Università di Camerino – Corso di Laurea in Fisica: indirizzo Tecnologie per l’Innovazione
Appunti di Calcolo – Prof. Angelo Angeletti
Successioni e serie numeriche
1 – Successioni numeriche
DEFINIZIONE 1 – Si chiama successione numerica una funzione f: A → con A ≡ . I termini
della successione vengono indicati con una lettera dell’alfabeto latino (in genere una a) e con un indice numerico:
a1, a2, a3, …, an, …
Utilizzando una scrittura sintetica la successione si può scrivere nella forma {an }n∈ , o, sottointendendo l’appartenenza di n ai numeri naturali, semplicemente {an } . an è detto termine generale della successione.
DEFINIZIONE 2 – Una successione numerica {an } si dice limitata superiormente se esiste un
numero M ∈ tale che an ≤ M per ogni n ∈ . Una successione numerica {an } si dice limitata
inferiormente se esiste un numero M ∈ tale che an ≥ M per ogni n ∈ . Una successione numerica {an } si dice limitata se esiste un numero M ∈ tale che an ≤ M per ogni n ∈ .
DEFINIZIONE 3 – Una successione numerica {an } si dice non decrescente se, per ogni n ∈ , si
ha an ≤ an +1 ; se, per ogni n ∈ , si ha an < an +1 la successione si dice crescente. Una successione
numerica {an } si dice non crescente se, per ogni n ∈ , si ha: an ≥ an +1 ; se, per ogni n ∈ , si ha
an > an +1 la successione si dice decrescente.
Le successioni crescenti e quelle decrescenti si dicono anche monotone.
ESEMPIO 1 – Si dimostri che la successione il cui termine generale è an =
n −1
, è crescente.
n
Per ogni n ∈ , deve essere an < an +1 , quindi deve essere:
n −1
n
<
n
n +1
2
2
2
sviluppando i calcoli si ottiene che per ogni n > 0 si ha: ( n − 1)( n + 1) < n , ovvero n − 1 < n .
◊
ESEMPIO 2 – Si dimostri che la successione il cui termine generale è an =
1
, è decrescente.
n
Per ogni n ∈ , deve essere an > an +1 , quindi deve essere:
1
1
>
n n +1
che risulta vera per ogni n > 0 .
◊
n
ESEMPIO 3 – Si dimostri che la successione il cui termine generale è an = ( −1) , è limitata.
È facile rendersi conto che per ogni n ∈ i termini della successione o valgono 1 o valgono –1;
pertanto risulta che, per ogni n ∈ , −1 ≤ an ≤ 1 e quindi la successione è limitata.
◊
1
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DEFINIZIONE 4 – Siano {nk } una successione crescente nell’insieme dei numeri naturali e {an }
{ }
una successione numerica; an è detta sottosuccessione di {an } .
k
1
k
il termine generale della successione {an } e sia nk = 2 il sottoinsieme
n
1
k
di costituito dai termini 2 , 4 ,8,16 ,..., 2 ,... . La successione il cui termine generale è an = k , è
2
1 
una sottosuccessione della successione   .
n
◊
DEFINIZIONE 5 – Si dice che una successione numerica {an } converge ad a ∈ se, per ogni
ESEMPIO 4 – Sia an =
{
}
k
ε > 0 esiste un numero n ( ε ) ∈ , che dipende da ε, tale che per ogni n > n ( ε ) risulta an − a < ε .
Si scrive: lim an = a , o semplicemente an → a .
n →+∞
ESEMPIO 5 – Dimostrare che la successione il cui termine generale è an =
n +1
converge a 1.
n
n +1
− 1 < ε è soddisfatta con n maggiore di
n
n +1
1 1
un numero che dipende da ε. Sviluppando i calcoli si ha:
− 1 = = < ε da cui segue che la
n
n n
1
disuguaglianza è verificata per tutti gli n per i quali risulta n > . Ciò dimostra l’asserto, se si pone
ε
1
n (ε) = .
ε
◊
1
ESEMPIO 6 – Dimostrare che la successione il cui termine generale è an = non converge a 1.
n
1
Fissato ε > 0 bisogna far vedere che la disuguaglianza − 1 < ε non è soddisfatta con n maggiore
n
1
di un numero che dipende da ε. Essendo n ≥ 1 ,
− 1 < 0 , quindi la disuguaglianza diventa:
n
1
1
1
1 − < ε da cui segue che > 1 − ε . Se ε < 1 si ha n <
che dimostra che la successione data
n
n
1− ε
non converge a 1.
◊
Fissato ε > 0 bisogna far vedere che la disuguaglianza
TEOREMA 1 – Ogni successione convergente è limitata.
Omettiamo la dimostrazione.
DEFINIZIONE 6 – Si dice che una successione {an } diverge positivamente (negativamente) se,
per ogni K > 0 esiste un numero n ( K ) ∈ tale che, per ogni n > n ( K ) risulta an > K
( an < − K ) .
2
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Si scrive lim an = +∞
n →+∞
( lim a
n →+∞
n
)
= −∞ , o semplicemente an → +∞ ( an → −∞ ) .
ESEMPIO 7 – Dimostrare che la successione il cui termine generale è an = n diverge positivamente.
2
2
Fissato K > 0 deve essere n > K , ovvero, n > K ; ponendo quindi n ( K ) = K si ha la verifica
dell’affermazione.
◊
È facile rendersi conto che se an → +∞ , allora − an → −∞
TEOREMA 2 – Ogni successione numerica divergente positivamente (negativamente) non è limitata superiormente (inferiormente), ma è dotata di minimo (massimo).
DEFINIZIONE 7 – Una successione {an } si dice regolare se ammette limite finito o infinito.
TEOREMA 3 – Se una successione numerica ammette limite, questo è unico.
DIMOSTRAZIONE
1. Una successione non può convergere e divergere contemporaneamente, quindi non può essere limitata e illimitata nello stesso tempo.
2. Una successione non può divergere positivamente e negativamente perché risulterebbe limitata inferiormente e nello stesso tempo non limitata inferiormente.
3. Se per assurdo fosse an → a e an → b , con a ≠ b , posto 2ε = b − a , possiamo scegliere
n ∈ in modo che an − a < ε e an − b < ε . Si ha quindi:
2ε = b − a = ( b − an ) − ( an − a ) ≤ an − b + an − a < ε + ε = 2ε
da cui segue ε < ε , ma ciò e assurdo.
TEOREMA 4 – (Confronto limite finito) Siano {an } , {bn } e {cn } tre successioni numeriche tali
che, per ogni n ∈ , sia an ≤ bn ≤ cn . Se lim an = lim cn = a , allora lim bn = a .
n →+∞
n →+∞
n →+∞
TEOREMA 5 – (Confronto limite infinito) Siano {an } e {bn } due successioni numeriche tali che,
per ogni n ∈ , sia an ≤ bn .
i) Se an → +∞ , allora bn → +∞ .
ii) Se bn → −∞ , allora an → −∞ .
Omettiamo la dimostrazione.
Date due successioni numeriche convergenti {an } e {bn } , ossia due successioni tali che an → a e
bn → b , si dimostra che:
i)
an ± bn → a ± b
ii) an ⋅ bn → a ⋅ b
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iii)
an
a
→
bn
b
( bn ,b ≠ 0 )
Date due successioni numeriche {an } e {bn } si dimostra che:
i) se an → a e bn → +∞ , allora an ± bn → ±∞
ii) se an → a e bn → −∞ , allora an ± bn → ∓ ∞
iii) se an → +∞ e bn → +∞ , allora an + bn → +∞
iv) se an → −∞ e bn → −∞ , allora an + bn → −∞
v) se an → a ≠ 0 e bn → ∞ , allora an ⋅ bn → ∞
a
vi) se an → a ≠ 0 e bn → 0 , allora n → ∞
bn
a
vii) se an → a e bn → ∞ , allora n → 0
bn
Come nel caso delle funzioni risultano forme indeterminate i casi in cui si ha:
[ +∞ − ∞] , [0 ⋅ ∞] ,
0
 0  ,
∞
 ∞  ,
 00  ,
 
∞0  ,
 
1∞ 
 
gli ultimi tre casi si possono ricondurre alla forma [ 0 ⋅ ∞ ] .
bn
Infatti, date due successioni numeriche {an } e {bn } si ha lim an = lim e
n →+∞
b
ln ann
n →+∞
= lim e
bn ln an
n →+∞
che può
dar luogo alle forme indeterminate indicate.
n
 1
Senza dimostrazione, si ha che lim 1 +  = e .
n →+∞ 
n
{ } , con α numero reale qualunque, si ha:
Si dimostra che per la successione numerica n
α
+∞ se α >0

lim n =  1 se α =0
n →+∞
 0 se α <0

α
5
n 2 − 3n + 7
ESEMPIO 8 – Calcolare lim 3
.
n →+∞ n + n − 3n 2
Utilizzando la proprietà appena enunciata si ha:


3
7 

n 1− 3 + 5
5


1
2
2
2
−
n − 3n + 7
n
n


lim
= lim
= lim n 2 = 0
n →+∞ n 3 + n − 3n 2
n →+∞

 n→+∞
1 3
3
n 1 + 5 − 

n
 n2

5
2
4
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◊
ESEMPIO 9 – Calcolare lim
n →+∞
(
)
n + 1 − n −1 .
Risulta essere una forma indeterminata del tipo [ +∞ − ∞ ] . Razionalizzando si ottiene:
lim
n →+∞
(
)
n + 1 − n − 1 = lim
n →+∞
( n + 1) − ( n − 1) =
n +1 + n −1
lim
n →+∞
2
=0
n +1 + n −1
◊
TEOREMA 6 – Date due successioni numeriche {an } e {bn } , se {an } è limitata e bn → 0 , allora
an ⋅ bn → 0
ESEMPIO 10 – Calcolare lim
n →+∞
senn
.
n
Si ha che {senn} è una successione limitata, mentre
1
→ 0 , quindi, per il teorema appena visto, si
n
senn
=0
n →+∞
n
ha: lim
◊
Confronti asintotici.
Siano date due successioni numeriche {an } e {bn } tali che an → ∞ e bn → ∞ , si possono avere le
seguenti situazioni:
0
(i )

a
l finito ≠ 0 ( ii )
lim n = 
n →+∞ b
( iii )
n
±∞
non esiste ( iv )

(i) Si dice che {an } è infinito di ordine inferiore rispetto a {bn }
(ii) Si dice che {an } e {bn } sono infiniti dello stesso ordine
(iii) Si dice che {an } è infinito di ordine superiore rispetto a {bn }
(iv) Si dice che non sono confrontabili.
Siano date due successioni numeriche {an } e {bn } tali che an → 0 e bn → 0 , si possono avere le
seguenti situazioni:
0
(i )

a
l finito ≠ 0 ( ii )
lim n = 
n →+∞ b
( iii )
n
±∞
non esiste ( iv )

(i) Si dice che {an } è infinitesimo di ordine superiore rispetto a {bn }
(ii) Si dice che {an } e {bn } sono infinitesimi dello stesso ordine
(iii) Si dice che {an } è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a {bn }
(iv) Si dice che non sono confrontabili.
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an
= 1 si dice che le successioni sono asintotiche e si scrive an ∼ bn .
n →+∞ b
n
Nel caso in cui lim
an = 2n 2 + 3n + 1 e
ESEMPIO 11 – Le successioni
bn = 2n2
sono asintotiche, infatti:
2n 2 + 3n + 1
= 1.
n →+∞
2n 2
lim
◊
3
ESEMPIO 12 – Calcolare lim
2 n + 4n + 1
5 ( n + 1)
n →+∞
3
Poiché
2n + 4n + 1
5 ( n + 1)
3
3
∼
3
.
3
2n
2
2n + 4n + 1 2
= ; lim
=
3
5 n→+∞ 5 ( n + 1)3
5
5n
◊
n
2 +n
.
n →+∞ 2 n +1
n
1
2 +n 1
= ; lim n +1 =
2 n→+∞ 2
2
ESEMPIO 13 – Calcolare lim
n
n
2 +n 2
Poiché n +1 ∼ n +1
2
2
◊
ESEMPIO 14 – Calcolare lim
n →+∞
lim
n →+∞
n
1
n
n.
1
n = lim n = lim e
n →+∞
n
n →+∞
ln n n
= lim e
1
ln n
n
n →+∞
= lim e
n →+∞
ln n
n
0
= e = 1.
◊
α
log a n
n
In generale si ha: lim
= 0 e lim n = 0 , per ogni α > 0 e per ogni a > 1.
α
n →+∞
n →+∞ a
n
2 – Serie numeriche
DEFINIZIONE – Data una successione numerica {an } , si chiama serie numerica dei termini an la
quantità:
+∞
∑a
n
= a0 + a1 + a2 + ... + an + ...
n =0
Sia
s0 = a0
s1 = a0 + a1
s2 = a0 + a1 + a2
...
sn = a0 + a1 + a2 + ... + an
...
n
+∞
sn è detta somma parziale o ridotta ennesima della serie
∑
n =0
an e si indica con
∑ a , con n =
k
k =0
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0,1,2,….
Diremo che la serie converge, diverge o è irregolare, se la successione delle somme parziali è convergente, divergente o è irregolare; si scrive:
+∞
∑a
oppure
sn → s
n
= s.
n =0
n
ESEMPIO 15 – Serie geometrica. Sia an = q con q ∈ e sia q ≠ 1 . Si vuol calcolare la somma
+∞
della serie geometrica
∑q
n
.
n =0
Scriviamo la ridotta ennesima della serie e moltiplichiamo numeratore e denominatore per 1 − q ;
con semplici calcoli si ottiene che
n +1
1− q
2
3
n
sn = 1 + q + q + q + ... + q =
.
1− q
Si ha quindi:
1

se q < 1
 1− q
+∞
n +1

1− q
n
q = lim sn = lim
=  +∞
se q ≥ 1
n →+∞
n →+∞ 1 − q

n =0
non esiste se q ≤ −1


∑
+∞
Più in generale, se q < 1 , si ha:
∑
k
n
q =
n=k
q
.
1− q
+∞
Infatti:
∑
+∞
n
k
q = q +q
k +1
+q
k +2
+q
k +3
k
2
(
3
)
+ ... = q 1 + q + q + q + ... = q
k
∑
k
n
q =
n =0
n=k
q
1− q
◊
ESEMPIO 16 – Serie armonica. Non ne diamo la dimostrazione, ma si ha che la serie armonica
+∞
1
1
1
1
∑ n = 1 + 2 + 3 + 4 + ....
n =1
diverge positivamente.
◊
+∞
ESEMPIO 17 – Serie armonica generalizzata. La serie armonica generalizzata
1
∑n
α
converge
n =1
per α>1 e diverge positivamente per α<1.
◊
+∞
ESEMPIO 18 – Calcolare la somma della serie
i
1
∑ n ( n + 1) .
n =1
La serie data, detta serie di Mengoli[ ], è un esempio di serie telescopica; si ha:
[i] Pietro Mengoli (Bologna, 1626 – Bologna, 1686) insigne matematico i cui studi anticipano di circa trent’anni quelli
di Leibniz e Newton sul calcolo infinitesimale. Nella sua opera Geometricae elementa speciosae (1659), anticipò
Cauchy relativamente al concetto di limite e di integrale definito.
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1
1
1
= −
n ( n + 1) n ( n + 1)
per cui:
1 
1
 1 1 1 1 1
1
sn = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −
 = 1−
n +1
 2  2 3 3 4
 n n +1 
e quindi
+∞
1
∑ n ( n + 1) = lim s
n →+∞
n =1
n
1 

= lim  1 +
 =1
n →+∞ 
n +1 
◊
TEOREMA – Condizione necessaria affinché una serie numerica converga è che an → 0 .
+∞
Si ha infatti che se la serie converge, allora
∑a
n
= s e quindi sn → s ; ne segue che:
n =0
an = ( sn − sn −1 ) → ( s − s ) = 0 .
2.1 – Serie a termini positivi
In questo paragrafo daremo alcuni criteri di convergenza per le serie a termini positivi, ossia serie
per le quali si abbia: an > 0 per ogni n ∈ .
Criterio del confronto
+∞
Siano
+∞
∑ a e ∑b
n
n =0
n
due serie numeriche a termini positivi, se, sa un certo valore di n in
n =0
poi si ha an ≤ bn , allora:
+∞
i) se
+∞
∑b
n
converge, converge anche
n =0
∑a
n
n =0
+∞
ii) se
∑a
+∞
n
∑b
diverge, diverge anche
n
n =0
n =0
Confronto asintotico
+∞
Se an ∼ bn , allora
+∞
∑ a e ∑b
n
n =0
n
hanno lo stesso carattere, ossia o convergono entrambe o
n =0
divergono entrambe.
Criterio della radice (o di Cauchy)
Se esiste lim n an = l , allora :
n →+∞
i) se l > 1 la serie diverge;
ii) se l < 1 la serie converge
iii) se l = 1 non si può dire nulla.
+∞
ESEMPIO 19 – La serie
∑
n =1
n
a
, con a ≥ 0 converge.
n
n
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Infatti, per il criterio della radice si ha: lim
n →+∞
n
an
a
= lim = 0 < 1
n
n →+∞ n
n
◊
+∞
ESEMPIO 20 – Determinare il carattere della serie
∑n a
α
n
, con a > 0 e α ∈ .
n =1
Si ha: lim
n →+∞
n
α
n
n a = lim an = a [ii] da cui segue:
α
n
n →+∞

a < 1


a > 1


a = 1

converge
diverge
α < −1 converge

α ≥ −1 diverge
◊
Criterio del rapporto (o di D’Alembert)
a
Se esiste lim n +1 = l , allora :
n →+∞ a
n
i) se l > 1 la serie diverge;
ii) se l < 1 la serie converge
iii) se l = 1 non si può dire nulla.
+∞
ESEMPIO 21 – La serie
1
∑ n! converge.
n =0
1
( n + 1) ! = lim 1 = 0 < 1 . Si dimostra inoltre che
Infatti, per il criterio del rapporto si ha: lim
n →+∞
n →+∞ n + 1
1
n!
+∞
1
∑ n! = e
n =0
◊
2.2 – Serie a termini di segno variabile – Assoluta convergenza
+∞
Se
∑a
+∞
n
è convergente, allora anche
n =1
∑a
n
è convergente. In questo caso si parla di assoluta
n =1
convergenza.
ATTENZIONE: non è vero il contrario.
ii
Si ricordi che lim
n →+∞
n
n =1
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+∞
ESEMPIO 22 –
∑ ( −1)
n
n =1
+∞
Infatti
∑
n =1
1
( −1) α =
n
n
1
converge se α > 1 .
α
n
+∞
1
∑n
α
che è la serie armonica generalizzata che, come si è visto
n =1
nell’esempio 17 converge per α > 1 .
◊
2.3 – Serie a termini di segno alterno – Criterio di Leibniz
+∞
Sia data la serie a segni alterni
∑ ( −1) a
n
n
con an > 0 per ogni n ∈ . Il criterio di Leibniz affer-
n =1
ma che, se: la successione {an } è decrescente (ossia per ogni n ∈ deve essere an > an +1 ) e
lim an = 0 , allora la serie converge.
n →+∞
+∞
ESEMPIO 23 –
∑
n =1
( −1)
n
n!
1
converge. Infatti la successione   è decrescente e converge a zero.
 n! 
◊
+∞
ESEMPIO 24 –
∑
n =1
( −1)
n
n
1 
converge. Infatti la successione   è decrescente e converge a zero.
n
◊
+∞
ESEMPIO 23 –
∑ ( −1)
n =2
n
n −1
converge.
2
n +n
n −1
n −1
n
 n −1 
La successione  2
=
>
per
 è decrescente; infatti si ha che 2
n + n n ( n + 1) ( n + 1)( n + 2 )
n + n
n −1
= 0.
( n − 1)( n + 2 ) > n 2 ovvero per n − 2 > 0 . Inoltre nlim
→+∞ n 2 + n
◊
10