1° lezione: L’armonia e il
numero aureo
Le proporzioni sono importanti!
Definizione della Sezione
Aurea
Si dice sezione aurea di un segmento quella parte
del segmento (la maggiore), che è media
proporzionale fra l’intero segmento e la rimanente
parte
(la Eminore).
Se il punto
divide il segmento AB in due parti tali
che si abbia:
AB : AE = AE : EB
diremo che
AE è la sezione aurea del segmento AB.
Costruzione della Sezione
Aurea
Metodi possibili:
-Algebrico
-Geometrico
Metodo algebrico
Partendo dalla definizione di Sezione Aurea:
AB : AE=AE : EB
e ponendo:
AB = a
AE = x
EB = (a – x)
risulta che
a : x = x : (a – x)
Da cui per la proprietà fondamentale delle
proporzioni
x2 = a(a – x)
sviluppando
x2 = a2 – ax
x2 + ax – a2 = 0
Metodo algebrico
Risolvendo l’equazione di secondo grado
x2 + ax – a2 = 0
si ottengono2 le due
radici
2
x
x
 a  a  4a
2
5a  a a ( 5  1)

 0,618a
2
2
La radice negativa viene scartata
La radice positiva rappresenta la sezione
aurea
Il numero aureo
• Il rapporto fra un segmento e la sua
sezione aurea
AB

 1,618033...
AE
è chiamato numero aureo
ed è noto fin dall’antichità.
Metodo Geometrico
Con il software
GeoGebra si
procede:
• Tracciare un
semento AB
• Individuare il
suo punto
medio M
• Tracciare la
circonferenz
a di centro B
e raggio MB
Metodo Geometrico
• Tracciare la
perpendicolar
e per B al
segmento AB
• Detto O il
punto di
intersezione
tracciare la
circonferenza
di centro O e
raggio OB
Metodo Geometrico
• Tracciare la
semiretta AO
• Individuato il
punto c di
intersezione
tracciare la
circonferenza
di centro A e
raggio AC
Costruzione grafica
• Il segmento AE
così ottenuto è
la Sezione
Aurea del
segmento AB
Dimostrazione con il teorema
della secante e della
tangente
AD:AB=AB:AC
Applicando la proprietà dello scomporre si
ha:
(AD-AB):AB=(AB-AC):AC

poiché AB CD si ha
AC:AB=EB:AC
Da cui: AE:AB=EB:AE