CAPITOLO 7. ALTRE FORME PER L’EQUAZIONE DELL’ENERGIA IN FORMA INTEGRALE 7.1
Equazione dell’Energia in forma termica Si è visto nel paragrafo 6.4 che l’equazione integrale di conservazione dell’energia (6.10) per un volume di controllo fisso e non deformabile si può scrivere nella seguente forma: dΩ
·
dA
(7.1) Si ricordano ancora le convenzioni di segno da considerare per i flussi netti di lavoro e calore sul Volume di Controllo (Figura 7.1). •
Il lavoro è considerato positivo se ceduto dal fluido contenuto nel Volume di Controllo verso l’esterno; •
Il calore è considerato positivo se dato dall’esterno al fluido contenuto nel Volume di Controllo Figura 7.1. Convenzione di segno per lavoro e calore scambiati Ad esempio, le turbine (macchine motrici) rendono disponibile verso l’esterno del lavoro utile e per esse è 0. Per compressori, pompe e ventilatori (macchine operatrici), che richiedono energia dall’esterno e la cedono al fluido, si 0. 100 In generale, nella precedente equazione si può scegliere una Superficie di 0 (vedi Controllo tale che il lavoro delle forze viscose sia trascurabile, cioè Appendice 7.B). Se si ricorda l’espressione della energia interna totale, , e si introduce la / , la (7.1) diventa funzione di stato Entalpia, dΩ
·
2
dA
(7.2) Se inoltre è considerata valida l’ipotesi di flusso stazionario, dΩ
0 Con l’ulteriore ipotesi di flusso quasi‐monodimensionale si possono eliminare gli integrali, ottenendo 2
⎛
⎞
V2
& = ⎛⎜ h + V + gz ⎞⎟m
⎜
&
&
−
+
+ gz ⎟⎟m
Q& − W
h
∑
s ∑⎜
⎟
⎜
2
2
⎠
⎠ out ⎝
in ⎝
(7.3) Se si suppone che il volume di controllo abbia un solo ingesso ed una sola uscita, dividendo per la portata massica (eguale all’ingresso ed all’uscita per l’ipotesi di stazionarietà del flusso), si ha ⎛
⎞
⎛
⎞
V2
V2
&q − w& s = −⎜⎜ h +
⎟
⎜
+ gz ⎟ + ⎜ h +
+ gz ⎟⎟ = −h0
2
2
⎝
⎠ in ⎝
⎠ out
2
2
in
+ h0
out
(7.4) La (7.4) si può anche scrivere: 101 La quantità /2
è definita Entalpia totale. Dalla (7.4) si deduce che per un flusso isentropico e fluido perfetto, in assenza di scambi di lavoro e calore (
0 e 0) si ha costante La (7.4) è l’Equazione dell’Energia in forma Termica, valida per flussi comprimibili e incomprimibili, sotto le uniche ipotesi di flusso quasi‐
monodimensionale e stazionario e per un Volume di Controllo con solamente un ingresso ed un’uscita. L’equazione (7.4) può essere riordinata in una forma più pratica per risolvere problemi e con flussi comprimibili Δ
Δ
Δ
(7.5)
con i simboli tra parentesi tonda che rappresentano rispettivamente, la differenza tra ingresso e uscita dell’entalpia, dell’energia cinetica e dell’energia potenziale, tutte riferite all’unità di massa: Δh(out − in) = hout − hin ; Δec (out − in) =
V 2 out − V 2 in
; Δe g (out − in) = g(zout − zin )
2
7.2
Equazione dell’Energia in forma meccanica L’equazione dell’energia si può anche scrivere in una forma applicabile al caso di flussi reali incomprimibili, in presenza di macchine, ad esempio nel caso di flusso nei condotti. Per ottenerla si consideri la forma termica dell’equazione dell’energia nel caso di flusso stazionario, ottenuta a partire dalla (7.2) ·
2
dA
(7.6) La (7.6) si può anche scrivere, per la definizione di entalpia 2
·
dA
(7.7) Nel caso di flusso quasi‐monodimensionale e incomprimibile essa diventa 102 out
⎛p V2
⎞
out
& sh − m
&
& (u )in
m ⎜⎜ +
+ gz ⎟⎟ = Q& − W
⎝ρ 2
⎠ in
out
& −m
& (u)in
Si può dimostrare che nel caso di flussi reali la quantità Q
è sempre minore di zero, e rappresenta le perdite di energia utile a causa degli effetti della viscosità. Pertanto, indicando tale termine con –
, (dove 0) e dividendo per la portata massica, si ottiene l’Equazione dell’Energia in forma Meccanica nelle ipotesi di flusso reale (in presenza di perdite, losses), quasi‐
monodimensionale, stazionario e incomprimibile (7.8) 2
Dove tutte le grandezze della (7.8) si intendono come energie ad unità di massa /
, o anche potenze per unità di portata massica /
/
. Nel caso di flussi comprimibili (vedi Appendice 7.A) l’equazione diventa d
Δ |
Δ
(7.9) La (7.9) si può riscrivere isolando il lavoro d’albero d
Δ |
Δ
Si osservi come una macchina operatrice (
0) effettui un lavoro che contribuisce all’incremento di pressione, all’aumento di energia cinetica e potenziale del fluido, ma anche a sopperire alle irreversibilità (
0) della trasformazione reale. 7.3
Confronto tra l’Equazione dell’Energia e l’Equazione di Bernoulli L’Equazione di Bernoulli applicata a un Volume di Controllo è valida con le seguenti ipotesi: •
fluido ideale (viscosità nulla) •
flusso stazionario 103 •
flusso incomprimibile •
flusso monodimensionale (unica linea di corrente) p out + ρ
V 2 out
V 2 in
+ γ z out = pin + ρ
+ γ z in
2
2
(7.10)
oppure, in termini di energie specifiche pout V 2 out
p
V 2 in
+
+ gz out = in +
+ gz in
ρ
2
ρ
2
(7.11)
L’equazione di Bernoulli, applicata ad una linea di flusso tra due sezioni di un condotto, mostra come l’energia totale della particella rimane costante, proprio per il fatto che nei fluidi ideali non sono presenti perdite viscose. La conseguenza di ciò è che la Linea dei Carichi Totali mantiene una altezza costante lungo la linea di flusso, come si dimostra immediatamente dividendo per l’accelerazione di gravità entrambi i membri della (7.11): 2
2
(7.12) Pertanto, l’ipotesi di flusso ideale e l’equazione di Bernoulli che ne consegue non permettono di studiare situazioni di flusso dove sono presenti intrinsecamente delle forti perdite, ad esempio nello sbocco da un condotto verso un serbatoio di grandi dimensioni. L’Equazione dell’Energia in Forma Meccanica (7.9) applicata a un Volume di Controllo è valida con le seguenti ipotesi: •
flusso reale (sono presenti perdite per attrito viscoso) •
flusso stazionario •
flusso comprimibile •
flusso monodimensionale nelle sezioni di ingresso e uscita La si riscrive per comodità: d
Δ |
Δ
(7.9) 104 O anche, d
Δ |
Δ
(7.13) Nelle ulteriori ipotesi di flusso incomprimibile (
cost e assenza di lavoro utile si ottiene la (7.8), qui riscritta per comodità (7.8) 2
In questo caso, quindi, l’energia meccanica associata alla particella fluida può variare tra ingresso ed uscita del Volume di controllo, a seconda del valore del lavoro specifico d’albero e delle perdite, e in modo analogo la linea dei Carichi Totali può variare la sua altezza. La (7.8) diventa infatti Δ
2
Δ
(7.14) Per chiarire tali aspetti si considerino due semplici casi di applicazione della (7.14). Condotto monodimensionale in assenza di macchine. E’ il caso tipico di un condotto che porta un fluido per caduta da una zona a quota maggiore ad una a quota minore. La (7.14) diventa 2
Δ
(7.15) Si osserva immediatamente dalla (7.15) che in tal caso la linea dei carichi totali all’uscita è sempre ad una quota inferiore a quella di ingresso: essendo sempre Δ
0, 105 La linea dei carichi totali ha dunque una pendenza negativa nel verso del moto del fluido nel condotto, e mostra come l’energia meccanica del flusso diminuisca per le perdite viscose. Condotto monodimensionale in assenza di perdite viscose. Si tratta ovviamente di un caso particolare, utile comunque per capire l’effetto del termine Δ
sulla Linea dei Carichi Totali. La (7.14) diventa Δ
2
(7.16) In questo caso, la Linea dei Carichi Totali in uscita può avere altezza maggiore o minore rispetto a quella di ingresso, e ciò dipende dal segno del lavoro d’albero •
se Δ
0, . Pertanto una macchina operatrice (pompa compressore) tende ad aumentare l’energia meccanica del flusso e incrementare il valore del Carico Totale •
se Δ
0, . Una macchina motrice (turbina) estrae energia dal flusso e la rende disponibile all’esterno, riduce il valore del Carico Totale ed abbassa la posizione della corrispondente Linea dei Carichi Totali Quindi sono evidenti le analogia dei termini presenti nella equazione di Bernoulli (forme (7.10‐11‐12) e in quella dell’Energia in forma meccanica (7.8‐
14). L’equazione dell’energia in forma meccanica è però uno strumento più potente per lo studio del flusso nei condotto, permette di studiare sistemi fluidodinamici nei quali sono inserite delle macchine idrauliche (pompe, turbine idrauliche) e consente di tenere conto degli effetti viscosi nella più ampia generalità di casi. 106 Appendice 7.A: Equazione dell’Energia in forma Meccanica Dalla seconda Legge della Termodinamica, per una trasformazione termodinamica ciclica reale, ricordando l’espressione della funzione di stato Entropia, S ( dS = (dQ T )rev ), si ottiene ∫
dQ
≤0
T
⇒
out
∫in
dQ
& (sout − sin ) ≤ (Sout − Sin ) = m
T
da cui, per una trasformazione reale infinitesima, dQ ≤ T dS . Dalla prima Legge della Termodinamica, per una trasformazione ideale, si ottiene T ds = dq = dh − dp ρ . Confrontando una trasformazione reale e una ideale tra gli stessi punti estremi si ha dqr ≤ dqid = dh − dp ρ Integrando nella suddetta trasformazione si può scrivere q r ≤ Δh out −in − ∫
out
in
dp
ρ
Dalla equazione dell’energia in forma termica si ha & shaft + Δh(out −in ) + Δe c ( out −in ) + Δe g ( out −in ) q& = w
pertanto, per la trasformazione reale w shaft + Δh(out −in ) + Δe c (out −in ) + Δe g (out −in ) ≤ Δh out −in − ∫
out
in
dp
ρ
Si ha dunque out
dp
in
ρ
− w shaft ≥ Δec (out − in ) + Δe g (out − in ) + ∫
affinché sia verificata l’eguaglianza occorre sottrarre a primo membro una quantità che tenga conto delle irreversibilità ( w losses ≥ 0 ): out
dp
in
ρ
− w shaft − w losses = ∫
+ Δe c (out − in ) + Δe g (out − in ) 107 Che rappresenta l’equazione dell’energia in forma meccanica per un flusso stazionario, monodimensionale e comprimibile. 108 App
pendice 7.B
B: Sforzi di taglio peer i flussi in
nterni Se co
onsideriam
mo il flusso
o in un co
ondotto, co
ome mostrato in Fig.. 6.11, il la
avoro fatto
o dagli sforrzi tangenzziali è espresso dalla formula seeguente r
v
& tang = dFtang ⋅ V dW
Per la l superficcie di conttrollo indiccata in Fig
g. 6.11 la velocità dellla particellla di fluid
do è nulla dappertuttto sulla superficie s
interna i
baagnata del tubo. Perttanto sarà nullo anch
he il contriibuto di lav
voro degli sforzi tang
genziali su
ulla parete. Fig. 7.1: Flusso in
n un condottto. Sforzi tan
ngenziali sulla parete in
nterna f
6.122 mostra inoltre i
chee dove il fluido atttraversa laa superficie di La figura conttrollo del condotto c
(
(sezioni d’’ingresso e e di uscitaa), la forzaa tangenziale è perp
pendicolaree alla velo
ocità della particella di fluido e quindi il lavoro fatto daglli sforzi tan
ngenziali è è ancora nullo n
su ta
ali superficci. In concllusione, peer un cond
dotto ferm
mo attraverrsato da un
n flusso glli sforzi taangenziali non comp
piono lavo
oro su una ssuperficie del volum
me di contro
ollo opporttunamentee scelta. Fig.7..2: Flusso in un condotto
o. Sforzi tang
genziali sullla sezione d’’uscita 109