“La geometria ha due grandi tesori: uno è il
teorema di Pitagora; l’altro è la sezione
Aurea di un segmento. Il primo lo possiamo
paragonare ad un oggetto d’oro; il secondo lo
possiamo definire un prezioso gioiello”
[1571-1630]
Johannes Kepler
Il primo incontro con la sezione aurea in genere avviene in
geometria. La sezione aurea di un segmento AB è quella parte di
tale segmento che sia media proporzionale tra tutto il segmento e la
parte restante.
Considerato, cioè, un segmento
AB, il segmento AC sarà sua
Sezione Aurea se AB  AC
AC
BC
Ciò avviene, quindi, quando
il rapporto tra l’intero
segmento e la parte più
lunga è uguale al rapporto
tra la parte più lunga e la
parte più corta.
Cerchiamo il valore di questo rapporto. Posto AB= l e AC= x
riscrivere la precedente relazione come:
potremo
l
x
l  l 2  4l 2 l  l 5
1  5
2
2
2
2

 l  lx  x  x  lx  l  0  x 

l
x lx
2
2
2
Consideriamo il valore positivo:
xl
5 1
2
Quindi risulterà:
x

l
5 1
 0, 618033...
2
A questo punto il rapporto cercato sarà:


l
2
5 1 2 5 1
5 1




 1, 618033...
x
5 1
2
5 1 5 1
Il numero trovato è, oltre a π, uno dei numeri celebri della
matematica; esso viene rappresentato con la lettera φ
dell’alfabeto greco dall’ iniziale di Fidia (vedremo in
seguito perché ) ,il grande scultore sotto la cui direzione fu
costruito il Partenone di Atene. Tale numero va anche
sotto il nome di Costante di Fidia, numero aureo,
proporzione divina.
Ma che cosa ha di così importante questo numero per
meritarsi l’aggettivo “AUREO” o
l’’ appellativo di “DIVINO”?
Lo scopriremo attraverso
le sue proprietà.
φ
Restando nell’ambito geometrico si può ricavare immediatamente che “ ogni
segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea.”
l  x l 
 

x
 l
E ancora “ tolta la sezione aurea la parte rimanente di un segmento è sezione
aurea delle sezioni auree del segmento”
 x
lx 



 l  x x  l  x  
E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione e per addizione..
A partire da un segmento si può costruire la sua sezione aurea; ad esempio nel
seguente modo: sia L la lunghezza del segmento AB. Si consideri il segmento OB
perpendicolare adAB tale che OB=L/2. Con centro in O si descriva la circonferenza
di raggio L/2.
Tracciata la retta OA siano D ed E le interdizioni di tale retta con la circonferenza.
Infine con centro in A si descriva la circonferenza di raggio AD e sia C la sua
interdizione con il segmento AB. AC è sezione aurea di AB. Infatti, per il teorema
della tangente e della secante risulta: AE : AB = AB : AD da cui,
applicando la proprietà dello scomporre
risulta: (AE-AB):AB=(AB-AD):AD
ma poiché DE=AB risulta
AE- A B= AD=AC ed inoltre
AB-AD=AB-AC=BC. Quindi la
precedente proporzione diventa
AC:AB=BC:AC o anche, invertendo
AB:AC=AC:BC che è proprio ciò che si
voleva dimostrare.
Ma scopriamo insieme altre curiosità su questo numero “magico”.
Intanto φ è l’ unico numero positivo per cui risulti:
 1 
1

  1
2
1
Curioso, inoltre, è che  ,  e  2 mantengono le medesime cifre decimali.

può essere espresso come frazione continua:
1
  1
1
1
1
1
1
1
...
E ancora:
  1  1  1  ...
Il rettangolo aureo
Si definisce rettangolo aureo un rettangolo i cui lati
a e b siano in proporzione aurea.
a

b
Se da questo rettangolo si elimina il quadrato di
lato b, si ottiene un rettangolo che è ancora
rettangolo aureo. Infatti b è sezione aurea di a cioè
ma anche a  b cioè b  
b
ab
Iterando questa costruzione si ottiene una serie
di rettangoli aurei sempre più piccoli e, tracciando
un quarto di cerchio in ogni quadrato scartato, si
ottiene una linea che si avvolge su se stessa infinite
volte che si chiama “Spirale Logaritmica”
a b
a

b
Se si prendono tre rettangoli aurei uguali (giacenti su piani due a due
ortogonali con i centri coincidenti) e si incastrano, unendo i vertici si
otterrà un icosaedro (poliedro regolare con 20 facce triangolari) mentre i
centri delle facce di un dodecaedro ( 12 facce pentagonali ) sono i vertici dei
tre rettangoli aurei incentrati.
Già secondo molti artisti greci dell’antichità
e, molto più tardi, artisti italiani del
Rinascimento, il rettangolo aureo è quello che
più appaga il nostro senso estetico.
Nella STELE del RE GET, reperto risalente
a 5000 anni fa proveniente da ABIDO
(antica capitale egizia del periodo
predinastico) ed esposta oggi al Louvre, si
osserva al centro un rettangolo nella cui parte
più bassa il quadrato costruito sul lato più
corto contiene la città, mentre nel rimanente
rettangolo (ancora aureo) è riportato il
serpente, simbolo del re.
Veri cultori della sezione aurea furono gli antichi greci ai
quali si deve la denominazione di “aurea”.
Nel Partenone di Atene tutto è progettato attorno al
rettangolo aureo.
Ma un vero trionfo della sezione aurea si ebbe nel RINASCIMENTO, quando
rappresentò per tutti gli artisti un canone di bellezza cui ispirare ogni
composizione artistica dall’’architettura, alla scultura e alla pittura, e guida per
riprodurre il corpo umano (proporzione ideale tra le parti del corpo).
Luca Pacioli
Contribuì a tale concezione l’opera del matematico LUCA PACIOLI
(1445-1514) dal titolo “DE DIVINA PROPORTIONE” ,
incentrata sulla proporzione come chiave universale per penetrare i
segreti della bellezza, ma anche della natura al cui centro è collocato
l’uomo, misura di ogni cosa,
sospeso tra un quadrato ed un cerchio
nell’“UOMO VITRUVIANO”,
celebre disegno di LEONARDO,
amico di PACIOLI e autore dei
disegni che illustrano il suo libro.
La sezione aurea continua ad
essere utilizzata ; architetti come
LE CORBUSIER ed in Italia
TERRAGNI, l’’ hanno usata
nella progettazione di alcuni edifici
razionalisti. Altre applicazioni si ritrovano nel design e studi recenti
mostrano che continua a giocare un ruolo importante nella nostra
percezione di bellezza. Così, inevitabilmente, anche la chirurgia
estetica si è fatta affascinare da φ : quanto più il rapporto tra le
distanze.
del centro della bocca dalla punta del mento e dalle narici si
avvicina ad essere 1,618 tanto più il viso sarà bello.
Ma provate a misurare la vostra altezza e
l ’altezza del vostro ombelico:
quanto più il rapporto tra
queste due misure è prossimo
a φ tanto più le proporzioni
del vostro corpo corrispondono
ai canoni classici della
bellezza greca.
Difficile e rischioso accettare che la bellezza si possa
misurare e sono molti oggi a non essere d’accordo,tanto
più ricordando che tale teoria fu ripresa e manipolata
per valutare il grado di perfezione della razza ariana
rispetto alle altre in uno dei periodi più bui che il
genere umano abbia mai vissuto. Ma il matematico o ,
più in generale lo scienziato, non può, almeno in
questo caso, farsi garante del fatto che le sue scoperte
non vengano messe al servizio di cause abominevoli e
tale teoria riesce a conservare il suo fascino a patto che
si accetti che altri numeri ed altri rapporti possano
avere in natura la stessa importanza e condurre
incontestabilmente a espressioni artistiche altrettanto
gradevoli.
Il pentagono stellato
Figura cara ai pitagorici che l’avevano assunta a simbolo della loro
scuola è il cosiddetto pentagono stellato o pentagramma. Il
pentagramma è la figura formata dalle diagonali del pentagono
regolare. Esse, intersecandosi, determinano un nuovo pentagono
regolare, più piccolo, le cui diagonali
formano a loro volta un nuovo
pentagramma, e così via all’infinito. In
tale successione il lato di ogni
pentagono regolare è uguale alla sezione
aurea della diagonale, ossia del lato del
pentagramma.
Numeri di
Fibonacci
Il matematico pisano Leonardo
Fibonacci in un suo libro
intitolato “Liber abaci” (prima
edizione 1202) pone il seguente
problema: Supponiamo che una
coppia di conigli impieghi un
mese per diventare adulta ed un secondo mese
per procreare un’altra coppia. Se all’inizio
della generazione abbiamo una sola coppia,
quante coppie avremo dopo un anno?
Cerchiamo di risolvere il problema attraverso una tabella.
MESI
GENNAIO
FEBBRAIO
MARZO
APRILE
MAGGIO
GIUGNO
LUGLIO
AGOSTO
SETTEMBRE
OTTOBRE
NOVEMBRE
DICEMBRE
NUMERO COPPIE
ADULTI
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
NUMERO COPPIE CHE
NON PROCREANO
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
TOTALE
COPPIE
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
Fissiamo l’attenzione sulla successione di numeri della prima
colonna:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
detti anche numeri di Fibonacci. Osserviamo subito che ogni
termine, dal terzo in poi, si ottiene sommando i due precedenti;
cioè se indichiamo la successione con:
f1 , f 2 , f3 ... f n ...
prolungandole all’ infinito potremo scrivere :
f n1  f n  f n1
con
f0  1
f1  1
Ma cosa hanno a che fare i conigli di Fibonacci con la divina proporzione?
Ebbene si può dimostrare che costruite con i numeri di Fibonacci la
successione:
f n 1
lim an  
an 
risulta che:
n 
fn
Cioè si considerino i rapporti tra ciascun termine e il precedente: essi al crescere
di n tendono ad assumere un valore prossimo a  . Per avere un’idea:
1
1
1
2
2
1
3
 1, 5
2
5
 1, 6
3
8
 1, 6
5
13
 1, 625
8
21
 1, 615384...
13
34
 1, 619047...
21
55
 1, 617470...
34
89
 1, 618181...
55
144
 1, 617977...
89
233
 1, 618055...
144
I numeri di Fibonacci, la musica e la
natura
Anche la musica non sfugge al fascino del rapporto aureo.
Fortemente sperimentali o meno che siano è bene sottolineare
che i primi studi sull’ applicazione della sezione aurea alle
strutture formali della musica , risalgono alla metà del XX
secolo e infatti proprio del 1950 un articolo di J.H. Douglas
Webster che, citando un gran numero di partiture nelle quali
possono essere riscontrate proporzioni auree, apre
ufficialmente la strada a questo affascinante settore
dell’analisi della musicologia. La successione individuata da
Fibonacci può essere rapportata a qualsiasi unità di misura
concernente la musica: durata temporale, numero di note,
numero di battute…
A ciò si sono ispirati compositori
come Bartòk e Debussy, ed anche
la musica rock, in special modo il
rock progressivo si è confrontato
con la relazione esistente tra la
musica e la matematica
soprattutto per ciò che riguarda
gli aspetti mistico esoterici della
sezione aurea.
Bartòk
Debussy
L’esempio più emblematico riguarda la musica dei GENESIS (gruppo
rock inglese) i quali hanno usato assiduamente la serie fibonacciana.
In particolare nel loro album: “Selling England by the pound”(1973)
strutture matematiche riscontrabili in
alcuni brani fanno capo ad
architetture auree progettate fin nei
minimi particolari. Nel brano “Firth
of fifth” l’analisi della struttura
formale evidenzia alcuni aspetti assai
originali: il numero delle battute è
riconducibile (con qualche
approssimazione) alla serie di
Fibonacci, come le durate temporali o
il numero delle note che in qualche
assolo è 144.
Ma la sezione aurea ed i numeri di Fibonacci riservano altre sorprese: essi si
insinuano persino nei regni della natura! Come il numero l e π, φ è uno di quei
misteriosi numeri che sembrano essere alla base della struttura del cosmo.
Uno dei classici esempi è il nautilus, un mollusco dei mari tropicali considerato
un fossile vivente essendo la sua specie antichissima; la sua conchiglia
sezionata è un’aspirale aurea.
Se si guarda con attenzione il
capolino di un girasole o di una
margherita, si nota che i semi
sono disoposti secondo spirali
logaritmiche che partono dal
centro in due direzioni opposte
e se si contano le spirali in
senso orario e quelle in senso
antiorario si trovano numeri
della serie di Fibonacci (55 e 34
spirali e 34 e 21 o ancora 21 e
13).
Ma la presenza di tali numeri si può ritrovare anche nelle spirali
di pigne, ananas, carciofi e moltissimi altri vegetali.
Se si osserva la disposizione delle foglie
lungo un ramo,
a partire da quella più bassa, si può
tracciare una linea elicoidale che passi
per i punti di intersezione
delle foglie; il numero delle foglie ed il
numero delle spire appartengono ad
una successione
di Fibonacci.
Ma anche molte galassie hanno la forma di spirali logaritmiche.
Perché accade questo? A quali misteriose leggi obbedisce la natura? Aldilà
di ogni possibile interpretazione mistico esoterica della sezione aurea,
aldilà di ogni concezione basata esclusivamente su tale rapporto, compito
dello scienziato è quello di porsi domande come queste e cercare di dare loro
una risposta.
Per tutto il resto ci sono i Dan Brown.
Hanno partecipato:
3°E 2006-2007:
4°E 2006-2007:
Ambrosj Alessio
Carletti Giulia
Corinti Davide
D’ Amario Francesco
Davide Renato
Della Loggia Benedetta
Di Benedetto Amedea
Di Emidio Ilaria
Di Giacinto Attilio
Di Giuseppe Giulia
Di Marcello Giuseppina
Di Pasquale Lorenzo
Forlini Marta
Napolitano Alessia
Pecorale Sara
Pedalino Gioele
Preziuso Raffaella
Sbraccia Francesco
Aristeo Monica
D’Amario Alessandro
Di Genova Lorenza
Di Paolantonio Sara
Galiffa Giampaolo
Marcacci Gianna
Mucciconi Duilio
Orsini Giorgia
Scopolino Pierluigi