La relatività della Meccanica Classica – Galileo
Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in
moto relativo uniforme:
Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta
di alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti
volanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli
animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza
[...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la
dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze
sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazi
passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte
queste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (pur
che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non
riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da
alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma
(Galileo, Dialogo, giornata seconda)
La prima relatività: le trasformazioni di Galileo
S: sistema fisso
S': sistema in moto
z
Trasformazioni di
Galileo
z'
v
y'
y
x
x'
x'
x'  x  vt
y'  y
z'  z
Il sistema di riferimento S' si muove con velocità v lungo la direzione x,
rispetto al sistema fisso S
S ed S' coincidono al tempo t=0
(x, y, z) e (x', y', z') sono le coordinate dello stesso punto misurate,
rispettivamente, in S e S'
Le trasformazioni di Galileo esprimono la relazione tra le coordinate
di un punto misurate in S ed S‘. Corrispondono alla nostra usuale
percezione della realtà
S ed S’ sono sistemi di riferimento inerziali
z
z'
u', a' = velocità, accelerazione
misurate in S'
v
y'
y
x
u', a'
u, a = velocità, accelerazione
misurate in S
x'
Secondo le trasformazioni di Galileo: u' = u – v
a' = a
Tutte le equazioni della Meccanica Classica sono invarianti per trasformazioni di
Galileo. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali
Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo:
la velocità della luce c è una costante universale
La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente o
del rivelatore
Velocità della luce
Le misure sperimentali della velocità della luce si sono sempre più raffinate, a partire
dal diciassettesimo secolo. Gli esperimenti più recenti indicano una velocità di
c  299.792.458  1,2 m/s  300.000 Km/s
Le incertezze in questo valore sono principalmente legate a quelle della definizione
operativa dell’unità di lunghezza, il metro. Di conseguenza, si è adottato questo
valore come valore standard, ridefinendo la lunghezza del metro in modo da essere
consistente con il valore di c
c  299.792.458 m/s
La velocità della luce in un mezzo è legata alle proprietà elettriche e magnetiche del
mezzo. La velocità della luce nel vuoto può essere espressa come
c
1
 0 0
 0  permittivi tà elettrica
 0  permeabili tà magnetica
Equazioni di Maxwell
Le equazioni di Maxwell rappresentano uno dei modi più eleganti e concisi per
formulare le leggi fondamentali dell’elettricità e del magnetismo. A partire da esse
si possono sviluppare tutte le relazioni effettive tra campi e sorgenti
 
E 
0

B  0


B
 E  
t


 1 E
  B  0 J  2
c t

= densità di carica
J
= densità di corrente
Sorgenti
dei
campi
c = velocità della luce,
costante universale
c 
2
1
 0 0
Le trasformazioni di Lorentz
S: sistema fisso
x' 
x  vt
S': sistema in moto
z
z'
v
y'  y
z'  z
y'
y
x
x'
x'
Le equazioni di Maxwell sono invarianti
per trasformazioni di Lorentz
notazioni usuali
v

c
 
1
1  2
x'   ( x  vt )
y'  y
z'  z
 vx 
t'   t  2 
 c 
trasformazione
inversa
v2
1 2
c
vx
t 2
c
t' 
v2
1 2
c
x   ( x' vt ' )
y  y'
z  z'
 vx' 
t    t ' 2 
 c 
S: sistema fisso
S': sistema in moto
z
z'
v
y'
y
x
P(x, y, z) in S
x'
x'
x'   ( x  vt )
y'  y
z'  z
 vx 
t'   t  2 
 c 
P(x’, y’, z’) in S'
Le trasformazioni di Lorentz sono tali che:
c 2t 2  ( x 2  y 2  z 2 )  c 2t '2 ( x'2  y'2  z '2 )
2
2
2
2
2
2
x

y

z
x
'

y
'

z
'
c2 

2
t
t '2
t  t'
(invariante di Lorentz)
è la stessa (velocità della luce)2
nei 2 sistemi
Due “eventi” (x1, t1) e (x2, t2) che avvengono allo
stesso tempo t1 = t2 in S non avvengono allo
stesso tempo in S', t'1 ≠ t'2
La contrazione delle lunghezze
S: sistema fisso
S': sistema in moto
z
z'
v
y'
y
|   L0   |
x
L0  x'2  x'1
L  x2  x1
x'1
x'2
x'
La lunghezza di un qualunque
oggetto in un sistema in moto
apparirà contratta lungo la direzione
del moto. L’effetto della contrazione
può essere calcolato a partire dalle
trasformazioni di Lorentz. La
lunghezza di un oggetto è massima
nel sistema in cui esso è a riposo.
è la lunghezza della sbarretta misurata in S', dove è a riposo
è la lunghezza della sbarretta misurata da un osservatore in S
L0  x'2  x'1   ( x2  vt2 )   ( x1  vt1 )   ( x2  x1 )   L
t1  t2 (la misura di x1 e x2 va fatta contemporaneamente, t1=t2)
v2
L
 L0 1  2

c
L0
contrazione delle
lunghezze
Dilatazione dei tempi
S: sistema fisso
S': sistema in moto
z
z'
v
y'
y
x
T0  t '2 t '1
T  t2  t1
Un orologio in un sistema in moto
sarà in ritardo, ed il suo tempo
apparirà "dilatato“, come si ottiene
dalle trasformazioni di Lorentz. Gli
intervalli di tempo sono minimi se
misurati nei sistemi di riposo. Il tempo
misurato nel sistema in cui l’orologio è
x' a riposo si chiama “tempo proprio".
è l’intervallo di tempo misurato in S', dove l’orologio è a riposo
è l’intervallo di tempo misurato in S
v
v
T  t 2  t1   (t '2  2 x'2 )   (t '1  2 x'1 )   (t '2 t '1 )   T0
c
c
x'1  x'2 (la misura di t'1 e t'2 va fatta nello stesso punto, x'1=x'2)
T   T0 
T0
v2
1 2
c
dilatazione dei tempi
v2
  1 2
2c
Muon Experiment – Non relativistic
Muon Experiment – Muon observer
Muon Experiment – Earth observer
Gli osservatori solidali con il muone e con la Terra sono d’accordo sul numero di
muoni che giungono a terra
Il paradosso dei gemelli
La storia è che uno di due gemelli lascia la Terra per un viaggio su una navicella
spaziale che viaggia a velocità prossima a quella della luce, mentre l’altro rimane a
casa. A causa della dilatazione dei tempi, il tempo scorre più lentamente sulla navicella,
vista dalla Terra. Quindi il gemello di ritorno sulla Terra dovrebbe essere più giovane (il
suo orologio dovrebbe essere più indietro) rispetto a quello rimasto a casa. La domanda
sorge spontanea: è vero? Davvero un gemello sarebbe più giovane? Non vale la stessa
cosa per il gemello sulla Terra, osservato da quello in viaggio?
La questione fondamentale circa la dilatazione dei tempi è confermata in modo
inequivocabile dall’esperimento dei muoni. La chiara implicazione è che il gemello in
viaggio dovrebbe davvero essere più giovane. Tuttavia lo scenario è complicato dal fatto
che il gemello sulla navicella deve subire una accelerazione, una inversione della
direzione del moto, ed una decelerazione per tornare a Terra. Ciò permette di
distinguere tra I due gemelli (ed abolire il paradosso), ma per sistemi accelerati non
basta applicare le regole della relatività speciale, e bisogna ricorrere a quelle della
relatività generale .
Nonostante le difficoltà tecniche, un esperimento a bordo di un areo commerciale
conferma l’esistenza di una differenza di tempo tra gli orologi di osservatori a Terra e
quelli in moto rispetto ad essi.
Trasformazione delle velocità
La regola della trasformazione delle velocità della relatività ristretta fornisce la relazione tra
la velocità di un oggetto osservata in un sistema di riferimento inerziale (S, u) e la velocità
dello stesso oggetto osservata in un sistema in moto con velocità v rispetto ad esso (S',u').
Se A vede B muoversi alla velocità v, allora la velocità misurata da B (u') viene vista da
A come:
u ' v
u
vu '
1 2
c
con la
trasformazione
inversa
uv
u' 
vu
1 2
c
nel limite v/c→0 si
ottengono le usuali
relazioni
se v = u' = 0.9 c, si ottiene u = 1.8 c/1.81 < c
se v o u' = c, allora anche u =c
z
S: sistema fisso
z'
S': sistema in moto con velocità v rispetto ad S
x'   ( x  vt )
 vx 
t'   t  2 
 c 
u
y'
y
x'
x
dx
la velocità della particella misurata in S
dt
dx '
misurata in S'
u
'

cerchiamo la velocità
dt '
sia u 
Prendendo i differenziali delle trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ottiene:
dx'  (dx  v dt )

v dx 
dt '

  dt  2 
c 

dx
v
 dt
dx 

 v 
1  dt

2
c 





uv
u' 
vu
1 2
c
u
u ' v
vu '
1 2
c
trasformazione
inversa
La dinamica relativistica e la massa
La relatività speciale conduce ad un aumento della massa effettiva di una
particella con la velocità v, data dall’espressione (massa relativistica)
m
m0
2
v
1 2
c
  m0
m0  " massa di riposo"
L’aumento della massa effettiva relativistica rende la velocità della luce c la
velocità limite dell’Universo. Quando v → c la massa effettiva diviene infinita, e
non si può più accelerare la particella. Tale aumento della massa è evidente
negli acceleratori di particelle, nei quali la velocità è prossima a c. Tuttavia la
formula mostra che, per aumentare la massa anche solo dell’1%, bisogna
raggiungere una velocità pari al 14% di c, cioè 42 milioni di m/s.
Le stesse trasformazioni di Lorentz perdono significato (presentano
delle singolarità) quando v → c
Massa, energia e impulso
La formulazione della dinamica in Relatività Speciale conduce alla
famosa relazione energia-massa
E  mc 2   m0 c 2
E = mc2 include sia l’energia cinetica che l’energia di riposo (E = m0c2) di
una particella. L’energia cinetica T di una particella può essere calcolata da
T  mc 2  m0 c 2
Si noti che, per piccole velocità

v2 
1
2
2
E  mc   m0c  1  2  m0c  m 0 c  mo v 2
2
 2c 
2
2
L’impulso relativistico di una particella è dato da
p  mv   m0 v
Relazione relativistica tra energia ed impulso
La famosa relazione di Einstein per l’energia
E  mc2
può essere unita all’espressione relativistica dell’impulso
per ottenere un’espressione alternativa per l’energia
p
m0 v
v2
1 2
c
m02 v 2 c 2 m02 c 4  m02 c 4  m02 v 2 c 2
2 4
2 4
pc 


m
c

m
0c
2
2
v
v
1 2
1 2
c
c
2 2
da cui
E  mc2  p 2c 2  m02c 4
Si noti che m0 è la massa di riposo, e che m è la massa relativistica
L’energia alla Einstein
La massa può essere convertita in energia secondo la relazione di Einstein:
E  m0 c 2
dove c = velocità della luce. La quantità che si ottiene dalla
conversione di un kilogrammo è
E  (1 kg) (3 108 m/s ) 2  9 1016 Joules
Il consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno è circa
1 US Year  5 1011 Joules
quindi la conversione di 1 kg di massa in energia coprirebbe il fabbisogno di
circa 180.000 cittadini USA per 1 anno, oppure il fabbisogno di una città di 1
milione di abitanti per oltre 2 mesi
Alcune unità di misura nucleari
Una conveniente unità di energia, particolarmente utile per processi atomici e nucleari, è
l’energia acquistata da un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 1 Volt. Il
lavoro compiuto dalla forza elettrica, si trasforma in energia cinetica dell’elettrone,
Le masse nucleari sono misurate in unità di masse atomiche; la massa del nucleo di
carbonio-12 è definita esattamente come 12 unità di massa atomica. Per massa si
intende, se non vi sono altre indicazioni, la massa di riposo. La conversione in unità
atomiche è data da:
1 u  1.66054 10-27 kg  931,494 MeV/ c 2
L’energia di legame nucleare
I nuclei sono fatti di protoni e neutroni, ma la massa del nucleo è sempre minore della
somma delle singole masse dei protoni e neutroni che lo formano. La differenza è una
misura dell’energia di legame, che tiene il nucleo unito. Questa energia di legame può
essere calcolata a partire dalla relazione di Einstein:
Energia di legame nucleare = (Δm)c2
Per le particelle alpha Δm= 0.0304 u, che
dà un’energia di legame di 28.3 MeV.
L’enormità dell’energia di legame
nucleare può essere meglio
apprezzata se la si confronta con
l’energia di legame di un elettrone
in un atomo. Le energie di legame
nucleare sono dell’ordine di un
milione di volte più grandi delle
eenergie di legame degli elettroni
negli atomi.
Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione
1 unit = consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno
Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione
La fusione deuterio-trizio e la fissione uranio-235 sono confrontati in termini di energia
liberata. Sia l’energia per singolo evento e per kg di combustibile sono raffrontate. Sono
quindi espresse in termini del consumo medio annuale pro-capite di energia negli USA: 5
x 1011 Joules. I valori sopra riportati rappresentano la produzione totale di energia, non
quella usufruibile dai consumatori.
La fissione e la fusione possono produrre energia
La curva della energia di legame è ottenuta dividendo l’energia totale di legame
nucleare per il numero di nucleoni. Il fatto che ci sia un massimo nell’andamento della
curva in funzione della massa atomica (in corrispondenza del ferro), significa che sia la
frammentazione di nuclei pesanti (fissione) o la combinazione di nuclei leggeri (fusione)
produrrà nuclei più fortemente legati (meno massa per nucleone).
Fusione protone-protone
Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una
temperatura interna minore di 15 milioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni
produce circa 25 MeV di energia
Reazioni nucleari nella catena p-p
Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una
temperatura interna minore di 15 millioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni
produce circa 25 MeV di energia. Questa descrizione della catena di reazioni fa
parte del cosiddetto “standard solar model”
Nota che entrambe le reazioni che producono deuterio producono anche un neutrino. La
misura dell’energia emesa dal Sole ed il confronto con questo modello ci permettono di
predire il numero di neutrini che dovrebbero colpire la Terra. Il fatto che i primi esperimenti
rivelarono solo circa un terzo di quel numero originò il cosiddetto "solar neutrino problem"
Fusione dell’idrogeno
Sebbene una grande energia sia richiesta per superare la barriera coulombiana ed
iniziare la fusione dell’idrogeno, il rilascio di energia sarebbe così alto da
incoraggiare la continuazione delle ricerche in tale campo. La fusione dell’idrogeno
sulla Terra potrebbe far uso delle seguenti reazioni:
H  12 H  32 He  10 n  3.27 MeV 
 fusione deuterio - deuterio
2
3
1
H  1 H  1 H  1H  4.03 MeV 
2
3
4
1
H

H

He

fusione deuterio - trizio
1
1
2
0 n  17.59 MeV
2
1
2
1
Queste reazioni sono più promettenti della fusione protone-protone che avviene nelle
stelle, come possibile fonte di energia. Tra queste la fusione deuterio-trizio sembra la più
favorevole ed è stata oggetto di molti esperimenti. In un reattore deuterio-deuterio,
un’altra favorevole reazione potrebbe avvenire, creando un ciclo del deuterio:
2
1
H  32 He  42 He  11H  18.3 MeV
La produzione di coppie
Per ogni particella conosciuta esiste la sua antiparticella; se si incontrano, esse si
annichilano, con la produzione di due raggi gamma. L’energia quantistica dei due raggi
gamma è uguale alla somma delle energie delle particelle (energia totale, cioè energia di
riposo e cinetica). E’ anche possibile che un fotone perda la sua energia quantistica
nell’interazione con la materia, per formare una coppia particella-antiparticella.
La massa di riposo di un elettrone è 0.511 MeV/c2, quindi la soglia in energia per la
produzione di una coppia electtone-positrone è 1.02 MeV. Per i raggi X e gamma di
energie ben superiori a 1 MeV, questa produzione di coppie diventa uno dei principali
canali di interazione con la materia. Ad energie ancora più alte, molti tipi di particellaantiparticella possono essere prodotti.
Il fotone
Un fotone si muove con la velocità della luce in ogni sistema di riferimento; non può mai
essere a riposo e la sua massa di riposo è zero, m0 = 0. Per un fotone l’espressione
relativistica dell’impulso
p
m0 v
2
1-
v
c2
  m0 v
v
= speed
si riduce a zero su zero, quindi non può essere usata direttamente per determinare
l’impulso di una particella di massa nulla. Tuttavia, si può usare la relazione:
E  mc2  p 2c 2  m02c 4
Ponendo a zero la massa di riposo ed applicando la relazione di Planck , E  h ,
si ottiene l’espressione dell’impulso per un fotone:
E h h
p 

c
c

 f
= frequenza
Schema concettuale della Relatività Speciale
La misura di una velocità assoluta non è possibile
(esperimento di Michelson-Morley)
La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente
e dell’osservatore (aberrazione della luce stellare, etc.)
c è una costante universale
Le leggi della Fisica sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz
x'   ( x  vt )
 vx    1
t'   t  2 
1  2
 c 

v
c
Le trasformazioni di Galileo ed il concetto di tempo universale
debbono essere abbandonate
La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi
(decadimento dei muoni nell’atmosfera)
L0   L
T   T0
La conservazione dell’impulso conduce alla massa relativistica
(acceleratori di particelle)
m   m0
La velocità della luce diventa la velocità limite nell’Universo
(legge di composizione relativistica delle velocità)
Equivalenza massa-energia
(energia di legame dei nuclei, fusione, fissione, …)
E  mc 2   m0 c 2
Lo Spazio-Tempo ed i quadri-vettori in Relatività
Nella trattazione matematica della Relatività le coordinate spazio-tempo ed energiaimpulso sono spesso espresse in forma di quadri-vettori. Essi sono definiti in modo tale
che la “lunghezza” di un quadri-vettore è invariante per trasformazioni di coordinate
(trasformazioni di Lorentz). Questa invarianza è associata con (e riflette) le leggi della
Fisica. L’invarianza del quadri-vettore spazio-tempo è associata con la costanza della
velocità della luce. L’invarianza del quadri-vettore enegia-impulso è associata con il fatto
che la massa di riposo di una particella è invariante per trasformazione di coordinate.
quadri-vettore spazio-tempo
quadri-vettore energia impulso
ct 
 x  ct 

R      
y
r
   
z 
E / c
 px   E / c 

P 
  

p
 y   p 
 p z 
2
2  2
c t  r  ct ' r '
2 2
è Lorentz invariante
2
2 2
E / c  p  m0 c
2
2
è Lorentz invariante
spazio-tempo della Relatività Speciale = spazio di Minkowski
Il prodotto scalare di 2 quadri-vettori spazio-tempo è definito come:
ct 

Ra    a 
 ra 
ct 

Rb   b 
 rb 
 
Ra  Rb  c 2t a tb  ra  rb
e il prodotto scalare di 2 quadri-vettori energia-impulso come
 E / c

Pa   a 
 pa 
 E / c

Pb   b 
 pb 
 
Pa  Pb  Ea Eb / c 2  pa  pb
Si noti che questa definizione di prodotto scalare differisce dal prodotto scalare
ordinario (di vettori euclidei) a causa del segno meno. Queso segno meno è necessario
per la proprietà di invarianza della lunghezza dei quadri-vettori.
 
A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz
(prodotto scalare euclideo)
con




A  Ax i  Ay j  Az k




B  Bx i  By j  Bz k

k

i

j
La lunghezza al quadrato del quadri-vettore spazio-tempo è data da:
2
R  R  (ct )  ( x  y  z )  (ct )  r
2
2
2
2
2
La lunghezza di un quadri-vettore è invariante, cioè è la stessa in tutti i sistemi di
riferimento inerziali. Questa invarianza è associata con la costanza della velocità della
luce. Questa espressione può essere vista come l’equazione di un sfera, associata alla
luce che si propaga in tutte le direzioni a partire dall’origine, con velocità c. Il raggio
della sfera ad un tempo t, vale ct.
La lunghezza al quadrato del quadri-vettore energia-impulso è data da:
2
P  P  ( E / c)  ( p  p  p )  ( E / c)  p  m02c 2
2
2
x
2
y
2
z
2
La lunghezza di questo quadri-vettore è l’energia di riposo della particella, moltiplicata
per la velocità della luce. L’invarianza è associata al fatto che la massa di riposo e la
velocità della luce sono le stesse in tutti I sistemi di riferimento inerziali.
P  P  m0c
Il Cono Luce
c 2t 2  x 2  y 2  z 2 è il quadrato della distanza percorsa dalla luce nel tempo t
ct
Se tralasciamo una delle variabili
spaziali, ad esempio la z,
otteniamo l’equazione di un cono:
2
2
2
(ct )  x  y
future
Il Cono Luce indica lo spazio nel
quale sono confinati gli eventi
fisici (le Linee-Universo). Solo le
particelle di massa nulla (come il
fotone) possono viaggiare lungo il
cono. Quelle di velocità minore sono
confinate all’interno del cono.
y
past
x
Solo per gli eventi all’interno del Cono Luce la sequenza temporale
è fissata (cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento)
Relatività generale – Il principio di equivalenza
La relatività generale nasce da due esigenze teoriche:
1) Estendere il principio di relatività agli osservatori non inerziali.
2) Descrivere la gravità.
Principio di equivalenza
Gli esperimenti compiuti in un sistema di riferimento uniformemente
accelerato con accelerazione a non sono distinguibili dagli stessi
esperimenti compiuti in un sistema di riferimento non accelerato, il quale
sia situato in un campo gravitazionale con accelerazione di gravità g = – a.
Un altro modo di affermare questo principio fondamentale della Relatività
Generale è quello di dire che la massa gravitazionale e quella inerziale
coincidono.
Anche la luce pesa
a
Sistema di riferimento accelerato
Nella scatola la massa sente
un’accelerazione g = – a
A
B
m
g=–a
Un raggio di luce che si sposti dal
punto A sulla parete destra,
raggiungerà la parete sinistra in un
un punto B situato più in basso,
poiché la scatola accelera verso l’alto
durante il tempo che la luce impiega
per andare da A a B. Questa
deflessione è quasi inavvertibile sulla
Terra, a causa della grande velocità
della luce.
Nessun esperimento può distinguere localmente tra un campo
gravitazionale ed un sistema di riferimento accelerato
La luce deve essere deflessa dalla forza di gravità
Effetti gravitazionali sulla luce
I calcoli di Einstein basati sulla
sua teoria della relatività
generale indicarono che I raggi
della luce di una stella radente il
Sole dovrebbero essere deflessi
di un angolo di 1.75 secondi di
arco. Ciò fu misurato durante
l’eclisse di sole totale del 1919 e
durante quasi tutte quelle
successive.
La gravità ed il fotone
L’espressione relativistica dell’energia attribuisce una massa ad ogni particella dotata
di energia
E  mc2  h 0
L’energia potenziale gravitazionale è quindi
U  G
Mm
Mh
 G 2  0
r
rc
Quando il fotone sfugge al campo gravitazionale avrà una frequenza diversa:
M

h  h 0 1  G 2 
rc 

M

   0 1  G 2 
rc 

  0
GM
 2
0
rc
Poiché la frequenza risulta ridotta, questo effetto è chiamato “gravitational red shift”,
oppure Einstein red shift.
L’energia di fuga per il fotone
Se l’energia potenziale gravitazionale del fotone è esattamente uguale all’energia
quantistica del fotone, cioè
h 0 
GMh
0
2
rc
 r
GM
c2
allora il fotone è “red-shifted” a frequenza nulla. Si noti che questa condizione è
indipendente dalla frequenza, e per ogni massa gravitazionale M fornisce un raggio
critico, il raggio di Schwarzchild (in realtà, il raggio di Schwarzchild differisce da
questo risultato per un fattore 2).
2GM
RS  2
c
RS = 9 Km per M = 3 masse solari
RS = 3 Km per il Sole
RS = 9 mm per la Terra
La dilatazione dei tempi gravitazionale
Il tempo di un orologio in un campo gravitazionale scorre più lentamente, secondo
la legge della dilatazione gravitazione dei tempi della relatività generale
T
T0
2GM
1
Rc 2
(si noti che questo effetto è diverso dalla dilatazione dei
tempi della Relatività Speciale, legata al moto relativo)
Dove T è il tempo misurato da un orologio molto lontano dal campo gravitazionale
(R molto grande). Per un orologio sulla superficie della Terra, questa espressione
diventa
dilatazione gravitazionale
del tempo sulla superficie
terrestre
T
T0
2 gR
1 2
c
Questa dilatazione è circa di 1 parte su 109:
g
GM
r2
 gR 
T  T0 1  2 
c 

R=h in questa espressione dà la differenza di tempo tra due orologi
posti ad altezze che differiscono di h
box = sistema accelerato
Gli orologi A e B emettono, ad
esempio, 10 segnali al secondo.
Ma il ricevitore R si muove verso
l’alto, e raccoglie più segnali, ad
esempio 11. Quindi conclude
che l’orologio A ha emesso 11
segnali mentre l’orologio B ne ha
emessi 10: l’orologio B è più
lento, in ritardo.
a
A
h=
altezza
del box
R
La differenza negli intervalli di
tempo è dovuta al rapporto tra la
velocità raggiunta da R durante la
trasmissione del segnale (v = g t =
gh/c) e la velocità della luce.
B
Principio di equivalenza: ciò che accade in un sistema
accelerato deve accadere in un campo gravitazionale
gh
TA  TB  2 TB
c
in accordo con il risultato
precedente
Schema concettuale della Relatività Generale
Principio di equivalenza della massa gravitazionale ed inerziale
(deflessione della luce delle stelle da parte del Sole)
Dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali
(red shift gravitazionale)
La dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali è stata osservata
sperimentalmente. L’applicazione più nota di tale effetto riguarda
l’uso del navigatore satellitare per determinare la posizione di punti
sulla Terra, mediante la misura della distanza tra il punto e satelliti.
Tale distanza è misurata attraverso misure precise di tempi e la
sincronizzazione degli orologi sulla Terra e sui satelliti è cruciale.
Il navigatore satellitare
Gli effetti di relatività
speciale e generale sugli orologi
sono vericati dal GPS.
La correzione è di circa
40 microsecondi/giorno.
Senza questa correzione la
posizione di un oggetto sulla
Terra sarebbe determinata con
un errore di 10 km (la precisione
del GPS è di 10 metri).