TEORIA DELLA GRAVITAZIONE
“La soluzione del problema della gravitazione
non può essere la medesima nella fisica
classica e nella teoria della relatività generale”
L’evoluzione della fisica pag 246
CUORE DELLA TEORIA
Due idee fondamentali:
1) Non esiste la forza di gravità, ma le masse
deformano, incurvandolo, lo spazio-tempo.
2) I corpi che abitualmente pensiamo come soggetti
alla forza di gravità devono essere considerati
come particelle libere di muoversi nello spaziotempo,seguendo le sue geodetiche(= traiettoria
più breve possibile)
LO SPAZIO-TEMPO
LO SPAZIO-TEMPO
La materia dice allo spazio-tempo come curvarsi.
Lo spazio-tempo dice alla materia come muoversi..
(JJJohn A. Wheeler.
DESCRIZIONE GEOMETRICA DELLA
GRAVITA’
Si passa
da una visione “dinamica” della gravitazione
ad una visione
“cinematica”
o meglio ancora
“geometrica”.
La geometria da usare non è però quella euclidea:
lo spazio-tempo non è euclideo
SPAZIO-TEMPO NON EUCLIDEO
Cosa significa?
Pensiamo ad una superficie sferica,
pensando che essa sia tutto ciò che esiste.
In questo spazio-tempo:
1) le “rette” sono le circonferenze massime e le
geodetiche sono archi di circonferenza
2) Non esistono rette parallele
3) La somma degli angoli interni di un triangolo è
maggiore di 180°
ESEMPIO DELLA SUPERFICIE SFERICA
( geometria non euclidea ellittica)
Supponiamo che lo spazio-tempo
sia come questa superficie
sferica .
Consideriamo due punti che si
muovono su due “rette”
diverse.
Noi li vediamo avvicinare e
potremmo interpretare ciò
come l’effetto di una forza
attrattiva tra i due ,
ma essi stanno solo percorrendo
la propria geodetica
MOTI NELLO SPAZIO-TEMPO
Lo spazio-tempo della relatività generale ha una
geometria non euclidea .
Una massa non soggetta a forze che si trova
nello spazio-tempo per il 1° principio della
dinamica si muove di moto rettilineo
uniforme, ma le “rette” che percorre sono le
geodetiche!
MOTI NELLO SPAZIO-TEMPO
La massa scura, che è
libera, non è
“attratta dalla massa
arancione” , ma
segue l’andamento
dello spazio- tempo
intorno alla massa
arancione
CONFERME SPERIMENTALI
• 1- La deflessione della luce per effetto
gravitazionale
• 2-La precessione del perielio di mercurio
• 3-Il red shift gravitazionale
• 4-Il rallentamento gravitazionale degli orologi
• 5-Le onde gravitazionali
CONFERME SPERIMENTALI:
1- Deflessione della luce
Ci si aspetta che la traiettoria della luce vicino ad una
massa ( in un campo gravitazionale) sia curva per due
motivi :
1) In un sistema di riferimento accelerato la luce segue
una traiettoria curvilinea; per il principio di
equivalenza non c’è differenza tra un sistema
accelerato e un campo gravitazionale,quindi anche in
un campo gravitazionale la luce deve seguire una
traiettoria curvilinea
2) La luce trasporta energia e l’energia è massa.
E’ vero!!!
CONFERME SPERIMENTALI:
1- Deflessione della luce
CONFERME SPERIMENTALI:
1- Deflessione della luce
Un raggio di luce
proveniente dalla stella A
viene curvato
passando nelle vicinanze del
Sole.
La stella viene osservata
nella posizione apparente B
data dalla proiezione del
raggio di luce che arriva a
Terra.
I raggi di luce vengono
curvati passando nelle
vicinanze di una grande
massa.
LA
CONFERME SPERIMENTALI:
CURVATURA
DELLA
LUCE
1- Deflessione della luce
La congettura sulla curvatura della luce fu verificata
sperimentalmente per la prima volta nel 1919 durante
un’eclissi totale di Sole.
IDEA di Einstein:
«Immaginiamo che ci sia una stella lontana, dietro al
nostro Sole. Non dovremmo vederla, perché è coperta
dal disco solare. Accade spesso, invece, che questi
corpi celesti nascosti si possano lo stesso scorgere: la
loro luce, infatti, viene deflessa dalla normale
traiettoria rettilinea, perché "attratta" da grandi masse,
proprio come il Sole».
CONFERME SPERIMENTALI:
1- Deflessione della luce
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Figura A
Le stelle vengono osservate in
assenza del Sole. Il raggio di luce
che parte da esse giunge
direttamente agli occhi
dell’osservatore
•
Figura B
Le stelle vengono osservate in
presenza del Sole.
Il raggio di luce che parte da esse
viene deflesso dal campo
gravitazionale del Sole e
l’osservatore le vede in una
posizione differente rispetto a
quella della figura A.
E’ necessaria l’eclissi in modo che
la luce del Sole non copra la luce
da esse emessa
CONFERME SPERIMENTALI:
1- Deflessione della luce
La prima osservazione di deflessione della luce venne
effettuata nel 1919 da Arthur Eddington e suoi
collaboratori durante un’ eclissi solare totale, in modo
da poter vedere la luce emessa dalle stelle vicine al
Sole.
Le osservazioni vennero effettuate simultaneamente
nelle città di Sobral (Brasile) e a São Tomé e Príncipe
sulla costa occidentale dell'Africa.
Il risultato fu considerato una notizia straordinaria e finì
sulle prime pagine di tutti i giornali più importanti,
dando risonanza ad Einstein e alla sua teoria della
relatività in tutto il mondo.
2-Precessione del perielio di Mercurio
2-Precessione del perielio di Mercurio
• L’asse dell’orbita del
pianta Mercurio tra un a
rivoluzione e l’altra non
è fisso, ma si sposta,
ruotando (per un
arotazione completa ci
vogliono circa tre
milioni di anni)
2-Precessione del perielio di Mercurio
2-Precessione del perielio di Mercurio
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Nella fisica newtoniana ogni pianeta descrive intorno al sole un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei fuochi.
Il punto di massimo avvicinamento, chiamato perielio è fisso.
Ci sono però un certo numero di fattori nel nostro sistema solare che causano lo spostamento del perielio dei pianeti.
Tale spostamento, detto precessione, è dovuto principalmente all'attrazione gravitazionale degli altri pianeti ed in
misura minore, allo schiacciamento polare del Sole.
Il tasso anomalo di precessione del perielio dell'orbita di Mercurio fu riconosciuto nel 1859 come un problema della
meccanica celeste da Urbain Le Verrier.
La sua ri-analisi sulle osservazioni calcolate in base al tempo utile del transito di Mercurio sul disco del Sole dal
1697 al 1848 ha mostrato che il tasso reale della precessione è in disaccordo con quello che viene calcolato tramite
la teoria di Newton, di una quantità stimata inizialmente di 38" (arcosecondi) per secolo (successivamente ri-stimata
a 43").
Furono proposte alcune soluzioni ad hoc , ma tutte in definitiva infruttuose .
Verrier ipotizzò la presenza di un altro pianeta ( Vulcano) che ne perturbava le orbite.
Nella relatività generale, questao mutamento dell'orientazione dell'ellisse orbitale dentro il suo piano orbitale, viene
spiegata per mezzo della gravitazione mediata dalla curvatura dello spazio-tempo.
Einstein dimostrò che la relatività generale prevede esattamente una quantità osservata di spostamento di perielio.
Questo è stato un potente fattore che ha motivato l'adozione della relatività generale.
Anche se le misurazioni precedenti delle orbite planetarie sono state effettuate con telescopi convenzionali, la
maggior parte di quelle più accurate vengono adesso realizzate con i radar. La precessione complessiva osservata di
Mercurio è di 5600 arcosecondi per secolo per quanto riguarda la posizione dell'equinozio invernale del Sole.
1-Deflessione della luce:
lente gravitazionale
Anello di
Einstein
Croce di
Einstein
Lente
gravitazionale
disomogenea
4-Rallentamento gravitazionale degli orologi
Il campo gravitazionale non è costante
Dove la gravità è più forte , il
tempo scorre più lento.
Orologi più veloci in montagna, più lenti a
livello del mare
E’ stato verificato sperimentalmente!!!
RELATIVITA’ GENERALE
“Il problema di formulare le leggi della fisica per
qualsiasi SC è stato risolto dalla teoria della
relatività generale ; la teoria che l’ha preceduta e
che si applica solo ai sistemi inerziali è chiamata
teoria della relatività speciale . Naturalmente le
due teorie non possono contraddirsi, poiché le
vecchie leggi della relatività speciale vanno
incluse nelle leggi generali , valevoli per un sitema
inerziale”
L’evoluzione della fisica pag 222
RELATIVITA’ GENERALE
In
un’ascensore
in caduta
libera non si
sente la gravità
RELATIVITA’ GENERALE
Immaginiamo ora un ascensore all'ultimo piano di un grattacielo.
Di colpo si spezza il cavo portante e la cabina inizia a cadere
liberamente con accelerazione costante.
Contemporaneamente una persona che si trova nel suo interno lascia
cadere un sasso ed una piuma.
La forza di gravità attrae allo stesso modo sia i due oggetti che
l'ascensore, per cui la velocità relativa tra sasso e piuma è nulla.
In altre parole sia il sasso che la piuma non arrivano a toccare il fondo
dell'ascensore, dal momento che quest'ultimo sta cadendo con la
loro stessa accelerazione.
L'uomo all'interno della cabina potrebbe quindi a buon diritto
affermare di trovarsi in una zona dello spazio lontana dall'azione
gravitazionale di stelle e pianeti, dal momento che i due oggetti
lasciati a se stessi rimangono sospesi a mezz'aria.
Relatività Generale
Paradosso dei gemelli
Tutti i sistemi di riferimento sono validi
Situazione simmetrica?
L’astronave, quando inverte la rotta, sente un’accelerazione 
avvertita come un’accelerazione di gravità  orologio rallenta
Relatività Generale
Anche il cammino della luce è influenzato
dai corpi che distorcono lo spazio-tempo
Prima evidenza sperimentale
1919 Eclisse
Relatività Generale
Anello di
Einstein
Croce di
Einstein
Lente
gravitazionale
disomogenea
Relatività Generale
La curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della massa
dell'oggetto
Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3 volte la massa
Stadio
della vita fino
di una
stella
del
Sole)finale
può collassare
a un
punto
(singolarità  la teoria non è completa?)
Relatività Generale
I buchi neri sono previsti dalla Relatività Generale: regioni in
cui la curvatura è così forte da intrappolare anche la luce
Nulla che vi si avvicini troppo
(orizzonte degli eventi – linea invisibile)
ne può fuggire
Osservatori esterni non possono vedere aldilà di questa linea
Immagine artistica
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Campo EM =) trasf. di Lorentz
Campo Gravitazionale =) ?
Ma se non conosciamo le equazioni del campo (per il campo EM sono le eq. di Maxwell) come
possiamo determinare il gruppo di invarianza? Qui si esprime al massimo livello il genio di
Einstein:
L’esempio dell’osservatore in caduta libera =) un cambio di coordinate elimina (localmente) il
campo gravitazionale
L’esempio dell’osservatore che accelera =) un cambio di coordinate genera un campogravitazionale
Einstein osserva allora che (generalizzare astrattamente era una sua caratteristica)
Un cambiamento arbitrario del sistema di coordinate spazio-temporali è indistinguibile da un
cambiamento del campo gravitazionale. Dunque non si dovrebbe assumere l’esistenza di
sistemi di coordinate privilegiati.
Si perviene così all’idea che la fisica del campo di gravità deve essere tale da avere un
gigantesco gruppo di invarianza: tutte le possibili trasformazioni di coordinate, non solo
il limitato gruppo delle TL lineari: e riempiamo dunque il box
Campo Gravitazionale =) trasformazioni arbitrarie
al più soggette solo a restrizioni di tipo matematico (differenziabilità, invertibilità, ecc.).
Nota tecnica: Il gruppo di tutte le trasformazioni di coordinate soggette a queste
restrizioni è detto il gruppo dei diffeomorfismi dello spazio-tempo
• Costruire una teoria le cui equazioni ammettano il gruppo dei
diffeomorfismi è un problema difficilissimo che costò ad Einstein
almeno 10 anni di lavoro. Ma deve essere possibile eliminare,
almeno localmente, il campo di gravità: basta mettersi in caduta
libera!
• Perciò Einstein basa la sua teoria sul seguente assioma, detto il
Principio di
• equivalenza forte
• A. In un piccolo intorno di ogni evento (punto dello spazio-tempo)
• è possibile trovare un sistema di coordinate spazio-temporali
• rispetto al quale le leggi fisiche sono le stesse che in assenza di
• gravitazione, cioè quelle della relatività ristretta.
• Queste coordinate si chiamano localmente inerziali (CLI) [..]
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Supponiamo di voler calcolare gli effetti del campo gravitazionale in una regione
dell’universo, per
esempio il sistema solare o una porzione della galassia.
In base all’assioma possiamo dividere la regione in tante piccole regioni, scegliervi
le
coordinate in caduta libera e calcolare gli effetti come se non ci fosse gravitazione.
quando si incollano tutte queste piccole regione si ottiene in generale uno spaziotempo
Curvo
per esempio, una particella libera si muoverà su uno spezzone di linea retta nelle
CLI:
incollando tutti gli spezzoni si otterrà in generale una linea curva, magari chiusa
come l’orbitadi un pianeta!
È in questo modo che Einstein ha potuto calcolare la precessione anomala del
perielio di
Mercurio, un annoso problema astronomico che durava da almeno 50 anni!
• La teoria si chiama Relatività Generale perchè possiede il massimo grado
di relatività: tutti i
• sistemi di coordinate sono ammessi. Al punto tale che non è nemmeno più
richiesto un
• significato fisico diretto nel senso operazionale, le coordinate
rappresentando semplicemente
• convenzioni che si utilizzano per “etichettare” gli eventi
• La curvatura, che la geometria insegna a calcolare, è infatti totalmente
indipendente dalla
• coordinate scelte, e caratterizza il campo gravitazionale: infatti essa è nulla
se e solo se lo
• spazio-tempo è quello della RS
• Il PE è di fatto la definizione dell’interazione gravitazionale, che permette
di distinguerla da
• altre forze a lungo raggio d’azione
• Il passaggio dalla RS alla RG ci ha insegnato
che è possibile liberare la Fisica dalla
• più potente delle convenzioni:
• la scelta delle coordinate spazio-temporali