Definizioni
Fluido
E’ un corpo materiale che può subire grandi variazioni di forma sotto l’azione
di forze comunque piccole che tendono a diventare trascurabili quando la
velocità di deformazione tende ad annullarsi
Un fluido non resiste ad apprezzabili sforzi di trazione
In particolare, i fluidi possono essere distinti in due grandi classi:
LIQUIDI: Oppongono grande resistenza alle variazioni di volume (poco
comprimibili)
GAS:
Forze di modesta entità ne modificano il volume (molto
comprimibili)
Definizioni
Grandezze fondamentali per descrivere il comportamento di un fluido sono:
•lunghezza (nel S.I. si misura in metri)
•massa (nel S.I. si misura in chilogrammi)
•tempo (nel S.I. si misura in secondi)
Caratteristiche dei fluidi
DENSITA’ r:
misura la massa dell’unità di volume. Nel S.I. si misura in kg/m3
Per l’acqua r vale circa 1000 kg/m3
PESO SPECIFICO g:
misura il peso dell’unità di volume. Si misura in N/m3
densità e peso specifico sono legati dalla relazione:
g  rg
dove g è l’accelerazione di gravità.
Per l’acqua g vale 9806 N/m3
Caratteristiche dei fluidi
VISCOSITA’: misura gli attriti interni di un fluido.
In particolare caratterizza il comportamento di un fluido nei confronti
delle resistenze che si oppongono al moto.
Si distingue una viscosità dinamica m, che si misura in Ns/m2, da una
viscosità cinematica n, pari a n m/r
che si misura in m2/s. Per l’acqua n vale circa 10-6 m2/s.
L’andamento della viscosità in funzione della velocità di deformazione
consente di distinguere i fluidi newtoniani da quelli non newtoniani.
Per un fluido newtoniano la relazione che lega gli sforzi t ai gradienti di
velocità (e alle velocità di deformazione) è lineare:
du
tm
dy
Natura delle forze agenti su un fluido
FORZE DI MASSA F
Sono forze che agiscono a distanza su tutte le particelle del sistema,
proporzionalmente alla loro massa.
Fra queste si ricorda la forza di gravità, alla quale corrisponde il peso G
della massa fluida considerata.
FORZE DI SUPERFICIE P
Sono forze che vengono esercitate su parte del sistema attraverso una
superficie di contorno A. Quando la superficie di contorno tende a zero il
rapporto tra la forza agente sulla superficie e la superficie stessa tende
ad un valore finito F, detto sforzo.
Lo sforzo dipende dalla posizione del punto considerato e dalla giacitura.
La forza elementare agente sull’area dA si ricava quindi come:
dP=FndA
dove il pedice n rappresenta il versore normale all’elemento dA.
Statica dei fluidi pesanti incomprimibili:
legge di Stevino
z
p
g
 cost
z rappresenta la quota alla quale si trova il punto considerato, viene detta quota
geodetica.
p/g è anch’essa dimensionalmente una lunghezza, rappresenta l’altezza
corrispondente alla pressione in quel punto e viene detta altezza piezometrica.
La somma z+p/g è detta quota piezometrica ed in virtù della legge di Stevino è
costante in tutti i punti di un fluido in quiete.
Statica dei fluidi pesanti incomprimibili:
legge di Stevino
Ad esempio dati due punti A e B si ricava
zA 
pA
g
 zB 
pB
g
che consente, nota la quota piezometrica in un punto qualsiasi dell’ammasso
fluido, di ricavare la pressione in ogni altro punto.
Statica dei fluidi pesanti incomprimibili:
legge di Stevino
Poiché nella maggior parte dei casi pratici interessa non tanto la pressione
bensì la differenza tra la pressione e la pressione atmosferica, usualmente
si fa riferimento a tale differenza denotandola come pressione relativa; per
contro la pressione viene denominata pressione assoluta. Si indica:
p*=p+patm
dove si è indicato con p* il valore della pressione assoluta e con p quello
della pressione relativa.
Statica dei fluidi pesanti incomprimibili:
legge di Stevino
Si dice piano dei carichi idrostatici assoluto il piano orizzontale sul quale la
pressione assoluta è nulla.
Si dice piano dei carichi idrostatici relativo il piano orizzontale sul quale la
pressione relativa è nulla, ovvero la pressione assoluta uguaglia la
pressione atmosferica.
Una applicazione molto importante della legge di Stevino è rappresentata
dalla misura della pressione attraverso piezometri, manometri semplici,
manometri differenziali e manometri metallici.
CINEMATICA DEI FLUIDI
Caratteristiche del campo di moto
Velocità: v=v(u,v,w)=dx/dt
Accelerazione: A=dv/dt
Vorticità: w=rot v
Traiettoria
Luogo dei punti successivamente occupati dalle particelle fluide in moto
Linea di corrente o di flusso
Curva tangente in ogni punto al vettore velocità in quel punto
Linea di emissione o di fumo
Luogo dei punti occupati al generico istante da tutte le particelle transitate
precedentemente da un prefissato punto del campo di moto
CINEMATICA DEI FLUIDI
Se si considera una linea chiusa non coincidente con una linea di corrente e
tutte le linee di corrente che passano per tutti i punti della linea chiusa
otteniamo un tubo di flusso che ha la proprietà di non venire mai attraversato
dal fluido all’istante considerato.
Con riferimento ad un tubo di flusso di sezione dA, si definisce portata
elementare dQ il volume di fluido che transita attraverso la sezione dA
nell’unità di tempo:
dQ=vndA
Con riferimento ad una sezione finita:
Si definisce velocità media il rapporto tra la portata e l’area della sezione
V=Q/A
CINEMATICA DEI FLUIDI
Moto permanente
Le grandezze caratteristiche del moto non dipendono dal tempo
Moto uniforme
Le grandezze caratteristiche del moto si mantengono costanti lungo la
traiettoria
Moto vario
Le grandezze caratteristiche del moto possono variare nello spazio e nel tempo
Equazione di continuità
Traduce il principio di conservazione della massa
La differenza tra la massa entrante
all’interno dell’elementino attraverso la
generica faccia e quella uscente
attraverso la faccia opposta vale:
(ad esempio, lungo la direzione x)
ru 
ru

rudydzdt   ru 
dx dydzdt  
dxdydzdt
x
x


il bilancio della massa entrante ed uscente attraverso tutte le facce deve
uguagliare l’accumulo o diminuzione di massa subita nello stesso
intervallo di tempo cioè:

ru rv rw r



x
y
z
t
r
 div (r v )  0
t
Equazione di continuità
Per un fluido incomprimibile (r=cost) l’equazione di continuità assume la
forma:
div v=0
Integrando su un volume finito W l’equazione di continuità diventa:
r
 r v  ndA   t dW
A
W
Per un fluido incomprimibile assume la forma:
Qe=Qu
essendo Qe e Qu rispettivamente le portate entranti ed uscenti dalla
superficie considerata.
Per una corrente l’equazione di continuità si può scrivere nella forma:
r Q r A

0
s
t
Per un fluido incomprimibile in moto permanente si ha infine:
Q=A*V=cost
Funzione di corrente
Nell’ipotesi di moto bidimensionale piano di un fluido incomprimibile, l’equazione di
continuità è
u w

0
x z
si può definire una funzione di corrente y tale che
u
y
z
w
y
x
Lungo una linea di corrente (tangente in ogni punto al vettore velocità) la funzione di
corrente rimane costante, infatti si ha che
u
w

dx dz

udz  wdx  dy  0
Equazione di bilancio della quantità di moto
L’equazione di conservazione della quantità di moto in forma differenziale
r
Ovvero
r

Dv
 r f   t
Dt
t ji
Du i
 rf i 
Dt
x j
Considerando solo la forza di gravità come forza di massa agente, si ottiene la ben
nota equazione del moto di Cauchy
t ji
Du i
r
 rg i 
Dt
x j
Equazioni di Navier-Stokes
Nel caso di un fluido newtoniano il legame costitutivo, ovvero la relazione tra sforzi e
deformazioni è del tipo
 u u 

u 
t ij    p  l k d ij  m  i  j 

xk 
 x j
xi 
In cui p è la pressione idrostatica, l e m sono due coefficienti di viscosità che
dipendono dalle condizioni termodinamiche del fluido, dij è il delta di Kroenecker
(d=1 se i=j, d=0 se i≠j).
Ipotizzando che l e m siano costanti , ovvero che ci siano solo piccole differenze di
temperatura all’interno del fluido , sostituendo nell’equazione di conservazione della
quantità di moto si ottengono le equazioni del moto di Navier-Stokes:
Du
p

r i  rf i 
 (l  m )
Dt
xi
xi
 uk

 xk

 2ui
  m 2
xk

Nel caso di un liquido (fluido incomprimibile, r=cost, per cui   v  0 )
Du i
 2 ui
1 p
 fi 
n
Dt
r xi
xk2
In cui n 
m
è la viscosità cinematica.
r
Equazione di Eulero
La relazione
Du i
 2 ui
1 p
 fi 
n
Dt
r xi
xk2
utilizzando la notazione tensoriale e considerando solo la forza di gravità tra le forze di
massa, diventa
Du
1
 g  p n 2u
Dt
r
Nel caso di fluido incomprimibile e perfetto, ovvero n  0 , si ha la nota equazione di
Eulero
Du
1
  p  g
Dt
r
Il teorema di Bernoulli
Nell’ambito nel corso di idraulica, sotto le ipotesi di:
fluido
perfetto, pesante e incomprimibile
moto permanente
era stato ricavato il ben noto teorema di Bernoulli
v2
H  z 
g 2g
p
che esprime il fatto che il carico totale H si mantiene costante lungo la traiettoria.
2
2
2
p v
v
p v
z1   1  z2  2  2  ...  zn  n  n
g 2g
g 2g
g 2g
p1
z
è la quota geodetica
p/g è l’altezza piezometrica
v2/2g è l’altezza cinetica
Il teorema di Bernoulli
Si può dimostrare che se il moto, oltre che permanente, è anche irrotazionale (w0), il
carico totale è costante dappertutto.
v2
z 
 costante dappertutt o
g 2g
p
Moto non stazionario irrotazionale
Se il moto è irrotazionale, può essere definito un potenziale di velocità f tale che:
v  f
Infatti se il moto è irrotazionale, la relazione precedente soddisfa la condizione di
irrotazionalità
u j
u
i
x j

xi
i j
Si può ricavare che in questo caso:
f 1 2 p
 v   gz  F (t )
t 2
g
Il potenziale di velocità
Sostituendo la definizione della funzione potenziale di velocità
u  f
nella equazione di continuità si ottiene l’equazione di Laplace
 2f  0
Il potenziale di velocità, dovendo soddisfare l'equazione di Laplace, è dunque una
funzione armonica della posizione.
La soluzione dell'equazione di Laplace con le opportune condizioni al contorno
consente di determinare il campo di moto. Tale equazione, largamente studiata anche
in campi diversi dalla Meccanica dei Fluidi ha alcune interessanti proprietà.
In particolare, l'equazione di Laplace è lineare. Date due soluzioni dell'equazione di
Laplace, qualsiasi combinazione lineare di tali soluzioni (ed in particolare la loro
somma e differenza) è ancora soluzione. Questa proprietà consente di sovrapporre
potenziali di moti elementari per ottenere i potenziali di moti più complessi.
• Nota bene:
Poiché tutti i moti irrotazionali ammettono l’esistenza di una funzione potenziale,
tali moti vengono anche indicati come moti a potenziale.