Lavoro
compiuto dalla forza di Coulomb
ossia da E
Consideriamo una carica puntiforme. Il
campo è radiale (centrale), quindi è
conservativo:
si compie lavoro solo nei tratti radiali
Energia potenziale
Per la forza conservativa di Coulomb si può definire una funzione energia potenziale U(r) tale
che, nello spostare la carica q da A a B,
U(rB)-U(rA) = -Le = Lm;
la variazione di energia potenziale è uguale al lavoro meccanico Lm compiuto da chi sposta q
contro la forza di Coulomb
analogo meccanico
ovvero
Il lavoro per unità di carica, L/q, a sua
volta, si può calcolare da una funzione
potenziale elettrostatico, V(r)
V(rB)-V(rA) = Lm/q
L'unità di misura del potenziale è il Volt (V)
1 V = 1 J/C
Circuitazione di E
L'integrale di linea lungo una
curva chiusa
è la differenza di potenziale tra
due punti coincidenti
La circuitazione del campo
elettrostatico è nulla
Potenziale di una carica puntiforme
Il campo elettrico è
Quindi il potenziale
vale
Questo equivale a scrivere
In definitiva se si suppone V(rA)=0 per rA posto all' infinito si può scrivere semplicemente
, ossia
Potenziale di più cariche puntiformi
Vale il principio di sovrapposizione
Quindi il potenziale si ottienne come
Ma come dipende da r?
occorre esprimere ri0 in funzione della
posizione r rispetto ad un origine comune O
Se si ricorda che
ri0 = ri - r
In definitiva il potenziale si può scrivere come
dove
Nello stesso modo il campo E di N cariche
si può esprimere come:
dove il versore nella direzione ri - r è dato da:
Potenziale di una distribuzione continua di cariche:
Si può estendere l'espressione ottenuta per N
cariche puntiformi ad una densità continua di
carica
sommando i contributi di ogni piccolo volume
di carica
Si ottiene quindi l'integrale (
può essere costante, ma può anche variare da punto a punto)
dove si indica simbolicamente il volume infinitesimo entro V con
Eviteremo di calcolare questo integrale complicato se se ne può fare a meno!
Potenziale di una distribuzione lineare di carica:
Un filo molto lungo, uniforme, di spessore
trascurabile, che possiede Coulomb ogni
metro.
È la distribuzione di cui abbiamo calcolato E(r)
utilizzando la legge di Gauss
L'integrale di volume:
si riduce ad un integrale di linea
Ma esiste un modo più semplice
Sfruttando la definizione di potenziale
si ottiene:
se si pone V(rA) = 0
Calcolando l'integrale
si ottiene:
Potenziale di un dipolo
A grande distanza da un dipolo p=qd
V(r)= kp·r/r3
Coppia di forze uguali ed opposte
Momento meccanico risultante
da non confondere col momento di
dipolo p!
Col principio dei lavori virtuali
Ad ogni coppia di cariche compete
l'energia potenziale ui,j
Le coppie sono contatte due volte
Estensione la caso continuo
Equivalente all'integrale di volume della
densità d'energia
Problemi
1. Calcolare il potenziale V(r) a distanza r da una sfera di raggio R uniformemente carica (densità di
carica )
1. per r>R
2. per r<R
2. Calcolare il potenziale V(r) a distanza r da una sfera conduttrice di raggio R su cui è stata
depositata una carica Q
3. Calcolare il potenziale V(r) a distanza r da un piano infinito uniformemente carico (densità di
carica superficiale )
4. Calcolare il potenziale V(r) a distanza r da una lastra infinita di spessore 2d, uniformemente
carica (densità di carica )
1. per r>R
2. per r<R
5. Calcolare il potenziale V(r) a distanza r da una cilindro infinita di raggio R, uniformemente carico
(densità di carica )
1. per r>d
2. per r<d