2005 anno della fisica
introduzione alla teoria della relatività generale
per molti la più “bella” ed “elegante” teoria fisica mai prodotta dall’uomo e fra le massime “vette” in assoluto della
“creatività” umana
Associazione Astrofili Cesenati
www.astrofilicesena.it
www.arrigoamadori.com
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Principio di equivalenza
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La teoria della relatività ristretta si occupa dei sistemi di
riferimento inerziali (SDRI) e di come in essi si propagano
le radiazioni elettromagnetiche (d’ora in poi diremo
semplicemente la luce)
La teoria della relatività generale si occupa dei sistemi di
riferimento non inerziali (SDRNI) (accelerati, ruotanti
ecc.) ed in particolare della forza di gravità
La forza di gravità ha la peculiarità che corpi di massa
diversa (in assenza di attrito) cadono con la stessa
accelerazione (g = 9,8 m/s² circa sulla superficie terrestre)
D’altra parte, rispetto ad un SDRNI, i corpi hanno una
accelerazione indipendente dalla loro massa dovuta al
moto accelerato del sistema di riferimento stesso rispetto ad
un SDRI (per esempio una giostra ed il seguente caso)
Immaginiamo una astronave sufficientemente lontana da
ogni corpo celeste che viaggi per inerzia a razzi spenti (moto
rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse). Tale astronave è
con ottima approssimazione un SDRI. Immaginiamo che in
un certo istante vengano accesi i razzi in modo che la
navicella presenti una accelerazione costante pari a g = 9,8
m/s² rispetto alle stelle fisse. Cosa sperimenteranno gli
astronauti all’interno della navicella ? Essi vedranno
“cadere” i corpi, che prima fluttuavano liberamente, tutti in
una stessa direzione con accelerazione uguale a g. Gli
astronauti non potranno in nessun modo rilevare una
differenza rispetto a ciò che accade sulla superficie terrestre
Il principio di equivalenza afferma appunto che un
campo gravitazionale è equivalente ad un SDRNI
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Spazio-tempo curvo
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Un campo gravitazionale è quindi descrivibile da un SDRNI costituito da
quattro coordinate (x,y,z,t), le prime tre spaziali, la quarta temporale
Un campo gravitazionale è quindi equivalente ad uno spazio-tempo
quadridimensionale che può essere euclideo (piatto) o non euclideo (curvo)
Lo spazio euclideo è quello in cui valgono per esempio il teorema di Pitagora,
il teorema che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è
180° , il teorema che afferma che il rapporto fra circonferenza e diametro
vale ¶ ecc.
Uno spazio non euclideo è quello in cui non valgono (anche uno solo !) i
teoremi della geometria euclidea
Un esempio di spazio non euclideo a due dimensioni è la superficie della sfera.
In essa, per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo può essere
270° !
Si dice che, in generale, un campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo
Per capire il perché la gravitazione incurva lo spazio-tempo consideriamo un
sistema di riferimento K “fisso” ed una circonferenza solidale con esso.
Consideriamo anche un sistema K’ ruotante (che è equivalente ad un campo
gravitazionale). Rispetto a K’ un segmento di circonferenza l viene visto più
corto a causa della contrazione di Lorentz. Per questo motivo il rapporto fra
circonferenza e diametro, per K’, non vale più ¶ per cui, per K’, non vale più la
geometria euclidea (quindi lo spazio, per il SDRNI K’, è curvo)
La fisica dei campi gravitazionali si riduce allora ad un “problema di
geometria” in generale non euclidea (questo fatto è di fondamentale
importanza e distingue la gravità dalle altre interazioni fondamentali : la
elettromagnetica e la nucleare debole e forte)
La matematica che descrive le proprietà degli spazi curvi è il cosiddetto calcolo
tensoriale. Esso è dovuto principalmente ai grandi matematici Gauss (1777 1855), Riemann (1826 - 1866), Ricci-Curbastro (romagnolo di Lugo, 1853 1925), Levi-Civita (1873 – 1941) (Einstein deve a questi ultimi due matematici
alcune definizioni e teoremi senza i quali la teoria della relatività generale non
avrebbe potuto essere scritta)
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Principio di relatività generale
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Il principio di relatività ristretta afferma che le leggi della fisica (includendo
il campo elettromagnetico ma escludendo il campo gravitazionale) sono le
stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (SDRI)
Il principio di relatività generale afferma che le leggi della fisica (includendo
il campo elettromagnetico ed il campo gravitazionale) sono le stesse in tutti i
sistemi di riferimento, anche non inerziali (SDRNI) (Einstein, 1916)
In questo modo, le “descrizioni del mondo” fatte rispetto a sistemi di
riferimento qualunque, non necessariamente inerziali, sono del tutto equivalenti
Rimangono escluse le forze nucleari scoperte successivamente al 1916 per cui
oggi si sta tentando una unificazione della visione della natura che conglobi e
spieghi tutte le forze conosciute (forza gravitazionale, forza elettromagnetica,
forza nucleare). Tale ipotesi di unificazione, che avviò lo stesso Einstein, è
tentata oggi sulla base della teoria delle stringhe
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Equazione gravitazionale di Einstein
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Le masse creano un campo gravitazionale che incurva lo spazio-tempo
I corpi che si muovono in un tale spazio-tempo incurvato seguono traiettorie
che sono linee geodetiche ovvero linee di minima distanza (vedi pag. seguente)
Il legame matematico fra le masse generatrici del campo gravitazionale e la
curvatura dello spazio-tempo è data dall’equazione di Einstein.
Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in realtà si tratta di una
equazione molto complessa) :
curvatura dello spazio-tempo = distribuzione della masse
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Si tratta di una equazione in grado di descrivere in modo completo un sistema
di masse in interazione gravitazionale :
le masse si muovono seguendo linee geodetiche in uno spazio-tempo
la cui curvatura è definita dalle masse stesse in movimento
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Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali curvi
Il concetto di geodetica è la generalizzazione negli spazi curvi del concetto di retta dello spazio euclideo
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Conseguenze della teoria della relatività generale
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La teoria della relatività generale prevede che lo spazio-tempo non sia in generale
euclideo (piatto) ma sia curvo. Ciò comporta delle conseguenze non prevedibili né
descrivibili nell’ambito della meccanica classica. Queste conseguenze” aprono” nuovi
ed affascinanti capitoli nella fisica moderna. Le principali conseguenze della non
“piattezza” dello spazio-tempo sono :
spostamento del perielio di Mercurio
deviazione dei raggi di luce da parte delle masse
red-shift (spostamento verso i rosso) gravitazionale
buchi neri
onde gravitazionali
ipotesi cosmologiche
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Spostamento del perielio di Mercurio
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Il perielio di Mercurio (punto
dell’orbita più vicina al Sole) si sposta
molto lentamente in modo che l’orbita
del pianeta non sia una ellisse chiusa.
Questo fenomeno era noto già da molto
tempo prima di Einstein e non è
spiegabile nell’ambito della meccanica
classica. D’altra parte non vi sono
pianeti o altri corpi celesti che
“disturbano” l’orbita di Mercurio, né
altre cause tipo la non perfetta sfericità
del Sole
Il fenomeno si spiega considerando che
lo spazio nelle vicinanze del Sole (in
cui si trova ad orbitare Mercurio) è
sufficientemente incurvato (secondo la
relatività generale) da disturbare esso
stesso l’orbita di Mercurio
I calcoli teorici dell’incurvamento
tramite l’equazione gravitazionale di
Einstein confermano i dati sperimentali
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Deviazione dei raggi di luce da parte delle masse
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Un campo gravitazionale produce un
incurvamento dello spazio tale per cui
la luce non segue più un cammino
rettilineo
Per questo motivo, durante una eclissi
totale di sole, le stelle in prossimità
prospettica con la superficie del Sole,
vengono viste in posizioni apparenti
diverse da quelle in assenza del Sole
Poco dopo la pubblicazione della teoria
della relatività generale il fenomeno fu
verificato sperimentalmente
corrispondere alla previsione teorica
A livello astronomico più ampio, sono
state scoperte recentemente delle vere e
proprie lenti gravitazionali costituite
da intere galassie
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Red-shift gravitazionale
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Un orologio posto in un campo
gravitazionale intenso, siccome lo
spazi-tempo ne è fortemente incurvato,
viene visto rallentare rispetto ad un
orologio posto lontano dal campo. Il
tempo in un campo gravitazionale
scorre (rispetto ad un punto lontano)
tanto più lentamente quanto è
maggiore è l’intensità del campo.
La luce proveniente da una stella
massiccia (che genera un forte campo
gravitazionale) sarà vista con
frequenza minore, quindi più rossa
Questo fenomeno si chiama red-shift
(spostamento verso il rosso)
gravitazionale (da non confondersi con
il red-shift cosmologico (vedi più
avanti))
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Buchi neri
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Una stella, quando le reazioni nucleari che
la tengono in equilibrio si esauriscono, inizia
un processo di collasso gravitazionale
Se la massa della stella è sufficientemente
grande si produce un buco nero
Un buco nero possiede una concentrazione
di massa tale da incurvare lo spazio attorno
a sé in modo che la luce (come ogni altro
corpo) non ne può più uscire
Un buco nero, quindi, è in grado di assorbire
massa ed energia dall’esterno ma non è più in
grado di emetterne (si suppone avvenga in
effetti una lenta “evaporazione” a causa di
effetti quantistici)
Un buco nero è circondato da una superficie
immaginaria, detta orizzonte degli eventi. Se
qualcosa (massa o energia) entra all’interno
di tale superficie non ne può più uscire
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Onde gravitazionali
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Se una grande quantità di materia
subisce una rapida accelerazione (per
esempio in un collasso gravitazionale di
una stella) la curvatura dello spaziotempo subisce una “increspatura”,
vengono cioè generate onde
gravitazionali
Tali onde furono previste teoricamente
da Einstein ed hanno la caratteristica di
viaggiare alla velocità della luce c ed
essere onde trasversali (come la luce)
Le onde gravitazionali, data la loro
estrema debolezza, non sono state
ancora verificate sperimentalmente
nonostante i diversi esperimenti in atto.
Quando saranno verificate, esse
apriranno una nuova proficua
“finestra” per studiare il cosmo
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Cosmologia
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L’equazione gravitazionale di Einstein permette di descrivere l’universo nel suo insieme
Con la teoria della relatività generale la cosmologia diventa una scienza dagli incredibili ed enormi sviluppi
Ponendo alcune condizioni aprioristiche derivanti da considerazioni generali sulla struttura dell’universo, l’equazione
gravitazionale di Einstein fornisce diverse soluzioni corrispondenti a diversi modelli di universo
Essenzialmente si hanno due classi di modelli : i modelli stazionari ed i modelli non stazionari (evolutivi)
I modelli stazionari possono essere (paradossalmente) non espansivi o espansivi
La condizione principale che di solito si pone alla struttura su larga scala dell’universo è che lo spazio sia omogeneo
ed isotropo, ovvero che l’universo sia mediamente lo stesso (in termini di densità) in ogni suo punto. Questa ipotesi è
accettata in generale da tutti i modelli
Per quanto riguarda l’omogeneità ed isotropia del tempo, le cose sono più complicate. Ammettendo questa ipotesi, si
presuppone che l’universo sia sempre lo stesso nel passato e nel futuro. In generale i modelli stazionari la ammettono,
gli altri (ovviamente) no
L’accettabilità fisica di un modello cosmologico teorico dipende se il modello è in accordo con le osservazioni
astronomiche che via via vengono fatte
Le osservazioni mostrano i seguenti fondamentali fenomeni di rilevanza cosmologica :
red-shift cosmologico delle galassie (rilevato da Hubble negli anni ‘20, interpretabile immaginando che
l’universo sia in espansione per cui le galassie sembrano allontanarsi producendo effetto Doppler (lo stesso
fenomeno per cui il fischio del treno viene udito più basso in frequenza quando il treno si allontana))
radiazione fossile di fondo (rilevato da Penzias e Wilson negli anni ‘60, spiegabile immaginando che questa
radiazione nelle microonde (circa 4 K di temperatura) sia la luce rimasta dell’ipotetica esplosione (il big bang)
che ha dato “origine” all’universo)
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Modelli cosmologici stazionari non espansivi
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Spazio omogeneo ed isotropo
Tempo omogeneo ed isotropo
Curvatura dello spazio costante e
positiva
Nel caso esemplificativo
bidimensionale un tale modello
corrisponde ad una sfera
Il modello risulta instabile, una piccola
disomogeneità locale può innescare
una contrazione od una espansione
Se si aggiunge al secondo membro
dell’equazione gravitazionale di
Einstein la cosiddetta costante
cosmologica
, sono possibili
modelli stazionari non espansivi stabili
Il modello (proposto inizialmente dallo
stesso Einstein) non spiega il red-shift
cosmologico né la radiazione fossile
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Modelli cosmologici stazionari espansivi
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Modello stazionario nella densità di materia ma in espansione nel tempo con
creazione spontanea e continua di un atomo di idrogeno ogni 10.000.000.000
m³ ogni anno
Il modello risulta omogeneo nello spazio e nel tempo ed allo stesso tempo
risulta espansivo. La creazione spontanea di atomi di idrogeno mantiene
costante la densità della materia
Il modello spiega il red shift cosmologico ma non la radiazione fossile
Il modello presenta il problema “filosofico” di ammettere la “creazione
continua” (nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma …)
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Modelli cosmologici non stazionari
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Spazio omogeneo ed isotropo
Tempo non omogeneo e non isotropo
Ipotesi del big bang (circa 15 miliardi di anni fa tutto l’universo era
concentrato in una regione di spazio teoricamente puntiforme, detta
singolarità). Dal big bang trae origine, espandendosi, l’universo come lo
conosciamo oggi
Si hanno modelli chiusi, aperti, piatti e con espansione a velocità crescente
L’ipotesi del big bang è coerente con il red-shift cosmologico e con l’esistenza
della radiazione fossile
Il problema fondamentale dell’ipotesi del big bang è l’evoluzione futura
dell’universo (se continuerà ad espandersi ed in che modo oppure inizierà a
contrarsi)
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Modello cosmologico non stazionario chiuso
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Curvatura costante positiva
Modello bidimensionale : superficie
sferica
Densità maggiore della massa critica
Espansione + contrazione (big bang +
big crunch) anche in sequenza
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In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario aperto
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Curvatura costante negativa
Modello bidimensionale : sella
Densità minore della massa critica
Velocità di espansione decrescente
tendente ad un valore positivo
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In un certo istante
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Modello cosmologico non stazionario piatto
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Curvatura costante nulla
Modello bidimensionale : piano
Densità uguale alla massa critica
Velocità di espansione decrescente
tendente a 0
Geometria euclidea
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Modello cosmologico non stazionario a velocità crescente
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Le ultime recenti osservazioni indicherebbero che
l’universo sarebbe costituito al 95 % di materia
oscura (in piccola misura) e di energia oscura (in
misura molto maggiore). Il rimanente 5 %
formerebbe l’universo usuale che vediamo e
misuriamo con i nostri strumenti (perché emette
radiazione elettromagnetica)
Sarebbe inoltre in atto una espansione accelerata
(big rip) dell’universo in antitesi col carattere
attrattivo della forza gravitazionale
L’espansione accelerata sarebbe causata
dall’energia oscura ed è descrivibile
matematicamente con l’aggiunta all’equazione
gravitazionale di Einstein della costante
cosmologica
L’energia oscura potrebbe essere spiegabile
fisicamente mettendola in relazione con l’esistenza
della ZPE (zero point energy, energia quantistica
di punto zero), energia intrinseca del vuoto che
riempirebbe il cosmo (vedi prossima conferenza)
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