Liceo L.daVinci – 12/02/2013 - simulazione di 2° prova
SOLUZIONE - QUESITI da 5 a 10
prof.ssa Di Vito
QUESITI
5) Dopo aver definito le discontinuità di una funzione, classifica le discontinuità di y 
1  ex
.
sen x
La definizione delle discontinuità è sul libro.
Dominio
lim
x 0
sin x  0 x  k
con k 
 ex 1  x
1  ex
1  ex x
 lim
 lim  
 1

sen x x0 x sen x x0 
x  sen x
1  ex
1
lim
 lim

x k sen x
x k sen x
6) Date le tre funzioni f ( x) 
x=0 discontinuità di terza specie
x  k discontinuità di seconda specie
per k  0
x 1
, g ( x)  ln(2 x 2  x) , h( x)  2 x  1 , dire, motivando
2
4x 1
adeguatamente le risposte, quali di esse verificano le ipotesi del teorema di Weierstrass nell’intervallo
1 
 2 , 4  e quali di esse verificano le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri nell’intervallo


3 
 4 , 2 .


Il teorema di Weierstrass dice che se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato  a; b  allora in
quell’intervallo ammette minimo e massimo assoluti. Per controllare la continuità delle funzioni nell’intervallo
richiesto calcolo il dominio delle tre funzioni:
f ( x) 
x 1
4 x2 1
1
2
dominio
4 x2 1  0
x
g ( x)  ln(2 x2  x)
dominio
2 x2  x  0
x  0 x 
h( x)  2 x  1
dominio
2x 1  0
1
x
1
2
1
2

Nell’intervallo  , 4  il teorema di Weierstrass non è applicabile ad f(x) e a g(x), è applicabile solo ad h(x).
2 
Il teorema di esistenza dice che se una funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato  a; b  ed assume
valori discordi negli estremi dell’intervallo, allora in quell’intervallo si annulla almeno una volta. Le funzioni
3

date sono continue in  , 2  , controllo il segno dei valori negli estremi:
4 
3
1
1
3
4
f  
 0
2
5
4
3
4   1
4
3
 3
g    ln    0
4
8
f  2 
2 1
1
0
4  2   1 15
2

g  2   ln 6  0
1
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1
3
h  
0
2
4
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h  2  3  0
Il teorema di esistenza degli zeri si applica ad f(x) e a g(x), ma non ad h(x).
7) Il limite della funzione
senx  cos x
quando x   :
x
a) è uguale a 0;
b) è uguale ad 1;
c) è un valore diverso dai due precedenti;
d) non è calcolabile.
Una sola risposta è corretta, individuarla e motivarla adeguatamente.
Il limite per x   non si può calcolare, per il teorema della permanenza del segno, perché senx e cosx
sono funzioni oscillanti. Ma la risposta corretta è la a) cioè il limite è 0, e lo si dimostra mediante il teorema
del confronto.
senx  cos x
senx
cos x
 lim
 lim
0
x 
x 
x 
x
x
x
lim
1  sin x  1
poiché
1
 1
lim     lim  0
x 
 x  x x
1  cos x  1
poiché
1 sin x 1


x
x
x
sin x
allora anche lim
0
x 
x
per x  0 si ha anche

1 cos x 1


x
x
x
cos x
allora anche lim
0
x 
x
per x  0 si ha anche
1
 1
lim     lim  0
x 
 x  x x

8) Si consideri la seguente equazione in x: (k  2) x 2  (2k 1) x  (k  1)  0 , dove k è un parametro reale
diverso da 2. Calcolare il limite della somma delle sue radici quando k  2 , k   , k   .
(k  2) x2  (2k 1) x  (k  1)  0
con k  2
In un’equazione di 2° grado del tipo
ax2  bx  c  0 la somma delle radici è:
Nel caso in questione si ha x1  x2 
lim
k 2
2k  1 3

 
k  2 0
x1  x2  
b
.
a
2k  1
k 2
1

k 2 
2k  1
k
lim
 lim 
 2.
k  k  2
k 
 2
k 1  
 k
2
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9) Date le curva di equazione f ( x) 
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x
e g ( x)   x 2  6 , determina le coordinate del punto comune A di
x 1
ascissa intera. Calcola l’angolo fra le tangenti ai grafici delle funzioni nel punto A.
x

y 
x 1

 y   x2  6

x
  x2  6
x 1
x3  x 2  5 x  6  0
P( x)  0


x   x 2  6  x  1
x   x3  x 2  6 x  6
le eventuali radici intere del polinomio P( x) sono da ricercarsi nei fattori del termine noto
1;  2;  3;  6
Si ricava facilmente che P(2)  0 Applicando Ruffini o la divisione dei polinomi si ottiene:
x3  x2  5x  6  ( x  2)( x 2  x  3)
Il trinomio x2  x  3  0 ha radici non intere
x1,2 
1  13
2
Il punto comune A richiesto ha coordinate
2

2
y 
2  1

 x  2
f '( x) 
x 1 x
 x  1
2
A(2; 2)

1
 x  1
il
2
coefficiente angolare della tangente in A è:
f '(2) 
1
 2  1
g '( x)  2 x
2
1
il coefficiente angolare della tangente in A è:
Calcolo l’angolo  fra le tangenti:
10)
tan  
g '(2)  4
m  m ' 4 1 3


1  mm ' 1  4 5
3
 
  arctan    30,96  3057 ' .
5
Enunciare la definizione di derivata, e applicarla per trovare la derivata della funzione y  e 2 x 1 in un
generico punto del suo dominio.
Per una funzione definita e continua in [a;b] si definisce derivata f’(x) della funzione in un punto x  a; b il
limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale
f '( x)  lim
h 0
f ( x  h)  f ( x )
per h  0
h
f ( x  h)  f ( x )
h
Applicando la definizione:
e2( x  h )1  e2 x 1
e2 h  1 2 x 1
e2 h  1
 lim e2 x 1
 e  lim
2  2  e2 x 1 .
h0
h

0
h

0
h
h
2h
y '  lim
Per la dimostrazione ho utilizzato il limite notevole lim
t 0
et  1
 1 ed il cambio di variabile t=2h.
t
3