Addendum
Raggio classico dell’elettrone



Detto anche raggio di Compton, viene fuori dall’imporre che
l’energia potenziale di un elettrone, considerato o come un
guscio o come una sfera uniformemente carica, sia pari
all’energia relativistica dovuta alla massa dell’elettrone
E=mc2. In pratica equivale ad ipotizzare che la sua massa
sia dovuta all’energia elettrostatica
Vale
e2
15
r

2
.
8

10
m
2
40 mc
1
E’ ancora usato in teorie che trattano l’elettrone
classicamente, sebbene il modello standard consideri
attualmente l’elettrone puntiforme

Per calcolarlo consideriamo che l’energia potenziale per
assemblare un guscio sferico uniformemente carico è
2
1 1 e
U
2 40 r

Mentre per assemblare una sfera uniformemente carica
occorre un’energia
2
3 1 e
U
5 40 r

Se si ignora il fattore 1/2 ovvero il fattore 3/5 nelle formule di
sopra e si uguaglia ad mc2 troviamo il raggio classico

Ma come vengono fuori quelle energie potenziali?
Per il guscio sferico la cosa è immediata: abbiamo già detto
che un guscio sferico uniformemente carico è indistinguibile
da un conduttore sferico con densità superficiale di carica
uniforme: la simmetria delle cariche è tale da produrre
campo zero all’interno, come in un conduttore


Quindi l’energia potenziale è quella che occorre per caricare
un condensatore sferico, dove avevamo visto (lezione 5)
1 Q
1
1
Q
2
U  CV  4R

2
2
2
4R  2 4R 

Ed ecco ottenuta la prima relazione (Q è chiaramente e,
carica dell’elettrone)



Per la sfera uniformemente carica, ripetiamo il
procedimento di “assemblaggio” per ogni carica infinitesima
Ogni volta che aggiungiamo un dq dobbiamo immaginare di
lavorare contro il campo prodotto dalla carica precedente, e
di spalmare la nuova carica su un guscio sferico da r ad
r+dr, costruendo la sfera per “pellicole” successive
Se definiamo q(r) la carica della sfera quando questa ha
raggio r, il lavoro per aggiungere un dq sarà, ricordando che
il potenziale di una distribuzione di carica sferica di raggio r
FUORI DALLA SFERA è indistinguibile da quello che si
avrebbe se tutta la carica fosse al centro della sfera
1
q (r )dq
dU 
40
r


Se la sfera è uniformemente carica nel volume, avrà una
densità volumetrica di carica r tale che
4 3
q ( r )  r r
3
Così l’elemento dq calcolato in funzione di dr (valutando
dq/dr)
2
dq  4r rdr


Che sostituito nell’espressione di dW (eliminiamo anche
4 2 4
q(r)) ci restituisce
dW 
r r dr
3 0
Volendo costruire una sfera di raggio R non resta che
integrare tra 0 ed R
4 2
4 2 5
4
U
r  r dr 
r R
3 0
15 0
0
R


Considerando che la carica totale Q è a questo punto
4 3
Q  q( R)  R r
3
Ricaviamo r e sostituiamo ottenendo
2
3 1 Q
U
5 40 R

Cioè la relazione cercata



Tuttavia nella lezione, abbiamo anche ricavato, sfruttando
un procedimento di “costruzione” analogo ma generale, che
1 
1  
 2
U    D  dV   D  EdV   E dV
2V
2V
2V
Verifichiamo che usando questa avremmo ottenuto lo
stesso risultato
Nella lezione 3 (intorno alla slide 11) avevamo di fatto
calcolato il campo di una distribuzione sferica di carica
uniforme, ottenendo che
Er ( r ) 
Q
40 r
2
Qr
Er ( r ) 
40 R 3
se r  R
se r  R

Allora: eleviamo tali campi al quadrato, sostituiamo nella
nostra relazione ed integriamo in tutto lo spazio
Per effettuare tale integrazione consideriamo un guscio
sferico di superficie 4r2 e di raggio dr, cioè

dV  4r 2 dr

quindi
 
2
2
R  2

 2 2

2
2
U   E dV   E 4r dr    E 4r dr   E 4r dr 
2V
20
2 0
R


R

2
2
Q2  1
dr 
4
Q
1


3
Q

 1 
 6  r dr   2  

8  R 0
r  8R  5  5 4R
R