Anno 5
Successioni numeriche
1
Introduzione
In questa lezione impareremo a descrivere e calcolare il limite di una successione.
Ma cos’è una successione? Come si calcola il suo limite?
Al termine di questa lezione sarai in grado di:
l
l
l
l
definire i concetti di successione numerica e di
limite di una successione
risolvere le progressioni aritmetiche e
geometriche
descrivere il numero e come limite di una
successione
definire il concetto di serie numerica
In questa lezione impareremo a descrivere e calcolare il limite di una successione.
Ma cos’è una successione? Come si calcola il suo limite?
Alla fine di questa lezione sarai in grado di:
• definire i concetti di successione numerica e di limite di una successione;
• risolvere le progressioni aritmetiche e geometriche;
• descrivere il numero e come limite di una successione;
• e, infine, definire il concetto di serie numerica.
2
Successione numerica
Una funzione a: N→R che associa ad ogni numero naturale n un valore an è una successione
numerica.
n
indice della successione
an
termine generale della successione
Una successione è una sequenza di valori ordinati e infiniti. Per rappresentare una successione
occorre individuare una legge che ad ogni intero n fa corrispondere un numero an.
Per rappresentare la successione dei numeri pari: 2; 4; 6….
Rappresentazioni
grafiche
di una successione
an = 2n.
g(x) = an per x ϵ [n; n+1[
Introduciamo, innanzitutto, il concetto di successione numerica.
Una funzione a:N→R che associa ad ogni numero naturale n un valore an è una
successione numerica.
Il numero n si dice indice della successione mentre il valore an è l’ennesino termine della
successione.
Una successione è una sequenza di valori ordinati e infiniti. Non potendo scrivere infiniti
numeri, per rappresentare una successione occorre individuare una legge che ad ogni
intero n fa corrispondere un numero an.
Ad esempio, per rappresentare la successione dei numeri pari: 2; 4; 6; possiamo scrivere:
an=2n.
Una successione può essere rappresentata graficamente in due modi:
• disegnando nel piano cartesiano in corrispondenza di ogni valore n ϵ N il valore di
an ;
• oppure si può considerare come una rappresentazione della successione il grafico
della funzione g(x)=an per x ϵ [n; n+1[.
3
Successioni convergenti
Poiché N è un insieme illimitato è possibile studiare il limite di una successione per n → +∞ per
verificare se i numeri an si avvicinano sempre più a un particolare valore.
Si dice che la successione an converge verso il limite l∈R per n→+∞ e si scrive:
lim an = l
n→+∞
se: ∀ε > 0 ∃nε ∈ N t.c. ∀n > nε : l − ε < an < l + ε
Esempio:
La successione:
1;
Il limite è:
Per i limiti di successioni valgono i teoremi e le
proprietà definite per le funzioni.
an =
1
n
1 1
1
; ; .....
2 3
n
1
lim = 0
n → +∞ n
La successione è convergente.
Poiché N è un insieme illimitato è possibile studiare il limite di una successione per n→+∞
per verificare se i numeri an si avvicinano sempre più a un particolare valore. Si ha la
seguente definizione:
si dice che la successione an converge verso il limite lϵR per n→+∞ e si scrive
limn→+∞an=l, se per ogni ε>0 esiste un numero intero nε tale che per ogni n >nε
risulta an compreso tra l–ε e l+ε.
Il grafico in figura mostra quanto espresso nella definizione.
Chiariamo la definizione con un esempio. La successione con termine generale an=1/n è
formata dai valori 1; 1/2; 1/3; …
Il limite di tale successione è uguale a zero al crescere di n, quindi la successione è
convergente.
Osserviamo inoltre che per i limiti di successioni valgono i teoremi e le proprietà definite in
precedenza per le funzioni.
•
4
Successioni divergenti
Si dice che la successione an diverge positivamente per n → +∞ e si scrive:
lim an = +∞
n→+∞
se:
∀k > 0 ∃nk ∈ N t.c. ∀n > nk : an > k
Si dice che la successione an diverge negativamente per n → +∞ e si scrive:
lim an = −∞
n→+∞
se:
∀k > 0 ∃nk ∈ N t.c. ∀n > nk : an < −k
Diremo che una successione è indeterminata se non è né convergente né divergente.
Esempio:
La successione dei numeri dispari:
Il limite è:
2n + 1 > k
lim (2n + 1) = +∞
n→+∞
n>
k −1
2
an = 2n + 1
La successione è divergente
positivamente
Si hanno anche le seguenti definizioni: si dice che la successione an diverge positivamente
per n→+∞ si scrive limn→+唴an=+∞e per ogni k>0 esiste un numero intero nk tale che per
ogni n>nk risulta an maggiore di k.
Allo stesso modo si dice che la successione an diverge positivamente per n→+∞ si scrive
limn→+∞an=–∞e per ogni k>0 esiste un numero intero nk tale che per ogni n>nk risulta an
minore di –k.
Diremo inoltre che una successione è indeterminata se non è né convergente né
divergente a +∞ o a –∞
Analizziamo il seguente esempio. Consideriamo la successione dei numeri dispari definita
da an=2n+1
Calcolando il limite per n→+∞isulta che la successione è divergente positivamente, cioè la
disequazione an>k è verificata per qualsiasi valore di n maggiore di (k–1)/2.
5
Il numero e
Consideriamo la successione:
⎛ 1 ⎞
an = ⎜1 + ⎟
⎝ n ⎠
n
Si può dimostrare che tale successione è
crescente e limitata sia inferiormente che
superiormente
( 1 + 1/n )n
n
1
n
⎛ 1 ⎞
2 < ⎜1 + ⎟ < 3
⎝ n ⎠
La successione è convergente:
2
2
2,25
10
2,59374246
20
2,65329770
50
2,69158802
100
2,70481382
1000
2,71692393
n
⎛ 1 ⎞
lim ⎜1 + ⎟ = e
n → +∞
⎝ n ⎠
Il numero di Nepero è irrazionale e vale:
2,718281…
Il numero di Nepero e è definito come limite di una particolare successione.
Consideriamo la successione an=(1+1/n)n .
Si può dimostrare che tale successione è crescente e limitata sia inferiormente che
superiormente essendo i suoi valori compresi tra 2 e 3.
Possiamo verificare queste proprietà determinando alcuni valori della successione come
mostrato nella tabella.
La successione è convergente poiché esiste il limite per n→+∞ed è finito. Questo viene
indicato con la lettera e si chiama numero di Nepero.
Questo è un numero irrazionale e vale circa 2,718281…
6
Progressioni aritmetiche e geometriche
Si dice successione o progressione aritmetica una successione definita dal termine iniziale a0
e da un numero d tale che i successivi termini si possono ottenere dalla somma: an = an−1 + d
Il numero d è detto ragione. Se d = 0 la successione risulta convergente, altrimenti è divergente.
. successione dei numeri naturali è una progressione aritmetica con a = 1 e ragione d = 1
La
0
La somma dei primi n termini di una
progressione aritmetica è:
n −1
S n = ∑ ai = na0 +
i =0
n(n − 1)
d
2
Si dice successione o progressione geometrica una successione definita dal termine iniziale
a0 e da un numero q tale che i successivi termini si possono ottenere dal prodotto:
an = an−1 ⋅ q
Il numero d è detto ragione. Supposto a0 ≠ 0, se q>1 la successione è divergente, se -1<q≤1 è
convergente, se q≤-1 la successione è indeterminata.
La somma dei primi n termini di una
progressione geometrica è:
n −1
Sn = ∑ ai = a0
i =0
1− qn
1− q
(q ≠ 1)
Due importanti successioni sono la progressione aritmetica e la progressione geometrica.
Si dice successione o progressione aritmetica una successione definita dal termine iniziale
a0 e da un numero d tale che i successivi termini si possono ottenere dalla somma tra il
termine precedente e il numero d.
Il numero d è detto ragione. Se d=0 la successione risulta convergente, altrimenti è
divergente. Come esempio possiamo considerare la successione dei numeri naturali che
risulta essere una progressione aritmetica con a0=1 e ragione d=1.
Si può determinare la somma dei primi n termini di una successione aritmetica. Questa è
data dalla formula mostrata a video.
Si dice successione o progressione geometrica una successione definita dal termine
iniziale a0 e da un numero q tale che i successivi termini si possono ottenere dal prodotto
tra il termine precedente e il numero q.
Il numero q è detto ragione. Supposto a0≠0, se q>1 la successione è divergente, se
-1<q≤1 è convergente, se q≤-1 la successione è indeterminata.
Anche in questo caso si può determinare la somma dei primi n termini di una successione
geometrica. La formula è quella mostrata a video.
7
Serie numerica
La somma degli infiniti termini di una successione prende il nome di serie, e si indica con il
simbolo:
∞
∑a
n
= a0 + a1 + a2 + ... + an + ...
n =0
I termini della successione si dicono termini della serie.
Consideriamo ora una nuova successione i cui termini sono le somme parziali dei termini
della serie, cioè:
S1 = a1
S 2 = a1 + a2
∞
lim S n = S = ∑ an
n → +∞
n =0
La serie è convergente al valore
S detto somma della serie
S 3 = a1 + a2 + a3
...
S n = a1 + a2 + a3 + ... + an
lim Sn = ∞
n→+∞
La serie è divergente
...
Se la successione delle somme parziali è indeterminata, anche la
serie si dirà indeterminata
Introduciamo, infine, il concetto di serie numerica. La somma degli infiniti termini di una
successione prende il nome di serie, e si indica con il simbolo di sommatoria di an per n
che va da 0 a ∞.
I termini della successione si dicono termini della serie.
Consideriamo ora una nuova successione i cui termini sono le somme parziali dei termini
della serie, cioè i termini di tale successione sono: S1=a1; S2=a1+a2;
S3=a1+a2+a3; …; Sn=a1+a2+ … +an
Se la successione delle somme parziali risulta convergente, allora la serie si dice
convergente al valore S del limite. Questo valore è detto somma della serie e si scriverà S
uguale a sommatoria di an per n che va da 0 a ∞.
Se invece il limite per n→+∞ha valore infinito, la serie è detta divergente.
Se la successione delle somme parziali è indeterminata, anche la serie si dirà
indeterminata.
8
Esempi
Esempio di svolgimento:
Studiare il carattere della serie:
Esempio di svolgimento:
Studiare il carattere della serie:
∞
3
3 3 3 3
= 3+ + + +
+ ...
∑
n
2
2 4 8 16
n =0
∞
I termini della serie sono quelli di una
progressione geometrica con a0 = 3
e ragione q =
1
2
Calcoliamo la somma dei primi n termini:
3
1− qn
1 ⎞
⎛
= a0
= 6⎜1 − n ⎟
k
2
1
−
q
2
⎝
⎠
k =0
n −1
Sn = ∑
passando al limite:
3
1 ⎞
⎛
= lim 6⎜1 − n ⎟ = 6
n
n → +∞
2
2
⎝
⎠
n =0
∞
S =∑
La serie è convergente.
∑ (2n + 1) =1 + 3 + 5 + ...
n =0
I termini della serie sono quelli di una
progressione aritmetica con a0 = 1
e ragione
d =2
Calcoliamo la somma dei primi n termini:
n −1
S n = ∑ (2k + 1) = na0 +
k =0
n(n − 1)
d=
2
= n + n(n − 1) = n 2
passando al limite:
lim n 2 = +∞
n →+∞
La serie è divergente
Vediamo con due esempi come si studia il carattere di una serie. Per calcolare il valore di
una serie bisogna “costruire” la successione delle somme parziali.
Vogliamo studiare il carattere della serie 3+3/2+3/4+…..
I termini della serie sono quelli di una progressione geometrica di ragione q=1/2 e primo
termine uguale a 3.
La somma n-esima è Sn=6(1-1/2n) e calcolando il limite si ha che S=6, quindi possiamo
affermare che la serie è convergente.
Nell’altro esempio vogliamo studiare il carattere della serie dei numeri dispari: 1+3+5+ …
I termini della serie sono quelli di una progressione aritmetica con a0=1 e ragione d=2.
La somma dei primi n termini è n2, pertanto il suo limite è infinito. Si può concludere che la
serie è divergente.
9
Conclusione
Successione
numerica
Progressioni
aritmetiche
Progressioni
geometriche
Successioni
convergenti
Limite di una
successione
Successioni
divergenti
e come limite di una
successione
Serie numeriche
In questa lezione abbiamo imparato a definire il concetto di successione numerica come
quella funzione che associa ad ogni numero naturale n un valore an.
Abbiamo inoltre definito il limite di una successione.
In base al valore del limite le successioni si possono classificare in convergenti e
divergenti.
Inoltre abbiamo descritto il numero di Nepero come il limite n→+唴di una particolare
successione.
Abbiamo poi dato le definizioni di progressione aritmetica e di progressione geometrica,
e infine abbiamo studiato il concetto di serie come somma degli infiniti termini di una
successione.
10