Dipendenza della massa dalla velocità
Se un corpo di massa m è soggetto ad una forza costante
F nella direzione della sua velocità v, l’accelerazione che il
corpo subisce è data da:
a = F/m
Moltiplicando ambo i membri per Δt, otteniamo:
Δv = (F/m) Δt
Questa formula ci suggerisce che se aspettiamo un tempo
sufficientemente lungo, la velocità supererà quella
della luce!
La seconda legge di Newton viene quindi riscritta come:
F∙Δt=Δ(m∙v)
La massa è variabile!
Se si suppone che m0 sia la massa a riposo di un
corpo, misurata da un osservatore rispetto al
quale il corpo è fermo, la massa dello stesso
corpo, per un osservatore che si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto al primo con velocità
v, è data dalla formula:
m
m0
1
2
v
c2
 m0
m0 prende il nome di massa a riposo o massa
invariante.
La relazione tra la massa e l’energia
Dopo
alcune
considerazioni
sull’energia cinetica e sull’energia
totale di un corpo, Einstein pervenne
alla famosissima relazione:
E  mc  m0 c
2
2
Essendo le due grandezze E ed m
proporzionali,
possono
essere
considerate equivalenti (si ricordi che
c è una costante!)
Esigenza di una relatività generale
Secondo Einstein:
 i sistemi di riferimento inerziali non
possono avere un ruolo privilegiato;
 le leggi della fisica devono essere
uguali per tutti gli osservatori,
qualunque sia il loro moto relativo.
Massa inerziale e gravitazionale
Definizione 1: Si dice massa inerziale la resistenza
che oppone un corpo alla variazione del suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme.
Definizione 2: Si dice massa gravitazionale la
misura della forza di interazione di un corpo con la
forza gravitazionale. Essa è proporzionale al peso di
un corpo.
Osservazione: Le due masse hanno una definizione
differente, ma si dimostra essere equivalenti.
L’idea di Ernst Mach (1838-1916)
Il fisico austriaco Mach aveva supposto che
l’inerzia di un corpo nasce dall’interazione
con la materia dell’universo. Di conseguenza
la massa di un corpo è strettamente legata ad una
forza, così come la massa gravitazionale è associata
alla forza di gravità.
Considerazioni di Einsten…
Partendo dall’ipotesi di Mach, Einstein capì che
l’assumere uguali le due masse equivale ad
assimilare
un
sistema
uniformemente
accelerato a un campo gravitazionale!
“Se una persona cade liberamente, non ha più
la sensazione del proprio peso”.
(Einstein, 1907)
Gedankenexperiment dell’ascensore
Ascensore a sinistra: se l’ascensore è fermo rispetto alla
terra, i corpi sono soggetti all’accelerazione di gravità g.
Ascensore a destra: se l’ascensore è in caduta libera nel
campo gravitazionale terrestre, i corpi galleggiano
nell’aria come se fossero privi di peso.
Gedankenexperiment dell’ascensore
Astronave a sinistra: se l’astronave si trova in una zona dello
spazio a gravità trascurabile, i corpi al suo interno rimangono
sospesi.
Astronave a destra: se l’astronave presenta un’accelerazione a = g, orientata verso il soffitto, i corpi cadono sul pavimento. Non vi
sono esperimenti che permettono di distinguere questa situazione
dall’essere fermi in presenza di un campo gravitazionale.
Deduzione…
Un sistema di
riferimento non
inerziale è equivalente
ad un campo
gravitazionale.
Principi della relatività generale
Einstein, nel 1916, pubblicò negli Annalen der
Physik l’articolo “I fondamenti della teoria
della relatività generale”.
Principio di equivalenza
Tutti i sistemi di riferimento
inerziali
in
un
campo
gravitazionale uniforme sono
equivalenti
ai
sistemi
di
riferimento
uniformemente
accelerati
in
un
campo
gravitazionale nullo
Principio di relatività generale
Le leggi della fisica assumono
la stessa forma in relazione ad
ogni sistema di riferimento.
Altre possibili geometrie…
Dalla geometria euclidea è noto che la linea più
breve che congiunge due punti dello spazio è un
segmento.
Inoltre per un punto esterno ad una retta passa
una e una sola retta parallela a quella data (V
postulato di Euclide).
Se si modifica il V postulato di Euclide, è
possibile ottenere delle geometrie diverse con
proprietà interessanti.
La geometria della sfera
Consideriamo come spazio la superficie di una sfera. A differenza
di quanto accade nel caso del piano, la linea più breve che unisce
due punti della superficie sferica è un arco di circonferenza
massima che passa per i due punti e avente centro coincidente con
quello della sfera.
Tali circonferenze massime si comportano come le rette nel piano.
È semplice immaginare che, data una circonferenza massima e un
punto esterno ad essa, non esiste alcuna circonferenza massima
passante per il punto che non intersechi la prima circonferenza,
quindi non ci sono rette parallele.
La linea più breve che unisce due punti di uno spazio prende il
nome di geodetica.
Le masse incurvano lo spazio-tempo
Nella fisica lo spazio e il tempo erano assoluti e non erano
legati ai sistemi di riferimento.
Nella teoria della relatività spazio e tempo sono legati ai
sistemi di riferimento.
Mentre la relatività ristretta prevede uno spazio-tempo
“piatto”, la relatività generale considera lo spazio-tempo
come incurvato dalle masse presenti nell’universo.
Einstein immaginava quindi lo spazio-tempo incurvato
dalla presenza delle masse, le quali si muovono come
particelle che non sono soggette ad alcuna forza per andare
da un punto all’altro. Questo spostamento avviene seguendo
le geodetiche.
“La materia dice allo spazio come incurvarsi e lo
spazio dice alla materia come muoversi”
(John A. Wheeler)
Curvatura dello spazio-tempo
Modello bidimensionale dello spaziotempo incurvato da una massa
Se si lascia cadere una biglia pesante lungo un foglio di
gomma reticolato, essa provocherà la curvatura del foglio.
Una seconda biglia, lasciata sul foglio, inizierà a rotolare
verso quella più pesante come se ne fosse attratta.
Se si lancia la seconda biglia con una velocità iniziale v, essa
descrive una traiettoria come quella di un pianeta intorno al
Sole.
Descrizione relativistica del sistema solare
Nella teoria della relatività il sistema solare viene
descritto come segue:
 la massa solare incurva lo spazio-tempo;
 i pianeti si muovono secondo quanto
imposto da tale curvatura.
Il sole deflette la luce