Esercitazione n.3
Inferenza su percentuali
Esercizio 1
Un ricercatore di mercato per una società di prodotti elettronici intende studiare il tempo che i
residenti di una piccola città dedicano alla televisione. Si seleziona un campione di 50 intervistati e
a ciascuno si chiede di registrare in maniera dettagliata quanto guardano la televisione durante una
settimana. Si ottengono i seguenti risultati:
- Tempo dedicato alla televisione in una settimana: 𝑥 = 15,3 𝑜𝑟𝑒, 𝑠 = 3,8 𝑜𝑟𝑒
- 25 intervistati guardano la televisione almeno 3 sere.
Sulla base di questi risultati, si determini:
un intervallo di confidenza al 95% per stimare il numero medio di ore dedicato alla televisione alla
settimana in questa città;un intervallo di confidenza al 95% per stimare la percentuale di soggetti
che guarda la televisione almeno per tre sere alla settimana.
Soluzione 1
Si tratta di determinare l’intervallo di confidenza della percentuale. La v.c. di riferimento è la
Binomiale, ma trattandosi di grande campione, per il teorema di DeMoivre-Laplace, possiamo fare
riferimento alla v.c. normale standardizzata.
L’intervallo di confidenza della percentuale per grandi campioni è:
1 − 𝛼 = Pr 𝑝 − 𝑧!
!
𝑝 1−𝑝
≤ 𝜋 ≤ 𝑝 + 𝑧!
𝑛
!
𝑝 1−𝑝
𝑛
p=3/25=0,12
Pr
0,12 − 1,96
0,12 1 − 0,12
0,12 1 − 0,12
≤ 𝜋 ≤ 0,12 + 1,96
50
50
=
Esercizio 2
Il direttore di un grande giornale cittadino intende determinare la proporzione di giornali stampati
che non sono idonei alla vendita, per motivi diversi come impaginazione sbagliata, pagine mancanti
e così via. Viene allora estratto un campione di 200 giornali e si osserva che 35 di essi non sono
idonei. Calcolare l’intervallo di confidenza del 95% per la proporzione di giornali non idonei nella
popolazione
Soluzione 2
n = 200 numerosità del campione;
p = 35/200 = 0,175 percentuale campionaria,
z = 1,645.
L’intervallo richiesto è
1 − 𝛼 = Pr 𝑝 − 𝑧!
0,90 = Pr
0,175 − 1,645
𝑝 1−𝑝
𝑝 1−𝑝
≤ 𝜋 ≤ 𝑝 + 𝑧!
𝑛
𝑛
0,175(1 − 0,175
0,175(1 − 0,175
≤ 𝜋 ≤ 0,175 + 1,645
200
200
𝟎, 𝟗𝟎 = 𝑷𝒓 𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝟖 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟐𝟏𝟗𝟐
1
Esercitazione n.3
Inferenza su percentuali
Esercizio 3
Il manager operativo di un’azienda che produce scatole di cereali è interessato al modo in cui
vengono sigillate le scatole di cereali. Ogni scatola, una volta riempita, deve essere sigillata in
maniera tale da essere a tenuta d’aria. Nel passato, 1 scatola su 10 non è risultata sigillata in maniera
adeguata. Per porre rimedio a questa situazione, si sperimenta un nuovo sistema di chiusura delle
scatole di cereali. Dopo un giorno di prova, si estrae un campione di 200 scatole e si osserva che 11
scatole non sono sigillate in maniera adeguata. Attraverso l’approccio del p-value, può il manager
ritenere che c’è una riduzione significativa del numero di scatole difettose?
Soluzione 3
Il sistema d’ipotesi è
𝐻! : 𝜋 = 0,10
𝐻! : 𝜋 < 0,10
𝑝=
11
= 0,055
200
Trattandosi di grandi campioni il test da utilizzare è:
𝑝 − 𝜋!
0,055 − 0,10
𝑍=
=
= −2,12
𝜋! (1 − 𝜋! )
0,10(0,90)
𝑛
200
Il p-value, quando z=-2,12, è uguale a 0,017 (0,5 – 0,48300). Dobbiamo rifiutare l’ipotesi con una
probabilità di sbagliare inferiore al 2%. Il manager può concludere che molto probabilmente c’è una
riduzione del numero di scatole difettose
2
Esercitazione n.3
Inferenza su percentuali
Esercizio 4
Un campione di 500 soggetti abitanti in un’area metropolitana viene sottoposto ad un sondaggio in
termini di consumo. Una delle domande è la seguente: “Ti piace fare shopping per acquistare capi
di abbigliamento?” Rispondono positivamente 136 uomini su 240 e 224 donne su 260.
a) E’ possibile affermare ad un livello di significatività pari a 0,01 che esiste una differenza
significativa tra le proporzioni di uomini e donne a cui piace fare shopping?
b) Calcolate il p-value e interpretatene il risultato.
Soluzione 4
a) Si tratta della verifica d’ipotesi della differenza tra due percentuali.
Il sistema d’ipotesi è
𝐻! : 𝜋! = 𝜋!
𝐻! : 𝜋! ≠ 𝜋!
Il test è
𝑍=
dove
𝑝! =
e
𝑍=
1
1
𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 + 𝑛
!
!
136
224
= 0,567 𝑝! = = 0,862
240
260
𝑝=
Abbiamo, quindi:
(𝑝! − 𝑝! )
𝑋! + 𝑋! 136 + 224
=
= 0,72
𝑛! + 𝑛! 240 + 260
0,567 − 0,862
= −7,34
1
1
0,72(1 − 0,72) 240 + 260
Quindi l’ipotesi nulla deve essere rifiutata in quanto il valore empirico (-7,34) è
notevolmente inferiore al valore soglia di sinistra (-2,58): esiste una differenza significativa
fra le proporzioni di uomini e donne che amano fare shopping.
b) Il p-value è prossimo a zero e di conseguenza la decisione assunta comporta un rischio di
errore quasi nullo.
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