20/03/2012
STATISTICA A – D
(72 ore)
Marco Riani
[email protected]
http://www.riani.it
Esercizio
• Esperimento aleatorio: lancio di due dadi.
• v.a. X= somma dei numeri che appaiono
nelle due facce
• Costruire
– lo spazio degli eventi
– la distribuzione di probabilità della v.a. X e
rappresentarla graficamente
– la funzione di ripartizione
– E(X)? Moda? VAR(X)?
1
20/03/2012
Esempio 1
Lancio di due dadi.
X è la somma dei numeri che appaiono nelle due
facce
X
P(X)
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
1/36
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
2/36
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
3/36
5
4/36
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
6
5/36
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
7
6/36
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
8
9
10
11
12
Ω
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
3
Esempio 1
X = somma dei risultati nel lancio di 2 dadi
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
4
2
20/03/2012
Rappresentazione grafica f(x)
E(X)? VAR(X)? Moda?
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
p(X)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F(X)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
E(X)= 2×1/36 +
3×2/36+…+12×1/36=7
VAR(X)= E(X2)-[E(X)]2
VAR(X)= 54,83-72= 5,83
VAR(X)=(2-7)2(1/36)+(3-7)2(2/36)
+…+(12-7)2(1/36)=5,83
Moda(X)=7
3
20/03/2012
Esercizio
• Dimostrare che
• f(x)=2(x-10)/50 se 10<x<15
• f(x)=2(20-x)/50 se 15<x<20
è una densità
• Rappresentare graficamente la funzione di
densità e di ripartizione
Verificare che è una densità
4
20/03/2012
Rappresentazione grafica f(x)=
densità triangolare
• Area triangolo =10×0,2/2=1
Calcolare
– Pr(X>12)
– Pr(X<10)
– Pr(X<11)
– Pr(14 < X < 18)
– E(X)?
– VAR(X)?
– Calcolare il quantile x0,95 ossia la coordinata x
che lascia alla sua destra una probabilità pari
a 0,05 e a sinistra una probabilità pari a 0,95
5
20/03/2012
Pr(X>12)
f(x)=2(20-x)/50
se 15<x<20
f(x)=2(x-10)/50
se 10<x<15
1- (Area triangolo con base 2 e altezza 0,08)=
1-2 × 0,08/2=0,92
Pr(X<11)
f(x)=2(x-10)/50
se 10<x<15
Area triangolo con base 1 e altezza 2/50=0.04
Area = 1 × 0,04/2=0,02
6
20/03/2012
f(x)=(x-10)/25
se 10<x<15
f(x)=(20-x)/25
se 15<x<20
Pr(14 < X < 18)
Pr(14 < X < 18)=0,6 (utilizzando le aree dei
due trapezi oppure il calcolo integrale)
E(X)
• Occorre calcolare il seguente integrale:
f(x)=(x-10)/25
se 10<x<15
f(x)=(20-x)/25
se 15<x<20
E(X)=15
7
20/03/2012
VAR(X)
• Occorre calcolare il seguente integrale:
VAR(X)=4,17
Calcolo del quantile x0,95
Pr=0,05
x0,95
• [(20-x0,95) 2(20-x0,95)/50] /2=0,05
• x0,95=18,42
8
20/03/2012
Metodo alternativo basato sul
calcolo integrale
• Si ottiene:
• Le soluzioni dell’equazione di secondo grado
sono 21,58 e 18,42. Naturalmente escludiamo
21,58 in quanto esterna all’intervallo di
definizione della densità
Funzione di ripartizione
9
20/03/2012
Funzione di ripartizione
ESERCIZIO 2
• Un’azienda che assembla computer rileva difetti
di assemblaggio nel 20% dei casi. Con
riferimento ad un campione di 30 computer:
• si descrivano le caratteristiche delle variabili
aleatorie “numero di difetti” e “frequenza relativa
di difetti”;
• si scriva l’espressione (senza effettuare i calcoli)
che consente di determinare la probabilità che
nel campione vi sia un numero di pezzi difettosi
maggiore di 2 e un numero di pezzi difettosi
compreso fra 2 e 5.
20
10
20/03/2012
i) X = numero di difetti
E(X) = 30⋅⋅ 0,2 =6
P =X/n= frequenza relativa
di
difetti
E(P) = 0,2
VAR (X)= 30⋅⋅0,2⋅⋅0,8 = 4,8 VAR(P)=0,2⋅⋅0,8/30= 0,053
X ∼ B(30; 0,2)
P ∼ B(30; 0,2)/30
ii)
21
Esempio 2
• Peso netto (in grammi) delle scatole di
un prodotto: X∼
∼N(797; 16)
• Calcolo della percentuale di scatole
con peso nell’intervallo 790 – 800
• Calcolo del primo decile
11
20/03/2012
Calcolo di F(z2)-F(z1)
z1 =
z2 =
790
- 1,75
•
797
0
800
x
+0,75
z
F(0,75) – F(-1,75) = 0,77337- 0,04006 = 0,7333
X∼
∼N(797; 16) Calcolo primo decile
F(z) = 0,10 (Noto)
z = -1,28 (Dalla tavola)
0,10
z=-1,28
0
x10%?
797
⇒ x10% = 791,88
12
20/03/2012
Esempio
Durata di accensione di lampade di un
certo tipo: X∼
∼N(µ
µ; σ2).
Il 10% delle lampade dura meno di 700
ore
Il 4% delle lampade ha una durata
superiore a 800 ore.
• Calcolo di media e varianza (µ
µ?; σ2?)
X0,10=-1,28
F(-1,28)=0,10
13
20/03/2012
0,10
0,04
z1
F(z1) = 0,10
F(z2) = 0,96
0
⇒
⇒
z2
z1= -1,28
z2= +1,75
µ = 742,24
⇒
σ = 33
σ2=1089
14