(1) Eq.Nav-Stok in 3D
E’ possibile scrivere la seconda legge di Newton per il moto di un fluido come ρ Du = ρ ∂ u + ρu ⋅ ∇ u
Dt
∂t
Il membro di sinistra rappresenta la seconda legge del moto (l’accelerazione) mentre il membro di destra è
la somma delle forze (per unità di volume)che agiscono sulla particella. L’obiettivo è quello di dare un senso
più fisico a questa equazione considerando la “natura” di queste forze che determinano la dinamica del
fluido. Alcune forze sono applicate esternamente (i.e. Campo di Gravità), altre sono dovute al gradiente di
pressione e all’azione viscosa (attrito intrinseco in un fluido reale). Quest’ultima, per la precisione, è legata
alla velocità di flusso del fluido. Sia l’azione di pressione che l’azione viscosa generano forzanti che agiscono
attraverso superfici arbitrarie qualunque all’interno del fluido e, in generale, la forza che agisce su una
singola particella di fluido è l’effetto netto di queste forzanti sulla sua superficie. Per la pressione è possibile
affermare che la forza netta per unità di volume in direzione x risultante da una variazione di pressione in
tale direzione è -∂p/∂x e per un generico campo di pressione la forza totale per unità di volume è -∇p.
In generale le forzanti viscose sono opposte al moto relativo tra due particelle vicine e dipendono,
generalmente dal gradiente di velocità del fluido. La conseguenza è la generazione di una forza uguale ed
opposta alla direzione del moto e che dipende, oltre che dalla velocità,dalle caratteristiche fisiche del
2
fluido. Matematicamente questo termine è esprimibile come µ ∇ u (le componenti y e z avranno
rispettivamente v e w come componenti della velocità). L’equazione finale, dunque, risulta essere
Du ∂ u
ρ
=
+ ρu ⋅ ∇ u = −∇ p + µ ∇2 u + Fext
Dt ∂ t
E’ un’equazione dinamica che esprime la seconda legge di newton per il moto di un fluido di densità
costante. (u vettore). Si nota che è un’equazione differenziale alle derivate parziali NON-LINEARE e tale
caratteristica è responsabile delle difficoltà matematiche riscontrabili in fluidodinamica varietà e
complessità di fenomeni di dinamica fluida.
(2) Eq.Eulero 3D
In alcuni casi particolari è possibile trascurare, nell’eq di N-S, il termine di viscosità. Per esempio in flussi di
fluidi con elevato numero di Reynolds il termine viscoso è trascurabile. Se ci mettiamo anche in un tubo
orizzontale escludiamo la forza di gravità. Annullando anche qualsiasi altro tipo di forza esterna, l’equazione
di N-S risulta essere (per un flusso stazionario di fluido incomprimibile) ρu ⋅ ∇ u = −∇ p . Questa è l’equazione
di Eulero per un modo senza attrito. Quando viene applicata il fluido, in ogni suo punto, ha
un’accelerazione direttamente legata al gradiente di pressione. Tale situazione si può anche applicare ad un
Du
flusso non stazionario generalizzando la situazione:
.E’ da notare che questo tipo di
ρ
= −∇ p
Dt
approssimazione riduce l’ordine dell’equazione
differenziale .
(3) Eq. di Vorticità in 3D
E’ possibile ottenere un’equazione di vorticità per un fluido incomprimibile, in 3D, applicando l’operatore
Rotore all’equazione di N-S, avendo posto Fext = 0. Ricordiamo l’identità vettoriale
∇ × Hu ⋅ ∇ uL = u ⋅ ∇ H∇ × uL − H∇ × uL ⋅ ∇ u + H∇ ⋅ uL H∇ × uL nella quale l’eq. di continuità annulla l’ultimo
termine e la divergenza di un rotore è nulla. Si ottiene allora la seguente equazione, ponendo ω=∇×u
∇ρ×∇p
∂ω
Dω
[omessi +
e posto Fext=0]
+ u ⋅ ∇ω − ω ⋅ ∇ u = ν ∇2 ω = ω ⋅ ∇ u + ν ∇2 ω
ρ2
∂t
Dt
(Eq Vorticità in 3D)
L’ultima espressione dà il rateo di cambio della vorticità di una particella di fluido. Il termine di pressione
scompare perché compare all’interno di un termine conservativo, ma per compensare questa
semplificazione l’equazione coinvolge la velocità stessa al pari della vorticità. Si nota che l’azione della
viscosità produce una diffusione di vorticità lungo un gradiente di vorticità: un cambiamento netto della
vorticità di una particella di fluido deriva dalle variazioni spaziali del rateo di diffusione. Il termine ω·∇u
invece rappresenta l’azione delle variazioni di velocità sulla vorticità stessa. Se prendiamo un fluido ideale
a viscosità nulla possiamo integrare l’equazione di vorticità, essendo essa di I ordine e lo possiamo fare per
via numerica con il metodo di Eulero.
(4) Eq. di Vorticità in 2D e Stream Function
Per un fluido incomprimibile vale chiaramente che div u = 0 , cosicché uno possa analogamente scrivere che
u = ∇xA dove A può essere interpretato come un vettore di velocità potenziale.Ora, dal momento che A
rimpiazza un vettore variabile,u,in generale tale operazione non sembra essere utile.In realtà lo è in un
flusso 2D,dove solo una componente di A è nulla. In tale flusso,per esempio,la div u=0 diventa ∂ u + ∂ v = 0
∂x ∂ y
∂ω
(Eq Vorticità in 2D)
+ u ⋅ ∇ω = µ ∇2 ω
∂t
∂ψ
∂ψ
E tale espressione è sempre soddisfatta introducendo una funzione ψ tale che
u=
, v =−
∂y
∂x
La ψ è detta stream function poiché è costante lungo una linea di flusso, infatti
∂ψ
∂ψ
dψ =
dx +
dy = − vdx + udy Ed essendo che, su una linea di flusso, dx/u=dy/v, si vede che dψ=0.
∂x
∂y
Prendo ora una porzione di fluido a bassa profondità in modo da poter
→
considerare il mio sistema come se fosse in 2D: posso affermare che →u = k × ∇ψ dove in questo caso la
ψ rappresenta le onde di superficie del sistema mentre k è il versore del flusso. E’ ovvio che
→
→
∇ψ=[ψx,ψy]dove ψ=ψ(,t),
x ma allora k × ∇ψ = @−ψy, ψxD = →
u e ottengo le equazioni del moto di Hamilton
dove però l’hamiltoniana, la psi, non è costante né nello spazio,né nel tempo (Caos Hamiltoniano).Con tali
→
definizioni possiamo affermare che, essendo ω = ∇ × u = A0, 0, −∇2 ψ E, l’equazione di vorticità possa
essere scritta nel seguente modo:
∂∇2 ψ
In caso di quasi stazionarietà la derivata temporale è trascurabile e l’equazione
+ J Iψ , ∇2 ψ M = 0
∂t
si riduce all’annullamento dello jacobiano. Tale risultato è importante, perché
J def
= gx fy − gy fx = J Hg, fL J=0 è verificato solo quando ∇2ψ=f(ψ),comunemente detto “funzionale della
stream function”, che mi identifica le varie “tipologie di vortice”.Tale
espressione è detta Equazione di Poisson. TUTTO PER ORA VALE PER UN
FLUIDO NON VISCOSO E NON SOGGETTO A FROZE ESTERNE E
INCOMPRIMIBILE.
(5) Bilancia Geostrofica su una terra rotante – Previsione del tempo
Poniamoci in un punto arbitrario sulla superficie di una sfera rotante attorno al proprio asse secondo
→ →
→
ˆ
Ω = Ω kinerz Posso prendere l’equazione di N-S e aggiungervi, a sinistra,il termine rotazionale 2 Ω × u ,
senza considerare attrito e inserendo l’azione del campo gravitazionale e trascurando il contributo dovuto a
forze esterne (suppongo di essere nello spazio) e la derivata temporale totale di u,supponendo le masse di
fluido molto lente alla superficie della sfera e dunque quasi stazionarie. Il rimanente allora risulta essere
→ →
ˆ
2 ρ Ω × u = −∇ p − ρg k Del quale cerchiamo di valutare alcuni termini: innanzitutto ne calcoliamo il prodotto
ˆ → →
ˆ
ˆ →
ˆ
esterno con il versore k, ottenendo i seguenti passaggi: 2 ρ k × JΩ × →uN = − k × ∇ p 2 ρΩSinθ k × Jk × uN = − k × ∇ p
ˆ
ˆ
k× ∇p
2 ρΩSinθ BJ→k ⋅ →uN ⋅ →k − J→k ⋅ →kN ⋅ →uF = − ˆk × ∇ p 2 ρΩSinθ B→u − →u vert F = k × ∇ p →
uorizz =
2 ρΩSinθ
Ho dunque ottenuto un bilancio tra le forze di coriolis (dovute alla rotazione) e le forze legate al gradiente
di pressione. Il termine uorizz rappresenta la velocità orizzontale del vento in atmosfera o, analogamente,
quella orizzontale della corrente oceanica!Da notare che la teta è la latitudine, quindi più vicino sono
ˆ
→
all’equatore e più il fluido è veloce!Si può sintetizzare uorizz = k × ∇ ψ dove la ψ è la streamfunction e
fisicamente rappresenta la superficie che corrisponde alle onde nel campo di pressione.
(6) Dinamica di vortici in 2D fino all’eq. di Poisson ed esempi
Per Poisson e vortici in 2D vedi il P.to (4). Aggiungiamo che l’equazione di poisson ci dà la possibilità di
capire e studiare il flusso vorticoso planare e in stato stazionario di un fluido incomprimibile. Il suo
comportamento analitico è di complicata (anzi complessa) analisi, ma è possibile fare alcuni esempi di
utilizzo per apprendere meglio la sua funzionalità.
Equazione di Poisson per dinamica di Schrodinger nel piano: prendiamo per esempio l’equazione di
2
Schrodinger nel piano iψt + ∇ ψ + U Hx, y, tL ψ = 0 per la quale è ragionevole assumere che il potenziale
F Hψ L
possa essere U Hx, y, tL = − ψ . Questa espressione connette il potenziale con il funzionale. Il
vantaggio che dà l’eq.di Sch. È che essa mette l’evoluzione temporale nelle interazioni vorticose. Se
prendiamo il caso stazionario si può estrudere la derivata seconda e assegnando al potenziale una
configurazione appropriata si può, per esempio, giungere alla condensazione di Bose-Einstein
2
( U Hx, y, tL = 2 » ψ » +Uext Hx, y, tL ). Per l’applicazione alle onde oceaniche di superficie, il potenziale
esterno può includere forzanti esterne come vento, dissipazione, effetti batimetrici, ecc. per esempio
2
ponendo il caso speciale di U(x,y,t)=1 si ha l’equazione di Helmotz ∇ ψ + ψ = 0 mentre per potenziali più
complicati si hanno soluzioni più complesse che fanno riferimento a flussi di diverso tipo.
(7) Premio Clay
Il Premio Clay o Millennium Prize è stato istituito dall'Istituto matematico Clay (CMI) il 24 maggio 2000 per
la soluzione dei cosiddetti "problemi per il millennio". I sette problemi sono considerati dal CMI i "più
importanti problemi classici che hanno resistito ai tentativi di soluzione nel corso degli anni". La prima
persona che risolverà uno dei problemi vincerà $ 1.000.000 messo in palio dal CMI. Il montepremi totale
quindi ammonta a $ 7.000.000.Durante l'annuncio del premio il CMI evidenziò il parallelo con i problemi di
Hilbert, che vennero proposti nel 1900, e ebbero un sostanziale impatto sulla matematica del XX secolo. Tra
questi problemi figura la soluzione analitica delle equazioni di Navier Stokes……
(8) Strato Limite e corpi rigidi in idrodinamica
Generalità sullo strato limite: il fatto che un flusso all’esterno degli strati limite sia irrotazionale ci dà
un’altra possibilità di valutare il processo di formazione degli strati limite stessi. Le particelle di fluido
2
possono acquisire vorticità solamente dalla diffusione viscosa ( ν ∇ ω ). L’azione della viscosità agisce sullo
strato limite attraverso la necessità di soddisfare le condizioni di “no-slip”.Come conseguenza, la vorticità è
introdotta nel flusso allo strato limite e poi si diffonde da lì. Dunque lo strato limite può essere definito
come regione di apprezzabile vorticità. Un corpo rigido inserito all’interno di un flusso di fluido può creare
diverse situazioni in base a varie caratteristiche, sia del fluido, che dell’oggetto. Un’analisi completa
richiede l’introduzione del Numero di Reynolds (vedi più avanti) ma basti considerare che,
tendenzialmente, in un fluido reale (e quindi viscoso) un oggetto rigido è fautore della creazione di una
regione di turbolenza caotica, nei pressi dello stesso. Al contrario, in un fluido a viscosità nulla, la presenza
dell’oggetto rigido non modificherebbe per nulla il corso del flusso. Piu’ alto è il numero di Reynolds e più
sottile è lo strato limite.
(9) Numero di Reynolds e sua derivazione riscalando le Eq. di N-S
Prendiamo l’equazione di continuità per un fluido incomprimibile e l’equazione di N-S posto F=0 ed
espandiamole in coordinate cartesiane(ragioniamo solo per il termine u ma vale anche per v e w):
introduciamo la lunghezza e la velocità di scala, L e U, e le utilizziamo per riscalare le variabili in gioco in
modo da ottenere dei termini adimensionali fisicamente significativi: x’=x/L , y’=y/L , z’=z/L , t’=tU/L ,
u’=u/U , v’=v/U , w’=w/U , (∇p)’= ∇p/ρU2 . La scelta, ovviamente non è univoca U e L sono grandezze
caratteristiche che si riferiscono all’apparato e al sistema in esame.Scelte diverse non modificherebbero il
U ∂ u' ∂ v ' ∂ w '
ragionamento. Sostituendo nelle eq espanse cartesianalmente si ha che:
+
+
=0
L ∂ x' ∂ y' ∂ z'
(Continuità + NS – espressioni simili per v e w)
U2 ∂ u' U2 ' ∂ u'
∂ u'
∂ u'
U2 ∂ H∇ pL' νU ∂2 u' ∂2 u' ∂2 u'
+
u
+ v'
+ w'
=−
+
+
+
L ∂ t' L
L ∂ x'
∂ x'
∂ y'
∂ z'
L2 ∂ x' 2 ∂ y' 2 ∂ z' 2
'
'
E quindi, sinteticamente, si ha che ∇'·u =0 dalla continuità, e che ∂ u + u' ⋅ ∇' ⋅ u' = −∇ H∆pL' + 1 ∇' 2 u'
Re
∂ t'
Dove Re è il numero di Reynolds Re=UL/ν . Questo risultato è improtante perché, otlre a confermare il
fatto che il numero di Reynolds è legato alla viscosità del flusso in esame, permette, invece di studiare
separatamente variabili come L,U,ro e nu, è possibile ricondurre il tutto allo studio della variabilità del solo
numero di Reynolds Re.
(10)Significato fisico Reynolds, cilindro in un flusso costante in funzione di Re (Alto o basso)
Si può dare un’interpretazione fisica a Re e ciò è utile nell’apprendimento dei processi dinamici. Prendiamo
l’ultima equazione scritta, quella di NS con i termini adimensionali. Nel caso stazionario è possibile notare
come Re~ (forze di inerzia)/(forze viscose).
U2
U
Questo si può mettere in evidenza utilizzando la riscalazione usata in precedenza:
u ⋅ ∇ u ∼ , ν ∇2 u ∼ν 2
u ⋅ ∇ u UL
L
L
∼
= Re . Dunque il numero di Reynolds indica l’importanza
ν ∇2 u ν
Relativa di due processi dinamici. In un generico punto nel flusso il rapporto di questi due termini non sarà
esattamente uguale al numero Re, ma le loro grandezze caratteristiche saranno incluse in tale rapporto.
Basso Re: in tale caso si vede che le forze viscose dominano su quelle di inerzia così tanto che le ultime
hanno un ruolo trascurabile nella dinamica del flusso. Possiamo allora trascurare la derivata convettiva
1 '2
2
∇ u' dimensionalmente ∇p=µ∇ u
nell’equazione del moto del flusso ottenendo 0 = −∇ ' H∆p'L +
Re
(Il termine di pressione va mantenuto per continuare a far coincidere il numero di equazioni disponibili e il
numero di incognite del problema). Dunque in ogni punto del fluido c’è un effettivo bilancio tra la pressione
locale e le forze viscose (equazione di “Creeping Motion”).Possiamo individuare due caratteristiche salienti:
la prima è che le soluzioni del Creeping Motion sono reversibili, quindi si può dire che il flusso DestraSinistra attraverso un ostacolo solido è il medesimo anche se il flusso corre in direzione opposta SinistraDestra. La seconda caratteristiche dei Bassi Re è che l’interazione viscosa si estende su larghe distanze, in
quanto le particelle di fluido , a Bassi Re, interagiscono tra di loro viscosamente anche quando la loro
distanza reciproca è elevata rispetto alle loro dimensioni. Vedi esempio del cilindro: la velocità è nulla sulla
sua superficie, ma man mano che ci si allontana la velocità del fluido aumenta gradatamente e solo ad una
certa distanza è a pieno regime.
Alto Re: le forze viscose sono trascurabili se comparate con le forze di inerzia. Vale che ρu·∇u=-∇p
detta anche equazione di Eulero per un moto non viscoso. Quando viene applicata, il fluido, in ogni suo
punto, ha un’accelerazione direttamente correlata al gradiente di pressione. Si può anche applicare ad un
flusso non stazionario, introducendo la derivata parziale di u rispetto al tempo e ottenendo dunque che la
derivata totale di u sul tempo è l’opposto del gradiente di pressione nel fluido! IMPORTANTE: si è ottenuta
una riduzione dell’ordine di derivazione dell’equazione differenziale e dunque….linearità…blabla!
N.B. Bisogna però tenere in conto le condizioni al contorno, che impongono comunque che sui bordi di un
ipotetico cilindro la velocità sia nulla e le forze viscose non trascurabili concetto di strato limite entro il
quale le condizioni di alto numero di Reynolds non hanno effetto sul profilo di velocità. PIU’ ALTO E’ IL
NUMERO RE E PIU’ SOTTILE E’ LO STRATO LMITE!.
(11) Jet Idrodinamici
Un Jet idrodinamico è prodotto quando un fluido viene espulso da un’apertura/fessura. Generalmente per
numeri di Reynolds bassi il fluido fuoriuscente dall’apertura viene espulso in tutte le direzioni possibili. Ad
alti numeri di Reynolds, invece, un Jet, come per esempio una scia, è particolarmente lungo e sottile e per
esso si possono utilizzare le equazioni del moto nella forma approssimata per lo strato limite. E’ da notare
che I Jet diventano particolarmente instabili per numeri di Reynolds eccessivamente bassi e difficili da
descrivere con una semplice matematica lineare.
(12) Traccianti passive e Fluidodinamica Caotica
Chiacchiere ed esempi (i.e. palline sulla superficie di un fluido)
(13) Teorema di Helmotz
Il teorema di Helmholtz afferma che un campo vettoriale è completamente determinato quando sono noti,
in ogni punto del suo dominio, la sua divergenza e il suo rotore; inoltre il campo vettoriale può essere
espresso come somma di un campo vettoriale irrotazionale e di un campo vettoriale solenoidale. Per
esempio prendiamo in esame il campo gravitazionale e applichiamo il teorema di Helmotz (operazione più
→
semplice che applicarlo direttamente alle eq di NS). Sappiamo che ∇ × g = o poiché non esistono pozzi
→
gravitazionali mentre ∇ ⋅ g = 4 πGρ , cioè la divergenza di un campo è uguale alla sua sorgente. Allora vale
→
che g = ∇φ e φ può essere calcolato, appunto, usando il teorema di Helmotz. Infatti il fatto che g sia uguale
ad un gradiente di uno scalare deriva dalla conoscenza che il rotore di g è nullo (e quindi anche il rotore di
qualunque scalare lo è!)Poi inserendo g così definito entro la divergenza di g si ricava φ per separazione di
variabili e quindi ecco ricavato il campo g a partire da divergenza e rotore!Lo stesso si può fare per ogni
campo vettoriale.
(14) Funzionamento di un’ala
L’ala è un oggetto che permette di sfruttare al massimo le proprietà fluidodinamiche di un flusso
di fluido in moto, convertendo la risposta dinamica in una forza parallela e contraria e quella di
gravità. Essa sfrutta, sostanzialmente, i principio della portanza. La è la componente
perpendicolare al moto della forza aerodinamica che agisce su un corpo immerso in un fluido
(come ad esempio un aeromobile in volo nell'aria). Al contrario la resistenza è la componente
parallela al moto. La portanza è generata dalla differenza di pressione tra la superficie superiore
ed inferiore di un corpo. Per spiegare questa differenza di pressione si possono impiegare diverse
leggi fisiche fondamentali quali i principi della dinamica, l'equazione di Bernoulli, la legge di
conservazione della massa e della quantità di moto (che è una formulazione del secondo principio
della dinamica). Come risultato vi sono diverse interpretazioni fisiche con differente grado di
rigore scientifico e complessità. La generazione della portanza può essere attribuita alla
distribuzione di pressione intorno al corpo che attraversa il fluido. Su di un'ala, la produzione della
portanza è dovuta alle differenze di pressione tra il ventre e il dorso. Tale differenza di pressione
genera una forza risultante aerodinamica F la cui componente ortogonale alla direzione del moto è
la portanza L, mentre la componente parallela e contraria alla velocità è la forza di resistenza D.
Tipicamente, per un'ala composta da due semiali simmetriche, tale forza giace nel piano di
simmetria.
(15)
Streamlines,streamtubes,streaklines
Una linea di flusso è definita come una linea continua all’interno del fluido per la quale la
tangente, in ogni punto, punta nella direzione della velocità in quel dato punto. La sua relazione
con il campo di velocità è analoga alla relazione che c’è quando si parla di linee di forza del campo
elettrico. Le configurazioni delle linee di flusso sono utili in quanto danno un’idea pittorica del
flusso in esame. Le linee di flusso per un campo di velocità noto (u,v,w) sono rappresentate dalle
soluzioni delle coppie di equazioni differenziali dx/u=dy/v=dz/w . Due linee di flusso non si
possono mai intersecare tranne che nel caso di velocità nulla. Altrimenti si avrebbe un’antifisica
situazione con una velocità avente due direzioni distinte. Un tubo di flusso invece è una regione di
fluido tubulare, entro il fluido, circondata da linee di flusso. Siccome le linee di flusso non si
possono intersecare, le stesse linee di flusso passano attraverso il tubo toccandone tutti i punti per
tutta la sua lunghezza. Utilizzando la legge di conservazione della massa, per un fluido
incomprimibile, si può facilmente dire che la velocità del fluido è inversamente proporzionale alla
sezione del tubo di flusso. Pertanto dove le linee di flusso si addensano la velocità è maggiore,
dove sono rare, la velocità è minore. E’ importante notare che tutto ciò vale per un fluido
incomprimibile. Una streakline, invece, è il luogo geometrico di tutte le particelle di fluido che
sono precedentemente passate per un particolare punto fissato a priori. Infine diciamo che in un
flusso stazionario linee di flusso e streaklines sono identiche, mentre in un flusso non stazionario
sono due caratteristiche distinte.
(16)
Eq. diBernoulli
Ci si chiede quale possa essere la distribuzione di pressione (e non solo quella di velocità) per un
flusso stazionario confinato in un tubo di flusso. Aggiungiamo anche condizioni di non viscosità!
L’equazione di bernulli mette in relazione le variazioni di velocità e le variazioni di pressione lungo
una linea di flusso. Consideriamo dunque una linea di flusso di lunghezza l fissata. In ogni suo
punto la componente dell’equazione di Eulero nella direzione della linea è ρq ∂ q = − ∂ p
∂l
∂l
Dove q è la magnitudine della velocità, q=|u|. Tale equazione discende dal
fatto che, per definizione di linea di flusso, la componente di velocità su di essa è q mentre la
componente normale è nulla. Integrando e ricordando che ro è costante, si ottiene facilmente che
1/2 ρq2+p=cost lungo una streamline . Questa è l’equazione di Bernoulli. Dunque, sun una
streamline, dove la velocità è alta, la pressione è bassa e viceversa. Si può interpretare l’equazione
come segue: quando la pressione è in aumento nella direzione del flusso, una particella di fluido
compie un lavoro contro il gradiente di pressione e quindi perde energia cinetica. Quando invece
la pressione decresce tale particella guadagna energia cinetica che converte in velocità.
Si può anche arrivare a tale risultato usando le equazioni di NS, infatti vale l’identità vettoriale .
1
∇ Hu ⋅ uL − u × H∇ × uL Ma per un flusso irrotazionale il rotore di u è nullo e quindi si giunge
u ⋅ ∇u =
2
1
1
al fatto che u ⋅ ∇ u = ∇ q 2da cui si evince che ∇ K ρq2 + pO = 0 e dunque
2
2
dell’argomento. La costante di Bernoulli è la stessa per ogni linea di flusso
si
ha
la
costanza
(17)
Turbolenza 2 e 3D:
Discorso da fare su alti e bassi Numeri di Reynolds (Punto 10). Il discorso sulla turbolenza, in
generale, va impostato sul fatto matematico che le equazioni di N-S non sono lineari e che è
impossibile stabilire a priori delle condizioni iniziali e al contorno univoche per lo stesso sistema in
esame (esempio della dinamica caotica rilevabile con l’uso di traccianti passive poste sulla
superficie di un fluido). Una piccola variazione delle condizioni al contorno o delle condizioni
iniziali possono generare un’evoluzione dinamica totalmente differente e qusto nasce proprio
dalla non linearità delle eq di N-S. Si può citare la “Trasformazione del panettiere”, per la quale
una pallina di inchiostro inserita in una pentola d’acqua poco profonda porta ad un dispiegamento
stratificato dell’inchiostro nell’acqua. Questa trasformazione, se applicata più volte, porta ad una
chiara e netta dinamica caotica! Esempio del po’ al Valentino!!!!!
(18)
Fluidi stratificati e onde interne
Per quanto riguarda la stratificazione dei fluidi si può portare all’attenzione il comportamento
dell’acqua di mare, la cui densità non dipende solamente dalla temperatura bensì anche dalla
salinità. Quest’ultima caratteristica dipende fortemente dalle condizioni climatiche atmosferiche
(esterne) e dalle correnti oceaniche (interne) e può appunto, in molti casi, portare ad una
stratificazione delle acque. Per esempio l’oceano pacifico, fortemente irraggiato dal sole e quindi
molto caldo, presenta la superficie più salata e quindi più densa della parte sottostante. Si può
quindi immaginare una doppia stratificazione, come se si creasse un cocktail a due strati. La linea
di separazione tra i due strati si comporta un po’ come la superficie. Viene detta termoclino e può
essere descritta da una stream function analoga a quella utilizzata per descrivere le onde di
superficie. Da qui nasce il discorso sulle onde interne (Solitoni) e sulla loro propagazione
nell’oceano profondo. E’ ormai chiaro, dopo numerose misure ed esperimenti, che i Solitoni
Interni o le Onde Solitarie sono caratteristiche salienti di molte regioni oceaniche del globo.Inoltre
l’influenza di questi fenomeni risulta sempre più incidente su varie attività umane quali la ricerca
oceanica, la trivellazione e l’esplorazione per ricerca di nuove fonti energetiche. (esempio
piattaforma!).Attualmente una comprensione completa di tali fenomeni è assente, causa la non
linearità e la difficoltà di misura. Per fissare un approccio spettrale di tipo non lineare è bene avere
familiarità con l’analisi di Fourier, fondamentale per analizzare le serie temporali e dare loro un
significato fisico comprensibile. Esse infatti possono sempre essere scomposte in un largo numero
di onde sinusoidali con fissate ampiezze, frequenze e fasi. Le onde sinusoidali sono i mattoni
fondamentali per descrivere il moto ondoso lineare. D’altro canto, invece, le serie temporali non
lineari possono essere scomposte in funzioni di base non lineari. Per esempio le onde di stole, le
onde cnoidali, vari tipi di solitoni positivi e negativi e vortici! Una nota equazione che tenta di
descrivere il fenomeno dei Solitoni è la KdV Differential Equation. E’ un’equazione differenziale,
nonlineare, alle derivate parziali per una funzione φ di due variabili reali spazio x e tempo t:
con ∂x e ∂t riferiti alla derivazione parziale rispetto a x e t.la costante 6 di fronte all’ultimo termine
è arbitraria, ma non di grande significatività: moltiplicare t, x, and φ per una costante può essere
usato per rendere i coefficienti di ognuno dei tre termini uguale a una qualsiasi costante diversa
da zero. Consider solutions in which a fixed wave form (given by f(x)) maintains its shape as it
travels to the right at phase speed c. Such a solution is given by φ(x,t) = f(x-ct). This gives the
ordinary differential equation