la relatività generale
per molti la più “bella” ed “elegante” teoria fisica mai prodotta dall’uomo e fra le massime “vette” in assoluto della
“creatività” umana
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Principio di equivalenza
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La teoria della relatività ristretta si occupa dei
sistemi di riferimento inerziali (SDRI) e di come in
essi si propagano le radiazioni elettromagnetiche
(d’ora in poi diremo semplicemente la luce)
La teoria della relatività generale si occupa dei
sistemi di riferimento non inerziali (SDRNI)
(accelerati, ruotanti ecc.) ed in particolare della forza di
gravità
La forza di gravità ha la peculiarità che corpi di massa
diversa (in assenza di attrito) cadono con la stessa
accelerazione (g = 9,8 m/s² circa sulla superficie
terrestre)
D’altra parte, rispetto ad un SDRNI, i corpi hanno una
accelerazione indipendente dalla loro massa dovuta
al moto accelerato del sistema di riferimento stesso
rispetto ad un SDRI (per esempio una giostra ed il
seguente caso)
Immaginiamo una astronave sufficientemente lontana
da ogni corpo celeste che viaggi per inerzia a razzi
spenti (moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle
fisse). Tale astronave è con ottima approssimazione un
SDRI. Immaginiamo che in un certo istante vengano
accesi i razzi in modo che la navicella presenti una
accelerazione costante pari a g = 9,8 m/s² rispetto alle
stelle fisse. Cosa sperimenteranno gli astronauti
all’interno della navicella ? Essi vedranno “cadere” i
corpi, che prima fluttuavano liberamente, tutti in una
stessa direzione con accelerazione uguale a g. Gli
astronauti non potranno in nessun modo rilevare una
differenza rispetto a ciò che accade sulla superficie
terrestre
Il principio di equivalenza afferma appunto che
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Spazio-tempo curvo
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Un campo gravitazionale è quindi descrivibile da un SDRNI costituito da
quattro coordinate (x,y,z,t), le prime tre spaziali, la quarta temporale
Un campo gravitazionale è quindi equivalente ad uno spazio-tempo
quadridimensionale che può essere euclideo (piatto) o non euclideo
(curvo)
Lo spazio euclideo è quello in cui valgono per esempio il teorema di
Pitagora, il teorema che afferma che la somma degli angoli interni di
un triangolo è 180° , il teorema che afferma che il rapporto fra
circonferenza e diametro vale ¶ ecc.
Uno spazio non euclideo è quello in cui non valgono (anche uno solo !) i
teoremi della geometria euclidea
Un esempio di spazio non euclideo a due dimensioni è la superficie della
sfera. In essa, per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo
può essere 270° !
Si dice che, in generale, un campo gravitazionale incurva lo spaziotempo
Per capire il perché la gravitazione incurva lo spazio-tempo consideriamo
un sistema di riferimento K “fisso” ed una circonferenza solidale con
esso. Consideriamo anche un sistema K’ ruotante (che è equivalente ad
un campo gravitazionale). Rispetto a K’ un segmento di circonferenza l
viene visto più corto a causa della contrazione di Lorentz. Per questo
motivo il rapporto fra circonferenza e diametro, per K’, non vale più ¶ per
cui, per K’, non vale più la geometria euclidea (quindi lo spazio, per il
SDRNI K’, è curvo)
La fisica dei campi gravitazionali si riduce allora ad un “problema di
geometria” in generale non euclidea (questo fatto è di fondamentale
importanza e distingue la gravità dalle altre interazioni fondamentali : la
elettromagnetica e la nucleare debole e forte)
La matematica che descrive le proprietà degli spazi curvi è il cosiddetto
calcolo tensoriale. Esso è dovuto principalmente ai grandi matematici
Gauss (1777 - 1855), Riemann (1826 - 1866), Ricci-Curbastro
(romagnolo di Lugo, 1853 - 1925), Levi-Civita (1873 – 1941) (Einstein
deve a questi ultimi due matematici alcune definizioni e teoremi senza i
quali la teoria della relatività generale non avrebbe potuto essere scritta)
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Principio di relatività generale
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Il principio di relatività ristretta afferma che le leggi della fisica
(includendo il campo elettromagnetico ma escludendo il campo
gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
(SDRI)
Il principio di relatività generale afferma che le leggi della fisica
(includendo il campo elettromagnetico ed il campo gravitazionale) sono
le stesse in tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali (SDRNI)
(Einstein, 1916)
In questo modo, le “descrizioni del mondo” fatte rispetto a sistemi di
riferimento qualunque, non necessariamente inerziali, sono del tutto
equivalenti
Rimangono escluse le forze nucleari scoperte successivamente al 1916
per cui oggi si sta tentando una unificazione della visione della natura
che conglobi e spieghi tutte le forze conosciute (forza gravitazionale,
forza elettromagnetica, forza nucleare). Tale ipotesi di unificazione, che
avviò lo stesso Einstein, è tentata oggi sulla base della teoria delle
stringhe
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Equazione gravitazionale di Einstein
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Le masse creano un campo gravitazionale che incurva lo spazio-tempo
I corpi che si muovono in un tale spazio-tempo incurvato seguono
traiettorie che sono linee geodetiche ovvero linee di minima distanza
(vedi pag. seguente)
Il legame matematico fra le masse generatrici del campo gravitazionale
e la curvatura dello spazio-tempo è data dall’equazione di Einstein.
Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in realtà si tratta di una
equazione molto complessa) :
curvatura dello spazio-tempo = distribuzione della masse
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Si tratta di una equazione in grado di descrivere in modo completo un
sistema di masse in interazione gravitazionale :
le masse si muovono seguendo linee geodetiche in uno
spazio-tempo
la cui curvatura è definita dalle masse stesse
in movimento
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Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali curvi
Il concetto di geodetica è la generalizzazione negli spazi curvi del concetto di retta dello spazio euclideo
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Conseguenze della teoria della relatività generale
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La teoria della relatività generale prevede che lo spazio-tempo non
sia in generale euclideo (piatto) ma sia curvo. Ciò comporta delle
conseguenze non prevedibili né descrivibili nell’ambito della
meccanica classica. Queste conseguenze” aprono” nuovi ed
affascinanti capitoli nella fisica moderna. Le principali conseguenze
della non “piattezza” dello spazio-tempo sono :
spostamento del perielio di Mercurio
deviazione dei raggi di luce da parte delle masse
red-shift (spostamento verso i rosso) gravitazionale
buchi neri
onde gravitazionali
ipotesi cosmologiche
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Spostamento del perielio di Mercurio
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Il perielio di Mercurio (punto
dell’orbita più vicina al Sole) si
sposta molto lentamente in modo
che l’orbita del pianeta non sia una
ellisse chiusa. Questo fenomeno
era noto già da molto tempo prima
di Einstein e non è spiegabile
nell’ambito della meccanica
classica. D’altra parte non vi sono
pianeti o altri corpi celesti che
“disturbano” l’orbita di Mercurio, né
altre cause tipo la non perfetta
sfericità del Sole
Il fenomeno si spiega considerando
che lo spazio nelle vicinanze del
Sole (in cui si trova ad orbitare
Mercurio) è sufficientemente
incurvato (secondo la relatività
generale) da disturbare esso
stesso l’orbita di Mercurio
I calcoli teorici dell’incurvamento
tramite l’equazione gravitazionale di
Einstein confermano i dati
sperimentali
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Deviazione dei raggi di luce da parte delle masse
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Un campo gravitazionale produce
un incurvamento dello spazio tale
per cui la luce non segue più un
cammino rettilineo
Per questo motivo, durante una
eclissi totale di sole, le stelle in
prossimità prospettica con la
superficie del Sole, vengono viste in
posizioni apparenti diverse da
quelle in assenza del Sole
Poco dopo la pubblicazione della
teoria della relatività generale il
fenomeno fu verificato
sperimentalmente corrispondere
alla previsione teorica
A livello astronomico più ampio,
sono state scoperte recentemente
delle vere e proprie lenti
gravitazionali costituite da intere
galassie
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Red-shift gravitazionale
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Un orologio posto in un campo
gravitazionale intenso, siccome lo
spazi-tempo ne è fortemente
incurvato, viene visto rallentare
rispetto ad un orologio posto
lontano dal campo. Il tempo in un
campo gravitazionale scorre
(rispetto ad un punto lontano) tanto
più lentamente quanto è maggiore
è l’intensità del campo.
La luce proveniente da una stella
massiccia (che genera un forte
campo gravitazionale) sarà vista
con frequenza minore, quindi più
rossa
Questo fenomeno si chiama redshift (spostamento verso il rosso)
gravitazionale (da non confondersi
con il red-shift cosmologico (vedi più
avanti))
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Buchi neri
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Una stella, quando le reazioni nucleari
che la tengono in equilibrio si
esauriscono, inizia un processo di
collasso gravitazionale
Se la massa della stella è
sufficientemente grande si produce un
buco nero
Un buco nero possiede una
concentrazione di massa tale da
incurvare lo spazio attorno a sé in modo
che la luce (come ogni altro corpo) non
ne può più uscire
Un buco nero, quindi, è in grado di
assorbire massa ed energia dall’esterno
ma non è più in grado di emetterne (si
suppone avvenga in effetti una lenta
“evaporazione” a causa di effetti
quantistici)
Un buco nero è circondato da una
superficie immaginaria, detta orizzonte
degli eventi. Se qualcosa (massa o
energia) entra all’interno di tale superficie
non ne può più uscire
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Onde gravitazionali
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Se una grande quantità di materia
subisce una rapida accelerazione
(per esempio in un collasso
gravitazionale di una stella) la
curvatura dello spazio-tempo
subisce una “increspatura”,
vengono cioè generate onde
gravitazionali
Tali onde furono previste
teoricamente da Einstein ed hanno
la caratteristica di viaggiare alla
velocità della luce c ed essere
onde trasversali (come la luce)
Le onde gravitazionali, data la loro
estrema debolezza, non sono state
ancora verificate sperimentalmente
nonostante i diversi esperimenti in
atto. Quando saranno verificate,
esse apriranno una nuova proficua
“finestra” per studiare il cosmo
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Cosmologia
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L’equazione gravitazionale di Einstein permette di descrivere l’universo nel suo insieme
Con la teoria della relatività generale la cosmologia diventa una scienza dagli incredibili ed enormi sviluppi
Ponendo alcune condizioni aprioristiche derivanti da considerazioni generali sulla struttura dell’universo,
l’equazione gravitazionale di Einstein fornisce diverse soluzioni corrispondenti a diversi modelli di universo
Essenzialmente si hanno due classi di modelli : i modelli stazionari ed i modelli non stazionari (evolutivi)
I modelli stazionari possono essere (paradossalmente) non espansivi o espansivi
La condizione principale che di solito si pone alla struttura su larga scala dell’universo è che lo spazio sia
omogeneo ed isotropo, ovvero che l’universo sia mediamente lo stesso (in termini di densità) in ogni suo
punto. Questa ipotesi è accettata in generale da tutti i modelli
Per quanto riguarda l’omogeneità ed isotropia del tempo, le cose sono più complicate. Ammettendo questa
ipotesi, si presuppone che l’universo sia sempre lo stesso nel passato e nel futuro. In generale i modelli
stazionari la ammettono, gli altri (ovviamente) no
L’accettabilità fisica di un modello cosmologico teorico dipende se il modello è in accordo con le
osservazioni astronomiche che via via vengono fatte
Le osservazioni mostrano i seguenti fondamentali fenomeni di rilevanza cosmologica :
red-shift cosmologico delle galassie (rilevato da Hubble negli anni ‘20, interpretabile
immaginando che
l’universo sia in espansione per cui le galassie sembrano allontanarsi producendo
effetto Doppler (lo stesso
fenomeno per cui il fischio del treno viene udito più basso in frequenza
quando il treno si allontana))
radiazione fossile di fondo (rilevato da Penzias e Wilson negli anni ‘60, spiegabile immaginando
che questa
radiazione nelle microonde (circa 4 K di temperatura) sia la luce rimasta dell’ipotetica
esplosione (il big bang)
che ha dato “origine” all’universo)
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Modelli cosmologici stazionari non espansivi
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Spazio omogeneo ed isotropo
Tempo omogeneo ed isotropo
Curvatura dello spazio costante e
positiva
Nel caso esemplificativo
bidimensionale un tale modello
corrisponde ad una sfera
Il modello risulta instabile, una piccola
disomogeneità locale può innescare
una contrazione od una espansione
Se si aggiunge al secondo membro
dell’equazione gravitazionale di
Einstein la cosiddetta costante
cosmologica
, sono possibili
modelli stazionari non espansivi stabili
Il modello (proposto inizialmente dallo
stesso Einstein) non spiega il red-shift
cosmologico né la radiazione fossile
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Modelli cosmologici stazionari espansivi
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Modello stazionario nella densità di materia ma in espansione nel
tempo con creazione spontanea e continua di un atomo di idrogeno
ogni 10.000.000.000 m³ ogni anno
Il modello risulta omogeneo nello spazio e nel tempo ed allo stesso
tempo risulta espansivo. La creazione spontanea di atomi di idrogeno
mantiene costante la densità della materia
Il modello spiega il red shift cosmologico ma non la radiazione
fossile
Il modello presenta il problema “filosofico” di ammettere la “creazione
continua” (nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma …)
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Modelli cosmologici non stazionari
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Spazio omogeneo ed isotropo
Tempo non omogeneo e non isotropo
Ipotesi del big bang (circa 15 miliardi di anni fa tutto l’universo era
concentrato in una regione di spazio teoricamente puntiforme, detta
singolarità). Dal big bang trae origine, espandendosi, l’universo come
lo conosciamo oggi
Si hanno modelli chiusi, aperti, piatti e con espansione a velocità
crescente
L’ipotesi del big bang è coerente con il red-shift cosmologico e con
l’esistenza della radiazione fossile
Il problema fondamentale dell’ipotesi del big bang è l’evoluzione futura
dell’universo (se continuerà ad espandersi ed in che modo oppure
inizierà a contrarsi)
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Modello cosmologico non stazionario chiuso
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Curvatura costante positiva
Modello bidimensionale :
superficie sferica
Densità maggiore della massa
critica
Espansione + contrazione (big
bang + big crunch) anche in
sequenza
In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario aperto
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Curvatura costante negativa
Modello bidimensionale : sella
Densità minore della massa
critica
Velocità di espansione
decrescente tendente ad un
valore positivo
In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario piatto
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Curvatura costante nulla
Modello bidimensionale : piano
Densità uguale alla massa
critica
Velocità di espansione
decrescente tendente a 0
Geometria euclidea
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Modello cosmologico non stazionario a velocità crescente
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Le ultime recenti osservazioni indicherebbero
che l’universo sarebbe costituito al 95 % di
materia oscura (in piccola misura) e di
energia oscura (in misura molto maggiore). Il
rimanente 5 % formerebbe l’universo usuale
che vediamo e misuriamo con i nostri
strumenti (perché emette radiazione
elettromagnetica)
Sarebbe inoltre in atto una espansione
accelerata (big rip) dell’universo in antitesi
col carattere attrattivo della forza
gravitazionale
L’espansione accelerata sarebbe causata
dall’energia oscura ed è descrivibile
matematicamente con l’aggiunta
all’equazione gravitazionale di Einstein della
costante cosmologica
L’energia oscura potrebbe essere spiegabile
fisicamente mettendola in relazione con
l’esistenza della ZPE (zero point energy,
energia quantistica di punto zero), energia
intrinseca del vuoto che riempirebbe il
cosmo)
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