Corso di
LOGICA I (anno 2°):
istituzioni di logica come base
per la comprensione dell’informatica
Luisa Bortolotti
Trento, 19.11.2004
Lezione 20°: Dimostrazione del teorema di deduzione (parte
non banale 2°)
§ 20.1. Come dimostrare la "freccia" da sinistra a destra
Quando una formula  è deducibile da un insieme di premesse M + la premessa allora dal
solo insieme di premesse M è deducibile se allora .
M | M | 
La dimostrazione della parte non banale è una dimostrazione per induzione matematica.
La dimostrazione ha così due momenti.
Dimostro che una proprietà vale per tutti i numeri facendo vedere che:
1. ciò vale per 0
2. si trasmette da ogni numero al suo successore
Se assumo questo teorema posso fare ragionamenti per induzione.
Dimostro il teorema di deduzione facendo una induzione sul teorema di deduzione.
§ 20.2. Lavoriamo su due piani
Nel teorema di deduzione si ragiona usando una induzione sulla lunghezza di una deduzione.
Ci troviamo davanti a due piani:
1) il ragionamento universale
2) il teorema specifico di deduzione.
Siamo quindi alla dimostrazione dell'implicazione da sinistra a destra (parte non banale).
Quando una formula  è deducibile da un insieme di premesse M + la premessa allora dal
solo insieme di premesse M è deducibile se allora .
M | M | 
Dobbiamo dimostrare che se  è deducibile da M , allora da M solo è deducibile "se  allora
".
Ragioniamo quindi per induzione sulla lunghezza della deduzione di  a partire da M + .
Supponiamo l'antecedente per dimostrare il conseguente:
ipotesi: sia M | SF 
(  è deducibile da M +  = esiste una deduzione le cui premesse stanno in M e  e la cui ultima
riga è la formula  ).
Ragioniamo per induzione sulla lunghezza della deduzione di  a partire da M se  è
deducibile da M , per deducibilità esisterà una successione finita di formule che termina con
 e soddisfa le condizioni di una deduzione.
_ Assumiamo la D (deduzione): questa avrà una sua lunghezza.
_ La proprietà P a cui ci interessiamo (che vogliamo cioè dimostrare) ragionando per induzione è
rappresentata proprio dall'enunciato del teorema di deduzione nella sua parte non banale.
E' una proposizione sintattica che vale per tutte le deduzioni (D) possibili di  a partire da M 
Ogni metateorema asserisce una proprietà: la proprietà P è che può valere o non valere per le
deduzioni di  a partire da M 
Vediamo ora i due momenti dell'induzione: il 1° è la base, il 2° è il passo.
§20.3. Base (1° parte)
Partiamo dalla base dell'induzione, del caso in cui D ha lunghezza 1:
l(D) = 1 è la lunghezza minima possibile per una deduzione.
Devo dimostrare che vale P (D), cioè il teorema di deduzione, in questo caso.
Devo cioè dimostrare che vale P(D), che la proprietà del teorema di deduzione è goduta dal caso
particolare in cui D ha lunghezza 1. Se esiste una D di lunghezza 1 allora esiste una D' di  a
partire da M soltanto.
Sia M | SF 
Poiché l(D)=1, sono possibili solo i 3 casi seguenti:
a)  è un assioma
b) M (è elemento di M)
c)  = (è una premessa )
In tutti questi casi possiamo sempre scaricare : cioè da ciò possiamo avere "se  allora " a partire
da M.
Ragioniamo ora in questi tre casi:
a)  è un assioma
Allora sicuramente è dimostrabile in SF senza uso di premesse:
| SF 
Un assioma è deducibile a partire da qualunque insieme di premesse, per cui sarà deducibile da M.
E' dimostrabile da qualsivoglia insieme di premesse.
1° riga: M | SF 
un assioma
Se  è un assioma, allora è deducibile dall'insieme di premesse M.
In una deduzione posso sempre scrivere un esempio di assioma logico (che è deducibile a partire da
qualunque caso; per esempio da M).
2° riga: M | SF  a fortiori A 1.1.
Applico ora il modus ponens a queste due righe ed ottengo:
3° riga: M | SF  modus ponens (1,2)
E' proprio quello che volevo.
Arrivederci al 26 novembre 2004: dimostrazione del teorema di deduzione (parte non banale
3°).
ã 2004 Luisa Bortolotti