Capitolo 7
Equazioni lineari di ordine k
7.1
Generalità
In questo capitolo prendiamo in considerazione alcune equazioni differenziali di ordine k > 1
in forma normale, le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Tutto questo
significa che una tale equazione ha la forma
y (k) + ak−1 y(k−1) + ak−2 y (k−2) + ... + a1 y 0 + a0 y = b(x) .
Se decidiamo di adottare la notazione y(0) = y (vale a dire che la derivata di ordine zero è la
funzione stessa) possiamo anche usare la forma più compatta:
y (k) +
k−1
X
aj y (j) = b(x) .
(7.1)
j=0
Nella (7.1) i coefficienti a0 , a1 , ..., ak−1 delle varie derivate della funzione incognita sono costanti
reali, e b(x) è una funzione definita su un intervallo I ⊆ R. Se, in particolare, la funzione b è
identicamente nulla, l’equazione è detta omogenea; in caso contrario, è detta non omogenea.
Nel caso la (7.1) non sia omogenea, vedremo che sarà utile introdurre l’equazione omogenea
associata alla (7.1), che è la
y(k) +
k−1
X
aj y(j) = 0
j=0
ottenuta sostituendo alla funzione b la funzione identicamente nulla. In questo caso possiamo
pensare che I = R.
Dire che y = y(x) è una soluzione di (7.1) nell’intervallo I significa:
i) y è derivabile k volte in I
ii) per ogni x ∈ I si ha
y
(k)
(x) +
k−1
X
aj y (j) (x) = b(x) .
j=0
99
100
CAPITOLO 7. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE K
Per le equazioni di ordine k, il problema di Cauchy consiste nel determinare una soluzione
dell’equazione nell’intervallo I, che in un dato punto x0 ∈ I assuma - insieme a tutte le sue
derivate sino all’ordine (k − 1) - valori assegnati; formalmente

k−1

X

 y (k) +

aj y (j) = b(x)




j=0

y(x0 ) = y0
(7.2)


y 0 (x0 ) = y1




...


 y (k−1) (x ) = y
0
k−1
È possibile dimostrare che se la funzione b è continua in I, allora il problema di Cauchy (7.2) ha
una ed una sola soluzione in I, per ogni scelta dei dati iniziali x0 ∈ I, y0 , ..., yk−1 ∈ R.
Per quanto riguarda le equazioni (7.1) la teoria fornisce una descrizione completa dell’insieme
delle sue soluzioni in I (sempre pensando che b ∈ C (I)); inoltre, almeno nel caso k = 2 sapremo
anche scrivere esplicitamente tutte queste soluzioni.
7.2
Equazioni lineari omogenee
Consideriamo l’equazione lineare omogenea
y
(k)
+
k−1
X
aj y(j) = 0
(7.3)
j=0
È immediato verificare che se w1 = w1 (x) e w2 = w2 (x) sono soluzioni in R di (7.3), allora è
soluzione anche una qualsiasi loro combinazione lineare w = c1 w1 + c2 w2 , con c1 ,c2 ∈ R; perciò,
l’insieme delle soluzioni di (7.3) è uno spazio vettoriale sul campo reale.
Si può dimostrare che questo spazio vettoriale ha dimensione finita, pari all’ordine dell’equazione, cioè k.
Questo comporta che per ottenere tutte le soluzioni di (7.3) in R occorre e basta conoscere una
base per questo spazio vettoriale, vale a dire k soluzioni linearmente indipendenti w1 , w2 , ..., wk ;
ogni soluzione della (7.3) assume la forma
w(x) = c1 w1 (x) + c2 w2 (x) + ... + ck wk (x)
cioè è rappresentabile per mezzo di una combinazione lineare degli elementi della base, mediante
opportuni coefficienti reali c1 , c2 , ..., ck .
La prima domanda che sorge spontanea è:
Come trovare k soluzioni w1 , w2 , ..., wk di (7.3) ?
Procediamo “per tentativi” e domandiamoci se tra le soluzioni c’è una funzione esponenziale del
tipo y(x) = eλx con λ ∈ R; poichè per ogni intero j ≥ 0
dj λx
e = λj eλx
dxj
(7.4)
7.2. EQUAZIONI LINEARI OMOGENEE
ne segue che la funzione eλx è soluzione se e solo se


k−1


X
eλx λk +
aj λj = 0


j=0
101
per ogni x ∈ R .
(7.5)
Conviene inoltre notare che anche nel caso λ = α + iβ, α, β ∈ R, β 6= 0, la funzione di variabile
reale x
eλx = e(α+iβ)x = eαx (cos βx + i sin βx)
soddisfa la (7.4) e quindi, ancora, eλx è una soluzione di (7.3) se e solo se (7.5) è soddisfatta.
Il polinomio P di grado k nella variabile λ ∈ C
P (λ) = λk +
k−1
X
aj λj = λk + ak−1 λk−1 + ak−2 λk−2 + ... + a1 λ + a0 ,
(7.6)
j=0
ottenuto sostituendo, in (7.3), alla derivata y (j) la potenza λj della variabile λ (0 ≤ j ≤ k) è
detto polinomio caratteristico dell’equazione differenziale lineare (7.3). L’equazione P (λ) = 0
è invece detta equazione caratteristica della (7.3).
Riassumendo, siamo in grado di affermare che:
La funzione y (x) = eλx è una soluzione di (7.3)
se e solo se
il numero λ ∈ C è una radice del polinomio caratteristico P.
Ricordiamo che, per il Teorema Fondamentale dell’Algebra, il polinomio caratteristico ha esattamente k radici nel campo complesso (purchè contate con la dovuta molteplicità). Inoltre,
trattandosi di un polinomio a coefficienti reali, se P ha una radice non reale λ = α + iβ, anche
λ = α − iβ è una radice di P, con la stessa molteplicità.
Si possono dimostrare le seguenti affermazioni:
1. Se λ ∈ R è radice, con molteplicità r, del polinomio caratteristico P allora sono soluzioni
dell’equazione (7.3) le funzioni
eλx , xeλx , x2 eλx , .... , xr−1 eλx ;
ciò significa che ad una radice reale che “conta” per r radici sono associate in questo modo
r soluzioni di (7.3).
2. Se λ = α + iβ (β 6= 0) è radice, con molteplicità s, del polinomio caratteristico P allora
sono soluzioni dell’equazione (7.3) le funzioni
eαx cos βx, xeαx cos βx, ... , xs−1 eαx cos βx ;
eαx sin βx, xeαx sin βx, ... , xs−1 eαx sin βx ;
ciò significa che ad una radice (non reale) che, insieme alla sua complessa coniugata, “conta”
per 2s radici sono associate in questo modo 2s soluzioni di (7.3).
102
CAPITOLO 7. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE K
Perciò, se siamo in grado di determinare tutte le soluzioni dell’equazione caratteristica P (λ) = 0
otteniamo un numero di soluzioni dell’equazione (7.3) pari alla dimensione dello spazio vettoriale
delle soluzioni, cioè k.
La seconda domanda:
queste k soluzioni sono linearmente indipendenti?
È possibile dimostrare che la risposta è affermativa.
Perciò, almeno teoricamente siamo in grado di ottenere tutte le soluzioni dell’equazione lineare
omogenea (7.3).
Esempio 1 L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale
y 00 − 3y0 + 2y = 0
è λ2 − 3λ + 2 = 0, che ha le radici λ1 = 1 e λ2 = 2 (due radici reali e distinte). Le soluzioni sono
allora
y(x) = c1 ex + c2 e2x
c1 , c2 ∈ R
N
.
Esempio 2 L’equazione caratteristica dell’equazione differenziale
y 00 − 2y 0 + y = 0
è l’equazione λ2 − 2λ + 1 = 0, che ha la radice λ = 1 (con molteplicità 2). Le soluzioni sono
y(x) = c1 ex + c2 xex
c1 , c2 ∈ R
N
.
Esempio 3 Data l’equazione
y 00 + 4y = 0 ,
il suo polinomio caratteristico P (λ) = λ2 + 4 ha le radici complesse λ = ±2i (si tratta di una
radice complessa non reale e della sua coniugata). Allora le soluzioni sono
y(x) = c1 cos 2x + c2 sin 2x
.
c1 , c2 ∈ R
N
7.2. EQUAZIONI LINEARI OMOGENEE
103
Esempio 4 L’equazione
y (iv) − 2y000 + 2y00 − 2y 0 + y = 0
ha polinomio caratteristico
P (λ) = λ4 − 2λ3 + 2λ2 − 2λ + 1 = (λ2 + 1)(λ − 1)2 .
Quindi λ = 1 è radice doppia e λ = ±i hanno entrambe molteplicità 1. Le soluzioni sono
y(x) = c1 ex + c2 xex + c3 cos x + c4 sin x
cj ∈ R, j = 1, ..., 4
N
.
Esempio 5 L’equazione
y 000 − 2y 00 + 5y 0 = 0
ha polinomio caratteristico
P (λ) = λ3 − 2λ2 + 5λ = λ(λ2 − 2λ + 5).
Quindi λ = 0 e λ = 1 ± 2i sono tre radici semplici. Le soluzioni sono allora
y(x) = c1 + ex [c2 cos 2x + c3 sin 2x]
cj ∈ R
N
.
Esempio 6 L’equazione
y000 + (1 − a)y 00 − ay 0 = 0
,
a∈R
ha polinomio caratteristico P (λ) = λ3 + (1 − a)λ2 − aλ, le cui radici sono λ = 0, −1, a.
Quindi, se a è diverso da 0 e da −1, abbiamo tre radici reali distinte, mentre se a = 0 oppure se
a = −1 abbiamo una radice semplice e una doppia. Perciò le soluzioni sono
a 6= 0, a 6= −1
a=0
a = −1
y(x) = c1 + c2 e−x + c3 eax
y(x) = c1 + c2 x + c3 e−x
y(x) = c1 + c2 e−x + c3 xe−x
.
Esempio 7 Vogliamo determinare la soluzione del problema di Cauchy
 000
y − my 00 + m2 y0 − m3 y = 0



y(0) = 0
y0 (0) = 0


 00
y (0) = 1
cj ∈ R
N
104
CAPITOLO 7. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE K
dove m ∈ R, m > 0.
Scriviamo tutte le soluzioni e poi, imponendo le condizioni iniziali, troveremo quella che cerchiamo. Il polinomio caratteristico è
P (λ) = λ3 − mλ2 + m2 λ − m3 = (λ − m)(λ2 + m2 )
Quindi, se m 6= 0, λ = m e λ = ±mi sono tre radici semplici; se invece m = 0, abbiamo solo
λ = 0, con molteplicità 3. Le soluzioni sono allora
y(x) = c1 + c2 x + c3 x2
y(x) = c1 emx + c2 cos mx + c3 sin mx
m = 0,
m 6= 0,
Se m = 0, le condizioni iniziali comportano

 y(0) = c1 = 0
y 0 (0) = c2 = 0
 00
y (0) = 2c3 = 1
e quindi la soluzione del problema di Cauchy è y(x) = 12 x2 .
Se m 6= 0, si ha

 y(0) = c1 + c2 = 0
y 0 (0) = mc1 + mc3 = 0
 00
y (0) = m2 c1 − m2 c2 = 1
e quindi la soluzione del problema di Cauchy è
y(x) =

 c1 = −c2
c1 = −c3

2c1 = 1/m2
1
(emx − cos mx − sin mx) .
2m2
N
.
7.3
Equazioni lineari non omogenee
Trattiamo ora brevemente le equazioni lineari di ordine k a coefficienti costanti non omogenee,
vale a dire
y (k) +
k−1
X
j=0
aj y (j) = b(x)
x∈I
(7.7)
dove I è un intervallo di continuità per la funzione b.
Supponiamo di conoscere una soluzione y ∗ = y ∗ (x) dell’equazione (7.7) e k soluzioni linearmente
indipendenti w1 , w2 , ..., wk dell’equazione omogenea associata alla (7.7) (cioè l’equazione (7.3)
ottenuta ponendo b ≡ 0 nella (7.7)). Se c1 , c2 , ..., ck sono numeri reali qualsiasi, è immediato
verificare che le funzioni
y(x) = y ∗ (x) + c1 w1 (x) + c2 w2 (x) + ...ck wk (x)
(7.8)
7.3. EQUAZIONI LINEARI NON OMOGENEE
105
sono soluzioni dell’equazione non omogenea (7.7).
D’altra parte, è altrettanto immediato verificare che se ye = ye(x) è un’altra soluzione di (7.7), la
funzione y ∗ − ye è soluzione dell’equazione omogenea associata alla (7.7) e quindi deve potersi
scrivere come combinazione lineare delle funzioni w1 , w2 , ..., wk mediante opportuni coefficienti
c1 , c2 , ..., ck .
In conclusione possiamo affermare che tutte le soluzioni dell’equazione non omogenea (7.7) sono
espresse dalla formula (7.8), e quindi
“Conoscere tutte le soluzioni di (7.7)”
equivale a
“Conoscere una soluzione di (7.7) e tutte le soluzioni dell’associata (7.3)”
Esiste un metodo, noto come metodo di variazione delle costanti arbitrarie, che permette
di ricavare una soluzione y∗ di (7.7) dalla conoscenza di k soluzioni linearmente indipendenti
dell’equazione omogenea associata (7.3). Rinviamo a corsi successivi per una esposizione generale di tale metodo, presentandone in queste note il suo ”funzionamento” nel caso di equazioni
del secondo ordine.
Consideriamo allora l’equazione
y00 + a1 y 0 + a0 y = b(x)
(7.9)
e siano w1 e w2 due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea associata. È
possibile dimostrare che esiste una soluzione y ∗ di (7.9) che ha la forma
y ∗ (x) = c1 (x)w1 (x) + c2 (x)w2 (x)
(7.10)
per qualche opportuna coppia di funzioni derivabili c1 e c2 . Più precisamente, le derivate prime
di queste due funzioni soddisfano il sistema
½
c01 (x)w1 (x) + c02 (x)w2 (x) = 0
c01 (x)w10 (x) + c02 (x)w20 (x) = b(x)
(7.11)
(la indipendenza lineare di w1 e w2 risulta essere la garanzia per la risolubilità, per ogni x ∈ I,
di questo sistema lineare di due equazioni nelle due incognite c01 (x) e c02 (x)).
Esempio 8 Vogliamo scrivere tutte le soluzioni dell’equazione
y 00 + y =
1
cos x
nell’intervallo (−π/2, π/2).
Le funzioni w1 (x) = cos x e w2 (x) = sin x sono soluzioni linearmente indipendenti dell”omogenea associata; scriviamo il sistema (7.11). Si ha
(
( 0
c02 (x) = 1
c1 (x) cos x + c02 (x) sin x = 0
,
1
sin x
−c01 (x) sin x + c02 (x) cos x =
c01 (x) = −
cos x
cos x
106
CAPITOLO 7. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE K
e quindi possiamo scegliere, ad esempio,
c1 (x) = log(cos x)
c2 (x) = x .
La funzione
y ∗ (x) = cos x log(cos x) + x sin x
è una soluzione particolare dell’equazione assegnata, e così la generica soluzione è
y(x) = cos x log(cos x) + x sin x + d1 cos x + d2 sin x
d1 , d2 ∈ R.
N
.
Esempio 9 Vogliamo determinare la soluzione del problema di Cauchy

4

 y 00 − 4y =
1 + e4x
y(0) = −π/4

 0
y (0) = −1
Le funzioni w1 (x) = e2x e w2 (x) = e−2x sono soluzioni linearmente indipendenti dell’omogenea
associata; si ha allora


e−2x

 c01 (x) =
 c01 (x)e2x + c02 (x)e−2x = 0
1 + e4x
4
,
.
0
2x
0
−2x
e2x

=
 2c1 (x)e − 2c2 (x)e
0

4x
c2 (x) = −
1+e
1 + e4x
Quindi
c1 (x) = −
e la funzione
¢
1 ¡ −2x
+ arctan e2x
e
2
,
1
c2 (x) = − arctan e2x ,
2
1 1
1
1
y ∗ (x) = − − e2x arctan e2x − e−2x arctan e2x = − − (cosh 2x) arctan e2x
2 2
2
2
è soluzione dell’equazione assegnata. La soluzione generale è allora
1 1
y(x) = − − cosh 2x arctan e2x + d1 e2x + d2 e−2x
2 2
e imponendo le condizioni inziali si ha
½
d1 + d2 = 1/2
d1 − d2 = 0
,
½
d1 = 1/4
.
d2 = 1/4
La soluzione del problema di Cauchy è perciò la funzione
·
¸
1
1
2x
− arctan e
y(x) = − + cosh 2x
2
2
.
d1 , d2 ∈ R
N
7.3. EQUAZIONI LINEARI NON OMOGENEE
107
Per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea (7.7) esistono
anche altri metodi, basati sul ”tipo” di funzione che compare a secondo membro dell’equazione;
questi metodi sono spesso di più semplice applicazione e non richiedono il calcolo delle primitive,
ma solo la derivazione.
Ricordiamo alcuni casi significativi:
1. se b è un polinomio di grado h, e λ = 0 non è radice del polinomio caratteristico, allora tra
le soluzioni di (7.7) c’è un polinomio di grado anch’esso h;
2. se b è un polinomio di grado h, e λ = 0 è radice del polinomio caratteristico con molteplicità
r, allora tra le soluzioni di (7.7) c’è un polinomio di grado (h + r) e più precisamente del
tipo
P (x) = xr Q(x)
con Q polinomio di grado h ;
3. se b(x) = eµx e µ non è radice del polinomio caratteristico, allora tra le soluzioni di (7.7)
c’è una funzione del tipo
Ceµx , C ∈ R;
4. se b(x) = eµx e µ è radice del polinomio caratteristico con molteplicità r, allora tra le
soluzioni di (7.7) c’è una funzione del tipo
Cxr eµx , C ∈ R;
5. se b(x) = eαx [A sin βx + B cos βx] con A, B ∈ R e α ± iβ non sono radici del polinomio
caratteristico, allora tra le soluzioni di (7.7) c’è una funzione del tipo
eαx [C sin βx + D cos βx] , C, D ∈ R;
6. se b(x) = eαx [A sin βx + B cos βx] con A, B ∈ R e α ± iβ sono radici del polinomio caratteristico con molteplicità r, tra le soluzioni di (7.7) c’è una funzione del tipo
xr eαx [C sin βx + D cos βx] , C, D ∈ R.
Vediamo qualche esempio a riguardo.
Esempio 10 Vogliamo scrivere tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
y 000 + 9y 0 = 2 cos x − sin x
Poichè il polinomio caratteristico dell’equazione omogenea associata è
λ3 + 9λ = λ(λ2 + 9) ,
le soluzioni dell’omogenea sono le funzioni
yom (x) = c1 + c2 cos 3x + c3 sin 3x .
Per quanto detto in [5], tra le soluzioni c’è una funzione del tipo
y ∗ (x) = C cos x + D sin x .
108
CAPITOLO 7. EQUAZIONI LINEARI DI ORDINE K
Derivando e imponendo di soddisfare l’equazione differenziale, si ottiene
C sin x − D cos x − 9C sin x + 9D cos x = 2 cos x − sin x
e quindi il sistema
½
−8C = −1
8D = 2
,
½
C = 1/8
.
D = 1/4
Ne segue che tutte e sole le soluzioni dell’equazione assegnata sono le funzioni
1
1
y(x) = cos x + sin x + c1 + c2 cos 3x + c3 sin 3x
8
4
N
.
Esempio 11 Determiniamo una soluzione particolare dell’equazione
y 000 + y = x3 − x
Il polinomio caratteristico dell’equazione
omogenea associata P (λ) = λ3 + 1 ha la radice reale
√
λ = −1 e le radici non reali λ = 1±i2 3 . Per quanto detto in [1],.tra le soluzioni dell’equazione
c’è un polinomio di terzo grado
Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d
che deve soddisfare
6a + ax3 + bx2 + cx + d = x3 − x
e quindi
a = 1, b = 0, c = −1, d = −6
cioè
Q(x) = x3 − x − 6
N
.
Esempio 12 Vogliamo scrivere tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
y 00 − 3y 0 + 2y = 5ex .
Poichè l’equazione caratteristica ha come radici (semplici) λ = 1 e λ = 2, per [4]. una soluzione
particolare è del tipo
y∗ (x) = Cxex .
Si ottiene
Cex (x + 2) − 3Cex (x + 1) + 2Cxex = 5ex
e quindi C = −5. La generica soluzione è perciò Tutte le soluzioni sono
y(x) = −5xex + c1 ex + c2 e2x .
.
N