto P1:
y
σ-
.
P (
. P2 =(d2, 0)
λ+
)
x
d
Soluzione:
a) Il campo elettrostatico totale e’ dato dalla sovrapposizione dei campi generati dalle due
distribuzioni di carica: E = E+ + EIl campo E+ e’ radiale; nel punto P1 il suo modulo vale:
E+ = λ+/ (2πε0 d1 )= 1,3 ⋅105 V/m, essendo d1= d/√2 = 1,41 cm
Il campo E- e’ diretto lungo l’ asse x, ed il suo modulo e’:
E- = |σ-| / 2ε0 = 5,6 ⋅104 V/m.
Le componenti del campo totale sono quindi:
Ex = E+x + E- = E+cosθ + E- = 1,48⋅105 V/m
Ey = E+ sinθ = 9,2⋅104 V/m
essendo θ = 45° ;
il modulo del campo in P1 e’ pertanto: E = [Ex2+Ey2]1/2 = 1,74 ⋅105 V/m.
b) la d.d.p tra i due punti richiesti e’ :
V2 – V1 = - ∫ (E+ + E-)⋅ds = - ∫ [λ+/ (2πε0 r )] dr - ∫ [|σ-| / 2ε0 ] dx =
= [λ+/ (2πε0 )] ln (d1/d2) + [|σ-| / 2ε0 ]x1 = 4770 + 800 = 5570 V
Problema 9
Si considerino un piano isolante indefinito carico con densità superficiale di carica positiva σ e una
sfera isolante di raggio R = 10 cm con densità di carica ρ = 2 . 10-8 C/m3, il cui centro si trova a
d=1m dal piano. Si osserva che il campo elettrostatico è nullo nel punto x0 che si trova a 20 cm dal
piano sull’asse passante per il centro della sfera (vedi figura).
Calcolare:
a) la densità di carica σ del piano indefinito;
b) la differenza di potenziale tra il punto x0 ed il punto x1 = 2x0.
σ
x0
x1
R
Soluzione:
x
a)
E (x0 ) =
σ=
σ
4πR 3 ρ
−
=0
2ε 0 3 ⋅ 4πε 0 ( d − x0 ) 2
2 R 3ρ
= 2.08 ⋅ 10 −11 C / m 2
2
3( d − x0 )
b)
x1
ΔV = V ( x0 ) − V ( x1 ) = ∫ (
x0
σ
σ
R 3ρ
R 3ρ ⎛ 1
1
⎜⎜
+
=
−
−
−
)
dx
(
x
x
)
1
0
2
2ε 0 3ε 0 ( d − x )
2ε 0
3ε 0 ⎝ d − x1 d − x0
⎞
⎟⎟ = −.0787V
⎠