ESERCIZI DI CALCOLO 1 - FOGLIO N. 1
CDS MATEMATICA, A.A. 2015/2016 (A. MALUSA)
1. Complementi
Esercizio 1 (Proprietà delle operazioni tra insiemi). Siano A B e C degli insiemi. Verificare le seguenti
proprietà
(U1) A ∪ A = A (idempotenza);
(U2) A ∪ B = B ∪ A (commutatività);
(U3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associatività);
(U4) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributività);
(U5) A ∩ (A ∪ B) = A (assorbimento).
(I1) A ∩ A = A (idempotenza);
(I2) A ∩ B = B ∩ A (commutatività);
(I3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (associatività);
(I4) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributività);
(I5) A ∪ (A ∩ B) = A (assorbimento).
Esercizio 2. Dimostrare che il Principio di induzione è equivalente al Principio di buon ordinamento.
Esercizio 3 (Regole di semplificazione). Siano a, b, c numeri reali. Dimostrare che valgono le seguenti
proprietà
i) a + c ≤ b + c ⇔ a ≤ b;
ii) ab = 0 ⇔ a = 0 oppure b = 0;
iii) se a 6= 0, allora ab = ac ⇔ b = c;
iv) se a > 0, allora ab ≤ ac ⇔ b ≤ c;
v) se a < 0, allora ab ≤ ac ⇔ b ≥ c.
Esercizio 4 (Formula di somma per parti). Siano {a1 , a2 , . . . , an } e {b1 , b2 , . . . , bn } due n–uple di
numeri reali. Verificare che
n
X
(ak − ak−1 )bk + a1 b1 =
k=2
n−1
X
ak (bk − bk+1 ) + an bn .
k=1
Esercizio 5. Dimostrare, utilizzando il Principio di induzione, che
n
X
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
xk =
1 − xn+1
1−x
k=0
n
X
k=0
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
∀n ∈ N
(somma dei quadrati dei primi n naturali)
∀n ∈ N, ∀x ∈ R \ {1} (somma dei termini di una progressione geometrica)
∀n ∈ N, ∀x ∈ (−∞, −1)
(disuguaglianza di Bernoulli)
Esercizio 6. Mostrare (anche in maniera non rigorosa) che due qualsiasi intervalli aperti e limitati
della retta reale hanno la stessa cardinalità e che l’intervallo (−1, 1) ha la stessa cardinalità di tutto R.
Date: 8 settembre 2015.
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2. Esercizi
Esercizio 7. Negare le seguenti affermazioni:
• per ogni q la proprietà P (q) è vera;
• esiste q tale che P (q) è vera.
Esercizio 8. Sia Ω un insieme fissato. Per ogni E ⊆ Ω definiamo
(
1, se x ∈ E,
χE (x) =
0, se x ∈ Ω \ E.
Dimostrare che per ogni A, B ⊆ Ω
χA∩B (x) = χA (x)χB (x) ,
χA∪B (x) + χA∩B (x) = χA (x) + χB (x),
∀x ∈ Ω.
Esercizio 9 (Somma telescopica di Mengoli). Semplificare l’espressione
n X
1
1
.
−
k k+1
k=1
Esercizio 10. Dimostrare, utilizzando il Principio di induzione, che
n! ≥ 2n−1 (facile),
nn ≥ 2n−1 n! (più difficile).
per ogni n ∈ N \ {0}.
Esercizio 11. Calcolare la somma
n X
n
k=0
Esercizio 12. Calcolare la somma
k
2k .
n X
n
k=0
k
e dimostrare, sia direttamente che utilizzando il Principio di induzione, che
n X
n
k = n2n−1 .
k
k=1
Esercizio 13 (Numeri di Fibonacci e Sezione Aurea). Siano Fn , n ∈ N, i numeri definiti per ricorrenza
nel modo seguente
(
F0 = F1 = 1
Fn = Fn−1 + Fn−2 n ≥ 2
√
1+ 5
e sia ϕ =
. Dopo aver verificato che ϕ2 = ϕ+1, dimostrare utilizzando il Principio di Induzione,
2
che
Fn ≥ ϕn−2 ,
∀n ∈ N.