Università degli Studi di Bologna
Scuola di Economia Management e Statistica
Corso di Laurea in Scienze Statistiche
Appunti del corso di
Analisi Matematica
Anno Accademico 2013–2014
prof. Daniele Ritelli
y
f HbL
f HaL
x
a
s (f, σ) :=
n
X
i=1
mi (xi − xi−1 )
6 ottobre 2013
b
ii
INDICE
0 Insiemi, Relazioni, Funzioni
0.1 Alfabeto greco . . . . . . . . . . . . . .
0.2 Il linguaggio degli insiemi . . . . . . . .
0.3 Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni
0.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . .
0.4.2 Esercizi proposti . . . . . . . . .
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1
1
3
5
5
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1 Numeri Reali
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Campo dei razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Ordinamento e Operazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Valore Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Proprietà archimedea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Fattoriali e coefficienti binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.1 Disugualianza di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9.2 Disugualianza di Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . .
1.9.3 Disuguaglianza aritmetico geometrica . . . . . . . . . . .
1.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi svolti .
1.10.2 Numeri naturali e principio di induzione: esercizi proposti
1.10.3 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi svolti . . . .
1.10.4 Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi proposti . . .
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iv
INDICE
2 Successioni
2.1 Definizioni e generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Progressioni aritmetiche . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Progressioni geometriche . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Successioni infinitesime . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Algebra delle successioni convergenti . . . . . . . . . . .
2.5 Limiti e disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Successioni divergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Successioni monòtone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Il numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Estrazione di radice quadrata . . . . . . . . . . .
2.7.4 Il criterio del rapporto per le successioni . . . . .
2.8 Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy
2.9 Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesàro . . . . . .
2.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Serie
3.1 Definizioni e generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Alcune serie calcolabili esplicitamente . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Serie a termini positivi: criteri di convergenza . . . . . . . . . .
3.3.1 Criterio generale di convergenza e sue conseguenze . . .
3.3.2 I criteri della radice, del rapporto e di Raabe . . . . . .
3.3.3 Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata
3.4 Serie a termini alterni, convergenza assoluta . . . . . . . . . . .
3.5 La funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Limiti e continuità
4.1 Funzioni reali di una variabile reale . . .
4.2 Algebra delle funzioni . . . . . . . . . .
4.3 Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito
4.5 Funzioni continue . . . . . . . . . . . . .
4.6 Continuità delle funzioni elementari . .
4.6.1 Funzioni goniometriche . . . . .
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5 Calcolo differenziale
5.1 Funzioni derivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Derivate delle funzioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Funzione monomia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Funzione esponenziale di base e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Funzione esponenziale di base qualunque . . . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Funzione logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Funzione seno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.6 Funzione coseno goniometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.7 Funzione tangente goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Retta tangente ad una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Il teorema di Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Derivabilità nel senso di Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa . . . . . . . . .
5.7.1 Derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Potenza con esponente reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Derivate successive della funzione inversa . . . . . . . . . . . . .
5.8 I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo . . . . .
5.8.1 Teoremi di Fermat e Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 I Teoremi di Lagrange e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Monotonia e segno della derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Ricerca di massimi e minimi con il criterio della derivata seconda
5.8.5 Il teorema della derivata nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Forme indeterminate. Teoremi di de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . .
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4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.6.2 Funzione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue . . . . . . . .
4.8.1 Esistenza degli zeri. Valori intermedi . . . . . . . . .
4.8.2 Esistenza degli estremi. Teorema di Weierstrass . . .
Continuità della funzione composta e della funzione inversa
4.9.1 Radice n-esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.2 Logaritmo naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.3 Inverse delle funzioni goniometriche . . . . . . . . .
4.9.4 Esponenziali e logaritmi di base qualsiasi . . . . . .
Limiti fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uniforme continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punti fissi di funzioni contrattive . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13.1 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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vi
INDICE
5.10 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.1 Applicazioni della nozione di convessità .
5.11 Il metodo di Newton . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12 Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin
5.12.1 Simboli di Bachmann-Landau . . . . . . .
5.13 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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163
168
169
174
174
180
INTRODUZIONE
Questi sono gli appunti che ho steso per preparare il corso di Analisi Matematica, presso la laurea
triennale in Scienze Statistiche dell’Università di Bologna per l’anno accademico 2013/2014. Mi sono
ispirato liberamente ai seguenti manuali [CS74, Bra06, How01, Apo74, Bro96, Ros13, Zor04, GL06,
AB97, Wad04, Giu03, Pin73, Loy06, Kir95, HW08, Lan94, Gil92, MS96] oltre che alle mie precedenti
esperienze didattiche più che ventennali nelle (allora) Facoltà di Economia, [RBT05].
Chiedo indulgenza al lettore/studente, si tratta di un work in progress in attesa, se le future mie
vicende accademiche lo renderanno, come spero e mia auguro, possibile, di preparare un manuale
che supporti pienamente il corso di Analisi Matematica per la laurea triennale in Scienze Statistiche
presso l’Università di Bologna. Ci saranno sicuramente errori, refusi e ripetizioni, che si sistemeranno
solo con la pratica didattica negli anni. Inoltre è molto importante, che lo studente non stampi
immediatamente l’intero documento, ci saranno aggiornamenti dello stesso durante il corso: invito
lo studente a controllare su http://campus.cib.unibo.it/ se la versione di cui è in possesso sia la
più aggiornata prima di stampare. Allo stato attuale, per ragioni di rapidità, la materia qui esposta
è presentata molto sinteticamente: ad oggi non sono presentate con particolare dettaglio le parti
discorsive, espositive e storiche che tratto durante le lezioni in aula e mancano ancora due capitoli
sull’integrazione e le serie di potenze che conto di rendere disponibili entro la fine del corso. Questi
appunti contengono comunque tutto quello che a priori vorrei trattare nel corso, spesso (sempre?) la
realtà dell’aula ridimensiona i miei buoni propositi, tuttavia ho scelto di presentare tutto il materiale in
mio posesso, sperando che qualche studente interessato sia incuriosito dagli argomenti che per qualche
ragione non hanno trovato spazio in classe.
Concludo con un paio di riflessioni.
Fra gli studenti, a seconda del tipo di formazione, c’è certamente chi ha trattato alcuni temi che
saranno al centro di questi corso: il calcolo di limiti, la derivazione delle funzioni, il calcolo di integrali.
Qualche studente potrebbe domandarsi perché ripetere queste cose in un corso di Analisi Matematica?
La risposta è duplice: anche se qualche risultato dovesse essere stato dimostrato è probabile che gli
aspetti più sottili, come la completezza dei numeri reali, l’uniforme continuità, siano stati trascurati.
Nella sostanza le abilità che vengono conseguite nelle scuole superiori sono, nella maggioranza dei
casi, di tipo puramente computazionale. In questo corso invece l’Analisi Matematica verrà presentata
viii
INDICE
dettagliatamente, con lo scopo di mettere lo studente nella condizione di produrre autonomamente le
sue dimostrazioni.
Ogni teoria matematica rigorosa parte da alcune nozioni non definite su cui si basa la teoria
e alcune proprietà postulate, che sono chiamate assiomi, che sono assunte per vere senza darne la
dimostrazione. Il nostro studio è basato sulle nozioni primitive di insieme e di numeri reali e su alcuni
postulati che introdurremo nei primi due capitoli.
Bologna 6 ottobre 2013
Appunti composti in LATEX 2ε
CAPITOLO 0
INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
0.1
Alfabeto greco
Nel corso molte volte, indicheremo alcune quantità numeriche usando, come è tradizione in Matematica, le
lettere dell’alfabeto greco. Per questa ragione le richiamiamo esplicitamente.
alfa
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
teta
0.2
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
iota
cappa
lambda
mu (mi)
nu (ni)
csi
omicron
pi
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
rho
sigma
tau
iupsilon
fi
chi
psi
omega
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Il linguaggio degli insiemi
In questo corso avremo la necessità di lavorare con la nozione di insieme. Pertanto prima di iniziare è bene
fissare un minimo di terminologia, notazione e proprietà che saranno utili per tutto il seguito. In ogni caso
vogliamo ridurre nel nostro cammino le nozioni di teoria degli insiemi al minimo indispensabile per i nostri
scopi. Per approfondimenti suggeriamo [NS92].
Le nozioni di insieme, oggetto e appartenenza sono intuitive. Gli insiemi saranno per noi collezioni di oggetti,
che per i nostri interessi saranno la maggior parte delle volte dei numeri.
Per introdurre la nozione di insieme in modo rigoroso usiamo tre assiomi.
A1 Assioma di esistenza
“Esiste ameno un insieme”
2
0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
A2 Assioma di estensionalità fra insiemi
“Due insiemi A e B sono uguali, A = B, se ogni oggetto che appartiene ad A appartiene anche
a B e viceversa ogni oggetto che appartiene a B appartiene anche ad A”
A3 Assioma di specificazione
“Per ogni insieme A e per ogni condizione P, esiste l’insieme B costituito da tutti e soli gli
oggetti di A che soddisfano la condizione P. L’assioma A2 ne assicura l’unicità”
La proprietà caratteristica non necessariamente è unica. Infatti l’insieme costituito dalle lettere a, c, o, s
può essere per esempio ottenuto come le lettere della parola “caso” ma anche con le lettere della parola “sacco”.
Se A è un insieme e a è un elemento di A scriviamo a ∈ A e leggiamo la formula dicendo a appartiene ad
A. Se a non è elemento di A scriviamo a ∈
/ A e leggiamo a non appartiene ad A. Gli insiemi possono essere
descritti elencando i loro elementi all’interno di parentesi graffe, ad esempio l’insieme dei primi quattro numeri
naturali dispari è
A = {1, 3, 5, 7}.
Nel caso di insiemi finiti questa è una rappresentazione particolarmente conveniente, ma anche quando presentiamo insiemi infiniti, come l’insieme dei numeri naturali
N = {1, 2, 3, . . .}
o l’insieme di tutti i numeri dispari
D = {1, 3, 5, 7, . . .}
possiamo rappresentare gli elementi di un insieme per elencazione, dando per intese le proprietà che regolano
l’appartenza all’insieme.
Si usano le parentesi graffe anche quando si vuole distinguere un insieme costituito da una solo elemento,
detto singoletto, dall’elemento stesso, quindi avremo che a 6= {a}. Altro modo di definire un insieme è attraverso
una proprietà posseduta da tutti i suoi elementi. Ad esempio l’insieme D dei numeri dispari può essere introdotto
anche nei seguenti modi
D = {n ∈ N : n − 1 è divisibile per 2} = {2n − 1 : n ∈ N}.
Da notare che i due punti si leggono “tale che”. La nozione di sottoinsieme è intuitiva, ad esempio l’insieme
D è sottoinsieme dell’insieme N dei numeri naturali perché ogni elemento di D è anche elemento di N. Questo
fatto è rappresentato dalla formula D ⊆ N o dall’altro lato N ⊇ D. Astraendo a insiemi qualsiasi diremo che B
è sottoinsieme di A scrivendo B ⊆ A oppure A ⊇ B se
x ∈ B =⇒ x ∈ A.
Con questa definizione abbiamo che A ⊆ A. Se interessa rappresentare la situazione in cui B ⊆ A e B 6= A
scriveremo semplicemente B ⊂ A e diremo che B è un sottoinsieme proprio di A. Nell’esempio che abbiamo
fatto in precedenza chiaramente possiamo scrivere D ⊂ N. Fra i sottoinsiemi di un insieme A considereremo
anche l’insieme vuoto che denoteremo con ∅ che è l’insieme che non ha elementi.
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme A si chiama insieme delle parti di A (o anche insieme
potenza di A) e lo si denota con il simbolo P(A). Si osservi che l’insieme P(∅) è non vuoto in quanto possiede
l’elemento ∅ ed ha due sottoinsiemi distinti, ∅ e {∅}.
Dati due insiemi A e B entrambi sottoinsiemi di un stesso insieme M la loro unione A ∪ B è:
A ∪ B = {m ∈ M : m ∈ A o m ∈ B}
Qui la congiunzione “o” va intesa inclusivamente, vale a dire che si intende m ∈ A oppure m ∈ B o entrambe.
0.3. Prodotto cartesiano, relazioni e funzioni
3
*̀ $̀ ̀@
̀j+̀̀̀
0?
$?
-,? ?
-,? ?
Figura 1: Unione
%̀
(?
-,? ?
-,? ?
N±w ¹
:ॊॊ
ॊॊॊॊॊॊॊQॊ
Si ha poi che l’intersezione dei due insiemi
A e B è definita
da
ॊ
ॊॊąॊॊ
ॊ
ॊॊD
ॊॊőॊ Hॊ
A ∩ B = {m ∈ M : m ∈ A e m ∈ B}
m¡ /Ɖ6ңң m¡/ Ë m¡6
*̀ $̀ ̀@
̀j+̀̀̀
ң
m¡ / Ë 6ң ң m¡/Ɖm¡6 $ң
$?
0?
%̀
ॊ
*ॊ
(?
B$ң 0ॊ
ॊॊॊ ॊॊॊ"
ॊॊॊॊ
Hॊ
ң;ңm¡ /ңƴң6ңÿң ңŲң /ƴң6ңŕң2ң ңŲң/ ңļॊңŲң6 3ңÿң
ÿң ң;ңm¡/ңļॊң;ңm¡6ңÿң2ң;ңm¡/ңËңm¡6 3ң ॊ
ॊॊॊ
ॊॊ
-,? ?
-,? ?
m¡
/Ɖ6ң
Ë m¡6
-,?
? ƿ m¡/-,?
? $ң
Figura 2: Intersezione
6ॊ
¤ॊॊॊॊ
:ॊॊ
ॊॊॊॊॊॊॊQॊ
Quando l’intersezione N±w ¹
di due insiemi
è l’insieme vuoto, diremo che i due insiemi sono detti disgiunti.
ÿң 2 ң;ңm¡/ңļॊң;ңm¡63ңÿң
2ң;ңm¡/ңËңm¡63ң
őॊ Hॊ
ॊ
ॊॊąॊॊ
ॊ
ॊॊD
ॊॊ
Se A è un sottoinsieme di M il complementare
di A in M è l’insieme
ļॊңŲ63 ŕ ॊ
ŕң 2ңŲ/ң
ң2 ңŲ/ƴң63ңŕң
ң
ÿң
ң
2ң;ңm¡
/ƴ
63
*ॊ
m¡ / Ë 6ң ң m¡/Ɖm¡6 $ң
m¡=/Ɖ6ңң
Ë m¡6
Ac = M \ A
{m ∈ M : m¡/
m∈
/ A}
Dalla definizione di complementare abbiamo le due proprietà
ॊॊ ॊॊॊ"
ॊॊॊॊ
Hॊ
B$ң 0ॊ
ॊॊॊ
;ॊ
Ë m¡6ңƿ m¡ /Ɖ6 $ң
A ∪ Ac = M, A ∩ Ac =m¡/
∅
ң;ңm¡ /ңƴң6ңÿң
ңŲң /ƴң6ңŕң2ң ңŲң/ ңļॊңŲң6 3ңÿң˛
E"ॊॊ
ॊॊ6ॊॊ;ॊ
La definizione di A \ B ha senso anche quando A non è un sottoinsieme di B, infatti, se A = {1, 2, 3} e
ÿң ң;ңm¡/ңļॊң;ңm¡6ңÿң2ң;ңm¡/ңËңm¡6 3ң ॊ
B = {1, 2, 4} si ha A \ B = {3}.
¹ॊң ī
ңңң$ң Aॊॊॊॊ/ңॊ6ңॊॊ
ॊॊॊ
ॊॊ
ॊॊॊॊ
ॊॊॊ]/ң6Tңң]6ң/Tңॊॊॊॊॊ
/ңॊ6ңॊॊॊॊॊॊॊ
ॊॊ
/ңâң6ңॊॊ
ॊ
0.3 Prodotto cartesiano, relazioni
e funzioni
ƿ m¡/ Ë m¡6 $ң
6ॊ
ॊ/ m¡
6
ң /Ɖ6ң
$ң
ॊॊॊ
ॊॊ
ॊॊ
Il prodotto cartesiano di due
insiemi A e B si indica
con il simbolo Aң
ң
× B ed è definito
da /ңॊ6ңॊॊॊ
¤ॊॊॊॊ
èॊॊ Ūң ॊ /ң6ң ॊॊॊ
ॊॊॊॊ
A×B
= {(a, ÿң
b) : 2 a
∈ A, b ∈ B}
ॊॊॊॊॊ
ॊॊॊ
ॊॊॊॊ
ң;ңm¡/ң
ļॊң;ңm¡63ңÿң
2ң;ңm¡/ңËңm¡63ң
ŕ ң2 ңŲ/ƴң63ңŕң
È l’insieme di tutte le coppie ordinate (a, b) 6in7*̀̀?̀
cui aŕң
∈ 2ңŲ/ң
A e b #!
∈ ļॊ
B.ңŲ63
Losi$̀*̀
chiama
cartesiano in quanto esso è
"
la naturale generalizzazione del procedimento che dota
il
piano
di
un
sistema
ÿң 2ң;ңm¡ /ƴ 63 ң di coordinate ortogonali. Dati
due insiemi A e B una relazione da A a B è un sottoinsieme R di A × B. Scriveremo aRb quando (a, b) ∈ R.
Nel caso particolare, ma diॊॊ
grande interesse, in cui A = B, la relazione R è detta binaria. Nel nostro percorso
avremo a che fare con tre tipi fondamentali di relazione.
;ॊ
m¡/ Ë m¡6ңƿ m¡ /Ɖ6 $ң
E"ॊॊ
ॊॊ6ॊॊ;ॊ
˛
¹ॊң ī
ңңң$ң Aॊॊॊॊ/ңॊ6ңॊॊ
ॊॊॊॊ
ॊॊॊ]/ң6Tңң]6ң/Tңॊॊॊॊॊ
/ңॊ6ңॊॊॊॊॊॊॊ
ॊॊ/ңâң6ңॊॊ
ॊ
ॊ/ 6
ң $ң
ॊॊॊ
ॊॊң
ңॊॊ/ңॊ6ңॊॊॊ
èॊॊ Ūң ॊ /ң6ң ॊॊॊ
ॊॊॊॊ
ॊॊॊॊॊ ॊॊॊ
ॊॊॊॊ
4
0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
(i) Equivalenze. Supponiamo A = B = X. Una relazione binaria ∼ su X si dice relazione di equivalenza
su X se soddifa le tre seguenti proprietà:
(a) per ogni x ∈ X,
x∼x
(b) se x ∼ y allora y ∼ x
(c) se x ∼ y e y ∼ z allora x ∼ z
Queste tre proprietà sono rispettivamente dette di riflessività, simmetria, transitività. Il più semplice
esempio di relazione di equivalenza è quello di uguaglianza. Una equivalenza in X ripartisce l’insieme X in
classi di equivalenza: per ogni x ∈ X consideriamo l’insieme di tutti gli elementi equivalenti all’elemento x
che indichiamo con [x] = {y ∈ X : y ∼ x}. L’insieme [x] viene chiamato classe di equivalenza dell’elemento
x. Siccome per la proprietà (a) è x ∈ [x] l’insieme X è l’unione di tutte le classi di equivalenza. Si verifica
che presi x, y ∈ X le due classi di equivalenza [x] e [y] o sono disgiunte [x] ∩ [y] = ∅ o sono coincidenti
[x] = [y]
(ii) Ordini parziali. Supponiamo A = B = X. Una relazione binaria ≺ su X si dice ordine parziale se
soddisfa le due seguenti proprietà:
(a) è transitiva: se x ≺ y e y ≺ z allora x ≺ z
(b) è antisimmetrica: per ogni x, y ∈ X,
x ≺ y =⇒ y ⊀ x
Inoltre una relazione ≺ su X è detta ordine totale se essa è un ordine parziale e soddisfa la proprietà di
tricotomia
(c) per ogni x, y ∈ X vale una sola delle tre:
x ≺ y,
x = y,
y≺x
Un esempio di relazione di ordine parziale è l’inclusione insiemistica. La relazione naturale di ordinamento
dei numeri reali è una relazione di ordine totale.
(iii) Funzioni. Una relazione f da A a B è detta funzione se per ogni a ∈ A esiste un solo b ∈ B tale che
af b. In questo caso scriveremo b = f (a). Questa definizione identifica una funzione con il suo grafico:
G = {(a, b) ∈ A × B : b = f (a)}.
In pratica possiamo pensare ad una funzione da A a B come una regola che ad ogni elemento a ∈ A associa
un elemento f (a) ∈ B. La scrittura convenzionale è f : A → B in cui A viene detto dominio di f e B viene
detto codominio di f , mentre l’immagine di A mediante f è l’insieme f (A) = {b ∈ B : b = f (a), a ∈ A}.
Si noti che codominio e immagine sono in generale distinti. Se C ⊂ B la controimmagine di C è l’insieme
degli elementi di A che ha immagine in C. La controimmagine di C si indica con il simbolo f −1 (C):
f −1 (C) = {a ∈ A : f (a) ∈ C} .
Diremo che f è suriettiva se f (A) = B. Diremo poi che f è iniettiva se f (a1 ) = f (a2 ) ⇐⇒ a1 = a2 . Una
funzione che sia tanto iniettiva quanto suriettiva si dice biettiva. In questo caso si scrive
1−1
f : A −→ B
su
Se f : A → B è una funzione iniettiva, resta definita una applicazione da f (A) ad A considerando la
legge che ad ogni elemento b ∈ f (A) fa corrispondere l’unico elemento a ∈ A tale che f (a) = b. Tale
applicazione si denota con f −1 : f (A) → A e vale la relazione
f −1 (f (a)) = a per ogni a ∈ A
0.4. Esercizi
5
Se f è biettiva la sua inversa f −1 è tale che per ogni b ∈ B si ha
f f −1 (b) = b
Si dimostra che f : A → B è invertibile se e solo se esiste una funzione g : B → A tale che
g(f (a)) = a
per ogni a ∈ A,
f (g(b)) = b per ogni b ∈ B
La funzione g è la funzione inversa di f e viene denotata con f −1
0.4
0.4.1
Esercizi
Esercizi svolti
1. Siano A =
1
3
x ∈ Q : x = n + , n ∈ N , B = x ∈ Q : x = , n ∈ N . Dimostrare che
2
m
1 3
,
A∩B =
.
2 2
2. Sia f : N → N
f (n) =
(
n + 5 se
2n + 1 se
(b) è vero che 14 ∈ f (N)?
(a) f è iniettiva?
3. Sia f : Z → Z la funzione tale che
f (z) =
(a) f è iniettiva?
n≤8
n>8
(
3z − 1 se
4z − 2 se
z è pari
z è dispari
(c) trovare f −1 ({15, 16})
(b) f è suriettiva?
4. Dimostrare che f : [3/2, ∞[→ [0, ∞[ definita da f (x) =
r
3x − 2
è iniettiva, ma non suriettiva.
x+4
5. Determinare tutte le funzioni g che soddisfano
g(x + y) + g(x − y) = 2x2 + 2y 2
6. Determinare tutte le funzioni f che soddisfano
f (xy) = yf (x).
(E)
1
f (x) + 2f ( ) = x.
x
(F)
7. Determinare tutte le funzioni f per cui
6
0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
Soluzione
1. Se esiste un elemento comune ai due insiemi allora esistono due numeri naturali n1 , n2 tali che
n1 +
1
3
=
⇐⇒ n1 n2 =
2
n2
(0.1)
ma dal secondo membro di (0.1) vediamo che deve essere n2 pari, quindi esiste m ∈ N tale che n2 = 2m
e sostituendo in (0.1) otteniamo
2n1 m + m = 3
(0.1a)
Ora la (0.1a) è possibile solo per m = 1 e per m = 3 perché 3 è un numero primo. Allora
1
2
3
quindi x =
2
m = 3 =⇒ n1 = 0, n2 = 6 quindi x =
m = 1 =⇒ n1 = 1, n2 = 2
2.
(a) I due casi separati originano due funzioni iniettive, il punto è capire se la funzione sia iniettiva
globalmente. Supponiamo esistano due naturali n1 ≤ 8 ed n2 > 8 per cui
f (n1 ) = f (n2 ) ⇐⇒ n1 + 5 = 2n2 + 1
Ne verrebbe n1 = 2n2 − 4 ma questa uguaglianza non è possibile perché n2 > 8 comporta che il
minimo valore assunto dall’espressione 2n2 − 4 è 14.
(b) No, l’immagine di f è data dagli interi 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e da tutti gli interi dispari ≥ 17
3.
(a) I due casi separati originano due funzioni iniettive, il punto è capire se la funzione sia iniettiva
globalmente. Supponiamo che esistano un intero dispari z1 ed un intero pari z2 per cui f (z1 ) = f (z2 ),
allora si avrebbe
3z2 − 1 = 4z1 − 2 ⇐⇒ 3z2 = 4z1 − 1
il che non può darsi perché z2 è pari. Dunque f è iniettiva.
(b) La funzione non è suriettiva perché, ad esempio, 0 ∈
/ f (Z). Infatti se esistesse z ∈ Z tale che
f (z) = 0, se z fosse pari, si avrebbe:
3z − 1 = 0 =⇒ z =
1
3
il che non può essere. Analogamente se z fosse dispari avremmo:
4z − 2 = 0 =⇒ z =
1
2
che, ancora una volta non può darsi.
(c) Bisogna risolvere le due equazioni f (z) = 15 e f (z) = 16 cosa che si fa più velocemente tenendo
conto che, per costruzione:
f (pari) = dispari,
f (dispari) = pari.
16
non accettabile
3
17
ii. f (z) = 16 ⇐⇒ 4z − 2 = 15 ⇐⇒ z =
non accettabile
4
i. f (z) = 15 ⇐⇒ 3z − 1 = 15 ⇐⇒ z =
0.4. Esercizi
7
quindi f −1 ({15, 16}) = ∅
4. Presi x1 , x2 > 3/2 si ha
f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒
r
3x1 − 2
=
x1 + 4
r
3x2 − 2
3x1 − 2
3x2 − 2
⇐⇒
=
x2 + 4
x1 + 4
x2 + 4
svolgendo i calcoli troviamo che:
f (x1 ) = f (x2 ) ⇐⇒
14 (x1 − x2 )
=0
(x1 + 4) (x2 + 4)
il che impone x1 = x2 e dimostra che f è iniettiva. Proviamo a risolvere rispetto ad x, con y ≥ 0 come
termine noto, l’equazione:
r
3x − 2
=y
x+4
Eleviamo al quadrato e risolviamo rispetto ad x ricordando che x ≥ 3/2
r
3x − 2
3x − 2
4y 2 + 2
= y ⇐⇒
= y 2 ⇐⇒ x =
x+4
x+4
3 − y2
L’ultima espressione trovata ci permette di affermare che se il codominio di f è [0, ∞[ la funzione non è
suriettiva in quanto, se volessimo risolvere l’equazione
f (x) = 2
usando la formula appena ottenuta vediamo che dovrebbe essere
x=
4 × 22 + 2
= −18
3 − 22
non accettabile in quanto il dominio di f è [3/2, ∞[
5. Sia y = 0. Allora 2g(x) = 2x2 , cioè, g(x) = x2 . Verifichiamo che g(x) = x2 funziona. Si ha:
g(x + y) + g(x − y) = (x + y)2 + (x − y)2
= x2 + 2xy + y 2 + x2 − 2xy + y 2
= 2x2 + 2y 2 .
6. Se x = 1 allora f (y) = yf (1). Essendo f (1) una costante, poniamo k = f (1). Dunque tutte le funzioni
che soddisfano (E) devono soddisfare f (y) = ky.
7. Da
1
f (x) + 2f ( ) = x
x
otteniamo
1
x 1
f ( ) = − f (x).
x
2 2
Poi, sostituendo 1/x per x (F) otteniamo
f (1/x) + 2f (x) = 1/x.
Quindi
1
1
1
1
f (x) =
− f (1/x) =
−
2x 2
2x 2
che porge
f (x) =
2
x
−
3x 3
x 1
− f (x) ,
2 2
8
0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
0.4.2
Esercizi proposti
1. Consideriamo la relazione ≡ in Z
a ≡ b ⇐⇒ a − b = 3n
per un certo n ∈ Z. Dimostrare che ≡ è una equivalenza e che l’insieme Z|≡ ha tre elementi.
2. Consideriamo la relazione R in N2 = N × N
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
Dimostrare che R è una relazione di equivalenza.
3. Consideriamo la relazione R in Z × Z \ {0}
(m, a)R(n, b) ⇐⇒ mb = na
Dimostrare che R è una relazione di equivalenza.
4. Dimostrare che f : N → N, f (n) = n2 − n + 1 è iniettiva ma non suriettiva.
5. Dimostrare che f : Q → Q, f (n) = 3n + 1 è iniettiva e suriettiva.
6. Sia f : N → N
n


 3 + 1 se n = 3h, h ∈ N
f (n) = n − 1 se n = 3h + 1, h ∈ N


n + 1 se n = 3h + 2, h ∈ N
(a) f è iniettiva?
(b) f è suriettiva?
(c) trovare f −1 (A) nei seguenti casi: A = {6, 7, 8} , A = {1, 2, 3}
7. Sia f : Z → Z la funzione tale che
f (z) =
(
5z − 3 se
8z + 2 se
z è pari
z è dispari
(c) trovare f −1 ({21, 28})
(a) f è iniettiva?
(b) f è suriettiva?
8. Dimostrare che f : [5/3, ∞[→ [0, ∞[ definita da
f (x) =
r
3x − 5
x+4
è iniettiva, ma non suriettiva.
9. Dimostrare che f : R → R definita da f (x) = x3 è una funzione iniettiva. Si può dire lo stesso se
f (x) = x2n−1 con n ∈ N?
10. Dimostrare che la funzione f : R → R definita da
(
x
f (x) =
x+1
è iniettiva
se x ≤ 0
se x > 0
0.4. Esercizi
9
11. Dimostrare che la funzione f : R → [−1/2, 1/2] definita da
f (x) =
x
1 + x2
f (x) =
x
1 + |x|
è suriettiva ma non iniettiva
12. Data la funzione f : R → R definita da
dimostrare che:
(a) f è iniettiva
(b) f non è suriettiva
(c) determinare f (R)
13. Sia a : R → R, definita da a(2 − x) = x2 − 5x. Calcolare a(3), a(x) e a(a(x)).
14. Sia f : R → R, f (1 − x) = x2 − 2. Trovare f (−2), f (x) e f (f (x)).
15. Sia h : R → R definita da h(1 − x) = 2x. Determinare h(3x).
10
0. Insiemi, Relazioni, Funzioni
CAPITOLO 1
NUMERI REALI
1.1
Introduzione
I numeri naturali hanno in Analisi Matematica lo stesso ruolo che le lettere hanno nell’alfabeto e le note per la
musica. Meno poeticamente possiamo accostarli alla particelle elementari in Fisica. Il primo passo per iniziare
lo studio della Matematica parte quindi dagli interi positivi, il primo insieme numerico ad essere concepito
dall’Umanità
N = {1, 2, 3, . . .}
L’introduzione dello zero e dei numeri negativi avvenne solo successivamente e da origine all’insieme degli interi
Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
Il passo successivo ci porta a considerare le frazioni, cioè i quozienti di numeri interi, portandoci all’insieme dei
numeri razionali
o
nn
| n, d ∈ Z, & d 6= 0
Q=
d
I numeri cosı̀ introdotti hanno una naturale interpretazione geometrica: fissando su di una retta un punto origine
(lo zero) ed un segmento unitario gli interi sono ottenuti prendendo multipli di tale segmento, mentre i numeri
razionali si rappresentano attraverso una opportuna scelta di sottomultipli dell’unità; ad esempio dividendo in
n ∈ N parti il segmento fra 0 e 1 rappresentiamo i numeri razionali, 1/n, 2/n, . . .. Il sistema dei numeri razionali
sembrerebbe cosı̀ un sistema che riempie la retta reale, ma in effetti non è cosı̀, i numeri razionali lasciano in
un certo qual modo dei “buchi” lungo la retta reale.
0
1
2
3
4
5
6
Figura 1.1: La retta dei naturali
Con il primo teorema del corso faremo vedere che la retta, intesa come oggetto geometrico continuo, non è
riempita dall’insieme dei numeri razionali.
Teorema 1.1.1. Non esiste alcun numero razionale r ∈ Q tale che
r2 = 2
(1.1)
12
1. Numeri Reali
Dimostrazione. Non è restrittivo supporre che il numero razionale r sia esprimibile mediante una frazione ridotta
ai minimi termini:
p
r=
q
con p, q interi privi di fattori comuni. Supponiamo, per assurdo che (1.1) valga, allora segue che
p2 = 2q 2
(1.2)
Da (1.2) si deduce che p2 è un numero pari, ma allora anche p è un numero pari, che quindi può essere
rappresentato nella forma p = 2k. D’altra parte, sostituendo in (1.2), vediamo che
p2 = (2k)2 = 4k 2 = 2q 2 =⇒ 2k 2 = q 2
(1.3)
Da (1.3) segue che q 2 è pari e allora anche q è pari, ma questo contraddice il fatto che p e q sono privi di fattori
comuni.
In conseguenza di quanto appena mostrato, dobbiamo accettare il fatto che le soluzioni dell’equazione (1.1)
non sono numeri razionali e ad essere rigorosi dovremmo anche capire come e perché questa equazione ammette
soluzione. Accettiamo il fatto, intuitivo,
che esista una soluzione positiva di (1.1), che dunque denota un numero
√
irrazionale che denoteremo con 2. Quando abbiamo trovato cercando di risolvere l’equazione (1.1) non è un
fatto isolato, infatti si può dimostrare che se n è un numero intero positivo l’equazione
r2 = n
(1.4)
non ha soluzioni razionali ogni volta che l’intero n non è un quadrato perfetto. Inoltre questo approccio è
senza fine nel senso che si possono generare numeri irrazionali in infiniti modi. Ad esempio dimostriamo la
proposizione.
√
√
Proposizione 1.1.1. Il numero 3 − 2 è irrazionale.
√
√
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista r ∈ Q tale che 3 − 2 = r. Allora, siccome r ∈ Q =⇒
r2 ∈ Q abbiamo che:
√
3−
Ma ciò significa anche che:
Da qui l’assurdo in quanto
√ 2
√ 2 √ 2
√ √
√
2 =
3 −2 3 2+
2 = 5 − 2 6 = r2 ∈ Q
√
√
6=
5 − r2
∈Q
2
6∈
/ Q. Infatti se esistessero due numeri naturali n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1 con:
6=
n2
⇐⇒ 6d2 = n2
d2
ne segue che n2 è pari e dunque n = 2ν per un certo ν ∈ N. Ma, allora
6d2 = 4ν 2 ⇐⇒ 3d2 = 2ν 2 =⇒ d = 2δ
per un certo
N. Ma questo contraddice l’ipotesi che n e d non abbiano divisori in comune. Pertanto
√ δ ∈√
e, dunque 3 − 2 6∈ Q.
Il metodo qui utilizzato si basa su questa osservazione.
√
6 6∈ Q
1.2. Campo dei razionali
13
Osservazione 1.1.1. Se x è un numero reale tale per cui x2 è irrazionale, allora anche x è irrazionale.
Un’altra fonte di numeri irrazionali viene dal prossimo teorema.
Teorema 1.1.2. Se a, b, c sono interi dispari, l’equazione
ax2 + bx + c = 0
(1.5)
non ha soluzioni razionali.
p
sia una soluzione razionale dell’equazione (1.5). È lecito supporre che p e
q
q non abbiano fattori primi in comune, cosı̀ o p e q sono entrambi dispari, oppure uno è dispari e l’altro pari.
Ora:
2
p
p
+b
+ c = 0 =⇒ ap2 + bpq + cq 2 = 0.
a
q
q
Dimostrazione. Supponiamo che
Se sia p che p fossero dispari, allora anche ap2 + bpq + cq 2 sarebbe dispari e quindi 6= 0.
Analogamente se uno dei due fosse pari e l’altro dispari allora uno fra i due numeri ap2 + bpq o bpq + cq 2
sarebbe pari e quindi ap2 + bpq + cq 2 sarebbe comunque dispari. Questa contraddizione dimostra che l’equazione
non può avere una radice razionale.
1.2
Campo dei razionali
Procederemo supponendo che le proprietà algebriche degli insiemi N dei numeri naturali e Z dei numeri interi
relativi siano note. I numeri razionali Q sono dati dell’insieme delle frazioni m/n con m, n ∈ Z e n 6= 0. Ogni
razionale possiede infinite rappresentazioni di questo tipo in quanto per ogni z ∈ Z, z 6= 0
m
zm
=
zn
n
La somma e la moltiplicazioni di razionali si definiscono mediante regole, ottenute usando l’aritmetica degli
interi
m2
m1 n2 + m2 n1
m1
m2
m1 × m2
m1
+
=
,
×
=
n1
n2
n1 n2
n1
n2
n1 × n2
Q contiene Z in quanto per ogni m ∈ Z abbiamo
m
=m
1
Come avremo modo di vedere immediatamente i due numeri razionali
0=
0
0
= ,
1
n
1=
1
n
=
1
n
hanno un ruolo particolare.
L’insieme Q gode di proprietà che in Algebra sono proprie delle strutture dette campi rispetto alle operazioni
di somma e prodotto appena definite. Gli assiomi di campo che sono soddisfatti da Q sono, dati a, b, c ∈ Q:
F1 (a + b) + c = a + (b + c) proprietà associativa della somma
F2 a + b = b + a proprietà commutativa della somma
F3 esiste 0 ∈ Q tale che per ogni a ∈ Q,
a+0=a
F4 per ogni a ∈ Q esiste un elemento −a ∈ Q tale che a + (−a) = 0
14
1. Numeri Reali
F5 (ab)c = a(bc) proprietà associativa del prodotto
F6 ab = ba proprietà commutativa del prodotto
F7 esiste 1 ∈ Q tale che per ogni a ∈ Q,
a1 = a
F8 per ogni a ∈ Q, a 6= 0 esiste un elemento 1/a ∈ Q tale che a(1/a) = 1
F9 a(b + c) = ab + ac proprietà distributiva
L’opposto di m/n è (−m)/n e il reciproco di m/n è n/m.
Definizione 1.2.1. Se m, n ∈ Z diremo che m > n se e solo se esiste p ∈ N tale che
m=n+p
La relazione cosı̀ definita è una relazione di ordine totale su Z.
L’ordinamento degli interi relativi si estende ai razionali in questo modo. Dati due razionali m1 /n1 e m2 /n2
in cui possiamo supporre senza perdita di generalità che sia n1 , n2 > 0 diciamo che
m2
m1
<
n1
n2
Useremo anche la scrittura equivalente
se
m1 n2 < m2 n1
m1
m2
>
.
n2
n1
Mentre la scrittura x ≤ y significa che vale una delle due condizioni a < b o a = b.
Le proprietà della relazione di ordine in Q sono, dati a, b, c ∈ Q:
O1 a < b e b < c implica a < c proprietà transitiva
O2 vale una sola delle tre relazioni a < b, o a = b, o a > b legge di tricotomia
O3 a < b implica a + c < b + c compatibilità con la somma
O4 a < b e c > 0 implica ac < bc compatibilità con il prodotto
Gli assiomi F1 −F9 e O1 −O4 si riassumono dicendo che Q è un campo ordinato e sono alla base dell’algebra
studiata alle scuole superiori.
Q possiede un’altra importante proprietà: quella di densità: fra due numeri razionali r1 < r2 ne esiste un
terzo r tale che r1 < r < r2 . Basta infatti prendere r = (r1 + r2 )/2. Dalla proprietà di densità scende subito che
esistono infiniti numeri razionali fra i due razionali r1 < r2 .
In Q vale anche la cosiddetta proprietà archimedea:
per ogni q ∈ Q, q > 0 esiste n ∈ N tale che n > q
di cui ci occuperemo nel paragrafo 1.6.
1.3
Numeri reali
L’insieme R dei numeri reali è un campo ordinato che contiene l’insieme Q. La proprietà di densità di Q che
abbiamo
√ introdotto nel paragrafo precedente non impedisce, stante la nostra discussione iniziale sulla irrazionalità di 2, che l’insieme Q abbia dei buchi. L’insieme R, grazie a quella che si chiama proprietà di completezza,
ha una struttura continua, senza buchi o interruzioni.
1.3. Numeri reali
15
Definizione 1.3.1. Un sottoinsieme B di Q si dice superiormente limitato se esiste q ∈ Q tale che q ≥ b per
ogni b ∈ B. L’elemento q viene detto maggiorante dell’insieme B
Ad esempio l’insieme {a ∈ Q : a < 7} è superiormente limitato da 7 e da ogni numero maggiore di 7.
D’altra parte l’insieme N non è superiormente limitato. Fra i maggioranti di un insieme superiormente limitato
quello più importante è il più piccolo.
Definizione 1.3.2. Se B è un insieme superiormente limitato il numero s si dice estremo superiore di B se
• s è un maggiorante di B;
• per ogni m ∈ Q che sia maggiorante di B risulta s ≤ m.
Si comprende facilmente che se tale numero esiste esso è unico, infatti se s1 ed s2 fossero due estremi
superiori dello stesso insieme B avremmo s1 ≥ s2 perché s1 è un maggiorante e s2 estremo superiore. Ma con la
stessa argomentazione possiamo dedurre la disuguaglianza opposta s2 ≥ s1 . Quindi se esiste estremo superiore
di un insieme, possiamo riferirci ad esso come “l’estremo superiore”. Il punto cruciale è che in Q esistono insiemi
superiormente limitati sprovvisti di estremo superiore. Consideriamo infatti l’insieme
D = {a ∈ Q : a ≥ 0 e a2 < 2}
Tale insieme è evidentemente superiormente limitato in quanto se a ∈ D si ha certamente a2 < 4 e quindi
a < 2. Il numero 2 è quindi un maggiorante di D ma certamente non il minimo maggiorante. Infatti anche 3/2
è maggiorante di D in quanto se a ∈ D si ha a2 < 9/4 e quindi a < 3/2. Con considerazioni analoghe possiamo
trovare
per costruire la nota approssimazione decimale
√ infiniti altri numeri razionali che maggiorano D, finendo √
di 2 : 1,4142136. . . È proprio per la provata irrazionalità di 2 che questo procedimento non ha termine.
L’estremo superiore dell’insieme D è un numero irrazionale.
Questo non è un fatto isolato: dato un insieme superiormente limitato di numeri razionali, il suo estremo
superiore può essere irrazionale. Un altro celebre esempio è dato dall’insieme
n
1
E=
1+
: n∈N
n
Infatti si può dimostrare che 3 è un maggiorante di E e che il suo estremo superiore, che si denota con la lettera
e, è un numero irrazionale.
Ammettermo assiomaticamente che l’insieme R è un campo ordinato in cui sono soddisfatti un ulteriore
assioma:
• Assioma di completezza: ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremo
superiore in R.
A questo punto va, perlomeno, detto che tutti gli insiemi numerici Z, Q, R possono in effetti essere costruiti
a partire dall’insieme dei numeri naturali, evitando il nostro approccio assiomatico. Tuttavia, sia per il fatto
che questo è un corso introduttivo all’analisi, sia per il fatto che, in vista delle applicazioni, questi aspetti
fondazionali non hanno particolare rilevanza, è sufficiente ai nostri scopi credere all’assioma appena enunciato.
Naturalmente non c’è ragione di considerare solo l’aspetto della limitatezza superiore: si può trattare anche
il caso della limitatezza inferiore.
Definizione 1.3.3. Dato un sottoinsieme B di R Il numero reale r si dice minorante di B, se, per ogni b ∈ B
riesce b ≥ r. In tal caso l’insieme B si dice inferiormente limitato.
Il numero reale s si dice estremo inferiore di B se:
• s è un minorante di B;
16
1. Numeri Reali
• per ogni m ∈ R che sia minorante di B risulta s ≥ m.
Possiamo usare l’assioma di completezza per provare il
Teorema 1.3.1. Ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di R ammette estremo inferiore.
Dimostrazione. Se B è un insieme non vuoto e inferiormente limitato, consideriamo l’insieme degli elementi
opposti di B :
−B = {−a : a ∈ B}
Se k è un minorante di B allora −k è un maggiorante di −B e per l’assioma di completezza esiste s estremo
superiore di −B. Da qui si vede senza difficoltà che s = −s è estremo inferiore di B
Si usa scrivere s = sup B e s = inf B.
L’idea di pensare ai numeri reali come punti di una retta orientata porta naturalmente alla formulazione
della nozione di intervallo, nozione che traduce, in un certo senso, quella di segmento per gli intervalli limitati
o quella di semiretta per gli intervalli illimitati.
Siano a, b ∈ R con a < b. Si definiscono allora quattro tipi di intervalli limitati di estremi a e b a seconda
che gli estremi appartengono o meno all’intervallo:
• [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
• [a, b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}
• ]a, b[ = {x ∈ R : a < x < b}
• ]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
In ognuno di questi casi la lunghezza dell’intervallo è il numero positivo b − a. L’intervallo [a, b] si dice
chiuso in quanto contiene i suoi estremi e ]a, b[, che non contiene i suoi estremi si dice aperto.
Gli intervalli illimitati sono la trasposizione della nozione di semiretta:
• [a, ∞[ = {x ∈ R : a ≤ x}
• ]−∞, b[ = {x ∈ R : x < b}
• ]a, ∞[ = {x ∈ R : a < x}
• ]−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
Osserviamo che quando usiamo notazioni come [a, ∞[ non stiamo asserendo che esista un numero reale ∞.
Il significato di ∞ sarà meglio precisato in seguito. Inoltre abbiamo
sup]a, b[= sup[a, b] = sup[a, b[= b
inf]a, b[= inf[a, b] = inf[a, b[= a
Gli intervalli del tipo ]a, ∞[ e ]−∞, b[ sono detti aperti, mentre [a, ∞[ e ]−∞, b] si dicono chiusi.
1.4
Ordinamento e Operazioni
In questo paragrafo riportiamo alcune regole di calcolo che si deducono dal rapporto fra gli assiomi che regolano
le proprietà algebriche dell’insieme dei reali e quelle di ordinamento.
R1 Per ogni a, b ∈ R,
R2 Per ogni a, b, c ∈ R,
a < b ⇐⇒ b − a > 0
a < b ⇐⇒ a + c < b + c
R3 Per ogni a, b ∈ R e per ogni c > 0,
Per ogni a, b ∈ R e per ogni c < 0,
R4 Per ogni a, b ∈ R,
R5 Per ogni a, b ∈ R,
a < b =⇒ ac < bc
a < b =⇒ ac > bc
1
1
a, b > 0, a < b =⇒
>
a
b
a, b ≥ 0 e per ogni p > 0, a < b ⇐⇒ ap < bp
1.5. Valore Assoluto
1.5
17
Valore Assoluto
Definizione 1.5.1. Se x ∈ R il valore assoluto di x è la quantità |x| definita da:
(
x se x ≥ 0,
|x| =
−x se x < 0.
(1.6)
Per costruzione |x| ≥ 0 per ogni x e |x| = 0 se e solo se x = 0. È molto utile ed istruttivo ricordare che per
ogni numero reale x si ha
√
x2 = |x|
(1.7)
La formula (1.7) segue dalla convenzione che quando scriviamo il simbolo di radice quadrata, noi intendiamo
sempre la determinazione positiva della radice.
Usando il valore assoluto possiamo anche scegliere il più grande o il più piccolo fra due numeri, infatti
abbiamo che
x + y − |x − y|
x + y + |x − y|
, min{x, y} =
max{x, y} =
2
2
Dalla definizione (1.6) segue immediatamente che
|−x| = |x| ,
1.6
x ≤ |x| ,
|x| = max{x, −x},
|xy| = |x| |y|
Proprietà archimedea
L’assioma di completezza implica una serie di importanti proprietà dei numeri reali. In questo paragrafo ci
occupiamo della cosiddetta proprietà archimedea e delle sua conseguenze. Cominciamo dalla proprietà archimedea, avvertendo che nonostante la quasi ovvietà della tesi che andiamo a dimostrare, e cioè che l’insieme dei
numeri naturali non è superiormente limitato, qui forniamo la dimostrazione rigorosa.
Teorema 1.6.1. Per ogni x ∈ R esiste n ∈ N tale che n > x.
Dimostrazione. Se, per assurdo, esiste x ∈ R tale che per ogni n ∈ N risulta n ≤ x questo comporta che l’insieme
N è superiormente limitato. Per l’assioma di completezza esiste allora a = sup N e siccome tale elemento a è un
maggiorante di N abbiamo che per ogni n ∈ N vale n ≤ a. Ora è anche n + 1 ∈ N e quindi n + 1 ≤ a. Ma allora
n ≤ a − 1 per ogni n ∈ N e questo significa che a − 1 è un maggiorante di N in contraddizione con il fatto che
a = sup N. La tesi segue dunque per assurdo.
Il prossimo corollario tornerà utile in molte dimostrazioni nei prossimi capitoli.
Corollario 1.6.1.1. Se x ∈ R è tale che per ogni n ∈ N si ha
|x| ≤
1
n
allora x = 0.
Dimostrazione. Se, per assurdo, fosse x 6= 0 si avrebbe |x| > 0. Per la proprietà archimedea esiste n ∈ N tale
che
1
n>
|x|
quindi
|x| >
contro l’ipotesi.
1
n
18
1. Numeri Reali
Dalla proprietà archimedea si deduce l’esistenza della parte intera di un numero reale.
Corollario 1.6.1.2. Per ogni x ∈ R esiste n ∈ Z tale che
n≤x<n+1
Questo intero è il massimo degli interi che non superano x, viene denotato con il simbolo bxc e viene chiamato
parte intera di x
Dimostrazione. Per la proprietà archimedea esiste m ∈ N tale che |x| < m e cioè −m < x < m. Gli interi
compresi fra −m ed m sono in numero finito per cui esiste il più grande di essi non maggiore di x.
Conseguenza di fondamentale importanza della proprietà archimedea è la proprietà di densità di Q in R.
Teorema 1.6.2. Per ogni x ∈ R e per ogni ε ∈ R, ε > 0 esiste r ∈ Q tale che
r ≤ x < r + ε.
Dimostrazione. Fissato ad arbitrio ε ∈ R, ε > 0 per la proprietà archimedea esiste un numero naturale q ∈ N
tale che q > 1/ε e allora 1/q < ε. Per l’esistenza della parte intera esiste un intero p ∈ Z tale che
p ≤ qx < p + 1
e quindi
p 1
p
p
≤x< + < +ε
q
q
q
q
Il numero razionale r = p/q soddisfa la tesi.
Corollario 1.6.2.1. Fra due numeri reali a e b esiste un numero razionale.
Dimostrazione. Siano a, b ∈ R con a < b. Per la proprietà di densità esiste r ∈ Q tale che
r ≤ b < r + (b − a)
Pertanto
a = b − (b − a) < r
e quindi
a<r≤b
come volevasi.
1.7
Induzione
In molte dimostrazioni di questo corso faremo riferimento al principio di induzione matematica, che è una
proprietà dell’insieme dei numeri naturali. Per comprendere il senso di tale principio, facciamo una sorta di
passo indietro, e ragioniamo sulle proprietà dell’ordinamento nell’insieme N dei numeri naturali.
Definizione 1.7.1. Se S ⊂ N l’elemento sm ∈ S di dice minimo di S se per ogni s ∈ S, s 6= sm si ha sm < s.
Ammetteremo assiomaticamente che N sia bene ordinato, nel senso che riconosciamo valida la seguente
proprietà, della del buon ordinamento.
• ogni sottoinsieme non vuoto di N ammette minimo.
1.7. Induzione
19
L’assioma del buon ordinamento consente la dimostrazione del seguente teorema, noto come principio di
induzione matematica:
Teorema 1.7.1. Se S ⊂ N è tale che:
a) 1 ∈ S
b) se s ∈ S è anche s + 1 ∈ S
allora S = N.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che S non coincida con N e ne consideriamo il complementare in N
che indichiamo con S c . Avendo supposto che S è un sottoinsieme proprio di N avremo che S c 6= ∅ e allora per
l’assioma del buon ordinamento esiste σ = min S c . Tale elemento σ deve essere diverso da 1, visto che per ipotesi
1 ∈ S quindi σ > 1 e siccome σ − 1 < σ si avrà σ − 1 ∈ S. Ora per l’ipotesi induttiva avremo che (σ − 1) + 1 ∈ S
e allora σ ∈ S in contraddizione con il fatto che σ ∈ S c . La contraddizione è generata dell’aver supposto S ⊂ N
e dunque deve essere S = N.
Si può far vedere che l’assioma del buon ordinamento e il principio di induzione sono logicamente equivalenti.
Questo significa che se assumiamo vero il principio di induzione, allora il buon ordinamento diviene un teorema,
viceversa se si assume vero l’assioma di buon ordinamento, allora il principio di induzione matematica diventa
un risultato dimostrabile.
Mediante il principio di induzione si possono dimostrare affermazioni che dipendono da proprietà dell’insieme
dei numeri naturali. Vediamo un esempio di dimostrazione che usa il metodo induttivo. Prima però premettiamo
il significato e l’uso del simbolo di sommatoria. Indichiamo con a1 , a2 , . . . , an n numeri che ordiniamo secondo
l’indice. Il simbolo:
n
X
ai
i=1
sta ad indicare che si vogliono sommare i numeri a1 , a2 , . . . , an :
n
X
i=1
ai := a1 + a2 + · · · + an .
Ad esempio se n = 5 e ai = i2 allora:
5
X
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55.
i=1
Ciò premesso, dimostriamo per induzione che, fissato n ∈ N, la somma dei primi n numeri dipari uguaglia il
quadrato di n, in simboli:
n
X
(2i − 1) = n2 .
(1.8)
i=1
Indichiamo con S il sottoinsieme di N costituito dai naturali n per cui (1.8) è verificata. Per prima cosa (passo
di partenza) si deve provare che 1 ∈ S. Poniamo quindi n = 1 in (1.8). Il secondo membro si riduce a 12 = 1,
mentre il primo membro formalmente si scrive:
1
X
i=1
(2i − 1) .
La sommatoria ha dunque un solo termine, e quindi non c’è in sostanza nulla da sommare, precisamente il
termine che si ottiene sostituendo i = 1 all’espressione 2i − 1, vale a dire 1. Si ha uguaglianza fra i due membri
20
1. Numeri Reali
di (1.8) che pertanto è verificata per n = 1. Supponiamo ora (ipotesi induttiva) che (1.8) sia verificata per un
certo s ∈ N, il che è come dire che si suppone vero che:
s
X
i=1
(2i − 1) = s2 .
Si deve dimostrare che in tale ipotesi anche s + 1 ∈ S, cioé che è vero che:
s+1
X
i=1
(2i − 1) = (s + 1)2 .
Usando la proprietà associativa della somma possiamo scrivere:
s+1
X
i=1
(2i − 1) =
s
X
i=1
(2i − 1) + [2(s + 1) − 1] .
Usiamo l’ipotesi induttiva per esplicitare il primo addendo a secondo membro dell’ultima uguaglianza:
s+1
X
i=1
2
2
(2i − 1) = s2 + [2(s + 1) − 1] .
Ora s + 2(s + 1) − 1 = s + 2s + 1 = (s + 1)2 e, dunque:
s+1
X
i=1
Il che dimostra (1.8).
1.8
(2i − 1) = (s + 1)2 .
Fattoriali e coefficienti binomiali
Fattoriale di un numero naturale
Definizione 1.8.1. Sia n ∈ N ∪ {0}. Il fattoriale di n, n! si definisce induttivamente come:
(
0! = 1,
n! = n × (n − 1)!, se n ≥ 1.
(F)
Il fattoriale di n è il prodotto di n per tutti gli interi che lo precedono:
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × 2 × 1.
Ad esempio, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Definizione 1.8.2. Sia n ∈ N ∪ {0}. Il semifattoriale di n, n!! si definisce induttivamente come:


0!! = 1,
1!! = 1,


n!! = n × (n − 2)!!, se n ≥ 2.
Ad esempio 6!! = 2 × 4 × 6 = 48, 7!! = 3 × 5 × 7 = 105. Valgono le identità:
n! = n!! (n − 1)!!,
(2n)!! = 2n n!,
che possono essere provate usando l’induzione.
(2n + 1)!! =
(2n + 1)!
,
2n n!
(S)
1.8. Fattoriali e coefficienti binomiali
21
Coefficienti binomiali
Definizione 1.8.3. Se n, m ∈ N il coefficiente binomiale n su m è:

n!


se n ≥ m,
n
= m!(n − m)!

m

0
se n < m.
Se m ≤ n da (1.9) abbiamo:
n
n · (n − 1) · · · · · (n − m + 1)
.
=
m!
m
Ecco alcune proprietà dei coefficienti binomiali:
n
= 1,
0
n
n
=
,
m
n−m
n−m+1
X n − k
n
=
,
m
m−1
k=1
(1.9)
(1.10)
n
= 1,
n
n
n−1
n−1
=
+
,
m
m
m−1
X
n 2
2n
n
=
,
n
k
k=0
Potenza del binomio
L’impiego più famoso dei coefficienti binomiali è nella formula per la potenza del binomio. La formula, dimostrabile per induzione, fornisce l’espressione esplicita per il calcolo di una potenza intera positiva di un
binomio.
Teorema 1.8.1. Se A, B ∈ R e se n ∈ N allora:
n
(A + B) =
n X
n
An−m B m .
m
m=0
(1.11)
Se n = 2, 3 (1.11) restituisce le formule per il quadrato e per il cubo di un binomio:
(A + B)
2
= A2 + 2AB + B 2 ,
(A + B)
3
= A3 + 3A2 B + 3AB 2 + B 3 .
Un caso particolare celebre della (1.11) è quello in cui a = b = 1:
n X
n
n
2 =
.
m
m=0
(1.12)
La formula (1.12) è nota come teorema di Stifel.
Alla dimostrazione del teorema binomiale dobbiamo premettere una proprietà dei coefficienti binomia, nota
come formula di Stifel.
Lemma 1.8.1. Fissato n ∈ N, per ogni k ∈ N, k ≤ n si ha:
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
22
1. Numeri Reali
Dimostrazione. Infatti, calcolando esplicitamente la somma a secondo membro troviamo:
n−1
n−1
(n − 1)!
(n − 1)!
+
=
+
k
k
(k − 1)! (n − 1 − [k − 1])! k!(n − 1 − k)!
(n − 1)!
(n − 1)!
=
+
(k − 1)! (n − k)! k!(n − k − 1)!
Ricordando la definizione ricorsiva del fattoriale, m! = m · (m − 1)!, possiamo scrivere:
n−1
n−1
+
=
k
k
1
1
(n − 1)!
+
(k − 1)! (n − k) · (n − k − 1)! k · (k − 1)!(n − k − 1)!
(n − 1)!
1
1
=
+
(k − 1)!(n − k − 1)! (n − k) k
n
(n − 1)!
·
=
(k − 1)!(n − k − 1)! k(n − k)
n!
=
k!(n − k)!
il che prova la formula di Stifel.
La prova del teorema 1.8.1 segue ora per induzione.
Dimostrazione. Se n = 1 la formula è verificata, essendo:
1
(A + B)
=
=
1 X
1
A1−k B k
k
k=0
1 1−0 0
1 1−1 1
A B +
A B .
0
1
Supponiamo che la formula valga per n ∈ N e proviamola per n + 1. Si ha:
n X
n n−k k
n+1
n
(A + B)
= (A + B) (A + B) = (A + B)
A
B
k
k=0
n n X
n n−k+1 k X n n−k k+1
=
A
B +
A
B
.
k
k
k=0
k=0
Nella seconda sommatoria scriviamo An−k B k+1 come An+1−(k+1) B k+1 in modo che:
n n X
n n−k+1 k X n n+1−(k+1) k+1
n+1
(A + B)
=
A
B +
A
B
.
k
k
k=0
k=0
Poi, sempre nella seconda sommatoria cambiamo indice, ponendo k = h − 1 in modo da ottenere:
n+1
(A + B)
=
n n+1 X
n n−k+1 k X
n
A
B +
An+1−h B h ,
k
h−1
k=0
h=1
1.9. Disuguaglianze
23
inoltre, essendo indifferente usare la lettera k o la lettera h nella seconda sommatoria, possiamo scrivere:
n+1
(A + B)
=
n X
n
k
k=0
A
n−k+1
k
B +
n+1
X
k=1
n
An+1−k B k .
k−1
A questo punto, scrivendo separatamente l’addendo di indice 0 della prima sommatoria e quello di indice n + 1
della seconda, otteniamo:
n n n+1 0 X n n−k+1 k
n+1
(A + B)
=
A
B +
A
B +
0
k
k=1
n X
n
n 0 n+1
+
An+1−k B k +
A B
k−1
n
k=1
n n n+1 0 X n
n
n 0 n+1
=
A
B +
+
An+1−k B k +
A B
.
0
k
k−1
n
k=1
Ora ricordando la formula di Stifel e osservato anche che:
n
n+1
n
n+1
=
= 1,
=
= 1,
0
0
n
n+1
otteniamo:
n+1
(A + B)
=
n n + 1 0 n+1
n + 1 n+1 0 X n + 1 n+1−k k
A
B +
A
B +
A B
=
k
n+1
0
k=1
n X
n + 1 n+1−k k
A
B .
=
k
k=0
Il che prova la nostra affermazione.
1.9
Disuguaglianze
In Analisi Matematica è molto importante saper trattare espressioni con disuguaglianze. In questo paragrafo
cominciamo ad introdurre a queste tecniche. Cominciamo studiando disuguaglianze conseguenti alla definizione
di valore assoluto 1.5.1.
Teorema 1.9.1. Se x, y ∈ R allora
(i) |x + y| ≤ |x| + |y|
(ii) ||x| − |y|| ≤ |x − y|
Dimostrazione. (i) Se uno dei due reali x, y fosse zero la tesi sarebbe ovvia:
|x + 0| = |x| + 0.
Possiamo dunque limitarci all’ipotesi non restrittiva x, y 6= 0. Si ha:
2
2
|x + y| = (x + y) = x2 + 2xy + y 2 .
24
1. Numeri Reali
Adesso si tenga presente che, indipendentemente dal segno di x e y, vale sempre la disuguaglianza xy ≤ |xy|,
che ovviamente è una uguaglianza se x e y hanno lo stesso segno, allora:
2
2
|x + y| ≤ x2 + 2 |xy| + y 2 = x2 + 2 |x| |y| + y 2 = (|x| + |y|) .
Estraendo la radice quadrata positiva si ottiene la tesi (i).
(ii) Anche qui possiamo limitarci a provare la tesi assumendo che x, y 6= 0. Ora abbiamo
2
2
|x − y| = (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2 ≥ x2 − 2|x||y| + y 2 = (|x| − |y|)
La tesi si ottiene estraendo la radice quadrata positiva del primo e dell’ultimo membro dell’ultima disuguaglianza.
Osserviamo che da quanto appena provato si deduce anche che
|x − y| ≤ |x| + |y|
|x + y + z| ≤ |x| + |y| + |z|
Dimostriamo alcune disuguaglianze, sia perché potranno esserci utili nel seguito, sia perché le tecniche
impiegate sono di uso frequente in Analisi Matematica.
Esempio 1.9.1. Per ogni a, b ∈ R
ab ≤
a+b
2
2
(1.13)
Dimostrazione. Ragioniamo costruendo una catena di disuguaglianze equivalenti a quella data, sino ad arrivare
ad una disuguaglianza certamente vera.
ab ≤
a+b
2
2
⇐⇒ ab ≤
a2 + 2ab + b2
4
⇐⇒ 4ab ≤ a2 + 2ab + b2
⇐⇒ 0 ≤ a2 − 2ab + b2
⇐⇒ 0 ≤ (a − b)2
Quest’ultima è vera e quindi sono vere tutte le concatenate.
Esempio 1.9.2. Per ogni a, b ∈ R, a, b ≥ 0
p
a2 + b2 ≤ a + b
(1.14)
Dimostrazione. Ragioniamo costruendo una catena di disuguaglianze equivalenti a quella data, sino ad arrivare
ad una disuguaglianza certamente vera.
p
a2 + b2 ≤ a + b ⇐⇒ a2 + b2 ≤ (a + b)2
⇐⇒ a2 + b2 ≤ a2 + b2 + 2ab
⇐⇒ 0 ≤ 2ab
Quest’ultima è vera, per l’ipotesi di non negatività su a e b e quindi sono vere tutte le concatenate.
1.9. Disuguaglianze
25
Da (1.14) segue anche che, se a, b ∈ R, a, b ≥ 0 allora
√
√
√
a+b≤ a+ b
(1.14b)
Da (1.14) si decduce anche:
Esempio 1.9.3. Per ogni a, b ∈ R, a, b ≥ 0
√
√ p
a − b ≤ |a − b|
(1.15)
Dimostrazione. Si osservi che in (1.15) se si scambiano a e b la disuglianza
√resta inalterata, quindi possiamo
√
dimostrare (1.15) limitandoci ad assumere a ≥ b. Questo comporta che a ≥ b e |a − b| = a−b. Di conseguenza
√
√ p
√
√
√
a − b ≤ |a − b| ⇐⇒ a − b ≤ a − b
√
√
√
⇐⇒ a ≤ b + a − b
L’ultima disuguaglianza segue da (1.14b) ponendo a = a − b e b = b e quindi sono vere tutte le concatenate.
Lasciamo per esercizio la dimostrazione della generalizzazione di (1.14b) con tre termini.
√
√
√
√
a+b+c≤ a+ b+ c
(1.14c)
in cui a, b, c ≥ 0.
Chiudiamo il paragrafo occupandoci di tre fondamentali disuguaglianze.
1.9.1
Disugualianza di Bernoulli
La disuguaglianza di Bernoulli fu provata da Jacques (Jakob) Bernoulli (1654 - 1705) nel 1689. La dimostrazione
che qui presentiamo usa il principio di induzione.
Teorema 1.9.2. Sia x ≥ −1 un numero reale. Allora per ogni n ∈ N si ha:
n
(1 + x) ≥ 1 + n x.
(1.16)
Dimostrazione. La tesi è ovvia se x = 0, in quanto essa si riduce, in questo caso, all’identità 1 = 1. Poi anche
per x = −1 la tesi è immediata: 0 ≥ 1 − n, fatto ovviamente soddisfatto da tutti gli interi positivi. Sia ora
1
x 6= 0, −1. Se n = 1 la (1.16) si riduce a una identità: (1 + x) = 1 + 1 x. Ammettiamo ora che esista s ∈ N per
cui valga (1.16). Se x > −1, e quindi 1 + x > 0, vediamo che:
(1 + x)
s+1
s
= (1 + x) (1 + x) ≥ (1 + s x) (1 + x) = 1 + (1 + s) x + s x2 .
Ora l’ultimo termine scritto, s x2 , è strettamente positivo, dunque:
s+1
(1 + x)
≥ 1 + (1 + s) x,
ottenendo l’induttività di (1.16). La dimostrazione è completa.
Ad esempio da (1.16) si deduce che per ogni n ∈ N si ha
n
1
2≤ 1+
n
(1.17)
Infatti basta prendere x = 1/n in (1.16). Si noti che (1.17) è equivalente a
1
2n ≤ 1 +
1
n
(1.17b)
26
1. Numeri Reali
1.9.2
Disugualianza di Cauchy-Schwarz
Teorema 1.9.3. Dati i numeri reali a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn allora
2
(a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn ) ≤ a21 + a22 + · · · + a2n b21 + b22 + · · · + b2n
(1.18)
Dimostrazione. Se tutti gli ai sono nulli non vi è nulla da dimostrare. Se cosı̀ non fosse allora la somma
A=
n
X
i=1
a2i = a21 + a22 + · · · + a2n
è strettamente positiva. Poniamo poi
B=
n
X
i=1
C=
n
X
i=1
b2i = b21 + b22 + · · · + b2n
ai bi = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
2
Osserviamo che per ogni numero reale λ abbiamo che (λai + bi ) ≥ 0 in modo che
n
X
i=1
n
X
2
λ2 a2i + 2λai b1 + b2i =
(λai + bi ) ≥ 0
i=1
Quest’ultima disuguaglianza può essere riscritta come
λ2 A + 2λC + B ≥ 0
(1.19)
Ora siccome (1.19) vale per ogni ogni numero reale λ abbiamo che il discriminante del polinomio di secondo
grado in λ deve essere ≤ 0, dunque deve valere
4C 2 − 4AC < 0 =⇒ C 2 < AC
che, stante il significato delle costanti A, B, C, è la tesi (1.18)
1.9.3
Disuguaglianza aritmetico geometrica
Questa disuguaglianza stabilisce che la media geometrica di n numeri positivi è sempre inferiore alla media
aritmetica degli stessi numeri.
Teorema 1.9.4. Dati i numeri reali non negativi a1 , a2 , . . . , an si ha che
1
(a1 a2 · · · an ) n ≤
a1 + a2 + · · · + an
n
(1.20)
Dimostrazione. Siccome gli ai sono positivi, la (1.20) è equivalente a
1
(a1 a2 · · · an ) n
a1 + a2 + · · · + an ≤ 1
n
(1.20b)
Osserviamo poi che la quantità in (1.20b) non cambia se sostituiamo a ciascuno degli ai il multiplo λai con
λ > 0 e questo significa che è sufficiente dimostrare la disuguaglianza (1.20b) nel caso in cui il prodotto dei
termini a1 , . . . , an sia 1. In conclusione è sufficiente dimostrare per induzione su n ∈ N la seguente affermazione:
1.9. Disuguaglianze
27
Per ogni scelta di n reali positivi ai con
n
Y
ai = 1 allora
i=1
a1 + a2 + · · · + an ≥ n
L’affermazione per n = 1 è evidentemente vera.
Ora assumiamo che per un certo n ∈ N l’affermazione sia verificata e dimostriamo che da questo segue che
vale l’affermazione relativa a n + 1 termini. Ora se tutti i termini a1 , . . . , an+1 sono uguali a 1 la tesi segue
banalmente. Alternativamente almeno due termini devono essere diversi da 1, diciamo che siano a1 e a2 e
supponiamo che sia a1 > 1 e a2 < 1. Allora deve essere
(a1 − 1)(a2 − 1) ≤ 0
questa dopo alcuni calcoli è equivalente a
a1 + a2 ≥ 1 + a1 a2
Ma da questa otteniamo la n + 1-esima affermazione, infatti: Siccome gli ai sono positivi, la (1.20) è equivalente
a
a1 + a2 + · · · + an+1 ≥ 1 + a1 a2 + a3 + a4 + · · · + an+1
(1.21)
Ora nel secondo membro di (1.21) dopo il numero 1 abbiamo la somma di n termini non negativi di prodotto
1, cui possiamo applicare l’ipotesi induttiva, per cui (1.21) diviene
a1 + a2 + · · · + an+1 ≥ 1 + a1 a2 + a3 + a4 + · · · + an+1 ≥ 1 + n
(1.21b)
Ma (1.21b) altro non è se non l’affermazione induttiva di indice n + 1, la tesi scende allora dal principio di
induzione matematica.
Non è azzardato dire, anche se sarà chiaro solo nel seguito, che la disuguaglianza fra la media aritmetica e la
media geometrica ha, fra le altre, la seguente conseguenza di importanza cruciale per tutta l’Analisi Matematica,
segnatamente nel garantire l’esistenza del numero più importante dell’Analisi.
Corollario 1.9.4.1. Per ogni n ∈ N si ha
n n+1
1
1
1+
≤ 1+
n
n+1
(1.22)
Dimostrazione. Applichiamo la (1.20) al caso di n + 1 termini dati dai numeri
1, 1 +
1
1
1
, 1 + ,..., 1 +
n
n
n
ottenendo
1+
1
n
1
n n+1
1
n+1
n+2
=
n+1
≤
=1+
n+1+n×
1
n+1
Elevando alla n + 1-esima potenza quest’ultima disuguaglianza otteniamo
n n+1
1
1
1+
≤ 1+
n
n+1
che è la tesi (1.22)
1
n
28
1. Numeri Reali
1.10
Esercizi
1.10.1
Numeri naturali e principio di induzione: esercizi svolti
1. Provare che 1 + 2 + · · · + n =
n(n + 1)
2
2. Provare che 12 + 22 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
3. Provare che n2 + n è pari per ogni n ∈ N
4. Provare che 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 per ogni n ∈ N
5. Provare che 2n > n per ogni n ∈ N
6. Provare che
n
X
√
1
√ ≥ n per ogni n ∈ N
k
k=1
7. Provare che 33n+3 − 26n − 27 è multiplo di 169 per ogni n ∈ N
8. Provare che, se x 6= mπ, m ∈ Z, per ogni n ∈ N vale
cos x + cos(3x) + · · · + cos((2n − 1)x) =
9. Provare che per ogni n ∈ N si ha:
sin(2nx)
2 sin x
sin2n α + cos2n α ≤ 1
10. Siano a1 < a2 < · · · < an interi positivi distinti. Provare che:
2
(a1 + a2 + · · · + an ) ≤ a31 + a32 + · · · + a3n
11. Dimostrare per induzione su n ∈ N che
2n
n
=
2n (2n − 1)!!
n!
12. Dimostrare che per ogni n ∈ N il numero (n + 1)n − 1 è divisibile per n2 .
Soluzione
Ogni prova è divisa in due fasi, il passo di partenza (1 ∈ S) ed il passo induttivo (n ∈ S =⇒ n + 1 ∈ S)
1. Si tratta di una formula molto famosa, relativa alla somma dei primi n numeri.
(a) Passo di partenza:
1=
1 × (1 + 1)
2
è vera (si noti che a primo membro c’è una sommatoria con un solo addendo).
1.10. Esercizi
29
(b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n ∈ N sia vero che:
1 + 2 + ··· + n =
n(n + 1)
2
Consideriamo la somma dei primi n + 1 naturali:
(1 + 2 + · · · + n) + n + 1 =
per l’ipotesi indutttiva
n(n + 1)
+n+1
2
↑
Ora
n
(n + 1)[(n + 1) + 1]
n(n + 1)
+ n + 1 = (n + 1)
+1 =
2
2
2
il che dimostra il passo induttivo in quanto abbiamo visto che:
1 + 2 + ··· + n + 1 =
(n + 1)[(n + 1) + 1]
.
2
2. Qui si sommano i primi n quadrati.
(a) Passo di partenza:
1 × (1 + 1) × (2 × 1 + 1)
6
è vera (si noti che a primo membro c’è una sommatoria con un solo addendo).
12 =
(b) Passo induttivo: supponiamo che per un certo naturale n ∈ N sia vero che:
1 2 + 2 2 + · · · + n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
Consideriamo la somma dei quadrati dei primi n + 1 naturali:
n(n + 1)(2n + 1)
12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 =
+ (n + 1)2
6
↑
per l’ipotesi indutttiva
Ora
n(n + 1)(2n + 1)
+ (n + 1)2 = (n + 1)
6
n(2n + 1)
+n+1
6
(n + 1) 2n2 + 7n + 6
=
6
Ne viene che l’affermazione è provata se è vera l’uguaglianza:
(n + 2) [2(n + 1) + 1] = 2n2 + 7n + 6
fatto di immediata verifica, in quanto basta moltiplicare (n + 2) [2(n + 1) + 1] .
3. L’affermazione può essere agevolmente provata anche senza usare l’induzione essendo n2 + n = n(n + 1)
il che evidenzia che uno dei due fattori a secondo membro è necessariamente un numero pari.
(a) Passo di partenza: se n = 1 allora 12 + 1 = 2
30
1. Numeri Reali
(b) Passo induttivo: se per un certo n ∈ N il numero n2 + n è pari, ciò significa che esiste un p ∈ N tale
per cui n2 + n = 2p. Consideriamo l’affermazione successiva:
(n + 1)2 + (n + 1) = n2 + 2n + 1 + n + 1 = (n2 + n) + 2(n + 1) = 2p + 2(n + 1)
Il che mostra la nostra affermazione.
4. Passo di partenza. Se n = 1 la disequazione 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 diventa 21+1 + 41+1 < 51+1 cioé:
4 + 16 < 25
Ammettiamo che 2n+1 + 4n+1 < 5n+1 sia vera per un naturale n ∈ N. Dobbiamo dimostrare il passo
induttivo:
?
2n+1 + 4n+1 < 5n+1 =⇒ 2n+2 + 4n+2 < 5n+2
Si ha:
4n+2 + 2n+2 = 4 × 4n+1 + 2 × 2n+1 < 4 4n+1 + 2n+1
A questo punto usiamo l’ipotesi induttiva 2n+1 + 4n+1 < 5n+1
4n+2 + 2n+2 = 4 × 4n+1 + 2 × 2n+1 < 4 4n+1 + 2n+1 < 4 × 5n+1
È ben noto che 4 < 5 quindi
4n+2 + 2n+2 = 4 × 4n+1 + 2 × 2n+1 < 4 4n+1 + 2n+1 < 4 × 5n+1 < 5 × 5n+1
Abbiamo cosı̀
4n+2 + 2n+2
4 × 4n+1 + 2 × 2n+1
< 4 4n+1 + 2n+1 < 4 × 5n+1 < 5 × 5n+1 = 5n+2
=
5. Per n = 1 (passo iniziale) l’affermazione è evidente 21 > 1. Supponiamo (passo induttivo) che per n ∈ N
valga la relazione 2n > n. Allora:
2n+1 = 2 × 2n > 2 × n = n + n > n + 1.
6. Questa formula sarà utile nello studio successivo delle serie armoniche.
(a) Passo di partenza. Se n = 1 la relazione
n
X
√
1
√ ≥ n
k
k=1
si riduce all’identità 1 = 1.
(b) Passo induttivo. Supponiamo che:
n
X
√
1
√ ≥ n
k
k=1
valga per un certo n ∈ N. Dobbiamo allora provare l’affermazione:
n
X
X 1
√
√ ? n+1
1
√ ≥ n⇒
√ ≥ n+1
k
k
k=1
k=1
1.10. Esercizi
31
Osserviamo che per ogni n ∈ N vale la disuguaglianza:
√
Infatti scrivendo () come
√
n+ √
n≥
√
√
1
≥ n+1
n+1
()
1
n+1
(a )
n+1− √
elevando al quadrato i due lati di (a ), fatto lecito in quanto il secondo membro di (a ) è positivo,
troviamo
1
1
n≥n+
− 1 ⇐⇒ 1 ≥
(b )
n+1
n+1
L’ultima disuguaglianza in (b ) è vera, ciò implica che anche () è vera. Ciò premesso usiamo ()
nella dimostrazione del passo di induzione. Si ha
n+1
X
k=1
n
X 1
1
1
√ =
√ +√
n+1
k k=1 k
Usando l’ipotesi induttiva otteniamo
n+1
X
k=1
n
X 1
√
1
1
1
√ =
√ +√
> n+ √
n+1
n+1
k k=1 k
A questo punto invochiamo () e concludiamo:
n+1
X
k=1
n
X 1
√
√
1
1
1
√ =
√ +√
> n+ √
≥ n + 1.
n+1
n+1
k k=1 k
7. Tratto da David A. Santos “Discrete Mathematics Notes”
(a) Passo di partenza: per n = 1 stiamo affermando che 36 − 53 = 676 = 169 × 4 è divisibile per 169,
fatto evidente.
(b) Passo induttivo. Ammettiamo che esista p ∈ N tale che 33n+3 − 26n − 27 = 169p. Allora:
33(n+1)+3 − 26(n + 1) − 27 = 27 33n+3 − 26(n + 1) − 27
=(26 + 1) 33n+3 − 26n − 26 − 27
=26 (33n+3 − 1) + 33n+3 − 26n − 27
=26 (33n+3 − 1) + 169p
Ora per ipotesi abbiamo che
33n+3 − 1 = 169p + 26n + 27 − 1 = 169p + 26n + 26
quindi
33(n+1)+3 − 26(n + 1) − 27 = 26 (169p + 26n + 26) + 169p
ma questo dimostra la nostra affermazione in quanto il numero 26 (169p + 26n + 26) è multiplo di
169, come si comprende rammentando che 169 = 132 e che 26 = 13 × 2.
32
1. Numeri Reali
8. Ci serve rammentare la formula di duplicazione:
sin(2x) = 2 sin x cos x.
e la formula di prostaferesi
sin α − sin β = 2 cos
α+β
α−β
sin
2
2
(a) Passo di partenza:
cos x =
sin((2 × 1)x)
2 sin x
vero in ragione della formula di duplicazione.
(b) Passo induttivo. Supponiamo che, per n ∈ N valga:
n
X
k=1
cos((2k − 1)x) = cos x + · · · + cos((2n − 1)x) =
sin(2nx)
2 sin x
Passiamo a n + 1 addendi, usando il passo induttivo:
n+1
X
k=1
cos((2k − 1)x) = cos x + · · · + cos((2n − 1)x) + cos((2n + 1)x) =
sin(2nx)
+ cos((2n + 1)x).
2 sin x
La tesi equivale ad affermare che
sin((2n + 2)x)
sin(2nx)
+ cos((2n + 1)x) =
.
2 sin x
2 sin x
Moltiplicando i due lati per 2 sin x troviamo che la tesi equivale a:
sin(2nx) + 2 sin x cos((2n + 1)x) = sin((2n + 2)x)
o equivalentemente:
2 sin x cos((2n + 1)x) = sin((2n + 2)x) − sin(2nx)
(↑)
La tesi si ottiene a questo punto applicando la citata formula di prostaferesi al secondo membro di
(↑).
9. Tratto da http://math.ournet.md
(a) Passo di partenza: per n = 1 si ha
sin2 α + cos2 α = 1 ≤ 1
(b) Passo induttivo: ammettiamo che per n ∈ N si abbia
sin2n α + cos2n α ≤ 1
Osserviamo poi che comunque si prenda α abbiamo che si verifica sempre una delle tre situazioni:
(
(
(
sin2 α ≤ 1
sin2 α < 1
sin2 α < 1
oppure
oppure
cos2 α < 1
cos2 α ≤ 1
cos2 α < 1
Ciò detto, si ha:
sin2(n+1) α + cos2(n+1) α = sin2n α sin2 α + cos2n α cos2 α < sin2n α + cos2n ≤ 1
1.10. Esercizi
33
10. Tratto da http://staff.imsa.edu/math/journal/volume1/articles/MathInduction.pdf
(a) Passo di partenza. Per n = 1 l’affermazione è immediata in quanto a21 < a31 essendo, per ipotesi,
a1 > 1.
(b) Passo induttivo. Ammettiamo che per un certo k ∈ N valga
2
(a1 + a2 + · · · + ak ) ≤ a31 + a32 + · · · + a3k .
(A)
Prendiamo un intero ak+1 in modo che ak+1 > ak . Ne segue che vale anche
ak+1 ≥ ak + 1.
Ma allora abbiamo che:
(ak+1 − 1) ak+1
ak (ak + 1)
≥
2
2
Possiamo cosı̀ usare la proprietà di somma delle progressioni aritmetiche per concludere che:
(ak+1 − 1) ak+1
ak (ak + 1)
≥
= a1 + a2 + · · · + ak
2
2
Moltiplicando i due lati di (†) per 2ak+1 otteniamo:
a2k+1 − ak+1 ak+1 ≥ 2 (a1 + a2 + · · · + ak ) ak+1
(†)
(‡)
Riscriviamo (‡) come
2 (a1 + a2 + · · · + ak ) ak+1 + a2k+1 ≤ a3k+1 .
Sommando membro a membro (A) e (B) otteniamo la tesi induttiva.
11. Usiamo l’induzione. Per n = 1 abbiamo
2
21 1!!
=2=
1!
1
Supponiamo ora vero che, per un indice n ∈ N valga
2n
2n (2n − 1)!!
=
n
n!
Si ha
Ora
E quindi
2(n + 1)
n+1
=
[2(n + 1)]!
(n + 1)![2(n + 1) − (n + 1)]!
(2n + 2)(2n + 1)(2n)!
(2n + 2)(2n + 1) (2n)!
[2(n + 1)]!
=
=
(n + 1)![2(n + 1) − (n + 1)]!
(n + 1) n! (n + 1)!
(n + 1)2
n! n!
Allora usando l’ipotesi induttiva:
e cioè:
come volevasi.
2(n + 1)
2(2n + 1) 2n
=
n+1
n+1
n
2(n + 1)
2(2n + 1) 2n (2n − 1)!!
=
n+1
n+1
n!
2(n + 1)
n+1
=
2n+1 (2n + 1)!!
(n + 1)!
(B)
34
1. Numeri Reali
12. Se n = 1 la cosa è evidente. Se n > 1 per la formula di Newton:
(n + 1)n − 1 =
n X
n k
n ,
k
k=1
e questo comporta che ogni termine è divisibile per n2 .
1.10.2
Numeri naturali e principio di induzione: esercizi proposti
1. Provare che per ogni n ∈ N si ha 3n > n + 1
2. Provare che per ogni n ∈ N, n > 2 si ha n2 > 2n + 1
3. Provare che per ogni n ∈ N, n > 4 si ha 2n > n2
4. Provare che per ogni n ∈ N, n > 9 si ha 2n > n3
5. Provare che per ogni n ∈ N il numero n(2n2 − 3n + 1) è divisibile per 6
6. Provare che per ogni n ∈ N si ha
1
1
1
5n − 2
+ + ··· +
<
1! 2!
n!
n
7. Provare che per ogni n ∈ N si ha
(2n)!
4n
≤
n+1
(n!)2
8. Provare che per ogni n ∈ N
(a) n3 − n è divisibile per 6
(f) 8n − 1 è multiplo di 7
(b) 4n3 − n è divisibile per 3
(g) 52n−1 + 1 è multiplo di 6
(c) 22n − 1 è multiplo di 3
(h) 9n − 1 è multiplo di 8
(e) 32n−1 + 1 è multiplo di 4
(j) 23 + 1 è multiplo di 3n+1
n
(i) 62n−1 + 1 è multiplo di 7
(d) 11 + 4 è multiplo di 5
9. Provare che per ogni n ∈ N si ha
n
n
X
(2k − 1)2 =
k=1
4n3 − n
3
10. Si consideri la successione definita per ricorrenza:

x1 = 1
xn−1
, n>1
xn =
1 + xn−1
1
n
11. Provare, per induzione su n ∈ N le seguenti affermazioni:
Mostrare per induzione su n ∈ R che xn =
(a)
n
X
k2
k=1
2k
=6−
6 + 4n + n2
2n
(b)
n
X
k2
k=1
3k
=
3 3 + 3n + n2
2
2 3n
1.10. Esercizi
(c)
n
X
k=1
12.
n
X
k=1
35
k k! = (n + 1)! − 1
(d)
n
X
k(k + 1)!
k=1
2k
=
(n + 2)!
−2
2n
n
1
=
(2k − 1)(2k + 1)
2n + 1
13. Dimostrare per induzione su n ∈ N, che:
(a)
(b)
(c)
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
k=1
2
(3k − 2) =
n
6n2 − 3n − 1
2
(d)
n 16n + 12n − 1
2
(4k − 1) =
3
(e)
2k = 2n+1 − 2
(f)
2
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
3k 2 − k − 2 = n (n + 2) (n − 1)
k (k + 1) (k + 2) =
n3 =
k=1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
4
n2 (n + 1)2
4
1+2n
14. Sia m ∈ N. Provare, per induzione su, n ∈ N che il numero m2+n + (1 + m)
1 + m (1 + m)
è divisibile per
15. Provare che, per ogni n ∈ N si ha (n + 1)! ≥ 2n
16. Provare per induzione su n ∈ N che:
17. Provare, per induzione su, n ∈ N che
n3
7n
n5
+
+
∈N
5
3
15
n
X
k=1
3k
≤ 2n
2k + 1
18. Sia x ∈ ]−1, 0[ . Si dimostri per induzione su n ∈ N la seconda disuguaglianza di Bernoulli:
(1 + x)n <
1
1 − nx
19. Provare per induzione su n ∈ N che se x 6= kπ, k ∈ Z valgono
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X
k=1
1.10.3
sin((2k − 1)x) =
1 − cos(2nx)
2 sin x
(a)
cos(2kx) =
sin((2n + 1)x) − sin x
2 sin x
(b)
sin(2kx) =
cos x − cos((2n + 1)x)
2 sin x
(c)
Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi svolti
1. Dimostrare che esistono terne di numeri razionali a, b, c ∈ Q che soddisfano l’uguaglianza
a 2 + b2
a+b
=
2
2
a +c
a+c
36
1. Numeri Reali
2. Dimostrare che
q
3
3. Dimostrare che
2+
√
4. Dimostrare che
√
5+
q
√
3
2− 5∈Q
√
1
− 2∈Q
2−1
√
5. Dimostrare che se x ∈ R, x > 0 è tale che
3−
x=
allora x ∈
/Q
√
2∈
/Q
1
x−1
6. Siano a, b numeri reali. Supposto che per ogni numero ε > 0 valga la disuguaglianza:
a<b+ε
dimostrare che a ≤ b.
7. Se a, b, c sono interi dispari, dimostrare che l’equazione ax2 + bx + c = 0 non ha soluzioni razionali.
Soluzione
1. In generale, cioè con a, b, c presi arbitrariamente non si ha uguaglianza, tuttavia possiamo imporla:
a2 + b2
a+b
−ba2 + ca2 + b2 a − c2 a − bc2 + b2 c
−
=
a2 + c2
a+c
(a + c) (a2 + c2 )
Isoliamo il numeratore della frazione a secondo membro, che dopo aver raccolto diventa:
(c − b) a2 − ba − ca − bc
Da qui vediamo che se c = b l’uguaglianza cercata sussiste, seppur banalmente 1 = 1. Altrimenti si annulla
il secondo fattore, risolvendo ad esempio rispetto a b trovando:
b=
a(a − c)
a+c
Ad esempio se a = 6, c = 2 si trova b = 3 :
62 + 32
6+3
=
62 + 2 2
6+2
2. Eleviamo al cubo:
q
3
2+
√
5+
q
√ 3
3
2− 5
eseguendo i calcoli:
q
3
2+
√
r
r
q
q
q
√ 3
√
√ 2 3
√
√ 3 √ 2
√
3
3
3
5+ 2− 5 =2+ 5+3
2− 5
2+ 5+3 2− 5
2+ 5 +2− 5
1.10. Esercizi
Ora:
37
r
3
e quindi:
r
r
q
√ 2 3
√
√ 2 √ √ √ √ 3
2− 5
2+ 5=
2− 5
2+ 5 = 3 2− 5 2− 5 2+ 5
r
3
Analogamente
Pertanto:
q
q
√ 2 3
√
3 √
5
2+ 5=
5−2
r
r
q
q
√ 3 √ 2
√ 2
√ 3
3 √
3
2− 5
5+2
2+ 5 =
2− 5 2+ 5 =−
q
3
o anche
2−
q
3
2+
2+
√
√
5+
5+
q
q
q
√ 3
3
3 √
3 √
2− 5 =4+3
5−2−3
5+2
q
3
2−
√
3
q
q
√
√
3
3
5 =4−3
2+ 5+ 2− 5
p
p
√
√
3
3
Ma, allora abbiamo dimostrato che il numero r = 2 + 5 + 2 − 5 è una radice dell’equazione di
terzo grado:
x3 + 3x − 4 = 0
(1.23)
Detta equazione ha per radice x = 1 come si vede per verifica diretta, dunque possiamo usare la regola
di Ruffini:
x3 + 3x − 4 = (x − 1)(x2 + x + 4)
ma il trinomio x2 + x + 4 non ha radici reali avendo discriminante negativo, quindi la sola radice reale
dell’equazione (1.23) à x = 1, ne viene che:
q
q
√
√
3
3
2 + 5 + 2 − 5 = 1.
3. Razionalizziamo il denominatore:
√
√
√
√
√
√
1
1
2+1 √
2+1
√
− 2= 2+1− 2=1
− 2= √
− 2 = √ 2
2−1
2−1 2+1
2 − 12
√
√
4. Supponiamo per assurdo che esista r ∈ Q tale che 3 − 2 = r. Allora, siccome r ∈ Q =⇒ r2 ∈ Q
abbiamo che:
√
√ 2
√ √
√
√ 2 √ 2
3− 2 =
3 −2 3 2+
2 = 5 − 2 6 = r2 ∈ Q
√
Ma ciò significa anche che:
√
5 − r2
∈Q
2
√
Da qui l’assurdo in quanto 6 ∈
/ Q. Infatti se esistessero due numeri naturali n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1
con:
n2
6 = 2 ⇐⇒ 6d2 = n2
d
ne segue che n2 è pari e dunque n = 2ν per un certo ν ∈ N. Ma, allora
6=
6d2 = 4ν 2 ⇐⇒ 3d2 = 2ν 2 =⇒ d = 2δ
per
contraddice l’ipotesi che n e d non abbiano divisori in comune. Pertanto
√ un certo δ ∈ N.√Ma questo
√
6 6∈ Q e, dunque 3 − 2 6∈ Q.
38
1. Numeri Reali
5. Per ipotesi x > 0 è definito dalla proprietà:
x=
1
x−1
(1.24)
quindi (1.24) segue che x > 1.
Supponiamo per assurdo che esistano n, d ∈ N, mcd(n, d) = 1 tali che
n
x= .
d
Inoltre possiamo supporre che d < n e che nn e d siano i minimi interi positivi che rappresentano la
frazione x.
Per la proprietà di x abbiamo allora che
n
d
1
=
= n
d
n−d
−1
d
Ma questa è una contraddizione con la minimalità dei rappresentanti la frazione.
6. Supponiamo per assurdo che sia a > b. Quindi vale anche
a−b
> 0.
2
Siccome la disuguaglianza a < b + ε vale per ogni ε > 0 essa in particolare vale anche per
ε=
a−b
.
2
Ciò implica che
a−b
quindi a < b.
2
Cosı̀ a partire dall’ipotesi a > b abbiamo ottenuto la conclusione incompatibile che a < b. L’ipotesi
originale deve essere errata. Quindi possiamo concludere che a ≤ b.
p
7. Supponiamo che
sia una soluzione razionale dell’equazione. È lecito supporre che p e q non abbiano
q
fattori primi in comune, cosı̀ o p e q sono enntambi dispari, oppure uno è dispari e l’altro pari. Ora:
2
p
p
a
+b
+ c = 0 =⇒ ap2 + bpq + cq 2 = 0.
q
q
a<b+
Se sia p che p fossero dispari, allora anche ap2 + bpq + cq 2 sarebbe dispari e quindi 6= 0.
Analogamente se uno dei due fosse pari e l’altro dispari allora uno fra i due numeri ap2 + bpq o bpq + cq 2
sarebbe pari e quindi ap2 + bpq + cq 2 sarebbe comunque dispari. Questa contraddizione dimostra che
l’equazione non può avere una radice razionale.
1.10.4
Numeri razionali, irrazionali e reali: esercizi proposti
1. Dimostrare che esiste una sola coppia di interi a, b ∈ Z per cui
1+b
a + ab
=
7+a
8
2. Dimostrare che
p
p
√
√
3
3
41 + 29 2 + 41 − 29 2 = 2
3. Motivare quali fra i seguenti numeri reali sono irrazionali
1.10. Esercizi
(a)
√
2+
√
4
(b) 81
39
√
3
(c) log7 343
√
(d) 3 + 1
(e)
(f)
4. Dimostrare che se p ∈ N è un numero primo, allora
√
√
3
√
3
2+
√
3−
√
5
p∈
/Q
5. Dimostrare che, se m ∈ N è un fissato numero naturale, allora il numero positivo x definito dalla relazione:
x=
1
x−m
è irrazionale. Dedurre da ciò che ogni numero reale y della forma
p
y = 4 + m2
con m ∈ N è irrazionale.
6. Dimostrare che log2 3 è irrazionale
7. Dimostrare che se ax2 + bx + c = 0 ha soluzioni reali e se a > 0, b > 0, c > 0 allora le soluzioni devono
essere negative.
8. Se a, b soddisfano la relazione
calcolare
1 1
2
= +
a+b
a b
a2
b2
9. Provare che se a, b, c sono interi positivi, allora
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
( a + b + c)(− a + b + c) × ( a − b + c)( a + b − c)
è un intero.
10. Trovare due interi positivi a e b tali che
q
√
√
√
5 + 24 = a + b.
40
1. Numeri Reali
CAPITOLO 2
SUCCESSIONI
2.1
Definizioni e generalità
Definizione 2.1.1. Una successione di numeri reali è una funzione a valori reali il cui dominio è l’insieme N
dei numeri naturali.
Di solito si descrive questa particolare funzione con la notazione (an )n∈N o, semplicemente (an ) . Il termine
n-esimo della successione è l’immagine dell’intero n ∈ N; invece di rappresentare tale termine mediante l’usuale
notazione a(n) si suole scrivere, nel caso delle successioni an . Diremo che an è il termine n-esimo della successione. Una successione dunque differisce da una insieme: ad esempio nel caso di successioni le ripetizioni sono
significative. Si consideri la successione di termine generale an = 2 + (−1)n . In questo caso abbiamo
(an )n∈N = (1, 3, 1, 3, 1, 3, . . .)
Viceversa l’immagine della funzione a : N → R definita da a(n) = an = 2 + (−1)n è l’insieme
{x ∈ R : x = an , n ∈ N} = {1, 3}.
Definizione 2.1.2. Diremo che:
(i) Una successione (an ) è stazionaria se per ogni n ∈ N esiste k ∈ R tale che an = k.
(ii) Una successione (an ) è crescente se per ogni n ∈ N an ≤ xn+1 .
(iii) Una successione (an ) è decrescente se per ogni n ∈ N an ≥ xn+1 .
(iv) Una successione (an ) è crescente strettamente se per ogni n ∈ N an < xn+1 .
(v) Una successione (an ) è decrescente strettamente se per ogni n ∈ N an > an+1 .
(vi) Una successione (an ) è limitata inferiormente se per ogni n ∈ N esiste α tale che α ≤ an .
(vii) Una successione (an ) è limitata superiormente se per ogni n ∈ N esiste ω tale che an ≤ ω.
(viii) Una successione (an ) è limitata se è, sia limitata inferiormente sia superiormente.
42
2. Successioni
Esempi
(a) an = 4 per ogni n ∈ N è stazionaria;
n
(b) an =
è crescente strettamente e limitata;
n+1
(c) an =
1
è decrescente strettamente e limitata;
n
(d) an = n2 è crescente strettamente e limitata inferiormente;
(e) an = cos n è limitata.
(f) an = (−1)n n! è non limitata.
2.1.1
Progressioni aritmetiche
Una progressione aritmetica è una successione (an ) in cui la differenza d fra due termini successivi è costante.
Dunque, per ogni n ∈ N, n ≥ 2:
an − an−1 = d.
(2.1)
La (2.1) non determina univocamente (an ) che è individuata completamente se si assegna il primo termine a1 .
Infatti se poniamo a1 = a ∈ R:
a1 = a, a2 = a + d, a3 = a + 2d, . . .
ragionando induttivamente troviamo per ogni n ∈ N :
(2.10 )
an = a + (n − 1) d.
a è detto primo termine della progressione aritmetica d la ragione.
Nel caso in cui la ragione della progressione è nulla, la progressione aritmetica si riduce alla successione
stazionaria.
E’ possibile ottenere la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.
Teorema 2.1.1. Sia (an ) una progressione aritmetica di primo termine a e ragione d, si ha, allora:
n
X
ak =
k=1
n
(a1 + an ) .
2
(2.2)
Dimostrazione. Procediamo utilizzando la formula per somma dei primi n interi, vedi pagina 28:
n
X
ak
=
k=1
n
X
k=1
[a + (k − 1) d] =
= na + d
n−1
X
k=0
n
X
k=1
k = na + d
a+
n
X
k=1
(k − 1) d
n (n − 1)
2
d
n
= n a + (n − 1) = [2a + (n − 1) d]
2
2
n
n
=
[a + a + (n − 1) d] = (a1 + an ) .
2
2
Il teorema è completamente dimostrato.
2.2. Successioni convergenti
43
Usando il teorema 2.1.1, possiamo trovare la formula per somma dei primi n numeri dispari, vedi formula
(1.8) di pagina 19. Infatti la successione dei numeri dispari è la progressione aritmetica di primo termine 1 e
ragione 2 an = 1 + 2(n − 1). Applicando (2.2) vediamo che:
n
X
k=1
2.1.2
ak =
n
n
n
(a1 + an ) = [1 + 1 + 2(n − 1)] = [2 + 2n − 2] = n2 .
2
2
2
Progressioni geometriche
Una progressione geometrica è una successione (an ) , an 6= 0 per ogni n ∈ N, tale per cui il rapporto r fra due
termini successivi è costante. Dunque deve valere, per ogni n ∈ N, n ≥ 2:
an
= r.
an−1
(2.3)
La progressione geometrica è univocamente determinata solo se si fissa il primo termine a1 . Il caso degenere in
cui r = 1 porta a successioni stazionarie. Da (2.3), vediamo subito che ogni progressione geometrica di primo
termine a ∈ R ragione r ∈ R è la successione di termine generale:
an = a rn−1 .
(2.30 )
Teorema 2.1.2. Sia (an ) una progressione geometrica non degenere, si ha allora:
n
X
a rk−1 = a
k=1
1 − rn
.
1−r
(2.4)
Dimostrazione. Se n = 1 (2.4) si riduce all’identità:
a r0 = a
1−r
.
1−r
Supponiamo ora che, in corrispondenza di s ∈ N sia soddisfatta (2.4):
s
X
a rk−1 = a
k=1
1 − rs
.
1−r
Consideriamo ora la somma di (s + 1) termini della progressione, si ha:
s+1
X
a rk−1
=
k=1
s
X
a rk−1 + a rs = a
k=1
= a
1 − rs
+ a rs
1−r
1 − rs + rs − rs+1
1 − rs+1
=a
.
1−r
1−r
Ciò mostra che l’insieme degli interi verificanti (2.4) è induttivo.
2.2
Successioni convergenti
Data la successione (an ), si studia il comportamento all’aumentare del valore dell’indice n ∈ N. Nel grafico
seguente abbiamo messo in ascissa l’indice e in ordinata i valori corrispondenti di an = n/(n + 1) per valori di
n ∈ N compresi fra 1 e 60. L’esame della figura suggerisce il fatto che al crescere di n i valori della successione si
44
2. Successioni
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
10
20
30
40
50
fanno via via più vicini a 1. L’idea è che la successione tenda al valore limite 1, però è chiaro che questo valore
limite non è algebricamente ammissibile, in quanto l’equazione:
an =
n
= 1,
n+1
è impossibile. Questa situazione è rappresentata dalla scrittura:
lim
n→+∞
n
= 1,
n+1
in cui n → +∞ si deve leggere come n tendente all’infinito. Si usa anche scrivere an → 1. Questo modo
di procedere, sebbene intuitivo e naturale, non permette di definire rigorosamente il concetto di successione
convergente.
Definizione 2.2.1. Diciamo che (an ) converge a a per n → +∞, se per ogni ε > 0 esiste un indice nε ∈ N
tale che per ogni n ∈ N, n ≥ nε si ha:
|an − a| < ε.
(L)
Per provare che la successione usata come esempio di successione convergente tende effettivamente a 1 si
deve risolvere la disequazione:
n
< ε.
(L0 )
−
1
n + 1
Eseguendo i calcoli si ricava che (L0 ) è soddisfatta per n > (1 − ε)/ε. L’indice critico è, dunque, dato dalla parte
intera b(1 − ε)/εc di (1 − ε)/ε.
Una successione non necessariamente è convergente, ma se è convergente non può ammettere due limiti
distinti.
Teorema 2.2.1. Se (an ) è una successione convergente, il suo limite è unico.
Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, che esistano a, b con a 6= b tali che an → a e an → b. Allora si ha,
usando la disuguaglianza triangolare, teorema 1.9.1 (i), pagina 23:
|a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a − an | + |an − b| .
(2.5)
2.2. Successioni convergenti
45
Ma la successione (an ) è convergente, dunque preso ε =
tale per cui per ogni n ∈ N, n > nε si ha
|an − a| <
|a − b|
,
2
|a − b|
per definizione di limite esiste un indice nε ∈ N
2
|an − b| <
|a − b|
2
e sostituendo in (2.5) troviamo:
|a − b| <
|a − b| |a − b|
+
= |a − b|
2
2
che è una contraddizione.
Nel prossimo Teorema usiamo la seconda disuguaglianza triangolare presentata nel Teorema 1.9.1 di pagina
23
Teorema 2.2.2. Se la successione (an ) converge a a allora la successione (|an |) converge a |a|.
Dimostrazione. Per ipotesi per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > nε si ha |an − a| < ε. Per
Teorema 1.9.1 (ii) abbiamo
|an | − |a| ≤ |an − a| < ε
e da qui la tesi.
Osservazione 2.2.1. La tesi del Teorema 2.2.2 non può essere invertita. Ad esempio se an = (−1)n la
successione non è convergente, ma il suo valore assoluto |an | = 1 è una successione stazionaria, che quindi è
convergente.
Teorema 2.2.3. Ogni successione convergente è limitata.
Dimostrazione. Supponiamo che la successione (an ) converga al limite a. Per il Teorema 2.2.2 abbiamo anche che
la successione (|an |) converge a |a|. Se applichiamo la definizione di limite a quest’ultima successione prendendo
ε = 1 avremo che per ogni n ∈ N, n > nε
|an | − |a| < 1 ⇐⇒ |a| − 1 < |an | < |a| + 1
Di conseguenza per ogni n ≥ 1 si ha
|an | < max{|a1 |, |a2 |, . . . , |anε |, |a| + 1}
il che prova l’asserto.
Osservazione 2.2.2. La tesi del Teorema 2.2.3 non può essere invertita. Ad esempio se an = (−1)n la
successione non è convergente ma è limitata.
Dimostriamo ora il Teorema della permanenza del segno.
Teorema 2.2.4. Se (an ) è una successione convergente con limite a > 0 allora esiste un indice n0 ∈ N tale che
per ogni n ∈ N, n > n0 riesce an > 0.
Dimostrazione. Per ipotesi an → a > 0. Preso ε = a/2 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0
|an − a| <
a
a
a
3a
a
⇐⇒ a − < an < a +
⇐⇒
< an <
2
2
2
2
2
Ma essendo per ipotesi a > 0 la tesi è dimostrata.
Osservazione 2.2.3. Esiste un analogo enunciato, che lasciamo al lettore, nel caso di successioni convergenti
con limite negativo.
46
2. Successioni
2.3
Successioni infinitesime
In questo paragrafo svolgiamo la teoria per una particolare classe di successioni per poi estenderla al caso
generale. In questo modo otteniamo una trattazione più semplice, sebbene limitata ad una situazione particolare.
Definizione 2.3.1. Se la successione convergente (an ) ha limite zero, diremo che la successione è infinitesima.
Osservazione 2.3.1. Dalla definizione di limite numero 2.2.1 segue che la successione (an ) è infinitesima se e
solo se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > nε risulta
|an | < ε.
(2.6)
Osservazione 2.3.2. Dal Teorema 2.2.2 segue che (an ) è infinitesima se e solo se (|an |) è infinitesima.
Esempio 2.3.1. La successione di termine generale
an =
1
n+1
è infinitesima.
Dimostrazione. Per verificare che una data successione è infinitesima si può tentare (anche se non sempre questa
è la strada più facile da seguire) l’approccio diretto, che consiste nel risolvere la disuguaglianza (2.6). In questo
caso, per la natura algebrica del termine generale della successione in esame la cosa è possibile. Osserviamo
anche che in questo particolare caso la successione oggetto di studio è a termini positivi. Si ha imponendo (2.6)
|an | < ε ⇐⇒
1
1
1
< ε ⇐⇒ n + 1 >
⇐⇒ n > − 1
n+1
ε
ε
Pertanto la definizione 2.3.1 è soddisfatta con
1
nε =
−1
ε
Osservazione 2.3.3. Se (an ) è una successione infinitesima e non negativa, i.e. tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ N
allora per ogni α > 0 la successione (aα
n ) è infinitesima.
Dimostrazione. Per ipotesi la successione (an ) è infinitesima, ne segue che fissato ε > 0, esiste nε ∈ N tale che
per ogni n ∈ N, n > nε risulta
1
an < ε α
elevando alla potenza α i due lati di quest’ultima si trova:
n > nε =⇒ aα
n <ε
come volevasi
La maggior fonte di informazioni sul comportamento delle successione si ottiene confrontando una successione di cui non si conosce il comportamento con un’altra dal comportamento noto. La prossima definizione ed
il prossimo Teorema sono il primo esempio di questa tecnica.
Definizione 2.3.2. Siano (an ), (bn ) due successioni. Diremo che (bn ) domina (an ) se esiste n0 ∈ N tale che
per ogni n ∈ N, n > n0 si ha
|an | ≤ bn
2.3. Successioni infinitesime
47
Teorema 2.3.1. Se (bn ) domina (an ) e (bn ) è infinitesima, allora anche (an ) è infinitesima.
Dimostrazione. Dobbiamo provare che, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > nε vale
|an | < ε
Per ipotesi (bn ) è infinitesima, dunque esiste nε ∈ N tale che per ogni n > nε vale
|bn | < ε
D’altra parte è anche |an | ≤ bn per n > n0 e pertanto posto mε := max{nε , n0 } si ha che per ogni n > mε
|an | ≤ bn < ε
come volevasi.
Esempio 2.3.2. Con riferimento alla successione infinitesima dell’esempio 2.3.1, che qui rinominiano come (bn )
abbiamo che la successione di termine generale
an =
1
1 + n2
è dominata da (bn ). Infatti
1
1
≤
⇐⇒ 1 + n2 ≥ 1 + n ⇐⇒ n2 ≥ n ⇐⇒ n ≥ 1
1 + n2
1+n
Pertanto anche (an ) è infinitesima.
Teorema 2.3.2. Siano (an ) e (bn ) due successioni infinitesime allora
(i) (an + bn ) è infinitesima
(ii) se λ ∈ R allora (λan ) è infinitesima
(iii) (an bn ) è infinitesima
Dimostrazione. Procediamo punto a punto.
(i) Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che
|an + bn | < ε per ogni n > nε
Stante che (an ) e (bn ) sono infinitesime esistono pε , qε ∈ N tali che
ε
2
ε
|bn | <
2
|an | <
per ogni n > pε
per ogni n > qε
Posto nε := max{pε , qε } dalla disuguaglianza triangolare otteniamo:
|an + bn | < |an | + |bn | <
ε ε
+ =ε
2 2
per ogni n > nε
48
2. Successioni
(ii) Possiamo supporre che sia λ 6= 0 perché altrimenti il Teorema è ovvio trattando in questo caso della
successione stazionaria di valore zero. Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che
|λan | < ε
Stante che (an ) è infinitesima esiste nε ∈ N tale che
|an | <
ε
|λ|
per ogni n > nε
E allora essendo
|λan | < ε ⇐⇒ |λ| |an | < ε ⇐⇒ |an | <
ε
|λ|
la tesi è dimostrata.
(iii) Dobbiamo far vedere per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che
|an bn | < ε per ogni n > nε
Stante che (an ) e (bn ) sono infinitesime esistono pε , qε ∈ N tali che
|an | <
|bn | <
√
√
ε
per ogni n > pε
ε per ogni n > qε
Posto nε := max{pε , qε } abbiamo, per ogni n > nε
|an bn | = |an | |bn | <
√ √
ε ε=ε
il che mostra quanto asserito.
Per passare dalla teoria alla pratica ci occorre imparare a conoscere il comportamento di una serie di
successioni campione. Cominciamo con il presentare le principali successioni infinitesime.
Teorema 2.3.3. Le seguenti successioni sono infinitesime:
(i)
1
nα
con α > 0
(iv)
(ii) (rn ) con |r| < 1
(v)
(iii) (nα rn ) con α > 0 e |r| < 1
cn
n!
nα
n!
con c ∈ R
con α > 0
Dimostrazione. Esaminiamo le affermazioni una ad una.
(i) Per le considerazioni svolte nell’osservazione 2.3.3 ci basta osservare che la successione (an )
an =
è infinitesima.
1
n
2.3. Successioni infinitesime
49
(ii) Possiamo limitarci a studiare il problema per 0 ≤ r < 1 per via dell’osservazione 2.2.2. Per r = 0 la
conclusione è ovvia, quindi supponiamo 0 < r < 1. Possiamo scrivere r come
r=
1
1+a
per qualche a > 0
Ora per la disuguaglianza di Bernoulli, Teorema 1.9.2 formula (1.16) pagina 25 abbiamo, per ogni n ∈ N
(1 + a)n ≥ 1 + na
di conseguenza per ogni n ∈ N
rn =
1
1
≤
(1 + a)n
na
1
Ora ( n1 ) è infinitesima e per Teorema 2.3.3 anche ( na
) è infinitesima. La nostra affermazione segue dal
Teorema 2.3.1.
(iii) Anche in questa situazione è sufficiente considerare il caso 0 < r < 1 e come nel punto precedente possiamo
supporre che sia
1
r=
per qualche a > 0
1+a
In questa situazione la disuguaglianza di Bernoulli non è sufficiente, dobbiamo seguire una strategia più
fine. Cominciamo provando il caso α = 1. Usando il Teorema binomiale 1.8.1 di pagina 21 abbiamo, per
n≥2
1
1
(1 + a)n ≥ 1 + na + n(n − 1)a2 ≥ n(n − 1)a2
2
2
e quindi se n ≥ 2
nrn =
n
n
2
≤
=
1
(1 + a)n
(n
−
1)a2
n(n − 1)a2
2
1
2
∞
Ora stante che la successione ( n−1
)∞
2 è infinitesima tale è anche ( n−1 )2 in forza del Teorema 2.3.2 (ii).
La tesi, nel caso α = 1 segue allora dal Teorema di dominazione 2.3.1. Infine se α > 0 è un generico
numero positivo osserviamo che
1
nα rn = nr α
α
1
Per quanto appena mostrato la successione (nr α ) è infinitesima, quindi la tesi segue in questo caso
dall’osservazione 2.3.3
(iv) Anche in questo caso per via dell’osservazione 2.2.2 è sufficiente trattare il caso c > 0. Per la proprietà
archimedea, paragrafo 1.6, possiamo scegliere m ∈ N tale che m+1 > c, allora per ogni n > m+1 abbiamo
cc
c c cn
c
c
=
···
···
n!
1
2
m
m+1
n−1
n
c c
cc
≤
···
1
2
m
n
m c
c
=
m! n
m
Posto λ = cm! abbiamo che la successione assegnata è dominata dalla successione infinitesima ( λc
n ). La tesi
segue ancora dal Teorema di dominazione 2.3.1.
50
2. Successioni
(v) Per provare l’affermazione osserviamo che
nα
nα 2n
= n
n!
2 n!
n
α
Ora ( n2n ) è infinitesima per la parte (iii) e ( 2n! ) è infinitesima per la parte (iv), dunque l’affermazione (v)
segue da Teorema 2.3.2 (iii).
Sfruttiamo la (i) del teorema 2.3.3 e il teorema 2.3.1 per illustrare il seguente
Esempio 2.3.3.
lim
n→+∞
√
1+n−
√ n =0
2
2
Dimostrazione.
√ Ricordiamo la regola della differenza di due quadrati a − b = (a − b)(a + b) e la scriviamo con
√
a = α e b = β in modo che
√
p √
p α− β
α+ β
α−β =
Dunque se α = n + 1 e β = n abbiamo che
√
1+n−
√
n= √
1
1
1+n−n
√ =√
√ ≤√
n
1+n+ n
1+n+ n
Per la (i) del teorema 2.3.3 abbiamo che
1
lim bn = lim √ = 0,
n→+∞
n
n→+∞
Allora posto
an =
√
1+n−
√
n ≤ bn
l’affermazione segue dal teorema 2.3.1.
2.4
Algebra delle successioni convergenti
Dopo aver affrontato la situazione specifica delle successioni infinitesime, in questo paragrafo cerchiamo di
estendere le conclusioni del Teorema 2.3.2 al caso di arbitrarie successioni convergenti. Il teorema che andiamo
a provare è uno degli strumenti principalmente utilizzati nelle applicazioni.
Teorema 2.4.1. Se
lim an = a,
n→+∞
lim bn = b,
n→+∞
allora
(i)
(ii)
lim (an + bn ) = a + b
(iii)
lim (λan ) = λa per ogni λ ∈ R
(iv)
n→+∞
n→+∞
lim (an bn ) = ab
n→+∞
lim
n→+∞
an
a
= posto che sia b 6= 0
bn
b
Osservazione 2.4.1. Nel seguito di riferiremo alla tesi del Teorema 2.4.1 come segue:
2.4. Algebra delle successioni convergenti
51
(i) si dice regola della somma
(iii) si dice regola del prodotto
(ii) si dice regola del multiplo
(iv) si dice regola del quoziente
Nelle applicazioni della regola del quoziente può accadere che qualche termine della successione (bn ) si
annulli, tuttavia per il Teorema 2.2.4 della permanenza del segno esiste n0 ∈ N tale che bn 6= 0 per ogni n > n0 .
In questo caso si dice che la successione quoziente è definitivamente ben definita.
Dimostrazione. Iniziamo osservando che an → a comporta che la successione (an − a) è infinitesima.
Cominciamo dalla regola della somma. Per ipotesi (an − a) e (bn − b) sono infinitesime e inoltre, osservato
che
(an + bn ) − (a + b) = (an − a) + (bn − b)
abbiamo che anche (an + bn − a − b) è infinitesima per Teorema 2.3.2 (i).
Per provare la regola del prodotto usiamo ancora il Teorema 2.3.2, questa volta la voce (iii). Si ha
an bn − ab = an (bn − b) + an b − ab = an (bn − b) + b(an − a)
Siccome la successione (an ) è convergente essa è anche limitata, quindi esiste α > 0 tale che |an | < α, Teorema
2.2.3, pertanto
|an bn − ab| ≤ α|bn − b| + b|an − a|
Il che comporta che la successione (an bn − ab) è infinitesima, provando (iii).
La regola del multiplo, punto (ii) è conseguenza del punto (iii) quando la successione bn è stazionaria.
Infine passiamo alla regola del quoziente, punto (iv). Non è restrittivo supporre che sia b > 0, dunque per
il Teorema 2.2.4 della permanenza del segno esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0 riesce:
0<
1
3
1
2
b < bn < b =⇒
<
2
2
bn
b
Ciò premesso, facciamo vedere che la successione (an /bn − a/b) è infinitesima: ciò segue dalla stima:
an
a an b − abn an b − ab + ab − abn bn − b = =
bbn
bbn
2
≤ 2 (b |an − a| + |a| |bn − b|)
b
Il Teorema ora provato permette il calcolo di limiti in svariate situazioni. Vediamo un paio di esempi,
rinviando al termine del capitolo per una più articolata rassegna di esercizi. Cominciamo con:
lim
n→+∞
1 − n + n2
1 + n + n2
Nonostante il limite non si presenti come quoziente di due successioni convergenti possiamo dividere numeratore
e denominatore per la massima potenza di n, in questo caso n2 , ottenendo
n2
1
1
1
1
−
+
− +1
2
2
2
1−n+n
n
n
n
n
n
=
=
1
1
1 + n + n2
1
1
n2
+ +1
+ + 2
n2
n
n2
n n
2
52
2. Successioni
In questo modo a numeratore abbiamo la differenza di due successioni infinitesime con la successione stazionaria
di valore 1 e a denominatore la somma di due successioni infinitesime con la successione stazionaria di valore 1,
pertanto
1 − n + n2
0−0+1
lim
=
=1
n→+∞ 1 + n + n2
0+0+1
Studiamo poi
n + 3n
n→+∞ n! + n3
lim
Dividendo numeratore e denominatore per n! otteniamo
n
3n
+
n!
n!
n3
1+
n!
n
3
n
), ( 3n! ), ( nn! ) è per Teorema 2.3.3 infinitesima, se ne conclude che
e siccome ciascuna delle tre successioni ( n!
n + 3n
0+0
=
=0
n→+∞ n! + n3
1+0
lim
Osservazione 2.4.2. Il procedimento che abbiamo seguito è stato quello di dividere numeratore e denominatore
per il termine dominante. Nel primo esempio n2 è la massima potenza in n dell’espressione considerata. Nel
secondo caso la scelta di n! può non sembrare del tutto immediata, ma si è visto che i quozienti cosı̀ formati
hanno originato successioni infinitesime.
Per la scelta del termine dominante è utile considerare la seguente scala di dominazione che si deduce dal
Teorema 2.3.3
• Il termine fattoriale n! domina un termine potenza rn per ogni r ∈ R
• Il termine potenza rn domina nα quando α > 0, r > 1
L’approccio da seguire per il calcolo di limiti di quozienti è, quindi:
1. Identificare il termine dominante, ricordando il Teorema 2.3.3
2. Dividere numeratore e denominatore per il termine dominante
3. Applicare il Teorema 2.4.1 per calcolare il limite
2.5
Limiti e disuguaglianze
Iniziamo generalizzando il Teorema 2.3.1 al caso di successioni convergenti esponendo quello che viene chiamato
Teorema del confronto. È anche noto come Teorema del sandwich, o Teorema dei due carabinieri.
Teorema 2.5.1. Se
(i) an ≤ bn ≤ cn per ogni n ∈ N
allora lim bn = `
n→+∞
(ii)
lim an = lim cn = `
n→+∞
n→+∞
2.5. Limiti e disuguaglianze
53
Dimostrazione. Per ipotesi, per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε si ha
` − ε < an < ` + ε,
` − ε < cn < ` + ε
e allora, per gli stessi n abbiamo
` − ε < an ≤ bn ≤ cn < ` + ε
il che è quanto si voleva dimostrare.
Il Teorema 2.5.1 sebbene di dimostrazione assai semplice, consente il calcolo di limiti di notevole importanza
ed interesse.
Esempio 2.5.1. Sia x un numero reale strettamente positivo. Allora:
√
lim n x = 1.
n→+∞
Dimostrazione. Intanto se x = 1 la √
nostra affermazione è immediata, perchè la successione risulta costante. Sia
x > 1. Allora per ogni n ∈ N si ha n x > 1, dunque, deve esistere, per ogni n ∈ N, rn ∈ R rn > 0 tale che:
√
n
x = 1 + rn .
Eleviamo i due lati alla n e usiamo la disuguaglianza di Bernoulli in modo che:
n
x = (1 + rn ) ≥ 1 + n rn ,
da cui:
0 < rn <
x−1
.
n
√
Ma, allora per il Teorema del confronto 2.5.1, abbiamo che rn → 0, quindi n x → 1.
√
Terminiamo con il caso x < 1. Posto y = x−1 , si ha y > 1, quindi n y → 1. D’altra parte, essendo:
√
n
ancora una volta,
√
n
1
x= √
,
n y
x → 1.
Dall’esistenza del limite dell’esempio 2.5.1 si trae anche il seguente risultato.
Teorema 2.5.2. Sia (an ) una successione strettamente positiva e limitata e cioè tale che esistono 0 < α < β
per cui α ≤ an ≤ β per ogni n ∈ N allora
√
lim n an = 1
(2.7)
n→+∞
La tesi (2.7) vale in particolare se si assume che esista lim an = a > 0.
n→+∞
√
Dimostrazione.
Da α ≤ an ≤ β segue che α ≤ an ≤ n β pertanto siccome per l’esempio 2.5.1 sappiamo
√
√
n
n
che α → 1, β → 1 la tesi (2.7) segue dal Teorema del confronto 2.5.1.
Infine se supponiamo an → a > 0 per il Teorema della permanenza del segno 2.2.4 avremo che esiste n0 ∈ N
tale che per ogni n ∈ N, n > n0 riesce
a
3
< an < a
2
2
Dunque per quanto provato in precedenza si ha la tesi (2.7).
√
n
√
n
54
2. Successioni
Ad esempio per il Teorema 2.5.2 abbiamo:
lim
n→+∞
√
n
2 + sin n = 1,
lim
n→+∞
r
n
1 + 2n
= 1.
1+n
Esempio 2.5.2.
lim
n→+∞
√
n
n = 1.
√
√
Poniamo an = n n e bn = an . Esiste certamente una successione non negativa rn per cui, per ogni n ∈ N si
ha bn = 1 + rn . Si ha, per la disuguaglianza di Bernoulli:
√
n
n = bnn = (1 + rn ) ≥ 1 + n rn ,
quindi:
0 ≤ rn ≤
√
1
n
− ,
n
n
da cui, tenendo presente che, se n ≥ 1 vale:
√
n
1
1
− ≤√ ,
n
n
n
si trae:
1
rn ≤ √ .
n
Ma allora, ricordando la definizione di an e bn si trova:
2
1
3
1 ≤ an = b2n = 1 + 2rn + rn2 ≤ 1 + √ + ≤ 1 + √ ,
n n
n
il che prova, per il teorema del confronto:
lim
n→+∞
√
n
n = 1.
Concludiamo con un classico limite notevole riguardante la funzione seno:
Esempio 2.5.3.
lim n sin
n→+∞
1
= 1.
n
Il limite (2.5.3) segue dalle disuguaglianze soddisfatte da angoli α del primo quadrante, vedi Figura 2.1, 0 <
α < π/2:
sin α < α < tan α
(2.8)
2.5. Limiti e disuguaglianze
55
y
P
Q
H A
O
Figura 2.1:
lim n sin
n→+∞
x
1
=1
n
Osserviamo che (2.8) è equivalente nel primo quadrante a
1<
Posto α =
1
n,
α
1
<
.
sin α
cos α
(2.8b)
si ha, usando (2.8b):
1
1
<
,
1
1
n sin
cos
n
n
L’ultimo passo per terminare la dimostrazione è far vedere che
1<
lim cos
n→+∞
1
= 1.
n
(2.8c)
(2.9)
Ci occorre una formula di Trigonometria, precisamente quella che viene chiamata quarta formula di prostaferesi:
cos p − cos q = −2 sin
Qui usiamo la formula con p = 0 e q =
cos 0 − cos
1
n
p+q
p−q
sin
2
2
in modo che
1
1
1
1
1
= 1 − cos = −2 sin −
sin = 2 sin2
n
n
n
n
n
Quindi sfruttando ancora una volta (2.8b) vediamo che
0 ≤ 1 − cos
1
1
2
= 2 sin2 ≤ 2
n
n
n
(2.8d)
Da (2.8d) usando il Teorema 2.5.1 si deduce (2.9) e da questa ancora per Teorema 2.5.1 e per (2.8d) si ottiene
la nostra affermazione.
Anche il prossimo risultato studia correlazioni fra limiti e disuguaglianze.
Teorema 2.5.3. Se lim an = a e lim bn = b e, inoltre, riesce an ≤ bn per ogni n ∈ N allora a ≤ b
n→+∞
n→+∞
56
2. Successioni
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che risulti a > b. Allora per Teorema 2.4.1 si ha che
lim (an − bn ) = a − b > 0
n→+∞
Ma allora per il Teorema della permanenza del segno 2.2.4 esiste n0 ∈ N tale che per ogni n ∈ N, n > n0 si ha
0<
a−b
3(a − b)
< an − bn <
2
2
in contraddizione con l’ipotesi an − bn ≤ 0.
Osservazione 2.5.1. Nel caso in cui accada che la disuguaglianza fra le due successioni (an ) e (bn ) sia stretta:
an < bn per ogni n la tesi del Teorema 2.5.3 non cambia. Infatti se, ad esempio, an = 0, bn = n1 si ha
an < bn
e
lim an = 0 = lim bn
n→+∞
n→+∞
Quindi anche se an < bn quel che possiamo affermare, nel caso in cui le due successioni considerate siano
convergenti, è lim an ≤ lim bn
n→+∞
2.6
n→+∞
Successioni divergenti
Definizione 2.6.1. Diremo divergente ogni successione (an ) che non risulti convergente.
Se accade che, una successione divergente assume al crescere di n ∈ N valori sempre più grandi, si parlerà
di successioni successioni divergenti all’infinito. Precisiamo con la seguente definizione.
Definizione 2.6.2. La successione (an ) si dice:
(a) positivamente divergente, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, per
ogni n ∈ N, n > nK si ha an > K;
(b) negativamente divergente, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, per
ogni n ∈ N, n > nK si ha an < K;
(c) divergente in modulo, se fissato arbitrariamente K ∈ R si ha che esiste un indice nK ∈ N tale che, per ogni
n ∈ N, n > nK si ha |an | > K.
Scriveremo
lim an = +∞ oppure an → +∞
n→+∞
per denotare le successioni positivamente divergenti e
lim an = −∞ oppure an → −∞
n→+∞
quando la successione diverge negativamente, infine
lim an = ∞ oppure an → +∞
n→+∞
quando la successione è divergente in modulo.
Osservazione 2.6.1. Le successioni divergenti, classificate dalla definizione 2.6.2 non esauriscono i possibili
tipi di successioni divergenti introdotte nella definizione 2.6.1. Infatti è possibile che una successione divergente
sia anche limitata, come ad esempio la successione (−1)n . Ha senso dunque dare un’ulteriore definizione.
2.6. Successioni divergenti
57
Definizione 2.6.3. La successione divergente (an ) si dice oscillante se è limitata.
Le successioni divergenti e illimitate sono in qualche modo correlate alle successioni infinitesime. Nel prossimo Teorema 2.6.1, detto Teorema del reciproco, daremo conto, in modo rigoroso dell’operazioni simbolica
1
0 = ∞.
Teorema 2.6.1. Se (an ) soddisfa le due condizioni
(b) ( a1n ) è infinitesima
(a) (an ) è definitivamente positiva
allora lim an = +∞
n→+∞
Osservazione 2.6.2. Diciamo che una successione (an ) verifica definitivamente una certa proprietà, se esiste
n0 ∈ N per cui la proprietà in questione è verificata per ogni n ∈ N, n > n0 .
Ad esempio la successione an = n − 1000 è definitivamente positiva, in quanto an > 0 per ogni n > 1000.
Dimostrazione. La tesi da provare è che per ogni K ∈ R esiste nK ∈ N tale che, per ogni n ∈ N, n > nK si
ha an > K. Siccome (an ) è definitivamente positiva, esiste n0 ∈ N tale che n > n0 =⇒ an > 0. Siccome la
successione reciproca ( a1n ) è infinitesima esiste n1 ∈ N tale che per ogni n > n1 riesce
1 < 1
an K
Ora se nK = max{n0 , n1 } abbiamo
0<
1
1
<
an
K
per ogni n > nK
La tesi segue passando alla disuguaglianza reciproca.
Nel seguente Teorema 2.6.2 trattiamo rigorosamente l’affermazione simbolica
1
∞
=0
Teorema 2.6.2. Se an è una successione divergente in modulo, allora:
lim
n→+∞
1
= 0.
an
Dimostrazione. Sappiamo per ipotesi, che per ogni M > 0 esiste nM ∈ N tale che |an | > M per ogni indice n
per cui n > nM . Ma allora si ha che:
1
1
<
, per ogni n > nM .
|an |
M
La tesi segue, allora, ponendo ε = 1/M e ricordando che:
1 = 1 .
an |an |
Nel seguente Teorema 2.6.3 vediamo quali relazioni algebriche valgono nel caso di successioni infinite.
Teorema 2.6.3. Siano an , bn , cn tre successioni con an → +∞ e cn → 0: allora
58
2. Successioni
(a) se bn è limitata, allora:
lim (an + bn ) = +∞,
n→+∞
lim
n→+∞
bn
= 0,
an
lim bn · cn = 0;
n→+∞
(b) se bn ≥ β > 0 per ogni n ∈ N, allora:
lim (an · bn ) = +∞,
n→+∞
lim
n→+∞
bn
= ∞.
cn
Dimostrazione. Iniziamo con la prima affermazione.
(a) La limitatezza di bn assicura l’esistenza di α, β ∈ R tali che α ≤ bn ≤ β per ogni indice n ∈ N. La divergenza
(positiva) di an significa che an > M per ogni indice n > nM con M arbitrario numero positivo. Allora, se
n > nM abbiamo che:
an + bn ≥ M + α,
il che prova la prima affermazione. Per quanto attiene alla seconda affermazione, cominciamo osservando che la
limitatezza di bn comporta anche la limitatezza del suo valore assoluto |bn |, cosı̀ possiamo supporre che esista
una costante positiva γ tale che |bn | < γ per ogni n ∈ N. Si osservi che, facendo riferimento alle notazioni
precedenti γ = max {|α| , |β|} . Ora se n > nM l’ipotesi di divergenza di an permette di dedurre che, se n > nM :
bn ≤ γ .
an M
L’ultima disuguaglianza prova la seconda affermazione, ove si prenda:
ε=
γ
.
M
Infine per provare la terza affermazione ricordiamo che, per ogni ogni ε > 0 se n > nε si ha |cn | < ε. Di
conseguenza se n > nε vale la disuguaglianza:
|bn cn | ≤ γ |cn | < γε,
che dimostra la terza affermazione.
(b) La successione bn è, per ipotesi, inferiormente limitata, mentre, come al solito, la divergenza di an assicura
che an > M se n > nM . Allora ne deduciamo che:
an bn ≥ β an > β M,
se n > nM . La prima affermazione è cosı̀ provata. Passando alla seconda parte della tesi, ricordiamo che, per
ipotesi, fissato ε > 0 abbiamo che |cn | < ε se n > nε . Di conseguenza abbiamo che, se n > nε vale:
1
1
> .
|cn |
ε
Quindi abbiamo anche che, sempre per n > nε , si ha:
bn β
>
cn ε
che dimostra l’ultima affermazione.
Diamo la versione del Teorema del confronto per successioni positivamente divergenti, lasciando al lettore
la semplice dimostrazione.
2.7. Successioni monòtone
59
Teorema 2.6.4. Siano (an ) e (bn ) due successioni tali che definitivamente an ≤ bn . Se lim an = +∞ allora
n→+∞
lim bn = +∞
n→+∞
Esempio 2.6.1. Se r > 1 si ha che lim rn = +∞.
n→+∞
Infatti se r > 1 esiste un reale positivo p tale per cui r = 1 + p, allora per la disuguaglianza di Bernoulli
n
abbiamo che an = rn = (1 + p) ≥ 1 + n p, ma, allora lim an = +∞ in forza del Teorema 2.6.4.
n→+∞
2.7
Successioni monòtone
Con il termine successioni monòtone ci si riferisce alla totalità successioni o crescenti o decrescenti. Queste
successioni ammettono sempre limite finito o infinito. La monòtonia di una successione, se unita alla limitatezza
ne assicura la convergenza, infatti abbiamo il:
Teorema 2.7.1. Se (an ) è crescente e superiormente limitata allora:
lim an = a
n→+∞
ove
a = sup {an : n ∈ N} .
Dimostrazione. Fissiamo ε > 0. Per la proprietà dell’estremo superiore a − ε non è maggiorante dell’insieme
{an : n ∈ N} dunque esiste α ∈ {an : n ∈ N} tale che a − ε < α. Ora α ∈ {an : n ∈ N} significa che esiste
nε ∈ N tale che α = anε e dunque abbiamo dimostrato che
a − ε < anε
Ora per l’ipotesi di monòtonia abbiamo che per ogni n ∈ N, n > nε è anε < an e allora abbiamo mostrato che
per ogni n ∈ N, n > nε si ha
a − ε < an < a + ε
che è quanto volevasi dimostrare.
Analogamente vale:
Teorema 2.7.2. Se (an ) è decrescente e inferiormente limitata allora:
lim an = b
n→+∞
ove
b = inf {an : n ∈ N} .
Infine, quando una successione crescente non è superiormente limitata, essa diverge positivamente:
Teorema 2.7.3. Se (an ) è una successione crescente e non limitata superiormente, allora essa diverge positivamente. Se, invece (an ) è decrescente e non limitata inferiormente, allora essa diverge negativamente.
60
2. Successioni
2.7.1
Il numero e
Il Teorema 2.7.1 si applica alla successione:
1 n
an = 1 +
.
n
Questo limite fu introdotto da Leonard Euler (1707-1783) nella sua monumentale opera Introductio in analysin
infinitorum del 1748. Sicuramente è il limite più importante di tutto il corso. Nel Corollario 1.9.4.1, formula
(1.22), pagina 27 abbiamo già dimostrato, usando la disuguaglianza fra la media aritmetica e la media geometrica
che tale successione è monòtona. In ogni caso, per esercizio, proviamo questa affermazione con un’altra tecnica.
Si ha:
n+1 n
n
n+2
an+1
·
=
an
n+1
n+1
n
2
n
2
n+2
n+2
n + 2n
n + 2n + 1 − 1
=
=
·
·
n+1
n2 + 2n + 1
n+1
n2 + 2n + 1
n
n+2
−1
· 1+ 2
,
=
n+1
n + 2n + 1
ora, applicando la disuguaglianza di Bernoulli vediamo che:
n
n+2
an+1
· 1− 2
≥
an
n+1
n + 2n + 1
2 + 3 n + 3 n2 + n3
=
> 1,
1 + 3 n + 3 n2 + n3
dunque abbiamo provato che an+1 > an qualunque sia n e con questo la monotonia della successione an .
Proviamo la limitatezza, si ha:
n
n n
X
X
1
n 1
n · (n − 1) · · · (n − m + 1) 1
1+
=
=
.
m
m
n
n
m!
nm
m=0
m=0
I fattori n · (n − 1) · · · (n − m + 1) sono m, pertanto:
1
2
m−1
n · (n − 1) · · · (n − m + 1)
=
1
·
1
−
·
1
−
·
·
·
1
−
< 1,
nm
n
n
n
dunque:
1+
1
n
n
<
n
X
1
1
1
1
=1+1+ +
+ ··· +
m!
2
2
·
3
2
·
3
···m
m=0
< 1+1+
m−1
X 1
1
1
1
+
+ ··· +
=1+
.
2 2·2
2| · 2{z· · · 2}
2k
k=0
m−1
Per la formula per la somma dei primi m termini della progressione geometrica troviamo:
1
1+
n
n
1
m
1
2
<1+
<1+
= 3.
1
1
1−
1−
2
2
1−
2.7. Successioni monòtone
61
Abbiamo provato la limitatezza della successione an e, quindi, la sua convergenza. Il limite di tale successione,
indicato con la lettera e è un numero che per, quanto abbiamo visto, soddisfa le limitazioni 2 < e < 3. Si può
inoltre provare che e è irrazionale, vedi teorema 3.5.2 pagina 99. Il valore di e, approssimativamente, è:
e ' 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995957.
La discussione fin qui condotta mostra che esiste, per via del Teorema 2.7.1
1 n
lim 1 +
n→+∞
n
(2.10)
Dall’esistenza del limite (2.10) si deduce anche il seguente risultato.
Teorema 2.7.4. Sia (an ) una successione di numeri reali positivi tendente a +∞ allora
1 an
1 an
1
(i) lim 1 +
=e
(ii) lim 1 −
=
n→+∞
n→+∞
an
an
e
Dimostrazione. (i) Poichè ban c ≤ an < ban c + 1 osservato che definitivamente è ban c =
6 0 risulta
ban c 1 an 1 ban c+1
1
< 1+
< 1+
1+
ban c + 1
an
ban c
(2.11)
D’altra parte essendo
lim
n→+∞
1+
1 n
1 n+1
1 −1
= lim 1 +
lim 1 +
=e
n→+∞
n→+∞
n+1
n+1
n+1
dalla definizione di limite abbiamo che per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n ∈ N, n > mε allora
n
1+ 1
− e < ε
n+1
inoltre poiché per ipotesi ban c → +∞ esiste mε ∈ N tale che ban c > nε per ogni n ∈ N, n > mε allora per tali
n vale
ban c
1
1+
− e < ε
ban c + 1
ban c
1
1 ban c+1
Ciò prova che è lim 1 +
= e. In modo analogo si dimostra che lim 1 +
= e.
n→+∞
n→+∞
ban c + 1
ban c
1 an
Da qui e dalla (2.11) si trae lim 1 +
= e.
n→+∞
an
(ii) Poiché an → +∞ non è restrittivo supporre an > 1 per ogni n ∈ N. Ciò premesso si ha
an a
an − 1 n
1
1
an
1−
=
=
an
an
1
1+
an − 1
1
1
=
an −1 →
e
1
1
1+
1+
an − 1
an − 1
an −1
1
in quanto an − 1 → +∞ e quindi per (i) è 1 +
→e
an − 1
Per il Teorema 2.7.4 vediamo subito ad esempio che
1 n
1
1 n+2
lim 1 −
= ,
lim 1 +
=e
n→+∞
n→+∞
n
e
n+2
62
2. Successioni
2.7.2
La funzione esponenziale
L’introduzione di e ci permette di iniziare il lavoro che ci consentirà di definire rigorosamente la funzione
esponenziale. L’idea è quella di definire per x ∈ R il numero ex nel modo seguente:
x n
ex = lim 1 +
(e)
n→+∞
n
Per dare questa definizione abbiamo però bisogno di verificare che tale numero, oltre che per x = 1 sia definito
per gli altri valori reali di x. Il caso x = 0 è banalmente definito: e0 = 1. Sia
x > 0. In modo simile a quello
n
seguito per x = 1 si dimostra che in questo caso la successione 1 + nx
è strettamente crescente. Dalla
formula del binomio, Teorema 1.8.1 pagina 21, abbiamo
n x n(n − 1) x 2
x n
x n X n x k
1+
=
=1+n
+
+ ··· +
n
k
n
n
2
n
n
k=0
n
1
1
x
=1+x+
1−
x2 + · · · + n
2
n
n
Il generico termine di posto k di questa sommatoria è
n(n − 1) . . . (n − k + 1) x k
1
=
k!
n
k!
1−
1
n
2
k−1
1−
... 1 −
xk
n
n
Al crescere di n abbiamo che i prodotti nel secondo membro aumentano, stante che ciascuno dei
a secondo
nfattori
nel caso x > 0.
membro cresce con n e questo è sufficiente a mostrare la monotonia della successione 1 + nx
n Inoltre se x > 0 la successione 1 + nx
è superiormente limitata. Infatti, per la disuguaglianza di Bernoulli
(1.16) abbiamo, per ogni k = 1, 2, . . .
k
1
k
1+
(∗)
>1+
n
n
Ora se k ∈ N è tale che k ≥ x da (∗) segue che
x n
1+
≤
n
n
k
1+
≤
n
1
1+
n
k !n
=
1+
1
n
n k
≤ ek
n in quanto sappiamo che la successione 1 + n1
è strettamente crescente ed ha limite e. Dunque la successione
n
1 + nx
è monotona crescente e superiormente limitata dal numero ek e pertanto essa ammette limite, dando
significato alla (e) per x > 0.
Studiamo infine l’esistenza del limite (e) per x < 0. Osservato
che, ovviamente, se x < 0 si ha −x > 0,
n per il caso precedente, sappiamo che la successione 1 − nx
converge. Ricordiamo che la disuguaglianza
n di Bernoulli (1 + c)n > 1 + nc vale per c ≥ −1. Quando ci preoccupiamo della convergenza di 1 + nx
ci
interessiamo a valori grandi di n quindi possiamo assumere che sia n > −x. Di conseguenza n2 > x2 e perciò
1
1
x2
x2
n2 < x2 e infine n2 < 1. Prendendo c = − n2 nella disuguaglianza di Bernoulli otteniamo
1−
x2
n2
n
2
x
x2
≥1+n − 2 =1−
n
n
Questa disuguaglianza vale per n > −x. Ne consegue che per n > −x vale
n
x2
x2
1≥ 1− 2
≥1− .
n
n
(2.12)
2.7. Successioni monòtone
La successione 1 −
x2
n
63
ha limite 1, quindi per il Teorema del confronto 2.5.1:
lim
n→+∞
1−
x2
n2
n
=1
Ora in conseguenza dell’uguaglianza
n
x2
x n
x n 1− 2
1−
1+
x n
n
n
n
1+
=
=
n
x
x n
n
1−
1−
n
n
(2.13)
stante che
n sia la successione a denominatore che quella numeratore convergono abbiamo la convergenza di
1 + nx
.
n Riassumendo abbiamo dimostrato che per ogni x ∈ R la successione 1 + nx
converge, e dunque ha senso
la seguente definizione di funzione esponenziale.
Definizione 2.7.1. Per ogni x ∈ R
ex =
x n
1+
n→+∞
n
lim
La prima proprietà della funzione esponenziale, che segue dalla precedente discussione è espressa dal Teorema
2.7.5
Teorema 2.7.5. Per ogni x ∈ R si ha
ex e−x = 1
Dimostrazione. Riscriviamo la relazione (2.13) nella forma
1+
x n
x n 1−
=
n
n
1−
x2
n2
n
(2.13b)
Ora passando al limite per n → +∞ in (2.13b) otteniamo
ex e−x = 1
come volevasi.
2.7.3
Estrazione di radice quadrata
Il teorema 2.7.2 della convergenza monotona delle successioni si applica in modo particolarmente felice a successioni definite ricorsivamente, come quella
√ che andiamo ad analizzare, nota come algoritmo di Erone, che fornisce
un metodo di calcolo approssimato di 2.
Consideriamo la successione (an ) cosı̀ definita:
1
2
a1 = 2, an+1 =
an +
, n≥1
2
an
Dico che
lim an =
n→+∞
√
2
64
2. Successioni
Cominciamo osservando che (an ) è inferiormente limitata, mostrando per induzione che per ogni n ∈ N riesce
a2n > 2
(2.14)
L’affermazione è ovviamente vera per n = 1 (passo di partenza). Supponiamo ora (passo induttivo) che esista
m ∈ N tale che a2m > 2. Si ha
2
a2m − 2 2
a4m − 4a2m + 4
1
2
2
am+1 − 2 =
−2=
=
>0
am +
2
am
4a2m
4a2m
L’ultima disuguaglianza segue dall’ipotesi induttiva.
√
Dunque estraendo radice quadrata positiva abbiamo che an > 2 per ogni n ≥ 1. Dimostriamo ora che (an )
è descrescente, facendo vedere che la differenza an − an+1 è positiva, in conseguenza di (2.14).
1
2
a2 − 2
an − an+1 = an −
an +
= n
>0
2
an
2an
Ora per teorema 2.7.2 abbiamo che la successione (an ) converge ad un limite `. D’altra parte se consideriamo
anche la successione
2
1
an +
bn =
2
an
per il teorema 2.4.1 abbiamo che
1
lim bn =
n→+∞
2
2
`+
`
D’altra parte anche la successione (an+1 ) converge a ` e dunque deve essere
1
2
`=
`+
2
`
√
da cui si deduce con un po’ di algebra elementare che `2 = 2√
e siccome ` è certamente positivo si ha ` = 2.
17
Questo metodo fornisce un modo rapido di approssimare 2. Già il termine a3 = 12
è tale che a23 ' 2, 00694
Osservazione 2.7.1. Per ogni x > 0 la successione ricorrente
x
1
an +
a1 = x, an+1 =
2
an
√
converge decrescendo a x.
2.7.4
Il criterio del rapporto per le successioni
Presentiamo un risultato, noto come criterio del rapporto per le successioni, basato sul teorema 2.2.4 della
permanenza del segno e sul teorema 2.7.2 sulla convergenza delle successioni monotone e limitate. Questo
teorema è importante perché permette facilmente di stabilire ordinare le successioni divergenti all’infinito,
completando in un certo senso l’analisi iniziata con il teorema 2.3.3.
Teorema 2.7.6. Sia (an ) una successione a termini positivi tale che esiste il limite
lim
n→+∞
Allora la successione (an ) è infinitesima.
an+1
= ` < 1.
an
(2.15)
2.7. Successioni monòtone
65
Dimostrazione. Applicando il teorema della permanenza del segno 2.2.4 alla successione
an+1
an
bn = 1 −
vediamo che esiste un indice m per cui bn > 0 per ogni n > m e questo significa che per tali scelte di n si ha
an+1
< 1 cioè
an
an+1 < an
Dunque la successione (an ) è definitivamente monotona decrescente, e per il teorema 2.7.2 abbiamo che esiste
il limite della successione (an ) che è un numero reale non negativo, che indichiamo con a. Ora dalla relazione
(2.16) segue che:
a
an+1
= =`
lim
n→+∞ an
a
D’altra parte se fosse a 6= 0 semplificando si otterrebbe ` = 1 contro l’ipotesi (2.16), dunque deve essere, come
volevasi, a = 0.
In diretta conseguenza del teorema 2.7.6 ora provato abbiamo:
Teorema 2.7.7. Sia (an ) una successione a termini positivi tale che esiste il limite
lim
n→+∞
an+1
= ` > 1.
an
(2.16)
Allora la successione (an ) è positivamente divergente.
Dimostrazione. Basta applicare il teorema 2.7.6 alla successione di termine generale αn =
1
.
an
Applichiamo il criterio del rapporto 2.7.6 per confrontare le successioni di termine generale
nb ,
an ,
n!,
nn
(2.17)
in cui b > 0 e a > 1. In questo modo forniamo un approccio alternativo a quello presentato nel teorema 2.3.3
punti (i), (iii), (iv) e (v)
Tutte le successioni date in (2.17) divergono a +∞. Adesso, in forza del teorema 2.7.6 possiamo affermare
che si tratta di infiniti espressi in ordine crescente nel senso che i limiti dei quozienti seguenti sono infinitesimi:
nb
an
n!
=
lim
= lim
=0
n→+∞ an
n→+∞ n!
n→+∞ nn
lim
Per quanto riguarda il primo limite in (2.18) si ha
an =
an+1
nb
=⇒
=
an
an
n+1
n
b
1
=⇒
a
lim
n→+∞
an+1
1
= <1
an
a
e dunque per il criterio del rapporto
nb
=0
n→+∞ an
lim
Per il secondo limite in (2.18) abbiamo
an =
an+1
a
an
=⇒
=
=⇒
n!
an
n+1
lim
n→+∞
an+1
=0
an
(2.18)
66
2. Successioni
e quindi sempre per il criterio del rapporto
an
= 0.
n→+∞ n!
lim
Infine per il terzo limite in (2.18) abbiamo
an =
an+1
n!
1
n =⇒
=⇒
=
nn
an
n+1
n
e ancora per il criterio del rapporto
lim
n→+∞
2.8
lim
n→+∞
an+1
1
= <1
an
e
n!
= 0.
nn
Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy
Iniziamo dando la definizione di successione estratta o sottosuccessione.
Definizione 2.8.1. Data la successione an e data una funzione k : N → N iniettiva e crescente, la successione
akn = ak(n) si dice successione estratta da (an ) o sottosuccessione di (an )
La più elementare estrazione di elementi da una successione è quella che considera i soli indici o di posto
pari o di posto dispari. Ad esempio se an = (−1)n abbiamo la sottosuccessione pari a2n = (−1)2n = 1 e quella
dispari a2n−1 = (−1)2n−1
= −1.
Ancora se an = n2 ove con bxc si denota la parte intera di x, abbiamo:
1
a2n = n, a2n−1 = n −
= n − 1.
2
Se una successione è convergente lo sono anche tutte le sue successioni estratte.
Teorema 2.8.1. Sia (an ) una successione convergente ad a ∈ R. Allora ogni successione estratta akn da (an )
converge allo stesso limite di (an ).
Dimostrazione. Per ipotesi per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N tale che se n > nε allora |an − a| < ε. D’altra parte
per definizione kn > n e quindi se è n > nε è anche kn > nε e quindi |akn − a| < ε
Analogamente si ha:
Teorema 2.8.2. Sia (an ) una successione divergente positivamente [negativamente]. Allora ogni successione
estratta akn da (an ) diverge positivamente [negativamente]
Osservazione 2.8.1. Se accade che lim a2n = lim a2n−1 = a allora è anche lim an = a
n→+∞
n→+∞
Esempio 2.8.1. Calcoliamo
lim
Posto an =
jnk
2
n
n→+∞
n→+∞
jnk
2
n
si ha
a2n =
da qui si vede che il limite cercato è
1
2
n
,
2n
a2n−1 =
n−1
2n − 1
2.8. Teorema di Bolzano Weierstrass, Successioni di Cauchy
Nel caso di successioni limitate, non necessariamente convergenti, è sempre possibile estrarre una successione
convergente. Si ha infatti un risultato di importanza fondamentale, sopratutto per il ruolo indispensabile che
avrà nella dimostrazione del Teorema di Weierstrass sulle funzioni continue.
Teorema 2.8.3. [Bolzano-Weierstrass] Da ogni successione limitata si può estrarre una sottosuccessione convergente.
Dimostrazione. Se l’immagine della successione {an : n ∈ N} è un insieme finito la dimostrazione immediata:
si può facilmente estrarre una sottosuccessione stazionaria. Supporremo allora che l’insieme {an : n ∈ N} sia
infinito. Per convincere chi legge che questa eventualità è possibile si consideri come esempio il caso an = sin n.
Sappiamo, dall’ipotesi, che esistono due numeri α, β tali che an ∈ [α, β] per ogni n ∈ N. Dividiamo
l’intervallo I0 = [α, β] nei due sottointervalli:
α+β
α+β
α,
,
,β .
2
2
Necessariamente almeno uno dei due sottointervalli conterrà infiniti elementi dell’immagine della successione
an . Indichiamo con I1 = [α1 , β1 ] tale intervallo, convenendo di scegliere quello sinistro, nel caso in cui tutti e
due i sottointervalli contenessero infiniti elementi di an . Chiaramente si ha che I1 ⊂ I0 , α ≤ α1 , β ≥ β1 . Inoltre
la lunghezza di I1 è la metà della lunghezza di I0 :
β1 − α1 =
β−α
.
2
Per il buon ordinamento di N esiste:
k(1) = min {n ∈ N : an ∈ I1 } ,
quindi ak(1) ∈ I1 , vale a dire α1 ≤ ak(1) ≤ β1 .
A questo punto ripetiamo il procedimento dimezzando l’intervallo I1 e chiamando I2 = [α2 , β2 ] quello
contenente infiniti an con la solita convenzione sinistra se tutti e due i sottointervalli contenessero infiniti an .
Si ha I2 ⊂ I1 ⊂ I0 , α ≤ α1 ≤ α2 , β ≥ β1 ≥ β2 e:
β2 − α2 =
β−α
.
22
Posto:
k(2) = min {n ∈ N : n > k(1), an ∈ I2 } ,
abbiamo ak(2) ∈ I2 , cioè α2 ≤ ak(2) ≤ β2 .
Resta cosı̀ individuato un procedimento costruttivo che permette di estrarre una sottosuccessione ak(n) di
an tale che:
β−α
αn ≤ ak(n) ≤ βn , con βn − αn =
,
2n
in cui In ⊂ · · · ⊂ I1 ⊂ I0 , α ≤ α1 ≤ · · · αn , β ≥ β1 ≥ · · · βn . Ora le successioni αn , βn degli estremi degli
intervalli sono monotone e limitate, e dunque convergenti: βn → β∞ e αn → α∞ . Ma, allora, essendo:
βn − α n =
β−α
,
2n
passando al limite per n → +∞ troviamo β∞ = α∞ ma questo, per il teorema del confronto significa che esiste
il limite di ak(n) e si ha:
lim ak(n) = α∞ = β∞ .
n→+∞
Il teorema è, allora, completamente dimostrato.
67
68
2. Successioni
Diamo ora il concetto di successione di Cauchy, concetto che si rivelerà equivalente a quello di successione
convergente, ma che ha notevole interesse nelle applicazioni, in quanto a differenza della definizione di limite,
che per essere verificata necessita che si sia congetturato a priori a quale numero converga la successione, non
richiede di conoscere quale sia il numero reale cui la successione tende per stabilirne la convergenza.
Definizione 2.8.2. Diremo che la successione (an ) è una successione di Cauchy, se per ogni ε > 0 esiste nε ∈ N
tale per cui per ogni n, m ∈ N, n, m > nε riesce
|an − am | < ε
Dalla definizione 2.8.2 si intuisce che per valori grandi degli indici i termini della successione sono ravvicinati
fra loro, e questo fa pensare al fatto che una successione di questo tipo sia convergente. In effetti è proprio cosı̀,
anche se come vedremo la dimostrazione di questo fatto non è semplice e poggia sul Teorema di Bolzano Weierstrass di cui ci siamo da poco occupati. Cominciamo con la parte più semplice: ogni successione convergente è
anche una successione di Cauchy.
Teorema 2.8.4. Se (an ) è una successione convergente, (an ) è una successione di Cauchy.
Dimostrazione. Indichiamo con a il limite della successione (an ). Per ipotesi per ogni ε > 0 esistono nε ∈ N e
mε ∈ N tali per cui per ogni n ∈ N, n > nε e per ogni m ∈ N, m > mε riesce
|an − a| <
ε
,
2
|am − a| <
ε
2
In questo modo, posto pε = max{n e, mε } se n, m > pε abbiamo, per la disuguaglianza triangolare e per quanto
premesso
ε ε
|an − am | = |an − a + a − am | ≤ |an − a| + |a − am | < + = ε
2 2
che è quanto si voleva dimostrare.
Invertire la tesi di Teorema 2.8.4 è più articolato, per questo iniziamo con un Lemma.
Lemma 2.8.1. Se (an ) è una successione di Cauchy, allora (an ) è limitata.
Dimostrazione. Nulla vieta nella definizione di successione di Cauchy, di scegliere ε = 1. In questo modo abbiamo
che esiste p ∈ N tale che, per n, m > p si ha |am − an | < 1. In particolare possiamo prendere n = p + 1 in modo
che |am − ap+1 | < 1 o ciò che è lo stesso
ap+1 − 1 < am < ap+1 + 1
per ogni m > p
In definitiva possiamo concludere che, per ogni m ∈ N si ha
am ≤ max{a1 , . . . , ap , ap+1 + 1},
am ≥ min{a1 , . . . , ap , ap+1 − 1}
provando l’asserto.
A questo punto possiamo invertire la tesi del Teorema 2.8.4.
Teorema 2.8.5. Ogni successione di Cauchy è convergente.
2.9. Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesàro
69
Dimostrazione. Sia (an ) una successione di Cauchy. Per il Lemma 2.8.1 abbiamo che essa è limitata e allora
per il Teorema di Bolzano Weierstrass 2.8.3 essa ammette una sottosuccessione (ank ) convergente al limite a.
Pertanto, fissato ε > 0 avremo che esiste kε ∈ N tale per cui se k > kε si ha
|ank − a| <
ε
2
D’altra parte la successione data è di Cauchy e quindi esiste pε ∈ N tale che se n, m > pε riesce
|an − am | <
ε
2
Ora se fissiamo k > kε in modo che sia anche nk > pε abbiamo
|an − a| = |an − ank + ank − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| <
ε ε
+ =ε
2 2
Ciò mostra che an → a e completa la dimostrazione.
2.9
Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesàro
Può capitare che non sia possibile prevedere a priori il comportamento di una successione se questa si presenta
in una delle cosiddette forme indeterminate. Esse sono:
∞
+∞ − ∞,
, 0∞ , 00 , 1∞ .
∞
La successione di termine generale an = n2 − n si presenta nella forma indeterminata +∞ − ∞, eseguendo i
calcoli, otteniamo:
1
= n2 · bn .
an = n2 1 −
n
Allora possiamo concludere che:
lim
n→+∞
n2 − n = +∞.
D’altra parte anche la successione di termine generale:
an = n2 − n3 ,
presenta l’indeterminazione +∞ − ∞, stavolta, però, con ragionamenti del tutto simili ai precedenti si vede che
lim n2 − n3 = −∞.
n→+∞
Dunque nella stessa situazione di indeterminazione si trovano due risultati diametralmente opposti. Non solo,
può anche accadere di trovare un limite finito, come ad esempio:
p
1
lim
n2 + n + 1 − n = .
n→+∞
2
Infatti essendo
p
troviamo
lim
n→+∞
p
n2 + n + 1 − n2
n2 + n + 1 − n = √
n2 + n + 1 + n
n2 + n + 1 − n = lim √
n→+∞
n2
n+1
+n+1+n
70
2. Successioni
ma, dividendo per n numeratore e denominatore:
n+1
√
=r
n2 + n + 1 + n
1+
1+
1
n
1
1
+1
+
n n2
quindi
p
1+
1
n
1
=
2
1
1
1+ + 2 +1
n n
Questo comportamento si presenta per ciascuna delle forme di indeterminazione.
Il problema di calcolare limiti di successioni in una delle due forme indeterminate 0/0 e ∞/∞ può essere
affrontato sfruttando due Teoremi dovuti a Ernesto Cesàro e Otto Stolz di cui ometteremo la dimostrazione,
rinviando a [CS74] paragrafo 25 pagine 93–100. Questi risultati sono per le successioni l’analogo dei Teoremi di
de l’Hospital, vedi paragrafo 5.9, relativi alle funzioni. Cominciamo dal rapporto di due successioni infinitesime.
lim
n→+∞
n2 + n + 1 − n = lim r
n→+∞
Teorema 2.9.1. Date due successioni an e bn entrambe tendenti a zero per n → ∞, se si suppone inoltre che
bn sia crescente oppure decrescente e che esista, finito o infinito:
an − an−1
` = lim
n→∞ bn − bn−1
an
si ha allora che esiste anche il limite del quoziente
e vale:
bn
an
lim
= `.
n→∞ bn
Anologo risultato per il quoziente di due successioni tendenti all’infinito.
Teorema 2.9.2. Date due successioni an e bn se la seconda è divergente, positivamente o negativamente, per
n → ∞, se si suppone inoltre che bn sia crescente oppure decrescente e che esista, finito o infinito:
an − an−1
` = lim
n→∞ bn − bn−1
an
bn
si ha allora che esiste anche il limite del quoziente
e vale:
lim
an
= `.
bn
lim
loga n
n
n→∞
Esempio 2.9.1. Calcoliamo, essendo a > 0
n→+∞
È un forma indeterminata ∞/∞ con an = loga n, bn = n. Si ha:
n
n−1
= 1 pertanto:
an − an−1 = loga n − loga (n − 1) = loga
quindi an − an−1 → 0 per n → +∞ poi, evidentemente, bn − bn−1
lim
loga n
=0
n
lim
loga nα
=0
nβ
n→+∞
Si dimostra, in modo analogo che
n→+∞
2.9. Forme indeterminate: Regole di Stolz-Cesàro
Esempio 2.9.2. Usiamo i Teoremi di Cesàro Stolz per ritrovare un limite che già abbiamo trattato. Calcoliamo
2n
n→+∞ n
lim
La forma indeterminata è ∞/∞: an = 2n , bn = n. Poi
an − an−1 = 2n − 2n−1 = 2n−1
Infine, evidentemente, bn − bn−1 = 1 pertanto:
2n
=∞
n→+∞ n
lim
Si dimostra, in modo analogo che per ogni α > 0
2n
=∞
n→+∞ nα
lim
Esempio 2.9.3. Siano:
an =
n
X
1
1
1
= 1 + + · · · + , bn = ln (1 + n)
k
2
n
k=1
e calcoliamo:
lim
n→∞
n
X
1
k
an
= lim k=1
n→∞ ln (1 + n)
bn
sfruttando il secondo teorema di Cesàro. Si ha:
1
1
1
1
1
an − an−1 =
1 + + ··· +
− 1 + + ··· +
=
2
n
2
n−1
n
1+n
1
bn − bn−1 = ln (1 + n) − ln (1 + n − 1) = ln
= ln 1 +
.
n
n
Quindi:
Pertanto:
1
an − an−1
1
=
n .
=
bn − bn−1
n ln 1 + n1
ln 1 + n1
lim
n→∞
e, ricordando il limite notevole:
an − an−1
1
n
= lim
n→∞ ln 1 + 1
bn − bn−1
n
lim
n→∞
possiamo conclucere che:
lim
n→∞
1+
1
n
n
=e
an − an−1
1
= lim
= 1,
n→∞ ln e
bn − bn−1
ne viene, constatato che la funzione logaritmo naturale è crescente, per il teorema di Cesàro, che:
lim
n→∞
n
X
1
k
k=1
ln (1 + n)
= 1.
71
72
2. Successioni
Si noti che nell’esempio, abbiamo implicitamente dimostrato che:
n
X
1
= ∞,
n→+∞
k
lim
k=1
in quanto la funzione a denominatore diverge positivamente. Questo fatto ha notevole interesse nella teoria
delle serie numeriche che affronteremo nel prossimo capitolo.
Concludiamo il paragrafo con i Teoremi sulle medie aritmetiche e geometriche.
Teorema 2.9.3. Se una successione converge a un numero, allora la successione delle sue medie aritmetiche
converge allo stesso numero, cioè, se an → a allora
lim
n→+∞
a1 + a2 + · · · + an
=a
n
Esempio 2.9.4. Ricordato che n1/n → 1 allora
1 + 21/2 + 31/3 + · · · + n1/n
=1
n→+∞
n
lim
Osservazione 2.9.1. La tesi del Teorema 2.9.3 non si può invertire. Infatti la successione an = (−1)n oscilla
e non converge. Ma la successone delle sue medie,
1 − 1 + 1 − 1 + · · · + (−1)n
n
bn =
tende a zero per n → +∞ in quanto il numeratore fa 0 oppure −1.
Teorema 2.9.4. Se una successione di numeri reali positivi converge a un numero, allora la successione delle
sue medie geometriche converge allo stesso numero, cioè, se per ogni n ∈ N, an ≥ 0 e an → a, allora:
√
lim n a1 a2 · · · an = a
n→+∞
Esempio 2.9.5.
lim
n→+∞
Dimostrazione. Sappiamo che
en =
n
√
=e
n
n!
n+1
n
n
→e
applichiamo il teorema sulle medie geometriche
s n
1
2
3
√
2
3
4
n+1
n
n
e1 e2 · · · en =
···
1
2
3
n
semplificando
√
n
e infine:
e1 e2 · · · en =
√
n
r
n
(n + 1)n
n!
n+1
e1 e2 · · · en = √
n
n!
2.10. Esercizi
73
e da qui la conclusione in quanto, osservato che
n
n n+1
√
√
=
n
n
+
1 n n!
n!
si deduce che
n n+1
n
√
√
= lim
=1×e
n
n! n→+∞ n + 1 n n!
lim
n→+∞
Anche questo Teorema finale sarà interessante per la teoria delle serie numeriche del prossimo capitolo.
Teorema 2.9.5. Se (an ) è una successione di numeri reali strettamente positivi e tali che
lim
n→+∞
allora
lim
n→+∞
Esempio 2.9.6.
an
= a,
an−1
√
an
= lim n an = a
n→+∞
an−1
s 2n
lim n
=4
n→+∞
n
2n
an
4n − 2
Dimostrazione. Posto an =
abbiamo che
e da qui la conclusione è immediata per Teorema
=
n
an−1
n
2.9.5.
2.10
Esercizi
2.10.1
Esercizi svolti
√
n+1
1
=
3n + 2
3
√
n+1
2. Provare che: lim √
√ =0
2
n→+∞
n +n+1− n
1. Provare che:
3. Provare che:
4. Provare che:
lim
n→+∞
lim n tan
n→+∞
lim n2
n→+∞
1
=1
n
1 − cos
1
n
=
1
2
5. Provare, applicando la definizione di limite che:
lim
n→∞
6. Provare che:
lim
n→+∞
n jnk
−
3 √ 3 =0
n
√
1 + 9n2
=3
n
74
2. Successioni
7. Provare che la successione:
xn =
2n
n!
è decrescente.
8. Provare che:
9. Provare che:
10. Provare che:
2n2 + n + 1
=2
n→+∞ n2 + n + 1
lim
lim
n→+∞
lim
n→+∞
n
X
i=1
n
=1
n2 + i
2n
=0
n!
n
1 X 2
1
k =
n→∞ n3
3
11. Provare che: lim
k=1
12. Provare che: lim
n→∞
13. Provare che:
r
1
−n =0
n
√
√ 3
n+1− 3n =0
lim
n→+∞
n2 +
√
√ 14. Provare che la successione an = (x2 − 2x − 1)n converge per x ∈ −1 − 3 ; 0 ∪ 2 ; 1 + 3
3n − 2n
=1
n→∞ 3n + 2n
15. Provare che lim
16. Provare, usando il teorema del confronto, che lim
n→∞
17. Provare che lim
n→∞
18. Provare che:
√
lim
n→+∞
n
n
2−1 =0
1+
1
3n
2n
= e2/3
n
1 X
1
k=
n→∞ n2
2
19. Provare che lim
k=1
20. Provare che:
lim
n→+∞
n ln n
=0
(n + 1)(n + 2)
2n
= +∞
n→+∞ n2
p
n
n(n + 1) · · · (n + n)
4
22. Provare che lim
=
n→+∞
n
e
r
1 n (3n)!
27
23. Provare che lim
= 2
n→+∞ n2
n!
e
21. Provare che:
lim
p
n
n log2 n = 1
2.10. Esercizi
75
Soluzione
1. Si ha
r
1
1
1+ 2
2
n2 + 1
1
n
n
= →
=
2
2
3n + 2
3
3n 1 +
3 1+
3n
3n
√
n
r
2. Si ha
√
n+1
√
√ =
n2 + n + 1 − n
3. Vanno ricordati due fatti:
√
1+
r
r
1
n
!
r
r !=
r
√
1
1
1
1
1
1
n
1+ + 2 −
n
1+ + 2 − √
n n
n
n n
n
n
1+
1
sin
1
n,
tan =
1
n
cos
n
1
n
1+
lim n sin
n→+∞
1
=1
n
Dopo di che si procede come segue
1
n sin
1
n = 1 =1
lim n tan = lim
1
n→+∞
n n→+∞
cos 0
cos
n
4. L’esercizio può esser risolto in due modi. Nel primo si moltiplicano numeratore e denominatore per
1 + cos n1 :
1
1
2
2
n 1 − cos
n2 sin2
12
1
1
n
2
n
=
=
=
n 1 − cos
=
1
1
n
1+1
2
1 + cos
1 + cos
n
n
Altrimenti si sfrutta la formula di prostaferesi:
cos p − cos q = −2 sin
p+q
p−q
sin
2
2
nel nostro caso specifico abbiamo p = 0 e q = 1/n per cui
1 − cos
e quindi
n
ma
2
1
1 − cos
n
1
1
1
= cos 0 − cos = 2 sin2
n
n
2n
1
1
= n 2 sin
=
2n
2
2
2
lim 2n sin
n→+∞
e allora si ha anche la nostra affermazione.
1
=1
2n
2
1
2n sin
2n
76
2. Successioni
5. Fissato ε > 0 consideriamo la disequazione in n ∈ N :
√
1 + 9n2
− 3 < ε
n
Si vede che (e1) è equivalente a
(e1)
p
1 + 9n2 − 3n < ε n
che, a sua volta è equivalente a
p
1 + 9n2 < (3 + ε) n
Elevando al quadrato i due lati di (e2) si trova
h
i
2
1 + 9 − (3 + ε) n2 < 0
(e2)
(e3)
Sviluppando i calcoli in (e3) troviamo
1 − ε2 + 6 ε n2 < 0
(e4)
da (e4) finalmente deduciamo che
√
1 + 9n2
1
− 3 < ε ⇐⇒ n > √
n
ε2 + 6 ε
6. Poiché per proprietà della parte intera si ha che 0 ≤ x − bxc < 1 per ogni x ∈ R abbiamo che
n jnk
−
1
0≤ 3 √ 3 < √
n
n
e dunque
lim
n→+∞
n jnk
−
3 √ 3 = 0.
n
7. La condizione xn ≥ xn+1 equivale, ricordato che la successione in oggetto è strettamente positiva, a:
xn
≥ 1 ⇐⇒
xn+1
2n
n!
2n+1
(n + 1)!
=
(n + 1)!
n+1
=
≥1
2n!
2
8. Dividiamo per n2 numeratore e denominatore
1
2+ +
2n2 + n + 1
n
=
1
n2 + n + 1
1+ +
n
la tesi segue allora dal fatto che lim
n→+∞
1
1
= lim
=0
n n→+∞ n2
1
n2
1
n2
2.10. Esercizi
77
9. Per n > 1 abbiamo,
n
X n
n2
n
n
n
n
n2
= 2
+ ··· + 2
< 2
+ ··· + 2
,
<
= 2
2
+n
n +n
n +n
n +i
n +1
n +1
n +1
|
|
{z
} i=1
{z
}
n2
n volte
n volte
la tesi segue allora dal teorema del confronto poiché le due successioni agli estremi tendono a 1.
10. Per n ≥ 2 abbiamo
2n
2 2 2
2
2
4
= · · · · · ≤ 2 · 1 · 1 · · · 1 · = → 0.
n!
1 2 3
n
n
n
11. È fondamentale ricordare la formula per la somma dei primi n quadrati:
n
X
k2 =
k=1
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
L’esercizio proposto si riduce pertanto al calcolo del limite:
1
1
1
1
1+
(2 + )
n(n + 1)(2n + 1)
2
1
6
n
n
= lim
= =
lim 6
n→+∞
n→+∞
n3
1
6
3
12. Si ha
r
n2 +
n2 + n1 − n2
1
1
−n= q
= q
n
n2 + n1 + n
n
n2 +
1
n
+n
e q
da qui si tira la
conclusione in considerazione del fatto che l’espressione che compare a denominatore
1
2
n + n + n diverge positivamente.
n
13. Essendo
si vede che
√
3
n+1−
√
3
n+1−n
√
p
n= p
3
3
2
(n + 1) + n2 + 3 n(n + 1)
lim
n→+∞
√
3
n+1−
√
3
n =0
14. La successione geometrica converge se, detta r la sua ragione si ha −1 < r ≤ 1. Ciò premesso nell’esercizio
in oggetto basta saper risolvere il sistema di disequazioni:
(
−1 < x2 − 2x − 1
x2 − 2x − 1 ≤ 1
il cui insieme soluzione è appunto quello indicato nell’enunciato.
15. Si ha:
n
2
3n − 2n
3
n
=
3n + 2 n
2
1+
3
1−
78
2. Successioni
16. Se
n ≥p2 vale: 1 ≤√log2 n ≤ n. Moltiplicando per n si trova n ≤ n log2 n ≤ n2 ed estraendo radice
√
n
n
n ≤ n n log2 n ≤ n2 . Pertanto abbiamo che
√
n
n≤
p
√ 2
n
n log2 n ≤ n n
La tesi segue dal limite notevole, che qui si assume noto:
√
lim n n = 1.
n→+∞
17. Si ha
√
n
lim
n→+∞
2−1
n
= 0+∞ = 0
18. Bisogna innazitutto ricordare che, se an → ±∞ allora:
an
1
=e
lim
1+
n→+∞
an
Pertanto la tesi segue dal fatto che:
1
1+
3n
2n
=
"
1
1+
3n
3n #2/3
19. Per prima cosa isoliamo la parte di successione che tende a 1:
n
ln n
n ln n
=
(n + 1)(n + 2)
n+2
n+1
in questo modo ci basta saper calcolare
ln n
.
n+1
Usiamo il teorema di Stolz Cesàro: notazione an = ln n, bn = n + 1:
lim
n→+∞
lim
n→+∞
Ora, poiché
an − an−1
n+1
ln(n + 1) − ln n
= lim ln
= lim
n→+∞
n→+∞
bn − bn−1
n+1−n
n
n+1
→ 1 per n → +∞ abbiamo che
n
lim
n→+∞
ln n
= ln 1 = 0
n+1
e da qui si conclude.
20. L’esercizio può essere svolto senza usare i Teoremi di Stolz Cesàro perché lo si può calcolare usando il
fatto che
n
X
n(n + 1)
k=
2
k=1
Mentre con Cesàro Stolz dobbiamo calcolare
an − an−1
n
=
bn − bn−1
2n − 1
2.10. Esercizi
79
21. Per prima cosa isoliamo la parte di successione che tende a 1:
n ln n
n
ln n
=
(n + 1)(n + 2)
n+2
n+1
in questo modo ci basta saper calcolare
lim
n→+∞
ln n
.
n+1
Usiamo il teorema di Stolz Cesàro: notazione an = ln n, bn = n + 1:
lim
n→+∞
Ora, poiché
n+1
n
ln(n + 1) − ln n
n+1
an − an−1
= lim
= lim ln
n→+∞
n→+∞
bn − bn−1
n+1−n
n
→ 1 per n → +∞ abbiamo che
lim
n→+∞
ln n
= ln 1 = 0
n+1
e da qui si conclude.
22. Usiamo il teorema di Stolz Cesàro: notazione an = 2n , bn = n2 :
lim
n→+∞
an − an−1
2n−1
2n − 2n−1
= lim
= lim
2
2
n→+∞
n→+∞
bn − bn−1
n − (n − 1)
2n − 1
Applichiamo per la seconda volta il teorema di Stolz Cesàro: notazione an = 2n−1 , bn = 2n − 1:
2n−2
an − an−1
2n−1 − 2n−2
= lim
= lim
n→+∞
n→+∞ bn − bn−1
n→+∞ 2n − 1 − 2(n − 1) + 1
2
lim
L’ultimo limite va a +∞ concludendo la dimostrazione.
23. Ricordiamo il teorema di Cesàro sulla media geometrica delle successioni strettamente positive: se esiste
` = lim
an
an−1
√
n
an = `
n→+∞
allora:
lim
n→+∞
Cominciamo osservando che:
r
p
n
n(n + 1) · · · (n + n)
√
n n(n + 1) · · · (n + n)
=
= n an
n
nn
D’altra parte:
n(n + 1) · · · (n + n)
an
(n − 1)n−1
=
n
an−1
n
(n − 1)[(n − 1) + 1] · · · [(n − 1) + (n − 1)]
Semplificando si trova:
an
(2n − 1)(2n) (n − 1)n−1
(2n − 1)(2n) (n − 1)n
=
=
n
an−1
(n − 1)
n
(n − 1)2
nn
80
2. Successioni
Ora:
(n − 1)n
1
→ .
n
n
e
(2n − 1)(2n)
→ 4,
(n − 1)2
La prima affermazione è immediata, per quanto attiene alla seconda, questa segue dal fatto che
n n " −n #−1
n−1
1
1
(n − 1)n
=
= 1−
=
1−
nn
n
n
n
unitamente al limite notevole:
lim
n→+∞
1
1−
n
−n
=e
24. Si procede come nel precedente esercizio, prendendo:
an =
Dopo aver osservato che:
(3n)!
n2n n!
an
(3n)! (n − 1)2n−2 (n − 1)!
= 2n
an−1
n n!
(3n − 3)!
e sfruttando il fatto che (3n)! = 3n × (3n − 1) × (3n − 2) × (3n − 3)! possiamo semplificare, ottenendo:
an
3n(3n − 1)(3n − 2)
=
an−1
n
n−1
n
2n
1
(n − 1)2
A questo punto la tesi segue da:
lim
n→+∞
e da
lim
n→+∞
2.10.2
n−1
n
3n(3n − 1)(3n − 2)
= 27
n(n − 1)2
2n
= lim
n→+∞
n−1
n
Esercizi proposti
1. Provare, applicando la definizione di limite che:
lim
n→∞
√
1 + 4n2
=2
n
2. Provare che la successione:
xn =
2n
n
xn =
3n
n!
è crescente.
3. Provare che la successione:
è decrescente.
4. Provare che:
2n2 − n + 1
=2
n→+∞ n2 − n + 1
lim
n 2
=
2
1
e
2.10. Esercizi
81
−n2 − 3n +
5. Calcolare lim
2
n
2
−2 (3n + 1) + 12n − 10−n
p
√ 6. Calcolare lim
25n2 + n + 1 − n
n→+∞
n→+∞
7. Provare che: lim
n→∞
8. Provare che:
r
n2 −
q
lim q
n→+∞
n+1
n+2
n+2
n+3
1
−n =0
n
q
− n+2
n+1
q
=1
− n+3
n+2
n
1 X
1
k=
n→∞ n2
2
k=1
√
n
n
7−1 =0
10. Provare che lim
9. Provare che lim
n→∞
(−1)n
=0
n→∞ n + 1
11. Provare che lim
12. Provare che lim (−1)n + (−1)n+1 = 0
n→∞
2
=2
n
14. Calcolare i limiti delle seguenti successioni:
√
n2 + 2
an =
,
2n + 3
√
√
cn = 3 n + 1 − 3 n,
13. Provare che lim n sin
n→∞
Risposta:
16. Provare che:
17. Provare che:
18. Provare che:
19. Provare che:
20. Provare che:
lim
n→+∞
n jnk
−
lim 3 √ 3 = 0
n→+∞
n
s 3n
27
lim n
=
n→+∞
n
4
3n
1
lim
1+
= e3/2
n→+∞
2n
n
n+1
lim
=0
n→+∞ n2 + 1
lim
n→+∞
dn =
√
n3 + 1 + n2 + 2n
√
,
n4 + 2 + n
n
3
n
.
1
,
lim bn = 1,
lim cn = 0,
n→+∞
n→+∞
2
√
√
√
√
n+ n+1
n + 2 − n + 4 = −2
lim an =
n→+∞
15. Provare che:
bn =
n ln n
=0
(n + 2)(n + 3)
lim dn =
n→+∞
1
2
82
2. Successioni
21. Provare che:
lim
n→+∞
3n
= +∞
n
ln(1 + 2n + n2 )
n
p
n
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2
23. Provare che: lim
=
n→+∞
n
e
r
1 n (4n)!
256
24. Provare che lim
= 3
n→+∞ n3
n!
e
p
25. Esiste un valore di a ∈ R per cui lim
1 + an + n2 − n = 4? [Risposta a = 8]
22. Calcolare lim
n→+∞
n→∞
26. Dimostrare che lim
n→∞
n+4
n+2
3n
= e6
CAPITOLO 3
SERIE
3.1
Definizioni e generalità
Definizione 3.1.1. Assegnata una successione (an ), chiamiamo serie generata da (an ) la successione (sn ) di
termine generale:
n
X
sn = s1 + s2 + · · · + sn =
xk .
k=1
(sn ) è detta successione delle somme (o delle ridotte) parziali di (an ).
Definizione 3.1.2. Diremo che la serie generata da (an ):
a) è convergente, se è convergente la successione delle somme parziali (sn ),
b) è divergente, se è divergente la successione delle somme parziali (sn ),
Dunque si parlerà di serie convergente se esiste un reale s ∈ R tale che:
lim sn = s.
n→∞
Avendo presente la definizione della successione delle ridotte parziali (sn ), si usa indicarne il limite, quando
esiste, con la scrittura:
∞
n
X
X
an = lim
xk .
n=1
n→∞
k=1
Per questa ragione s è chiamato anche somma della serie.
La difficoltà che si incontra nello studio delle serie sta nel fatto che è molto raro riuscire ad esprimere
la successione delle somme parziali (sn ) mediante una formula. La teoria delle serie deve poter stabilire la
convergenza, o meno, della successione delle somme parziali, senza conoscerla esplicitamente.
La prima conseguenza sulla successione sommanda (an ) della definizione di convergenza, è la condizione
necessaria, ma non sufficiente, di convergenza espressa dal seguente Teorema.
Teorema 3.1.1. Se la serie generata da (an ) è convergente allora lim an = 0
n→∞
84
3. Serie
Dimostrazione. Per ipotesi la successione sn =
n
X
k=1
ak è convergente ad s ∈ R. D’altra parte, possiamo scrivere:
an = sn − sn−1 =
n
X
k=1
ak −
n−1
X
ak ,
k=1
ma, allora, passando al limite per n → ∞ vediamo che:
lim an = lim (sn − sn−1 ) = s − s = 0.
n→∞
n→∞
L’asserto è cosı̀ provato.
Osservazione 3.1.1. La tesi del Teorema 3.1.1 non può essere invertita. Infatti lim an = 0 non implica che la
n→∞
serie generata da (an ) converge. L’esempio più celebre è quello della serie armonica. Questa è la serie generata
dalla successione (an ) dei reciproci degli interi:
n
X
1
1 1
1
1
an = , sn = lim
= lim 1 + + + · · · +
= +∞
n→∞
n
k n→∞
2 3
n
k=1
Infatti se torniamo all’esercizio 1.10.1 numero 6, pagina 28, dove abbiamo dimostrato che per ogni n ∈ N
n
X
√
1
√ ≥ n
k
k=1
e se osserviamo che per ogni k ≥ 1 vale certamente
√
e quindi per Teorema 2.6.4
n≤
√
k ≤ k ⇐⇒
1
1
≥ √ otteniamo
k
k
n
n
X
X
1
1
√ ≤
k
k
k=1
k=1
∞
X
1
= +∞
n
n=1
Si noti che nell’argomento appena presentato abbiamo anche ottenuto la divergenza della serie
∞
X
1
√
n
n=1
Osservazione 3.1.2. La divergenza della serie armonica può essere dimostrata anche attraverso altri argomenti.
Nell’esempio 2.9.3 abbiamo dimostrato, usando le regole di Cesàro-Stolz che:
lim
n→∞
in quanto:
lim
n→∞
n
X
1
k
k=1
ln (1 + n)
= 1,
n
X
1
=∞
k
k=1
e
lim ln (1 + n) = +∞.
n→∞
3.2. Alcune serie calcolabili esplicitamente
85
Le serie non sono niente altro che particolari successioni, quindi tutta la teoria svolta per le successioni
è valida anche per le serie. Di conseguenza se abbiamo due serie convergenti di termine generale (an ), (bn )
rispettivamente:
Teorema 3.1.2. Se
∞
X
an = s,
n=1
(i)
∞
X
∞
X
bn = t allora
n=1
(an + bn ) = s + t
(ii)
n=1
3.2
3.2.1
∞
X
n=1
λan = λs per λ ∈ R
Alcune serie calcolabili esplicitamente
Serie geometrica
La teoria delle serie ha grande rilievo per la rappresentazione decimale dei numeri reali. Ogni numero decimale
è esprimibile come somma di una una serie. Ad esempio la frazione 1/3 può essere espressa come:
∞
X
3
3
3
3
1
=
+ 2 + 3 + ···+ =
.
n
3
10 10
10
10
n=1
(3.1)
La serie (3.1) è una particolare serie geometrica ottenuta dalla trasformazione in serie di una successione geometrica. Le relazioni (2.4) di pagina 43 sono fondamentali per trattare l’argomento unitamente a Teorema 2.3.3
(ii), pagina 48 e all’esempio 2.6.1 pagina 59.
Teorema 3.2.1. Assegnata la serie geometrica, generata dalla progressione geometrica di ragione r ∈ R:
∞
X
n=1
essa è:
rn−1 = 1 + r + r2 + r3 + · · ·
a) convergente se −1 < r < 1. In tale caso la somma s(r) è:
s(r) =
b) divergente se |r| ≥ 1;
1
;
1−r
(3.2)
L’esempio portato in (3.1) diviene chiaro, infatti, applicando (3.2):
∞
∞
X
3
3 X 1
3
=
=
·
n
n−1
10
10
10
10
n=1
n=1
3
1
= = .
1
9
3
1−
10
Se la somma, invece di partire da n = 1 parte da altri indici, la (3.2) va modificata di conseguenza, fermo
restando che deve sempre sussistere la condizione |r| < 1.
∞
X
n=2
rn−1 =
1
∞
∞
X
r
r2 X n−1
r3
,
rn−1 =
,
r
=
.
1 − r n=3
1 − r n=4
1−r
In generale se k ∈ N è un arbitrario intero positivo:
∞
X
n=k
rn−1 =
rk−1
.
1−r
86
3. Serie
3.2.2
Serie di Mengoli
La serie di Mengoli è una serie che molti autori chiamano telescopica. Si tratta della serie
∞
X
1
n(n
+ 1)
n=1
Osserviamo che
(3.3)
1
1
1
= −
k(k + 1)
k k+1
e questo comporta che la ridotta parziale sn vale
sn =
n
X
k=1
n
X
1
=
k(k + 1)
k=1
1
1
−
k k+1
=1−
1
n+1
Dunque la serie di Mengoli è convergente e la sua somma è
1
1
= lim 1 −
=1
n(n + 1) n→∞
n+1
n=1
∞
X
Il comportamento della serie di Mengoli, non è isolato. Ad esempio si dimostra che
∞
X
1
1
=
(n
+
1)(n
+
2)
2
n=1
Questo segue dal fatto che
1
1
1
=
−
(k + 1)(k + 2)
k+1 k+2
3.3
e quindi
n
X
k=1
1
1
1
= −
(k + 1)(k + 2)
2 n+2
Serie a termini positivi: criteri di convergenza
Le serie a termini postivi o non negativi sono un caso particolare nel quale è possibile studiare il problema
della convergenza con diversi potenti strumenti analitici. Infatti l’ipotesi che la successione sommanda sia non
negativa, an ≥ 0, assicura che la serie sn è una successione crescente, infatti in questo caso:
sn+1 = sn + an+1 ≥ sn .
3.3.1
Criterio generale di convergenza e sue conseguenze
Per studiare la convergenza della serie possiamo invocare il Teorema 2.7.1 della convergenza monotona per
enunciare il Teorema di limitatezza per serie a termini positivi.
Teorema 3.3.1. Una serie
∞
X
an a termini non negativi è convergente se e solo se la successione (sn ) delle
n=1
somme parziali è superiormente limitata. Se la successione delle ridotte (sn ) non è superiormente limitata,
allora la serie diverge positivamente.
Dimostrazione. La tesi è conseguenza immediata di Teorema 2.7.1 e di Teorema 2.7.3.
3.3. Serie a termini positivi: criteri di convergenza
87
Sono estremamente utile nelle applicazioni i due corollari seguenti:
Corollario 3.3.1.1. [Criterio del confronto per serie a termini positivi] Se 0 ≤ an ≤ bn allora
(i) Se
∞
X
bn è convergente, allora
n=1
(ii) Se
∞
X
∞
X
an è convergente.
n=1
an è positivamente divergente, allora
n=1
∞
X
bn è positivamente divergente.
n=1
Dimostrazione. Sia an ≤ bn e supponiamo che la serie maggiorante tn =
deduciamo che:
sn =
n
X
k=1
n
X
bk sia convergente. Dall’ipotesi
k=1
ak ≤ tn .
La convergenza di tn assicura la limitatezza di sn , che è, quindi convergente per il Teorema della convergenza
monotona 2.7.1.
Se, viceversa, sn è divergente allora anche tn è divergente per il Teorema 2.7.3, in quanto sn ≤ tn .
Corollario 3.3.1.2. [Criterio del confronto asintotico per serie a termini positivi] Se 0 ≤ an , bn sono due
an
successioni tali per cui esiste finito e diverso da zero lim
= ` allora
n→∞ bn
(i)
∞
X
an è convergente se e solo se
∞
X
bn è convergente
n=1
n=1
(ii)
∞
X
an è positivamente divergente se e solo se
n=1
∞
X
bn è positivamente divergente
n=1
Dimostrazione. Per ipotesi fissato ε > 0, ricordando che bn > 0 riesce:
(` − ε) bn ≤ an ≤ (` + ε) bn ,
se n ∈ N è maqgiore di un opportuno indice nε ∈ N. Osservato che è possibile scegliere ε in modo che ` − ε > 0
la tesi segue dal teorema del confronto.
Osservazione 3.3.1. È essenziale che ` oltre che finito sia 6= 0. Qualora il limite sia 0 l’enunciato del Teorema
del confronto asintotico 3.3.1.2 può diventare falso: si consideri il seguente controesempio:
an =
Sappiamo che, paragrafo 3.2.2,
∞
X
n=1
1
1
, bn = .
n(n + 1)
n
an converge e che
∞
X
bn diverge ma:
n=1
1
an
1
n(n + 1)
lim
= lim
= lim
= 0.
1
n→∞ bn
n→∞
n→∞ n + 1
n
88
3. Serie
Esempio 3.3.1. Consideriamo la serie, nota come serie armonica di ordine 2
∞
X
1
2
n
n=1
(3.4)
La serie (3.4) è convergente. Infatti abbiamo visto in 3.2.2 che la serie
∞
X
1
n(n
+ 1)
n=1
(3.3)
è convergente (ed ha somma 1). Ora se poniamo
an =
1
1
, bn = 2
n(n + 1)
n
abbiamo
1
an
n
n(n + 1)
lim
= lim
=1
= lim
1
n→∞ bn
n→∞
n→∞ n + 1
n2
Quindi per il Corollario 3.3.1.2 la serie (3.4) è convergente. Va osservato che il Corollario 3.3.1.2 non fornisce
alcuna informazioni sulla somma della serie confrontata. Il problema di sommare la serie (3.4) è un problema
fondamentale dell’Analisi Matematica, noto con il nome di Problema di Basilea. Il problema fu posto da Pietro
Mengoli nel 1644 e risolto da Leonardo Eulero nel 1735 che trovò la somma della serie
∞
X
1
π2
=
n2
6
n=1
(3.4)
Non è possibile con le tecniche che apprenderemo in questo corso dimostrare questa affermazione. Nei secoli
sono state trovate moltissime dimostrazioni. Con tecniche esposte in un secondo corso di Analisi Matematica si
può comprendere la dimostrazione data in [Rit13], cui siamo in un qualche modo affezionati. La somma della
serie armonica di ordine 2 è legata alla probabilità che scelti a caso due numeri naturali essi siano relativamente
primi e alla probabilità che un numero naturale svelo a caso sia libero da quadrati, cioè che la sua scomposizione
in fattori non contenga quadrati di numeri primi.
Esempio 3.3.2. Se α > 0 la serie
∞
X
1
α
n
n=1
(3.5)
si dice serie armonica generalizzata di ordine α. Abbiamo già visto che per α = 1 la serie (3.5) diverge
positivamente e per α = 2 la serie (3.5) converge. Osservato che, per α ∈ N
1
1
>
α
n
n
1
1
=⇒ α < 2
n
n
0 < α < 1 =⇒ nα < n =⇒
α > 2 =⇒ nα > n2
abbiamo che
0 < α < 1 =⇒ (3.5) diverge
α > 2 =⇒ (3.5) converge
Resta da stabilire il comportamento della serie (3.5) per 1 < α < 2
3.3. Serie a termini positivi: criteri di convergenza
3.3.2
89
I criteri della radice, del rapporto e di Raabe
Criterio del rapporto
È dovuto a Cauchy (1789-1857), esso apparve nel Course d’analyse algébrique del 1821.
Teorema 3.3.2. Sia
∞
X
n=1
an una serie tale che an > 0 per ogni n ∈ N, allora:
a) se esistono un numero reale K, 0 ≤ K < 1 e un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:
an+1
≤ K,
an
(3.6)
allora la serie converge;
b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:
an+1
≥ 1,
an
allora la serie diverge.
Dimostrazione. Se vale a), ragionando per induzione, usando la (3.6), si prova la disuguaglianza, valida per
n ∈ N, n > n? :
an < K n−1 a1 .
Quindi il termine generale della serie è maggiorato da quello di una serie geometrica convergente e la tesi segue
dal criterio del confronto 3.3.1.1.
Se vale b) il termine generale an della serie non converge a zero, quindi la serie, che è a termini positivi,
diverge positivamente.
Il criterio del rapporto ha un corollario molto comodo nelle applicazioni:
Corollario 3.3.2.1. Consideriamo la serie
∞
X
n=1
an , in cui an > 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:
lim
n→∞
an+1
= `,
an
allora:
a) se ` < 1 la serie converge;
b) se ` > 1, la serie diverge.
Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che se vale a) allora è soddisfatta l’ipotesi a) del driterio del
rapporto se n > n? con n? ∈ N. Se, invece, vale b), la serie diverge in quanto, non sussiste convergenza a zero
del termine generale an .
Osservazione 3.3.2. Nella tesi del Corollario 3.3.2.1 non si fa riferimento al caso ` = 1. Questo dipende dal
fatto che in questa situazione la convergenza della serie è indecidibile. Infatti se si considera la serie armonica,
caso in cui an = n1 , abbiamo ` = 1 con una serie positivamente divergente. Ma se si considera la serie armonica
di ordine 2, caso in cui an = n12 , abbiamo ` = 1 con una serie convergente.
90
3. Serie
Criterio della radice
Anche questo risultato è dovuto a Cauchy (1821).
Teorema 3.3.3. Sia
∞
X
n=1
an una serie tale che an ≥ 0 per ogni n ∈ N, allora:
a) se esistono un numero reale 0 ≤ K < 1 e un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:
√
n
an ≤ K,
allora la serie converge;
b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n ∈ N, n > n? risulti:
√
n
an ≥ 1,
allora la serie diverge.
Dimostrazione. Supponiamo verificata l’ipotesi a). Allora, per ogni n ∈ N, n > n? vale:
an ≤ K n .
(3.3.30 )
il che comporta la convergenza della serie di termine an .
Se vale b) la divergenza della serie di termine generale an segue dalla mancata convergenza a zero della
successione di termine an .
Può essere più rapido nelle applicazioni sfruttare il:
Corollario 3.3.3.1. Consideriamo la serie
∞
X
n=1
an , in cui an ≥ 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:
lim
n→∞
√
n
an = `,
allora:
a) se ` < 1 la serie converge;
b) se ` > 1, la serie diverge.
Dimostrazione. Se vale l’ipotesi a) allora anche anche la condizione a) del criterio della radice è soddisfatta
per n > n? con n? naturale opportuno. Se vale b), la serie diverge in quanto non si ha convergenza a zero del
termine generale an .
Osservazione 3.3.3. Dovesse ad esempio, accadere che uno dei due corollari ai criteri della radice o del rapporto
sia inefficace, nel senso che uno dei due limiti:
lim
n→∞
an+1
,
an
lim
n→∞
√
n
an ,
vale 1 è inutile tentare di calcolare l’altro limite, vedi Teorema 2.9.5. Quindi se fallisce uno dei due criteri, di
radice o rapporto, non serve tentare di usare l’altro.
3.3. Serie a termini positivi: criteri di convergenza
91
Criterio di Raabe
Il criterio di Raabe, può funzionare nel caso in cui falliscano i criteri della radice e del rapporto.
Teorema 3.3.4. Sia
∞
X
n=1
an una serie tale che an > 0 per ogni n ∈ N, allora:
a) se esistono un numero reale K > 1 e un indice n? tale cui per ogni n > n? risulti:
an
n
− 1 ≥ K,
an+1
allora la serie converge;
b) se esiste un indice n? tale cui per ogni n > n? risulti:
an
n
− 1 ≤ 1,
an+1
allora la serie diverge.
Dimostrazione. Supponiamo che valga a). Allora esiste un numero δ ≥ 0 per cui K = 1 + δ. Qundi si deducono
le disuguaglianze:
a1 − 2a2 ≥ δa2 ,
2a2 − 3a3 ≥ δa3 ,
......
nan − (n + 1)an+1 ≥ δan+1 .
Sommando membro a membro si ottiene:
a1 − (n + 1)an+1 ≥ δ (a2 + a3 + · · · + an+1 ) ,
quindi si ottiene:
n
X
ak < a1 +
k=1
a1
.
δ
Quest’ultima disguaglianza, valida per ongi n ∈ N, comporta la superiore limitatezza della successione delle
ridotte parziali, e, dunque la convergenza della serie.
Se vale b) si trova:
a1 ≤ 2a2 ,
a2 ≤ 3a3 ,
......
(n − 1)an−1 ≤ axn ,
ossia, sommando membro a membro:
nan ≥ a1 , cioè an ≥
da cui si vede la divergenza della serie, essndo divergente:
∞
X
a1
.
n
n=1
a1
,
n
92
3. Serie
Ancora una volta è disponibile un corollario più operativo, che non proviamo in quanto analogo ai risultati
visti per i criteri della radice e del rapporto.
Corollario 3.3.4.1. Consideriamo la serie
∞
X
n=1
an , in cui an > 0 per ogni n ∈ N. Se esiste:
lim n
n→∞
an
−1
an+1
= `,
allora:
a) se ` > 1 la serie converge;
b) se ` < 1, la serie diverge.
Esempio 3.3.3. Facciamo vedere con un esempio come il criterio di Raabe permetta di risolvere situazioni in
cui il criterio del rapporto è inefficace. Consideriamo la serie armonica di ordine due, che sappiamo già essere
convergente. Applicando, a tale serie il corollario 3.3.2.1, troviamo:
lim
n→∞
n2
(n + 1)
2
= 1.
Non possiamo quindi fare alcuna deduzione sul comportamento della serie. Se applichiamo il corollario 3.3.4.1,
invece troviamo il limite:
!
2
(n + 1)
2n + 1
lim n
− 1 = lim
= 2.
n→∞
n→∞
n2
n
Dunque abbiamo ritrovato il risultato che già conoscevamo in merito al comportamento della serie armonica di
ordine due.
3.3.3
Criterio di condensazione e serie armonica generalizzata
Anche il criterio di condensazione, noto anche come criterio del 2n , è dovuto a Cauchy. Esso permette di
trasformare una serie a termini positivi in un’altra serie a termini positivi il cui comportamento è lo stesso della
serie data.
Teorema 3.3.5. Sia (an ) una successione di reali non negativi, decrescente. Allora la serie
∞
X
an converge se
n=1
e solo se converge la serie:
∞
X
2n a2n =
n=1
∞
X
bn
n=1
Dimostrazione. Indichiamo con (sn ) la ridotta della serie
∞
X
an e con (tn ) la ridotta parziale della serie
n=1
e dunque
sn = a+ · · · + an
e
∞
X
bn
n=1
tn = 21 a2 + 22 a4 + · · · + 2n a2n
Ricordato che (an ) è decrescente e a1 ≥ 0 scriviamo la ridotta s2n organizzando i suoi termini come segue
s2n = a1 + (a2 ) + (a3 + a4 ) + (a5 + a6 + a7 + a8 ) + · · · + (a2k−1 +1 + a2k−1 +2 + a2k ) + · · · + (a2n−1 +1 + a2n−1 +2 + a2n )
3.3. Serie a termini positivi: criteri di convergenza
93
dunque la k-esima parentesi contiene 2k−1 termini. Ora rammentando che (an ) è decrescente abbiamo
s2n ≥ 0 + (a2 ) + (a4 + a4 ) + · · · + (a2n + · · · + a2n )
1
= 0 + (a2 ) + (2a4 ) + · · · + (2n−1 an ) = tn
2
(3.7)
D’altra parte possiamo anche ragionare in un’altra maniera nello scrivere i termini di s2n :
s2n = a1 + (a2 + a3 ) + (a4 + a+ a6 + a7 ) + · · · + (a2n−1 + · · · + a2n −1 ) + a2n
≤ a1 + (a2 + a2 ) + (a4 + a4 + a4 + a4 ) + · · · + (a2n −1 + · · · + a2n −1 ) + a2n
= a1 + (2a2 ) + (4a4 ) + . . . (2n−1 an−1 ) + a2n
(3.8)
≤ a1 + tn
Ciò premesso, supponiamo
∞
X
an convergente. Allora necessariamente la successione (sn ) delle ridotte parziali
n=1
è superiormente limitata e lo stesso vale per la sottosuccessione (s2n ). Ma, allora dalla disuguaglianza (3.7) si
deduce che la successione ( 21 tn ) è superiormente limitata. In conclusione anche la successione (tn ) è superior∞
∞
X
X
mente limitata e quindi la serie
bn è convergente. Viceversa supponiamo che sia
an divergente. Questa
n=1
n=1
volta abbiamo che (sn ) è illimitata superiormente e di conseguenza tale è la sottosuccessione (s2n ). Dalla disuguaglianza (3.8) segue allora che la successione (a1 + tn ) è illimitata superiormente e dunque tale risulta la
∞
X
successione (tn ). Quest’ultimo fatto implica la divergenza di
bn e completa la dimostrazione.
n=1
Esempio 3.3.4. Se log x è il logaritmo in base 10 del numero reale positivo x allora la serie
∞
X
1
n
log
n
n=2
è positivamente divergente.
Dimostrazione. Si ha
an =
La serie
∞
X
1
n log n
e allora
bn = 2n an =
1
1
=
log 2n
n log 2
bn diverge come la serie armonica.
n=1
Grazie al criterio di condensazione, si completa lo studio della serie armonica generalizzata, per il quale non
avevamo informazioni per i valori di α fra 1 e 2.
Teorema 3.3.6. La serie armonica generalizzata
∞
X
1
,
nα
n=1
94
3. Serie
(b) per α ≤ 1 è divergente.
(a) per α > 1 è convergente,
Dimostrazione. Per il criterio di condensazione la convergenza della serie armonica è equivalente alla convergenza
della serie:
n
∞
∞ X
X
1
1
.
2n n α =
2α−1
(2 )
n=1
n=1
Ma quest’ultima serie è geometrica, con ragione 21−α , dunque essa converge per tutti e soli i valori di α per cui:
21−α < 1.
Possiamo cosı̀ concludere che si ha convergenza per α > 1 e divergenza positiva per 0 < α ≤ 1.
La piena conoscenza del comportamento della serie armonica generalizzata, permette di determinare il
comportamento di altre famiglie di serie. Ad esempio sfruttando ancora una volta il criterio di condensazione
3.3.5 assieme al Teorema 3.3.6 abbiamo il:
Corollario 3.3.6.1. Sia b > 0 allora la serie
∞
X
1
α
n
(log
b n)
n=2
(b) per α ≤ 1 è divergente.
(a) per α > 1 è convergente,
Dimostrazione. Si ha
an =
Dunque la serie
∞
X
1
α
n (logb n)
implica bn = 2n an =
1
α
nα (logb 2)
bn si comporta come la serie armonica generalizzata.
n=1
Unendo la tesi del Teorema 3.3.6 con il criterio del confronto asintotico 3.3.1.2 abbiamo il seguente teorema,
molto utile nelle applicazioni.
Teorema 3.3.7. Sia (an ) una successione non negativa e tale per cui esiste finito e diverso da zero
lim nα an = `
(3.9)
n→∞
(a) se α > 1 la serie
∞
X
n=1
3.4
an è convergente,
(b) se α ≤ 1 la serie
∞
X
an è divergente.
n=1
Serie a termini alterni, convergenza assoluta
Quando i termini di una successione (an ) non hanno segno costante la successione (sn ) delle ridotte parziali
non è monotona e questo in generale rende molto più difficile lo studio della convergenza. In questo contesto il
caso delle serie a termini di segno alterno, non rappresenta la massima generalità, però consente di enunciare un
criterio di convergenza. Va detto poi che in molte applicazioni il caso a segno alterno si presenta frequentemente.
3.4. Serie a termini alterni, convergenza assoluta
95
Definizione 3.4.1. Sia (an ) una successione a termini positivi. La serie
∞
X
(−1)n−1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·
(3.10)
n=1
si dice serie a termini di segno alterno.
Proviamo il criterio di convergenza per le serie a termini di segno alterno.
Teorema 3.4.1. [Leibniz] Se la successione a termini postivi (an ) è decrescente e infinitesima, allora la serie a
termini alterni (3.10) è convergente.
Dimostrazione. Consideriamo le sottosuccessioni di ordine dispari e di ordine pari della ridotta parziale (sn ). Dico che (s2n−1 ) è decrescente e (s2n ) è crescente, questo in conseguenza del fatto che (an ) è positiva e decrescente.
Infatti da
s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1
osservato che la decrescenza di (an ) implica a2n − a2n+1 ≥ 0 si deduce
s2n+1 = s2n−1 + a2n − a2n+1 ≤ s2n−1
(3.11)
Analogamente da
stante che a2n+1 − a2n+2 ≥ 0 si deduce
s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2
s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ s2n
(3.12)
s2n+1 = s2n + a2n+2 ≥ s2n
(3.13)
Inoltre è anche
Dalla (3.11) e dalla (3.13) si deduce che la successione (s2n−1 ) delle ridotte di ordine dispari è decrescente e
inferiormente limitata e dunque per Teorema 2.7.2 essa converge ad un limite s. Analogamente dalla (3.12) e
dalla (3.13) si deduce che la successione (s2n ) delle ridotte di ordine pari è crescente e superiormente limitata e
dunque per Teorema 2.7.1 essa converge ad un limite s. Infine dalla relazione
s2n+1 = s2n + a2n+2
(3.14)
ricordato che lim an = 0 si trae
n→∞
s=s
Quindi la successione delle ridotte parziali converge a s = s = s provando il Teorema.
Esempio 3.4.1. Dal Teorema 3.4.1 segue che la serie armonica a termini alterni
∞
X
(−1)n−1
n=1
1
n
(3.15)
è convergente.
Definizione 3.4.2. Diremo che la serie
∞
X
n=1
∞
X
n=1
|an |
an converge assolutamente se è convergente la serie a termini positivi
96
3. Serie
Per dimostrare il prossimo Teorema 3.4.2 ci occorre una nozione preliminare.
−
Definizione 3.4.3. Se (an ) è una sucessione le successioni di termine generale a+
n = max{an , 0} e an =
max{−an , 0} sono dette parte positiva e parte negativa di (an )
Osservazione 3.4.1.
−
an = a+
n − an ,
Inoltre
a+
n
=
∞
X
Teorema 3.4.2. Se la serie
(
se an ≥ 0
se an < 0
an
0
−
|an | = a+
n + an
a−
n
e
=
(
se an ≥ 0
se an < 0
0
−an
an converge assolutamente allora la serie
n=1
∞
X
an è convergente.
n=1
Dimostrazione. Ricordando la definizione 3.4.3 e l’osservazione 3.4.1 abbiamo per ogni n ∈ N
−
an = a+
n − an
Inoltre è anche
Stante che per ipotesi
∞
X
n=1
a+
n ≤ |an |,
a−
n ≤ |an |
(3.16)
|an | è convergente da (3.16) deduciamo che le due serie
esse convergenti. In conclusione anche la serie
∞
X
an =
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
a+
n,
∞
X
a−
n sono anche
n=1
∞
∞
X
X
−
a+
a+
a−
n − an =
n −
n
n=1
n=1
è convergente.
Osservazione 3.4.2. La tesi del Teorema 3.4.2 non può essere invertita: Ad esempio abbiamo visto che la serie
armonica a termini alterni converge, mentre la serie armonica diverge.
Concludiamo dando la definizione del prodotto secondo Cauchy di due serie.
Teorema 3.4.3. Siano
∞
X
an ,
n=0
due serie assegnate è la serie
∞
X
bn due serie assolutamente convergenti. Il prodotto secondo Cauchy delle
n=0
∞
X
cn in cui
n=0
cn = a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an b0 =
Allora la serie
∞
X
n
X
ak bn−k
(3.17)
k=0
cn è assolutamente convergente e si ha
n=0
∞
X
cn =
n=0
Dimostrazione. Rinviamo a [Loy06] pagina 316.
∞
X
n=0
an
!
∞
X
n=0
bn
!
(3.18)
3.5. La funzione esponenziale
3.5
97
La funzione esponenziale
In 2.7.1 abbiamo definito la funzione esponenziale come
ex := lim
n→∞
1+
x n
n
(2.7.1)
In questo paragrafo facciamo vedere che la funzione esponenziale può essere espressa attraverso la somma di
una serie. Questo ci permetterà di verificare che la funzione x 7→ ex verifica la proprietà fondamentale
ex+y = ex ey
(3.19)
Inoltre proveremo (Eulero) che il numero e è irrazionale.
Iniziamo studiando il comportamento di quella che si rivelerà essere la serie esponenziale.
Lemma 3.5.1. La serie
∞
X
xn
n!
n=0
converge per ogni valore reale di x
(E)
Dimostrazione. Infatti, considerata la serie dei valori assoluti abbiamo, applicando il criterio del rapporto
|x|n+1
|x|
(n + 1)!
lim
= lim
=0
n→∞
n→∞ n + 1
|x|n
n!
La serie (E) è dunque assolutamente convergente per ogni valore di x ∈ R
Cominciamo con il caso di x > 0.
Teorema 3.5.1. Sia x > 0. Se ex è definito da (2.7.1) allora
∞
X
xn
= ex
n!
n=0
(3.20)
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che, se x > 0 vale
∞
X
xn
x n
= lim 1 +
n→∞
n!
n
n=0
La (n + 1)-esima somma parziale della serie (E) è
sn+1 = 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
2!
n!
Per il Teorema del binomio 1.8.1 abbiamo
n x n X n x k
1+
=
n
k
n
k=0
(3.21)
98
3. Serie
Il termine di indice k della somma a secondo membro di (3.21) è
n
x k
n(n − 1) . . . (n − k + 1) x k
=
k
n
k!
n
k
x
1
2
k−1
=
1−
1−
... 1 −
k!
n
n
n
≤
xk
k!
in quanto ognuno dei fattori fra parentesi quadra è minore di 1. Dunque abbiamo dimostrato che
1+
x n
x2
xn
≤1+x+
+ ··· +
= sn+1
n
2!
n!
Possiamo allora applicare il Teorema 2.5.3 pagina 55 e dedurre che
x n
≤ lim sn+1
lim 1 +
n→∞
n→∞
n
Dunque abbiamo provato che
ex ≤
∞
X
xn
n!
n=0
(3.22)
Per terminare la dimostrazione dobbiamo far vedere la disuguaglianza opposta a (3.22). Prendiamo due naturali
m ed n con m ≤ n. Per il Teorema del binomio 1.8.1 abbiamo
n x n X n x k
1+
=
n
k
n
k=0
m
X n x k
≥
n
k
k=0
2
x
1
xm
1
2
m−1
=1+x+
1−
+ ··· +
1−
1−
... 1 −
2!
n
m!
n
n
n
Tenendo fisso m e passando al limite per n → ∞ ancora per Teorema 2.5.3 abbiamo
lim
n→∞
cioè
1+
xm
x n
x2
+ ··· +
≥1+x+
n
2!
m!
ex ≥ sm+1
Ma ora mandiamo m → ∞ in modo che, ancora per Teorema 2.5.3
ex ≥
∞
X
xn
n!
n=0
(3.23)
La tesi (3.20) segue confrontando le disuguaglianze (3.22) e (3.23).
Corollario 3.5.1.1.
e=
∞
X
1
n!
n=0
(3.24)
3.5. La funzione esponenziale
99
Dalla relazione (3.24) segue il seguente importante Teorema risalente a Eulero.
Teorema 3.5.2. [Eulero] Il numero e è irrazionale.
Dimostrazione. Indichiamo con (sn−1 ) la ridotta di ordine n della serie (3.24):
sn =
n−1
X
k=0
1
k!
e calcoliamo la differenza e − sn usando ancora (3.24).
∞
X
1
1
1
1
=
+
+
+ ···+
k!
n! (n + 1)! (n + 2)!
k=n
1
1
1
=
1+
+
+ ···
n!
(n + 1) (n + 1)(n + 2)
1
1
1
<
1 + + 2 + ···
n!
n n
e − sn =
L’ultima espressione fra parentesi quadre è una serie geometrica di primo termine 1 e ragione
sommando tea serie si ottiene la maggiorazione, valida per ogni n ≥ 2
e − sn <
1
n
1
1
×
=
×
n! n − 1
(n − 1)! n − 1
1
n
dunque
(3.25)
A questo punto siamo nella posizione di dimostrare il Teorema. Supponiamo per assurdo che e sia razionale e
che quindi sia esprimibile mediante la frazione
m
(3.26)
e=
n
in cui m ed n sono interi positivi. Dalla relazione (3.25) si trova
0 < e − sn+1 <
1
1
×
n! n
e cosı̀ moltiplicando per quest’ultima per n! otteniamo:
0 < n!(e − sn+1 ) <
1
n
(3.27)
Ora, se in (3.27) sostituiamo (3.26) otteniamo
0 < n!
m
1
1
1
1
− 1 + 1 + + + ··· +
<
n
2! 3!
n!
n
La (3.28) è contraddittoria in quanto
n!
m
1
1
1
− 1 + 1 + + + ··· +
n
2! 3!
n!
è un intero e non può essere compreso fra 0 e 1. Dunque e ∈
/ Q ed il Teorema è provato.
(3.28)
100
3. Serie
Completiamo il lavoro iniziato con il Teorema 3.5.1 dimostrando che la serie
∞
X
xn
n!
n=0
definisce la funzione esponenziale anche per x < 0. Cominciamo dall’importante Lemma che sfrutta la definizione
di prodotto di due serie secondo Cauchy 3.4.3.
Lemma 3.5.2. Per ogni x ∈ R vale
∞
∞
X
xn X (−x)n
×
=1
n!
n!
0
n=0
Dimostrazione. La serie prodotto
∞
∞
∞
X
X
xn X (−x)n
×
=
cn
n! n=0 n!
n=0
n=0
è definita dalla (3.17). Se n ≥ 1, ricordato il Teorema del binomio 1.8.1:
n
(−x)n−k
1 X
n!
=
xk (−x)n−k
k!
(n − k)!
n!
k!(n − k)!
k=0
k=0
n 1 X n k
1
n
[x + (−x)] = 0
=
x (−x)n−k =
n!
n!
k
cn =
n
X
xk
×
k=0
Per n = 0 è c0 = 1 × 1 = 1 il che prova quanto asserito.
Passiamo ora all’estensione della funzione esponenziale ai reali negativi.
Teorema 3.5.3. Se x < 0, allora
∞
X
xn
= ex
n!
n=0
Dimostrazione. Sia x < 0. Dal Lemma 3.5.2 e dal Teorema 3.5.1 abbiamo
∞
X
1
1
xn
1
n = −x = ex
=
= ∞
X (−x)n
n!
e
−x
n=0
lim 1 +
n→∞
n
n!
n=0
L’ultimo passaggio è lecito grazie a Teorema 2.7.5 pagina 63.
In conclusione combinando i risultati del Teorema 3.5.1 e del Teorema 3.5.3, abbiamo la definizione della
funzione esponenziale su tutta la retta reale.
Definizione 3.5.1. Per ogni x ∈ R si ha
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
La funzione introdotta in 3.5.1 gode effettivamente della proprietà fondamentale delle potenze, infatti
abbiamo l’importantissimo Teorema.
Teorema 3.5.4. Per ogni x, y ∈ R
ex ey = ex+y
(3.29)
3.6. Esercizi
101
Dimostrazione. Ci serviremo ancora del prodotto di due serie definito in (3.17). Si ha
ex × ey =
∞
∞
∞
X
X
xn X y n
×
=
cn
n! n=0 n!
n=0
n=0
dove, se n = 0 si ha c0 = 1 × 1 = 1 e se n ≥ 1 si ha
n
X
xk
n
X xk y n−k
y n−k
=
k!
(n − k)!
k!(n − k)!
k=0
k=0
n
n 1 X
n!
1 X n k n−k
(x + y)n
k n−k
=
x y
=
x y
=
n!
k!(n − k)!
n!
k
n!
cn =
×
k=0
k=0
Il che mostra quanto asserito.
3.6
3.6.1
Esercizi
Esercizi svolti
1. Dimostrare che la serie
∞
X
n(n − 1)
è divergente
(n
+
1)(n
+ 2)(n + 3)
n=1
∞
X
n + sin n
è convergente
1 + n3
n=1
√
∞ √
X
1
n+1− n
3. Dimostrare che la serie
converge per a >
a
n
2
n=1
n
∞
X
3
4. Dimostrare che la serie
converge
n!
n=1
2. Dimostrare che la serie
5. Studiare la serie
6. Dimostrare che
n2
∞
X
1 n+1
5n
n
n=1
∞
X
1
5
=
(n
+
1)(n
+
3)
12
n=1
Soluzione
1. Posto xn =
n(n − 1)
1
, yn = , basta osservare che:
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
n
xn
lim
=1
n→∞ yn
2. La serie assegnata è a termini positivi in quanto n + sin n > 0 per ogni n ∈ N. Poi, osservato che sussiste
l’ovvia maggiorazione n + sin n ≤ n + 1 la tesi scende dal teorema del confronto osservato che la serie
maggiorante
∞
∞
X
X
n+1
1
=
3+1
2−n+1
n
n
n=1
n=1
converge.
102
3. Serie
3. Ricordato, mediante il prodotto notevole a2 − b2 = (a − b)(a + b), che
√
n+1−
√
n= √
1
√ sin
n+1+ n
tratta di capire per quali valori del parametro reale a converga la serie:
∞
X
n=1
Scriviamo il binomio
√
n+1+
√
√
√
na
n come:
√
n+1+
n=
√
1
√ n+1+ n
n 1+
essendo
r
n+1
n
!
= bn
√
n
r
n+1
n
una successione limitata tale che 1 ≤ bn ≤ 2. Ne viene che il termine generale della serie che stiamo
studiando si scrive come:
1
bn = 1 +
1
na+ 2 bn
Ai fini del comportamento asintotico la successione bn è ininfluente, in quanto limitata e positiva, quindi
la serie si comporta come la serie armonica generalizzata di ordine a + 1/2 e, dunque, si avrà convergenza
per i valori di a per cui:
1
a+ >1
2
4. Conviene usare il criterio del rapporto, dopo aver osservato che il termine generale della serie, si riduce a:
n
n!
1
3
3!(n − 3)!
an =
=
=
.
n!
n!
6(n − 3)!
Pertanto
an+1
(n − 3)!
1
=
=
an
(n − 2)!
n−2
e allora essendo
an+1
1
= lim
=0
n→∞ n − 2
an
abbiamo mostrato che la serie assegnata converge.
lim
n→∞
5. Usiamo il criterio della radice. Abbiamo
s
n2
n
√
1 n+1
1 n+1
n
n
an =
=
5n
n
5
n
ma
lim
n→∞
quindi
n+1
n
n
lim
n→∞
quindi la serie assegnata converge.
= lim
√
n
n→∞
an =
1+
e
<1
5
1
n
n
=e
3.6. Esercizi
103
6. Occorre una formula simile a quella trovata studiando la serie di Mengoli. Dico che:
n
X
k=1
1
5n2 + 13n
=
(k + 1)(k + 3)
12 (n2 + 5n + 6)
Lasciando al lettore la prova induttiva, la conclusione diventa a questo punto elementare.
3.6.2
Esercizi proposti
n
∞ X
1
cos2 n + cos n + 7
è convergente
1. Dimostrare che la serie
1+
n
3n+2
n=1
2
2. Dimostrare che la serie
∞ p
p
X
n2 + 1 − n2 − 1 diverge positivamente
n=1
3. Studiare la convergenza delle seguenti serie a termini positivi:
(a)
∞
X
n + 2n
n!
n=1
∞
X
n(n − 1)
(n
+
1)(n
+ 2)(n + 3)
n=1
n2
∞ X
1
sin2 n + sin n + 7
1+
(c)
n
3n+2
n=1
(b)
4. Dimostrare che
∞
X
r
1 n
x
n
n=1
∞
X
1
1
1
(e)
n ln 1 +
sin
1 − cos
n
n
n
n=1
(d)
(f)
1 − cos
∞
X
(2n)!!
(2n
+ 1)!
n=1
∞
X
1
13
=
sfruttando la formula, che va dimostrata per induzione:
(n
+
1)(n
+
4)
36
n=1
n
X
k=1
1
13n3 + 81n2 + 122n
=
(k + 1)(k + 4)
36 (n3 + 9n2 + 26n + 24)
104
3. Serie
CAPITOLO 4
LIMITI E CONTINUITÀ
4.1
Funzioni reali di una variabile reale
Definizione 4.1.1. Con il termine funzione reale di una variabile f : D → T intendiamo che siano assegnate:
• un sottoinsieme di D di R il dominio della funzione f .
• una variabile indipendente che solitamente denoteremo con la lettera x.
• un sottoinsieme T di R di outputs della funzione, chiamato codominio (target set) della funzione.
• una formula, che associa ad ogni input del dominio un unico output. Questa formula sarà denotata con
x 7→ f (x) o più semplicemente f (x).
Definizione 4.1.2. L’immagine im(f ) di f : D → T è il sottoinsieme del codominio T definito da
im(f ) = {f (x) : x ∈ D}
Il grafico della funzione f : D → T è il sottoinsieme di D × T
gr(f ) = {(x, y) ∈ D × T : y = f (x), x ∈ D}.
È importante saper distinguere, anche a seconda del contesto fra il valore f (x) di una funzione nel punto
x ∈ D e la funzione pensata nel suo complesso secondo la definizione 4.1.1. Ad esempio useremo espressioni
quali: consideriamo la funzione definita da
f (x) = x4 + x2
(x ∈ R)
Se poi il contesto lo consente eviteremo riferimenti al dominio. In molte situazioni la formula che definisce una
funzione comporta automatiche restrizioni di dominio. √
Ad esempio se consideriamo la formula x 7→ f (x) = 4 1 − x4 il più grande insieme in cui la formula scritta
produce un output reale è D = [−1, 1]. In questo caso abbiamo che l’immagine è f (D) = [0, 1] ed il grafico gr(f )
è rappresentato in Figura 4.1.
Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto alcune funzioni che continueremo ad usare nel seguito. Ad
esempio la funzione valore assoluto x 7→ |x|, vedi definizione 1.5.1 pagina 17.
106
4. Limiti e continuità
f HxL
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.0
-0.5
0.5
Figura 4.1: x 7→ f (x) =
√
4
1.0
x
1 − x4
La parte intera di x 7→ bxc introdotta nel Corollario 1.6.1.2 di pagina 18. da notare che i punti anneriti in
Figura 4.3 vogliono indicare il fatto che per ogni n ∈ Z è bnc = n
Associata alla parte intera di x è la parte frazionaria {x} = x − bxc Figura 4.4 che è il primo esempio di
funzione periodica che incontriamo in questo corso. Infatti tale funzione è tale per cui, per ogni x ∈ R riesce:
f (x + 1) = f (x)
Il periodo fondamentale della funzione è il minimo reale positivo ω per cui riesca f (x + ω) = f (x). Nel caso di
f (x) = {x} abbiamo che ω = 1.
Definizione 4.1.3. Una funzione f : I → R definita sull’intervallo I si dice
(i) crescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) ≤ f (y)
(ii) strettamente crescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) < f (y)
(iii) decrescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) ≥ f (y)
(iv) strettamente decrescente, se x, y ∈ I, x < y =⇒ f (x) > f (y)
Osservazione 4.1.1. Se la funzione f è (strettamente) crescente, la sua opposta −f è (strettamente) decrescente, e viceversa.
Osservazione 4.1.2. Una funzione f è (strettamente) crescente se per ogni y < x per cui risulti definito il
quoziente
f (x) − f (y)
f (x) − f (y)
≥0
(
> 0).
x−y
x−y
Analogamente, una funzione g è (strettamente) decrescente se per ogni y < x per cui essa è definita
g(x) − g(y)
≤0
x−y
Dimostrazione. Per esercizio.
(
g(x) − g(y)
< 0).
x−y
4.1. Funzioni reali di una variabile reale
107
f HxL
x
Figura 4.2: x 7→ f (x) = |x|
f HxL
4
3
2
1
-2
-1
1
2
3
4
5
x
Figura 4.3: x 7→ f (x) = bxc
Esempio 4.1.1. Se n ∈ N la funzione monomia
fn (x) = xn
definita per x ≥ 0
è strettamente crescente.
Dimostrazione. Ricordiamo l’identità
xn − y n = (x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 )
Ora se x > y ≥ 0 per l’osservazione 4.1.2 abbiamo
f (x) − f (y)
xn − y n
=
x−y
x−y
(x − y)(xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 )
=
x−y
= xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 > 0.
108
4. Limiti e continuità
f HxL
1
-2
-1
1
2
x
Figura 4.4: x 7→ f (x) = {x}
Definizione 4.1.4. Una funzione f : R → R si dice
(i) pari se per ogni x ∈ R si ha f (−x) = f (x)
(ii) dispari se per ogni x ∈ R si ha f (−x) = −f (x)
Teorema 4.1.1. Ogni funzione f : D → R con D ⊂ R tale per cui x ∈ D implica −x ∈ D può essere espressa
come la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.
Dimostrazione. Poniamo:
p(x) =
f (x) − f (−x)
f (x) + f (−x)
, d(x) =
.
2
2
Evidentemente:
f (x) = p(x) + d(x),
cosı̀ come è evidente che p(x) è una funzione pari e d(x) è una funzione dispari, infatti:
f (−x) + f (−(−x))
f (−x) + f (x)
=
= p(x),
2
2
f (−x) − f (−(−x))
f (−x) − f (x)
d(−x) =
=
= −d(x).
2
2
p(−x) =
Esempio 4.1.2. Ad esempio se f (x) = x2 + x allora p(x) = x2 e d(x) = x. Naturalmente in molte situazioni
la decomposizione è meno ovvia, ad esempio se:
f (x) =
x
x2 + x + 1
allora
p(x) = −
x2
x + x3
, d(x) =
.
2
4
1+x +x
1 + x2 + x4
4.2. Algebra delle funzioni
4.2
109
Algebra delle funzioni
Siano f1 , f2 due funzioni reali di una variabile reale. Diremo che f1 = f2 se dom(f1 ) = dom(f2 ) e f1 (x) = f2 (x)
per ogni x nel dominio comune delle due funzioni.
Definizione 4.2.1. Siano assegnate due funzioni di una variabile reale f1 , f2 .
(i) la somma di f1 , e , f2 è la funzione, definita su dom(f1 + f2 ) = dom(f1 ) ∩ dom(f2 ) da
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x),
x ∈ dom(f1 + f2 )
(ii) il prodotto di f1 , e , f2 è la funzione, definita su dom(f1 · f2 ) = dom(f1 ) ∩ dom(f2 ) da
(f1 · f2 )(x) = f1 (x)f2 (x),
x ∈ dom(f1 · f2 )
(iii) il reciproco di f2 è la funzione definita su dom(1/f2 ) = {x ∈ dom(f2 ) : f2 (x) 6= 0} da
1
1
(x) =
x ∈ dom(1/f2 )
f2
f2 (x)
La definizione 4.2.1 ricomprende il caso particolare in cui la funzione f1 sia moltiplicata per la funzione
costante f2 (x) = α ∈ R per ogni x ∈ R. Si ottiene in questo modo la funzione
(αf1 )(x) = αf1 (x) x ∈ dom(f1 )
Se α = −1 la funzione (−1)f viene più semplicemente indicata con −f e quindi
(−f )(x) = −f (x) x ∈ dom(f )
La funzione differenza f1 − f2 è definita da f1 + (−f2 ) e la funzione quoziente f1 /f2 è definita da f1 · (1/f2 ).
Le due funzioni base sono le funzioni costanti, che denoteremo con cα e la funzione identità che denoteremo
con id, entrambe di dominio R, che sono definite come segue:
cα (x) = α,
id(x) = x
x∈R
(4.1)
Definizione 4.2.2. Diremo funzione polinomiale una funzione ottenuta a partire dalla funzioni cα e id attraverso
un numero finito di addizioni e moltiplicazioni, definite in 4.2.1.
Ad esempio la funzione
p(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1
può essere rappresentata come
p = c4 · id · id · id + c3 · id · id + c2 · id + c1
Definizione 4.2.3. Diremo funzione razionale ogni funzione ottenuta dal quoziente di due funzioni polinomiali.
Ad esempio
r(x) =
x
x2 − 1
è una funzione razionale, dom(r) =] − ∞, −1[∪] − 1, 1[∪]1, +∞[
110
4. Limiti e continuità
4.3
Limiti
Iniziamo il percorso che ci porta ad adattare la definizione di limite per successioni al caso delle funzioni reali
di una variabile reale.
Definizione 4.3.1. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti
i punti di I eccettuato al più x0 . Diremo che f tende ad ` ∈ R per x tendente a x0 se e solo se per ogni ε > 0
esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x − x0 | < δ riesce |f (x) − `| < ε.
In tale situazione scriviamo ` = lim f (x) e diciamo che ` è il limite per x tendente a x0 di f.
x→x0
Teorema 4.3.1 (Unicità del limite). Se esiste ` = lim f (x) tale valore è unico.
x→x0
Dimostrazione. Se per assurdo esistesse `0 6= ` tale che lim f (x) = `0 si avrebbe, preso
x→x0
2ε = |` − `0 |
che esiste δ > 0 tale che per 0 < |x − x0 | < δ riesce |f (x) − `| < ε e |f (x) − `0 | < ε. Di conseguenza
2ε = |` − `0 | = |` − f (x) + f (x)`0 | < 2ε
che è assurdo.
Il numero δ nella definizione 4.3.1 dipende in generale da ε, x0 , f, I
Esempio 4.3.1. Sia f (x) = ax + b funzione polinomiale di primo grado, a, b ∈ R, a 6= 0. Allora per ogni x0 ∈ R
si ha che
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Dimostrazione. Si ha
|f (x) − f (x0 )| = |a(x − x0 )| = |a| |x − x0 | < ε =⇒ |x − x0 | <
ε
|a|
La definizione 4.3.1 è soddisfatta, fissato ε, prendendo
δ=
ε
|a|
Osservazione 4.3.1. È importante sottolineare due aspetti della definizione 4.3.1
(i) Per il fatto che f è definita sull’intervallo aperto I =]a, b[⊃ {x0 } se si prende δ0 = min{x0 − a, b − x0 } la
condizione |x − x0 | < δ0 implica x ∈ I. Dunque l’ipotesi che f sia definita in un qualche intervallo contente
x0 è fatta perché f sia definita per tutte le x per cui |x − x0 | < δ se δ è sufficientemente piccolo.
(ii) La condizione 0 < |x − x0 | è equivalente a x 6= x0 . Dunque non è necessario che la funzione f sia definita
in x0 per definire il limite per x → x0
Per illustrare concretamente il punto (ii) dell’osservazione 4.3.1 facciamo un esempio
x2 + 2x − 3
=4
x→1
x−1
Esempio 4.3.2. Dimostriamo che lim
4.3. Limiti
111
Dimostrazione. In questo caso x0 = 1 ∈
/ dom(f ). Si ha
2
x + 2x − 3
< ε ⇐⇒ |x − 1| < ε
−
4
x−1
La definizione 4.3.1 è soddisfatta prendendo δ = ε.
La teoria svolta per le successioni si estende a quelle delle funzioni senza particolari difficoltà. si ha infatti
l’importante risultato, cui nel seguito ci riferiremo come caratterizzazione sequenziale del limite.
Teorema 4.3.2. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti i
punti di I eccettuato al più x0 . Allora lim f (x) = ` esiste se e solo se per ogni successione (xn ) ∈ I \ {x0 }
x→x0
convergente a x0 si ha lim f (xn ) = `
n→∞
Dimostrazione. Supponiamo che sia lim f (x) = ` secondo la definizione 4.3.1. Sia ora (xn ) una successione
x→x0
tale che xn ∈ I \ {x0 } per ogni n ∈ N che converge a x0 . Per la definizione 2.2.1 di limite di successioni, pagina
44 abbiamo che esiste nδ ∈ N tale che se n ∈ N, n > nd si ha |xn − x0 | < δ. Ma allora per la definizione di limite
4.3.1 abbiamo che se n ∈ N, n > nd
|f (xn ) − `| < ε
il che mostra che la successione (f (xn )) converge a ` secondo la definizione 2.2.1.
Viceversa, supponiamo che f (xn ) → ` per n → ∞ per ogni successione xn ∈ I \ {x0 } che converge
a x0 . Se f per assurdo non convergesse a ` per x → x0 allora esisterebbe ε0 > 0 tale che l’implicazione
“0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − `| < ε0 ” non è verificata per alcun δ > 0. Cosı̀, per ogni δ = 1/n, n ∈ N esiste
un punto xn ∈ I che soddisfa due condizioni:
0 < |xn − `| <
1
n
e
|f (xn ) − `| ≥ ε0
(∗)
Ora la prima condizione (∗) assieme al Teorema del confronto 2.5.1, pagina 52 implicano che xn 6= x0 e xn → x0 ,
cosı̀ per ipotesi, f (xn ) → ` per n → ∞. In particolare |f (xn ) − `| < ε0 per n grande, il che contraddice la
seconda condizione (∗).
La definizione di limite si adatta alle operazioni algebriche sulle funzioni introdotte nel paragrafo precedente e grazie al Teorema 4.3.2 le dimostrazioni seguono immediatamente dagli analoghi teoremi provati per le
successioni e per quesito motivo tralasciamo le rispettive dimostrazioni.
Teorema 4.3.3. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e siano f1 , f2 funzioni definite in tutti i
punti di I eccettuato al più x0 . Se lim f1 (x) = `1 , lim f1 (x) = `2 allora
x→x0
(i) lim (f1 + f2 )(x) = `1 + `2
x→x0
(ii) lim (f1 · f2 )(x) = `1 · `2
x→x0
`1
f1
(x) =
se `2 6= 0
(iii) lim
x→x0
f2
`2
x→x0
(iv) lim f (x) = `1 =⇒ lim |f (x)| = |`1 |
x→x0
x→x0
(v) lim f (x) = 0 ⇐⇒ lim |f (x)| = 0
x→x0
(vi) lim αf (x) = α`1 ,
x→x0
x→x0
α∈R
Teorema 4.3.4 (della permanenza del segno). Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 . Se
lim f (x) = ` > 0 allora esiste un intervallo J centrato in x0 tale che per ogni x ∈ J \ {x0 } si ha f (x) > 0
x→x0
112
4. Limiti e continuità
Teorema 4.3.5 (del confronto). Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 . Siano f, g, h tre funzioni
definite su I \{x0 } tali per cui per ogni x ∈ I \{x0 } si ha f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Allora se lim f (x) = lim h(x) = `
x→x0
x→x0
allora lim g(x) = `
x→x0
Teorema 4.3.6. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 . Siano f, g, due funzioni definite su
I \ {x0 } tali per cui per ogni x ∈ I \ {x0 } si ha f (x) ≤ g(x). Allora se lim f (x) = ` e lim g(x) = m si ha che
x→x0
`≤m
4.4
x→x0
Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito
La definizione di limite 4.3.1 non√è sempre applicabile a casi che sono comunque interessanti. Se ad esempio
consideriamo la funzione f (x) = x la definizione 4.3.1 non ci permette di trattare il caso x0 = 0 che pure fa
perte del dominio della funzione. Dunque dobbiamo adattare la definizione di limite ai casi detti monodirezionali.
Definizione 4.4.1. Una funzione di una variabile reale definita in un intervallo aperto avente come estremo
sinistro x0 ha limite destro per x decrescente verso x0 se per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che
x0 < x < x0 + δ =⇒ |f (x) − `| < ε.
In tale caso scriveremo
f (x0 +) = lim f (x) = lim f (x) = `
x→x+
0
x&x0
Definizione 4.4.2. Una funzione di una variabile reale definita in un intervallo aperto avente come estremo
destro x0 ha limite sinistro per x crescente verso x0 se per ogni ε > 0, esiste δ > 0 tale che
x0 − δ < x < x0 =⇒ |f (x) − `| < ε.
In tale caso scriveremo
f (x0 −) = lim− f (x) = lim f (x) = `
x%x0
x→x0
Evidentemente se una funzione ammette limiti destro e sinistro in x0 e questi sono uguali ammette anche
limite per x → x0 secondo la definizione 4.3.1. Lasciamo per esercizio enunciato e dimostrazione di questo
risultato elementare. Per completare il quadro diamo la definizione di funzioni divergenti a destra e a sinistra.
Definizione 4.4.3. Diremo che lim f (x) = +∞ o lim f (x) = +∞ se per ogni M > 0, esiste δ > 0 tale che
x→x+
0
x&x0
x ∈]x0 , x0 + δ[ =⇒ f (x) > M.
Diremo che lim f (x) = +∞ o lim f (x) = +∞ se per ogni M > 0, esiste δ > 0 tale che
x→x−
0
x%x0
x ∈]x0 − δ, x0 [ =⇒ f (x) > M.
Diremo che lim+ f (x) = −∞ o lim f (x) = −∞ se per ogni M < 0 esiste δ > 0 tale che
x→x0
x&x0
x ∈]x0 , x0 + δ[ =⇒ f (x) < M.
Scriviamo lim− f (x) = −∞ o lim f (x) = −∞ se per ogni M < 0 esiste δ > 0 tale che
x→x0
x%x0
x ∈]x0 − δ, x0 [ =⇒ f (x) < M.
4.4. Limiti destri e sinistri. Limiti all’infinito
113
Diamo la definizione di limite per x → ∞ che richiama quella di successione convergente.
Definizione 4.4.4. Sia f : [a, +∞[→ R. Diremo che f tende ad ` ∈ R per x → ∞ se per ogni ε > 0 esiste
M ∈ [a, +∞[ tale che x > M =⇒ |f (x) − `| < ε. In tale caso scriveremo lim f (x) = `.
x→∞
La definizione di limite per x → −∞ è analoga.
Definizione 4.4.5. Sia f :]∞, a] → R. Diremo che f tende ad ` ∈ R per x → −∞ se per ogni ε > 0 esiste
M ∈] − ∞, a] tale che x < M =⇒ |f (x) − `| < ε. In tale caso scriveremo lim f (x) = `.
x→−∞
Abbiamo poi la definizione di funzioni divergenti positivamente e negativamente per x → x0
Definizione 4.4.6. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti i
punti di I eccettuato al più x0 . Diremo che f tende a +∞ per x tendente a x0 se e solo se per ogni K > 0 esiste
δ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x − x0 | < δ riesce f (x) > K. In tale caso scriveremo lim f (x) = +∞.
x→x0
Definizione 4.4.7. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e sia f una funzione definita in tutti
i punti di I eccettuato al più x0 . Diremo che f tende a −∞ per x tendente a x0 se e solo se per ogni K > 0
esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I tale che 0 < |x − x0 | < δ riesce f (x) < −K. In tale caso scriveremo
lim f (x) = −∞.
x→x0
ex
= +∞
n→∞ xn
Esempio 4.4.1. Per ogni n ∈ N si ha che lim
Dimostrazione. Infatti per lo sviluppo in serie dell’esponenziale
ex = 1 + x +
xn
xn+1
x2
+ ··· +
+
+ ···
2!
n!
(n + 1)!
quando x ≥ 0 tutti i termini della serie sono non negativi, quindi per ogni n ≥ 0
ex ≥
xn+1
(n + 1)!
Quest’ultima, per x > 0 è equivalente a
ex
x
≥
xn
(n + 1)!
D’altra parte
lim
x→∞
x
= +∞
(n + 1)!
e quindi per la disuguaglianza (D)
lim
n→∞
ex
= +∞
xn
(D)
114
4. Limiti e continuità
4.5
Funzioni continue
Per poter comprendere al meglio il senso del concetto di funzione continua, facciamo alcune premesse di natura
topologica.
Definizione 4.5.1. Un intorno completo di un punto x0 è un intervallo aperto contenente x0
D
@
x0
a
b
Figura 4.5: x0 ∈]a, b[
Definizione 4.5.2. Siano x0 ∈ R e A ⊆ R
(i) Si dice che il numero reale x0 è un punto aderente di A, sottoinsieme non vuoto di R, se ogni intorno
completo I(x0 ) di x0 ha punti comuni con A.
(ii) x0 ∈ A si dice punto isolato di A se esiste un intorno completo I(x0 ) di x0 tale che I(x0 ) ∩ A = ∅
Osservazione 4.5.1. Ogni punto isolato x0 in un insieme A è anche aderente.
Definizione 4.5.3. Si dice che il numero reale x0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme non vuoto
di R se ogni intorno completo I(x0 ) di x0 ha punti comuni con A \ {x0 }.
In simboli x0 è di accumulazione per A se
(A \ {x0 }) ∩ I(x0 ) 6= ∅
Definizione 4.5.4. Siano A ⊂ R, A 6= ∅; f : A → R e x0 ∈ A. Diremo che la funzione f è continua in x0
punto aderente di A, se:
a) x0 è un punto isolato di A;
b) se x0 non è isolato, se:
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
In pratica la continuità di una funzione significa che questa è permeabile all’operazione di limite
lim f (xn ) = f ( lim xn )
n→∞
n→∞
per ogni successione xn → x0
In sostanza i casi concreti in cui ci interesseremo allo studio della continuità sonno quelli di funzioni reali
definite su intervalli, cioè f : I → R con I intervallo. In questa situazione la nozione di continuità data in 4.5.4
può essere cosı̀ riformulata.
Definizione 4.5.5. Sia f : I → R una funzione reale di una variabile reale definita sull’intervallo I ⊆ R. Diremo
che f è continua nel punto x0 ∈ I se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x ∈ I per cui |x − x0 | < δ
riesce
|f (x) − f (x0 )| < ε
In altri termini f è continua in x0 ∈ I se lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
4.6. Continuità delle funzioni elementari
115
Osservazione 4.5.2. La definizione di continuità ha natura locale, essendo essa relativa ad un singolo punto
x0 . Quando questa proprietà è posseduta da tutti in punti x0 ∈ A, essendo A il dominio di definizione della
funzione, si parla di continuità globale o di continuità in A.
Le due funzioni base, le funzioni costanti cα (x) = α, α ∈ R e la funzione identità id(x) = x sono
evidentemente continue in ogni punto x0 ∈ R.
Il fatto che il concetto di continuità sia espresso attraverso quello di limite permette di estendere alle funzioni
continue i risultati del paragrafo 4.3. Dunque nel caso continuo valgono il Teorema della permanenza del segno
4.3.4 ed il Teorema del confronto 4.3.5. Anche il Teorema 4.3.3 ha una versione per il caso di funzioni continue.
Teorema 4.5.1. Sia x0 ∈ e sia I un intervallo aperto che contiene x0 e siano f1 , f2 funzioni continue in x0 .
Allora
(i) (f1 + f2 ) è continua in x0
(iii)
(ii) (f1 · f2 ) è continua in x0
f1
f2
è continua in x0 se f2 (x0 ) 6= 0
Eseguendo la composizione di due funzioni continue si ottiene una funzione continua. Infatti abbiamo il
Teorema di continuità della funzione composta.
Teorema 4.5.2. Siano f : I1 → R, g : I2 → R due funzioni tali per cui per ogni x ∈ I1 si ha f (x) ∈ I2 in modo
che abbia senso la composizione di funzioni g(f (x)). Allora se f (x) è continua in x0 ∈ I1 e g(y) è continua in
y0 = f (x0 ) la funzione composta g(f (x)) è continua in x0 .
Dimostrazione. L’ipotesi assicura che, fissato ε > 0, esiste δ > 0 tale che |y − y0 | < δ implica |g(y) − g(y0 )| < ε.
D’altra parte anche f (x) è continua in x0 e questo implica che esiste η > 0 tale che se |x − x0 | < η allora
|f (x) − f (x0 )| < δ. La tesi è a questo punto dimostrata, essendo |g(f (x)) − g(f (x0 ))| < ε quando si prende
|x − x0 | < η.
Diamo la definizione di continuità monodirezionale.
Definizione 4.5.6. La funzione f : [a, b] → R si dice continua a destra in a, se
f (a) = f (a+).
Si dice continua a sinistra in b, se
f (b) = f (b−).
Diremo che la funzione f è continua nell’intervallo chiuso [a, b] se essa è continua ovunque in ]a, b[, continua a
destra in a e continua a sinistra in b.
4.6
Continuità delle funzioni elementari
Fino a questo punto abbiamo dipanato la teoria delle funzioni continue senza preoccuparci di sottolineare quali
delle principali funzioni siano effettivamente continue, se si eccettua il caso delle funzioni razionali, definizione
4.2.3. In questo paragrafo vedremo che le principali funzioni elementari incontrate negli studi secondari sono
anche esse continue.
116
4. Limiti e continuità
4.6.1
Funzioni goniometriche
Supponiamo che il lettore abbia contezza della definizione e delle proprietà elementari delle funzioni goniometriche. Alla fine del corso cercheremo di definire in modo rigoroso queste funzioni. Ricordiamo poi la
disuguaglianza, vedi anche (2.8) valida per ogni x ∈ R:
| sin x| ≤ |x|
(4.2)
Dimostriamo allora che le principali funzioni goniometriche sono continue.
Teorema 4.6.1. Le funzioni goniometriche
(i) s(x) = sin x
(ii) c(x) = cos x
(iii) t(x) = tan x
sono continue.
Dimostrazione. Sia x0 ∈ R e sia (xn ) una successione tale che xn → x0 . Ricordiamo la formula di prostaferesi
sin xn − sin x0 = 2 sin
xn − x0
xn + x0
cos
2
2
(4.3)
e da (4.3) deduciamo che, ricordando che | cos x| ≤ 1 per ogni x ∈ R e la disuguaglianza (4.2)
| sin xn − sin x0 | ≤ |xn − x0 |
da cui segue, passando al limite la tesi (i).
Per dimostrare la tesi (ii) ci basta ricordare che
π
cos x = sin x +
2
Per la tesi (iii) è sufficiente osservare che
tan x =
4.6.2
sin x
.
cos x
Funzione esponenziale
Anche la funzione esponenziale
ex =
∞
X
xn
n!
n=0
è una funzione continua. Per dimostrarlo ci serviremo di alcune disuguaglianze verificate da questa funzione,
che dimostriamo nel prossimo Teorema.
Teorema 4.6.2. Valgono le seguenti disuguaglianze:
(i) ex > 0 per ogni x ∈ R
(ii) ex > 1 + x per x > 0
1
per 0 ≤ x < 1
1−x
1
(iv) 1 + x ≤ ex ≤
per |x| < 1
1−x
(iii) ex ≤
4.6. Continuità delle funzioni elementari
117
Dimostrazione. Per dimostrare (i) osserviamo che se x ≥ 0 essendo positivi tutti i termini della serie esponenziale
è anche
x2
x3
ex = 1 + x +
+
+ ··· > 0
2!
3!
Per x < 0 bisogna ricordare la proprietà fondamentale dimostrata nel Teorema 2.7.5 pagina 63:
ex e−x = 1
e da qui dedurre facilmente che per se x < 0 essendo −x > 0 si ha per quanto provato precedentemente
ex =
1
e−x
> 0.
La (ii) segue immediatamente dalla definizione in termini di serie esponenziale:
ex = 1 + x +
x2
x3
+
+ ···
2!
3!
Siccome per x > 0 si ha certamente
x3
xn
x2
> 0,
> 0, . . . ,
> 0, . . .
2!
3!
n!
Segue che x > 0 =⇒ ex > 1 + x. Si noti che per x ≥ 0 abbiamo ex ≥ 1 + x.
La prova di (iii) è lievemente più articolata. Iniziamo osservando che per x ≥ 0 si ha:
x3
xn
x2
≤ x2 ,
≤ x3 , . . .
≤ xn
2!
3!
n!
dunque abbiamo che
ex ≤ 1 + x + x2 + x3 + · · · + =
∞
X
xn−1 =
n=1
1
1−x
se si prende 0 ≤ x < 1. Il che dimostra (ii).
Infine per dimostrare la (iv) ci basta a questo punto lavorare per −1 < x < 0 in quanto le affermazioni sono
già state provate per 0 ≤ x < 1. La condizione −1 < x < 0 comporta evidentemente che 0 < −x < 1 allora per
quanto abbiamo dimostrato in (ii) e in (iii) abbiamo
1 + (−x) ≤ e−x ≤
1
1 − (−x)
(4.4)
La tesi (iv) si ottiene passando ai reciproci in (4.4), ottenendo, ricordato che le disuguaglianze vanno in questo
caso scambiate
1
1 + x ≤ ex ≤
1−x
che è quanto volevasi.
È adesso possibile dimostrare la continuità della funzione esponenziale.
Teorema 4.6.3. La funzione e(x) = ex è continua
118
4. Limiti e continuità
Dimostrazione. Sia x0 ∈ R e sia (xn ) una successione tale che xn → x0 . Dobbiamo dimostrare che
exn − ex0 → 0
Ora essendo
per n → ∞
exn − ex0 = ex0 (exn −x0 − 1)
(4.5)
per il Teorema 4.6.2 parte (iv) abbiamo che
1 + (xn − x0 ) ≤ exn − ex0 ≤
1
1 − (xn − x0 )
se |xn − x0 | < 1 ma questa condizione è assicurata dal fatto che xn → x0 . Abbiamo cosı̀ dimostrato che
exn − ex0 → 1 e questo per (4.5) comporta che
lim exn = ex0
n→∞
Come volevasi.
4.7
Discontinuità
Data una funzione reale di una variabile reale definita su un intervallo I, f : I → R e se x0 ∈ I e accade che
f (x) non è continua in x0 allora deve essere:
lim f (x) 6= f (x0 )
x→x0
In questo caso diciamo che f ha una discontinuità in x0 . Tuttavia i casi in cui si presentano discontinuità possono
essere di natura molto diversa fra loro, da ciò l’esigenza di una classificazione articolata di tali comportamenti.
Definizione 4.7.1. Diremo che la discontinuità in x0 è un salto se esistono e sono finiti, ma diversi:
lim f (x) = `+
e
x→x+
0
lim f (x) = `−
x→x−
0
Le funzioni parte intera f (x) = bxc e parte frazionaria f (x) = x − bxc presentano salti in corrispondenza di
x = z ∈ Z vedi Figura 4.3 e Figura 4.4. La funzione
f (x) =
x2 + x
|x|
ha un salto in x = 0 Figura 4.6
y
x
Figura 4.6: f (x) =
x2 +x
|x|
4.7. Discontinuità
119
Definizione 4.7.2. Diremo che la discontinuità in x0 è essenziale se almeno uno dei due limiti (destro o
sinistro) in x0 non è finito o non esiste.
Ad esempio la funzione:

sin 1 ,
f (x) =
x
0
se x 6= 0
se x = 0
ha una discontinuità essenziale nell’origine Figura 4.7 Il limite per x → 0 non esiste. Infatti basta prendere le
y
x
Figura 4.7: f (x) = sin
1
x
due successioni convergenti a zero:
xn =
1
,
nπ
yn =
π
2
1
+ 2nπ
e osservare che f (xn ) = 0 per ogni n ∈ N mentre f (yn ) = 1 per ogni n ∈ N.
Definizione 4.7.3. La discontinuità in x0 si dice eliminabile se esiste finito:
lim f (x) = `
x→x0
La funzione f (x) può essere in tale caso prolungata con continuità in x0 ponendo f (x0 ) = `
Per fare un esempio torniamo alla funzione studiata nel limite calcolato in 4.3.2. Il prolungamento continuo
è
 2
 x + 2x − 3
f (x) =
x−1

4
se
x 6= 1
se
x=1
120
4. Limiti e continuità
4.8
Teoremi fondamentali sulle funzioni continue
In questo paragrafo, di importanza cruciale per l’intero corso, tratteremo le proprietà teoriche principali delle
funzioni continue.
4.8.1
Esistenza degli zeri. Valori intermedi
Definizione 4.8.1. Data la funzione f : D → R, x0 ∈ D si dice zero di f (x) se risulta f (x0 ) = 0
Ad esempio x0 = 2 e x0 = 3 sono zeri di f (x) = x2 − 5x + 6 come si può constatare risolvendo l’equazione
algebrica di secondo grado
√
5 ± 52 − 4 × 6 × 1
2
x − 5x + 6 = 0 ⇐⇒ x =
2
Consideriamo la funzione f (x) = x3 + 3x − 1. A differenza della funzione precedente non disponiamo di
strumenti algebrici per determinare gli zeri di f (x). Vediamo però che f (0) = −1 e f (1) = 3. È ragionevole
pensare che esista almeno un valore x0 ∈ ]0, 1[ per cui f (x0 ) = 0. La risposta affermativa alla questione posta è
assicurata dalla continuità della funzione polinomiale f (x) = x3 + 3x − 1. Quello che qui stabiliremo tuttavia è
un Teorema di esistenza, la ricerca effettiva, eventualmente di tipo approssimato, della soluzione del problema
dovrà essere eseguita con altre tecniche.
Enunciamo e dimostriamo il Teorema degli zeri.
Teorema 4.8.1. Sia f : I → R una funzione continua sull’intervallo I. Supponiamo esistano a, b ∈ I tale per
cui f (a)f (b) < 0. Esiste allora un elemento x0 nel sottointervallo di estremi a e b tale che f (x0 ) = 0.
Dimostrazione. La dimostrazione si basa sull’assioma di completezza, pagina 15. Non è restrittivo supporre
f (a) < 0, f (b) > 0 con a < b. In caso contrario, infatti, è sufficiente considerare la funzione −f (x). Consideriamo
l’insieme.
S = {x ∈ [a, b] : f (x) < 0} .
L’insieme S è non vuoto perché a ∈ S. Inoltre S è, per costruzione, limitato in quanto S ⊆ [a, b]. Dall’assioma
di completezza si deduce l’esistenza dell’estremo superiore di S, indichiamolo con x0 . Dico che:
f (x0 ) = 0.
Per prima cosa osserviamo che vale f (x0 ) ≤ 0. Infatti presa una successione (xn ) di punti di S che converge
a x0 la condizione xn ∈ S comporta che f (xn ) < 0 per ogni n ∈ N. Sicché passando al limite per n → ∞ per
Teorema 4.3.6 e per la continuità di f abbiamo che
f (x0 ) = lim f (xn ) ≤ 0
n→∞
Se fosse f (x0 ) < 0 ne verrebbe che x0 ∈ S e per il Teorema della permanenza del segno 4.3.4 esiste δ > 0 tale
che per ogni y ∈]x0 − δ, x0 + δ[ riesce f (y) < 0 ma questo è assurdo perché x0 = sup S.
Il Teorema degli zeri è un risultato di esistenza, non può stabilire quale sia il numero degli zeri di una funzione
continua in un dato intervallo. Le sue ipotesi non possono essere indebolite, nel senso che se si considera una
funzione non continua che assume valori di segno opposto, questa può benissimo non ammettere zeri. Si pensi
ad esempio alla funzione:
(
x + 1 se x ≥ 0,
f0 (x) =
x − 1 se x < 0.
4.8. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue
121
y
2
1
-1
1
x
-1
-2
Figura 4.8: f0 (x)
In conseguenza del Teorema degli zeri abbiamo un primo risultato di punto fisso. Ricordiamo che si chiama
punto fisso di una funzione f : a → A un elemento a ∈ A tale che f (a) = a.
Teorema 4.8.2 (Teorema di Punto Fisso). Sia f : [a, b] → [a, b] continua. Allora f ha un punto fisso cioè esiste
u ∈ [a, b] tale che f (u) = u.
Dimostrazione. Se accade che f (a) = a o f (b) = b abbiamo finito. Se ciò non è, supponiamo, fatto non
restrittivo, che sia f (a) > a e f (b) < b. Definiamo g(x) = f (x) − x. g è cosı̀ continua, g(a) > 0 e g(b) < 0. Per
il Teorema degli zeri esiste u ∈ [a; b] tale che g(u) = 0, cioè f (u) − u = 0
Ulteriore conseguenza del Teorema degli zeri è il fatto che ogni funzione continua trasforma intervalli in
intervalli. Questo risultato è noto come Teorema di Bolzano.
Teorema 4.8.3 (dei valori intermedi (Bolzano)). Sia f : I → R una funzione continua, non costante, definita
sull’intervallo I. Allora, presi due elementi a, b ∈ I per cui f (a) 6= f (b), la funzione f (x) assume tutti i valori
compresi fra f (a) e f (b).
Dimostrazione. Come già visto non danneggia la generalità del ragionamento supporre f (a) < f (b) con a < b.
Preso ad arbitrio un numero reale λ tale che f (a) < λ < f (b) la tesi è provata se si prova l’esistenza di un
elemento xλ ∈ [a, b] per cui f (xλ ) = λ. Ora si consideri la funzione ϕ(x) = f (x) − λ. La tesi segue dai seguenti
tre fatti:
• ϕ(x) è continua,
• ϕ(a) = f (a) − λ < 0,
quindi per il Teorema degli zeri esiste xλ ∈ [a, b] tale che ϕ(xλ ) = 0.
• ϕ(b) = f (b) − λ > 0,
122
4. Limiti e continuità
4.8.2
Esistenza degli estremi. Teorema di Weierstrass
Uno dei principali problemi che si possono presentare nelle applicazioni consiste nella determinazione dei massimi
e minimi di una assegnata funzione. Formalizzando dato un sottoinsieme D ⊂ R e una funzione f : D → R, si
vogliono determinare:
m = inf {f (x) : x ∈ D} , M = sup {f (x) : x ∈ D} .
Qualora f (x) non sia inferiormente limitata si conviene m = −∞, analogamente se f (x) non è superiormente
limitata si pone M = ∞.
Se sia m sia M sono entrambi finiti, la funzione f (x) si dice limitata. Se solo m è finito f (x) è detta
inferiormente limitata e, se solo M è finito f (x) è superiormente limitata.
Nel caso in cui f (x) sia limitata, se esiste xm ∈ D tale che f (xm ) = m diremo che f (x) ammette minimo
assoluto e chiameremo xm minimante. Analogamente se esiste xM per cui f (xM ) = M diremo che f (x) ammette
massimo assoluto; xM si dice massimante. Si osservi che xm e xM non sono necessariamente unici, a differenza
di m ed M . Si pensi al caso f (x) = sin x in cui m = −1, M = 1 ma xm = − π2 + nπ, xM = π2 + nπ, n ∈ Z.
Il teorema di Weierstrass assicura l’esistenza del massimo e del minimo per funzioni continue quando queste
sono definite su di un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Anche in questo caso abbiamo un risultato di esistenza,
che non fornisce indicazioni operative per la ricerca del massimo e del minimo assoluto di una funzione. Un
metodo sistematico per la ricerca dei massimi e dei minimi è, come vedremo, individuabile per la classe speciale
delle funzioni derivabili.
Teorema 4.8.4 (Weierstrass). Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Allora:
(i) f (x) è limitata,
(ii) f (x) ammette massimo e minimo assoluto in [a, b].
Dimostrazione. La dimostrazione ricorre per due volte al Teorema di Bolzano Weierstrass. Iniziamo provando
che f (x) è limitata, ragionando per assurdo. Se, infatti, f (x) non fosse superiormente limitata questo significherebbe che per ogni n ∈ N esisterebbe xn ∈ [a, b] tale che f (xn ) > n. Eventualmente passando ad una successione
estratta, il teorema di Bolzano Weiestrass assicura che possiamo supporre xn convergente ad un certo elemento
x∗ ∈ [a, b]. Ne verrebbe, allora, per la continuità di f (x) che:
lim f (xn ) = f (x∗ ).
n→∞
D’altra parte, essendo n < f (xn ), per il teorema del confronto si avrebbe:
lim f (xn ) = ∞,
n→∞
e, quindi, f (x∗ ) = ∞, assurdo. Dunque f (x) è superiormente limitata in [a, b] . La inferiore limitatezza si prova
in modo analogo.
Passiamo alla seconda parte dell’enunciato. Per quanto appena provato esistono finiti:
m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} , M = sup {f (x) : x ∈ [a, b]} .
Ragioniamo sul massimo, lasciando al lettore l’analoga dimostrazione relativa al minimo. Dalla definizione di
estremo superiore si trae che per ogni n ∈ N esiste xn ∈ [a, b] tale che:
M−
1
< f (xn ) ≤ M.
n
La successione xn (o una successione estratta) può, ancora una volta per il teorema di Bolzano Weierstrass,
essere supposta convergente ad un elemento x∗ ∈ [a, b], ma allora, passando al limite, usando la continuità di
f (x) vediamo che M ≤ f (x∗ ) ≤ M, cioé f (x∗ ) = M , come volevasi.
4.9. Continuità della funzione composta e della funzione inversa
Osservazione 4.8.1. Combinando gli enunciati del Teorema dei valori intermedi e del Teorema di Weierstrass
possiamo affermare che l’immagine di una funzione continua f (x), quando questa è definita su di un intervallo
limitato e chiuso [a, b], è l’intervallo limitato e chiuso [m, M ] in cui:
m = inf {f (x) : x ∈ [a, b]} = min {f (x) : x ∈ [a, b]} ,
M = sup {f (x) : x ∈ [a, b]} = max {f (x) : x ∈ [a, b]} .
Possiamo quindi scrivere, in notazione insiemistica:
f ([a, b]) = [m, M ] .
4.9
Continuità della funzione composta e della funzione inversa
Cominciamo provando che la composizione di due funzioni continue è continua, poi ci occuperemo della continuità della funzione inversa e forniremo diversi esempi di funzioni continue.
Teorema 4.9.1. Siano f : I1 → R, g : I2 → R due funzioni tali per cui per ogni x ∈ I1 si ha f (x) ∈ I2 in modo
che abbia senso la composizione di funzioni g(f (x)). Allora se f (x) è continua in x0 ∈ I1 e g(y) è continua in
y0 = f (x0 ) la funzione composta g(f (x)) è continua in x0 .
Dimostrazione. L’ipotesi assicura che, fissato ε > 0, esiste δε > 0 tale che |y − y0 | < δε implica |g(y) − g(y0 )| <
ε. D’altra parte anche f (x) è continua in x0 e questo implica che esiste ηδ > 0 tale che se |x − x0 | allora
|f (x) − f (x0 )| < δε . La tesi è a questo punto dimostrata, essendo |g(f (x)) − g(f (x0 ))| < ε.
Introduciamo la notazione C[a, b] per indicare l’insieme di tutte le funzioni reali continue f : [a, b] → R
continue in tutti i punti di [a, b]. Se f ∈ C[a, b] è una funzione strettamente crescente abbiamo che f (x) ∈
[f (a), f (b)] per ogni x ∈ [a, b]. Ad essere più precisi, per il Teorema dei valori intermedi abbiamo che im(f ) =
[f (a), f (b)] in quanto per detto Teorema abbiamo che per ogni d ∈ [f (a), f (b)] esiste c ∈ [a, b] tale che f (c) = d.
Inoltre la crescenza stretta assicura che tale c è unico, infatti se esistessero due valori c1 < c2 per cui f (c1 ) =
f (c2 ) = d contraddiremmo la proprietà di monotonia. In questo modo possiamo definire la funzione inversa
f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b] definita dalla regola secondo cui per ogni y ∈ [f (a), f (b)] il valore f −1 (y) è l’unico
elemento x di [a, b] per cui f (x) = y.
Questa funzione f −1 è anche essa strettamente crescente. Infatti presi t, u ∈ [f (a), f (b)] per cui t < u
poniamo x = f −1 (t), y = f −1 (u). Se fosse x = y si avrebbe t = f (x) = f (y) = u che è una contraddizione. Se
fosse y < x ne verrebbe u = f (y) < f (x) = t che è ancora una contraddizione. L’unica possibilità che resta è
f −1 (t) = x < y = f −1 (u).
Quando si inverte una funzione continua anche l’inversa cosı̀ ottenuta è una funzione continua. Abbiamo
infatti il Teorema:
Teorema 4.9.2. Se f ∈ C[a, b] è una funzione strettamente crescente, allora la sua funzione inversa f −1 :
[f (a), f (b)] → [a, b] è strettamente crescente e continua.
Dimostrazione. Sia d ∈ [f (a), f (b)] e fissiamo ε > 0. Possiamo supporre che ε ≤ min{c − a, b − c} in modo
che [c − ε, c + ε] ⊂ [a, b]. Per ipotesi f (c + ε) > f (c) = d e quindi possiamo scrivere f (c + ε) = d + δ1 con
δ1 > 0. Analogamente abbiamo che f (c − ε) = d − δ2 con δ2 > 0. Se poniamo δ = min{δ1 , δ2 }, allora per ogni
y ∈]d − δ, d + δ[ riesce
f −1 (y) < f −1 (d + δ1 ) = c + ε,
f −1 (y) > f −1 (d − δ2 ) = c − ε.
Abbiamo cosı̀ fatto vedere che |f −1 (y) − f −1 (d)| < ε per ogni y ∈ [f (a), f (b)] tale che |y − d| < δ
123
124
4. Limiti e continuità
Analogamente si ha che
Teorema 4.9.3. Se f ∈ C[a, b] è una funzione strettamente decrescente, allora la sua funzione inversa f −1 :
[f (a), f (b)] → [a, b] è strettamente decrescente e continua.
Vediamo alcune applicazioni dei Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 alle inverse delle funzioni elementari fin qui studiate.
4.9.1
Radice n-esima
Le funzioni polinomiali sono il primo esempio di funzioni continue, che si ottengono da combinazioni delle
funzioni base, vedi definizione 4.2.2. In particolare sono continue, per ogni n ∈ N le funzioni monomie, che sono
anche, vedi esempio 4.1.1, strettamente crescenti per x ≥ 0
fn (x) = xn
La funzione inversa di una funzione monomia è quindi per il Teorema 4.9.2 anche essa crescente e continua.
Essa viene chiamata funzione radice n-esima ed è denotata con una delle due espressioni
√
1
rn (x) = x n = n x
y
1
1
x
Figura 4.9: f4 (x) in blu, r4 (x) in rosso
4.9.2
Logaritmo naturale
Cominciamo osservando che la funzione esponenziale ex è una funzione strettamente crescente da R →]0, +∞[.
Infatti per la disuguaglianza (ii) di Teorema 4.6.2: ex > 1 + x per x > 0 segue che ex > 1 se e solo se x > 0. Da
questa osservazione, unitamente alla proprietà fondamentale, Teorema 3.5.4, ex+y = ex ey segue che la funzione
esponenziale è strettamente crescente. Infatti se x > y abbiamo:
ex > ey ⇐⇒ ex e−y > ey e−y ⇐⇒ ex−y > e0 = 1 ⇐⇒ x − y > 0 ⇐⇒ x > y.
4.9. Continuità della funzione composta e della funzione inversa
125
Inoltre la la disuguaglianza (ii) di Teorema 4.6.2: ex > 1 + x per x > 0 assicura che
lim ex = +∞
x→+∞
e la relazione ex e−x = 1, Teorema 2.7.5 pagina 63, assicura di conseguenza anche che
lim ex = +0
x→−∞
Pertanto il Teorema 4.9.2 assicura che la funzione e(x) = ex ha una funzione inversa, continua e crescente,
definita su ]0, +∞[ a valori in R. Tale funzione viene chiamata logaritmo naturale o logaritmo in base e e
viene denotata con
e−1 (x) = ln x
La notazione ln x non è, sfortunatamente, la sola in uso. Alcuni autori la indicano con log x e altri, volendo
esplicitare la base del logaritmo, con loge x.
Si noti che per la proprietà dell’inversa è
ln ex = x
per ogni x ∈ R
e
eln x = x per ogni x > 0.
Inoltre dalla proprietà fondamentale dell’esponenziale, Teorema 3.5.4, segue
ln x + ln y = ln(xy) per ogni x, y > 0
(L)
Infatti se, nel primo membro di (L), poniamo a = ln x, b = ln y, abbiamo x = ea , y = eb e, quindi:
ln(xy) = ln(ea eb ) = ln(ea+b ) = a + b = ln x + ln y
come volevasi.
y
1
1
Figura 4.10: ex in blu, ln x in rosso
x
126
4. Limiti e continuità
4.9.3
Inverse delle funzioni goniometriche
La funzione sin x è definita su tutto l’asse reale e per la sua costruzione geometrica è periodica con periodo
fondamentale 2π. Per questo fatto la funzione seno non può essere globalmente invertita. L’inversione del seno
è quindi una inversione parziale, nel senso che, si inverte la funzione seno ristretta all’intervallo [−π/2, π/2]
ove è strettamente crescente, in Figura 4.11 abbiamo indicato con la linea continua blu il tratto della funzione
seno che interessa il nostro ragionamento. Indichiamo tale funzione s : [−π/2, π/2] → [−1, 1], s(x) = sin x.
Situazione analoga per l’inversione del coseno, Figura 4.13, in questo caso però si inverte nell’intervallo [0, π]
dove il coseno è decrescente, in Figura 4.11 abbiamo indicato con la linea continua rossa il tratto della funzione
coseno che interessa il nostro ragionamento. Tale funzione viene indicata con c : [0, π] → [−1, 1], c(x) = cos x.
Per i Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 le inverse di queste due funzioni monotone sono continue. Tali funzioni sono chiamate
1
-
3Π
2
-Π
-
Π
2
Π
2
3Π
2
Π
-1
Figura 4.11: s(x) = sin x in blu, c(x) = cos x in rosso
rispettivamente funzione arcoseno e funzione arcocoseno e vengono denotate nel modo seguente:
s−1 (x) = arcsin x
c−1 (x) = arccos x
L’inversione parziale comporta allora che
sin(arcsin x) = x per ogni x ∈ [−1, 1];
cos(arccos x) = x per ogni x ∈ [−1, 1];
arcsin(sin x) = x per ogni x ∈ [−π/2, π/2]
arccos(cos x) = x per ogni x ∈ [0, π]
Va osservato che le due espressioni arcsin(sin x), arccos(cos x) sono calcolabili anche per valori della x esterni
all’intervallo di inversione parziale, in questo caso però non sono valide le relazioni precedenti. Ad esempio se
x ∈ [π/2, 3π/2] allora arcsin(sin x) = π − x.
Infine segnalami la proprietà
arcsin x + arccos x =
π
2
4.9. Continuità della funzione composta e della funzione inversa
Π
Π
2
-1
1
-
Π
2
Figura 4.12: s−1 (x) = arcsin x in blu, c−1 (x) = arccos x in rosso
La funzione tangente è data dal rapporto seno su coseno:
sin x
cos x
Anche in questo caso bisogna scegliere un intervallo di monotonia per poter invertire. Allo scopo si usa lo stesso
intervallo scelto per la funzione seno [−π/2, π/2] dove la funzione t(x) è strettamente crescente.
t(x) = tan x =
-Π
-
Π
2
Π
2
Π
Figura 4.13: t(x) = tan x
Per il Teorema 4.9.2 la funzione inversa cosı̀ ottenuta è strettamente crescente e continua, definita su
] − π/2, π/2[ a valori in R, viene detta arcotangente e denotata con il simbolo
t−1 (x) = arctan x
127
128
4. Limiti e continuità
Essendo
lim
+
x→− π
2
tan x = −∞
si ha
lim arctan x = −
x→−∞
π
2
lim tan x = ∞
−
x→ π
2
lim arctan x =
x→+∞
π
2
La relazione di inversione è in questo caso
tan(arctan x) = x per ogni x ∈ R;
arctan(tan x) = x
per ogni x ∈] − π/2, π/2[
Π
2
-
Π
2
Figura 4.14: t−1 (x) = arctan x
Si osservi infine che
√
sin(arccos x) = 1 − x2 ,
sin(arctan x) = √
cos(arcsin x) =
4.9.4
√
x
,
1 + x2
1 − x2 ,
−1 ≤ x ≤ 1
x∈R
−1 ≤ x ≤ 1
1
,
1 + x2
x
tan(arcsin x) = √
,
1 − x2
√
1 − x2
,
tan(arccos x) =
x
cos(arctan x) = √
x∈R
−1 < x < 1
−1 ≤ x ≤ 1, x 6= 0
Esponenziali e logaritmi di base qualsiasi
Fino a questo punto abbiamo definito la funzione esponenziale con base e. La definizione di funzione esponenziale
in una base qualsiasi positiva a è la seguente:
ax = ex ln a
Si tratta quindi di una funzione continua, per via del fatto che è una composizione di funzioni continue. Inoltre
valgono le proprietà:
(i) se a, b > 0 e x ∈ R allora ax bx = (ab)x
(ii) se a > 0 e x, y ∈ R allora ax ay = ax+y
(iii) se a > 0 e x, y ∈ R allora (ax )y = axy
Va sottolineato che le tre proprietà, che senza dubbio sembrano familiari al lettore, con questa definizione sono
ora state estese agli esponenti reali. Diamone per completezza la semplice dimostrazione.
4.10. Limiti fondamentali
129
(i) se a, b > 0 e x ∈ R allora ax bx = ex ln a ex ln b = ex ln a+x ln b = ex(ln a+ln b) = ex ln(ab) = (ab)x
(ii) se a > 0 e x, y ∈ R allora ax ay = ex ln a ey ln a = ex ln a+y ln a = e(x+y) ln a = ax+y
x
(iii) se a > 0 e x, y ∈ R allora (ax )y = ey ln(a
)
= eyx ln a = ayx = axy
La funzione esponenziale ora introdotta è una funzione monotona: infatti, in conseguenza del fatto che se
a > 1 è ln a > 0 e se 0 < a < 1 è ln a < 0 valgono le relazioni.
(iv) se a > 1 e x, y ∈ R con x < y allora ax < ay
(v) se 0 < a < 1 e x, y ∈ R con x < y allora ax > ay
Dunque la funzione esponenziale a(x) = ax è invertibile se a 6= 1. La funzione inversa di ax si dice funzione
logaritmo in base a e verrà denotata con
a−1 (x) = loga x
Per i Teoremi 4.9.2 e 4.9.3 la funzione logaritmo è continua.
4.10
Limiti fondamentali
Presentiamo alcuni casi importanti in cui è possibile calcolare in modo elementare alcuni limiti che avranno
modo di sfruttare nel seguito quando tratteremo le funzioni derivabili.
Limite numero 1
lim
sin x
x
x→0
=1
(L1)
Il punto di partenza è il limite notevole dimostrato studiando le successioni:
lim n sin
n→∞
1
= 1.
n
La stessa dimostrazione vista in quel caso si può ripetere per la variabile reale, dunque il limite appena richiamato
sussiste anche se n ∈ R. Se poniamo x = 1/n quando n → ∞, x → 0+ abbiamo che:
lim
x→0+
sin x
= 1.
x
Per completare la prova dobbiamo calcolare il limite anche per x → 0− , ma questa è cosa semplice in quanto la
funzione sinx x è pari, in quanto quoziente di due funzioni dispari. Dunque per calcolare:
lim
x→0−
sin x
,
x
si cambia variabile ponendo y = −x in modo che x → 0− implica y → 0+ , pertanto:
lim
x→0−
sin x
sin(−y)
sin y
= lim+
= lim+
= 1.
x
−y
y
y→0
y→0
130
4. Limiti e continuità
Limite numero 2
lim
x→±∞
1
1+
x
x
=e
(L2)
Il limite è già stato trattato nel caso delle successioni, con variabile naturale. Per passare al caso di variabile
reale occorrono alcuni adeguamenti tecnici. Cominciamo osservando che il dominio di definizione della funzione:
x
1
f (x) = 1 +
x
è costituito dai reali x per cui la base è positiva, quindi si tratta dell’insieme ∈ ]−∞, −1[ ∪ ]1, ∞[, pertanto ha
senso occuparsi anche del limite per x → −∞.
Cominciamo con il limite per x → ∞. Per la proprietà archimedea dei reali sappiamo che, fissato x > 1
esiste n ∈ N per cui n ≤ x < n + 1, allora passando ai reciproci e sommando 1 si trova che:
1
1
1
<1+ ≤1+ ,
n+1
x
n
1+
poi elevando si trova:
1+
1
n+1
n
e da qui si conclude che:
<
1
x
1+
x
≤
n+1
1
1+
,
n
x
1
= e,
1+
x→∞
x
lim
in quanto:
lim
n→∞
1+
1
n+1
n
= lim
n→∞
1+
1
n
n+1
=e
e in quanto n → ∞ implica x → ∞.
Per calcolare il limite per x → −∞ usiamo il cambio di variabili y = −x in modo che:
lim
x→−∞
Ora osservato che:
si conclude che:
1+
1
x
x
y
y−1
y
lim
x→−∞
−y
y
1
y
1−
= lim
.
y→∞
y→∞ y − 1
y
= lim
=
1+
1
x
y−1+1
y−1
x
y
= lim
y→∞
= 1+
1+
1
y−1
1
y−1
y
y
,
= e.
Limite numero 3
lim
x→0
ln(1 + x)
x
=1
(L3)
Posto y = 1/x si ha y → ±∞ a seconda che sia x → 0+ oppure x → 0− . Il limite viene trasformato in:
y
1
1
lim y ln 1 +
= lim ln 1 +
= ln e = 1.
y→±∞
y→±∞
y
y
4.11. Uniforme continuità
131
Limite numero 4
Con ragionamento analogo la numero 3 si vede che, se a > 0 vale:
lim
loga (1 + x)
x
x→0
= loga e
(L4)
Limite numero 5
lim
ex − 1
=1
(L5)
x
Eseguiamo il cambio di variabili y = ex − 1 in modo che per x → 0 anche y → 0. Ricavando x troviamo
x = ln(1 + y), si osservi che la cosa ha senso in quanto in un intorno di y = 0 si ha che y + 1 > 0. Il limite
cercato è cosı̀ trasformato in:
y
.
lim
y→0 ln(1 + y)
x→0
Ricordando il limite notevole (L3) vediamo che:
lim
y→0
y
1
1
= lim
= =1
ln(1 + y) y→0 ln(1 + y)
1
y
Limite numero 6
lim
ax − 1
= ln a
x
Questa volta si pone y = ax − 1 il che comporta che il limite è trasformato in:
x→0
lim
y→0
Ora ricordando che
(L6)
y
.
loga (1 + y)
1
lim (1 + y) y = e
y→0
concludiamo che:
1
ax − 1
=
.
x→0
x
loga e
lim
Ricordando l’identità loga e ln a = 1 si ottiene la tesi (L6).
4.11
Uniforme continuità
La nozione di uniforme continuità è più restrittiva di quella di continuità. Risulterà infatti che se una funzione
è uniformemente continua essa sarà anche continua, ma non viceversa. La proprietà di uniforme continuità è
di tipo globale a differenza di quella di continuità che è di tipo locale, in quanto la definizione di continuità si
basa sul limite in un certo punto x0 . La continuità uniforme è invece influenzata non solo dal tipo di funzione
considerata, ma anche dal dominio su cui la funzione è definita. L’idea, parlando grossolanamente, è che una
funzione uniformemente continua faccia piccole oscillazioni su tutto il suo dominio. Per meglio comprendere la
sottile differenza fra continuità e uniforme continuità ricordiamo che la funzione f : I → R definita sull’intervallo
I è continua in I se per ogni x0 ∈ I e per ogni ε > 0 è possibile determinare un δ > 0 tale che se x ∈ I e
|x − x0 | < δ riesce |f (x) − f (x0 )| < ε. Tale δ dipende tanto da ε quanto da x0 : non esiste cioè, in generale per
132
4. Limiti e continuità
ogni ε > 0 un δ > 0 tale che se x, x0 ∈ I dal fatto che |x − x0 | < δ segua |f (x) − f (x0 )| < ε. Vediamo di chiarire
con un esempio preso da [Apo74] paragrafo 4.19 pagina 90.
Siano I =]0, 1], f (x) = 1/x. Prendiamo ε = 10 e immaginiamo che sia possibile trovare δ ∈]0, 1[ per cui se
x, y ∈ I con |x − y| < δ riesca |f (x) − f (y)| < ε. Ora se prendiamo x = δ e y = δ/11 è certamente verificato che
|x − y| < δ ma
1 11 10
|f (x) − f (y)| = − =
> 10 = ε
δ
δ
δ
Diamo allora la definizione di uniforme continuità:
Definizione 4.11.1. Sia I un intervallo di R e sia f : I → R. Diremo che f è uniformemente continua in I se
per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni x, y ∈ I
|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε
Naturalmente avremo che:
Teorema 4.11.1. Se f : I → R è uniformemente continua in I allora f è continua in I
Per quanto detto sopra è chiaro che la tesi di Teorema 4.11.1 non può essere invertita.
Esempio 4.11.1. La funzione f (x) = sin x è uniformemente continua su R.
Dimostrazione. Questo fatto segue dalla formula di prostaferesi
sin x − sin y = 2 sin
x−y
x+y
cos
2
2
dalla disuguaglianza 2.8 di pagina 54 e dal fatto che | cos u| ≤ 1 per ogni u ∈ R. Infatti si ha
x−y
x − y x + y |sin x − sin y| = 2 sin
cos
≤ 2 sin
≤ |x − y|
2
2 2 in modo che fissato ε > 0 basta prendere δ = ε per verificare che la definizione 4.11.1 è soddisfatta.
L’esempio 4.11.1 suggerisce in qualche modo di considerare una classe di funzioni, certamente uniformemente
continue.
Definizione 4.11.2. La funzione reale di una variabile reale definita sull’intervallo I ⊆ R, f : I → R si dice
Lipschitziana se esiste L > 0 tale che per ogni x, t ∈ I risulta
|f (x) − f (y)| < L|x − y|
Le funzioni Lipschitziane sono uniformemente continue, in quanto per ogni ε > 0 si ha che
|f (x) − f (y)| < ε
se si prendono x, y ∈ I in modo che
ε
:= δ
L
Grazie al Teorema 2.8.3 di Bolzano Weierstrass si dimostra che quando una funzione continua è definita su
un intervallo chiuso e limitato I = [a, b] essa è ivi uniformemente continua. Si ha infatti l’importante Teorema
di Heine.
|x − y| <
Teorema 4.11.2. [Heine] Se f ∈ C[a, b] allora f è uniformemente continua su [a, b]
4.12. Punti fissi di funzioni contrattive
133
Dimostrazione. Ricordiamo che uniforme continuità significa che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se
x, y ∈ [a, b] verificano |x − y| < δ allora |f (x) − f (y)| < ε. Se per assurdo questa proprietà non sussistesse,
questo vuol dire che esiste almeno un ε > 0 tale per cui per ogni δ > 0 tale che |x − y| < δ si ha |f (x) − f (y)| ≥ ε.
Ma allora questo implica che per ogni n ∈ N esistono xn , yn ∈ [a, b] tali che
|xn − yn | <
1
n
e
|f (xn ) − f (yn )| ≥ ε
(4.6)
Per il Teorema di Bolzano Weierstrass, eventualmente passando ad una sottosuccessione, possiamo supporre
che (xn ) converga ad un elemento c ∈ [a, b] ma questo allora comporta, stante la prima delle (4.6), che anche
(yn ) converge allo stesso elemento c ∈ [a, b]. Ma allora per la continuità di f passando al limite la seconda della
(4.6) comporta che
0 = |f (c) − f (c)| = lim |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε
n→∞
in contraddizione con la positività di ε. Dunque il Teorema di Heine è dimostrato.
Corollario 4.11.2.1. Se f : R → R è una funzione continua e periodica di periodo fondamentale p > 0, allora
f è uniformemente continua.
4.12
Punti fissi di funzioni contrattive
Concludiamo con un Teorema di punto fisso che si ritroverà in molte situazioni di notevole interesse a cominciare
dal Teorema di esistenza e unicità delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie.
Definizione 4.12.1. Sia I ⊆ R un intervallo. Chiamiamo contrazione ogni funzione Lipschitziana f : I → I
tale che la costante di Lipscitz risulti < 1. Dunque f è una contrazione se esiste α ∈]0, 1[ tale che per ogni
x, y ∈ R
|f (x) − f (y)| < α|x − y|
(4.7)
Definizione 4.12.2. Sia I ⊆ R un intervallo e sia f : I → I una funzione. L’elemento u ∈ I si dice punto fisso,
o punto unito di f se riesce f (u) = u
Teorema 4.12.1 (Banach-Caccioppoli). Se I è intervallo chiuso e f : I → I è una contrazione, allora f possiede
uno ed un solo punto unito.
Dimostrazione. La dimostrazione sfrutta il Teorema 2.8.5 pagina 68 sulla convergenza delle successioni di
Cauchy. Per prima cosa dimostriamo l’unicità. Se u1 6= u2 fossero due punti uniti distinti di f si avrebbe
0 < |u1 − u2 | = |f (u1 ) − f (u2 )| < α|u1 − u2 |
(4.8)
Da (4.8) semplificando |u1 −u2 | che è supposto positivo segue che 1 < α contro l’ipotesi che f sia una contrazione.
Dunque è provato che una contrazione ammette al più un punto unito. Completiamo la dimostrazione provando
l’esistenza del punto unito. Fissiamo arbitrariamente u0 ∈ I e definiamo la successione (un ) iterando la funzione
f come segue:
u1 = f (u0 ), u2 = f (u1 ) = f (f (u0 )), u3 = f (u2 ) = f (f (f (u0 ))), · · · , un+1 = f (un ), · · ·
Osserviamo che, in conseguenza del fatto che f è una contrazione si ha:
|un+1 − un | = |f (un ) − f (un−1 )| < α|un − un−1 | = α|f (un−1 ) − f (un−2 )| < α2 |un−1 − un−2 |
e cosı̀ proseguendo otteniamo
|un+1 − un | < αn |u1 − u0 |
(4.9)
134
4. Limiti e continuità
Da (4.9) segue che (un ) è di Cauchy. Infatti se m, n ∈ N con m > n abbiamo per la disuguaglianza triangolare
|um − un | ≤
m−1
X
k=n
|uk+1 − uk | < |u1 − u0 |
m−1
X
k=n
αk = |u1 − u0 |
αn − αm
|u1 − u0 | n
<
α
1−α
1−α
Siccome 0 < α < 1 si ha α → 0 dunque è possibile scegliere nε ∈ N tale per cui se n, m > nε riesce |um −un | < ε
e provando che (un ) è di Cauchy. Ne segue per Teorema 2.8.5 che un → u ma allora, siccome I è chiuso u ∈ I
e per la continuità di f si ha, passando al limite che
n
un+1 = f (un ) =⇒ u = f (u)
4.13
Esercizi
4.13.1
Esercizi proposti
1. Si calcolino i seguenti limiti:
(a) lim (2x + 1)
x→3
(b) lim x2 + 3x − 5
x→2
x4 − 4x + 6
x→0
x2 − 9
4
x − 4x + 4
(d) lim 2
x→1 x − 4x − 1
(c) lim
x2 − 5x + 2
x→3
2x − 5
(f) lim x2 e2x+1
(e) lim
x→−1
(g) lim e2x+1
x→−1
(h) lim
x→0
x
|x + 2|
(i) lim x ln (2x)
x→3
2x + 1
x+1
(k) lim 2x
x→0
√
x2 − x + 7
(l) lim
x→2
x+2
(j) lim
x→8
2. Si calcolino i seguenti limiti:
x4 + x2 + 1
x→−5
x+5
x2 + 1
lim
x→−1 x + 1
x+1
lim 2
x→0 x + 2x
x3 − 3x2
lim 3
x→0 x − 2x2 − 4x
x4 − 8x2 + 16x
lim
x→0
x
x3 − 2x2 − 4x + 8
x→2
x4 − 8x2 + 16
3
x − x2 + 2x − 2
lim
x→1
x2 − 1
√
x−1
lim
x→1 x − 1
√
x−1−2
lim
x→5
x−5
√
1 + 2x − 3
√
lim
x→4
x−2
x4 − 81
√
lim √
x→3
x− 3
x3 − 27
√
lim √
x→3
x− 3
x4 − 16
√
lim √
x→2
x− 2
(a) lim
(i) lim
(b)
(j)
(c)
(d)
(e)
3
(x + h) − x
h→0
h
x4 − 8x2 + 16
(g) lim
x→2
x3 − 8
x3 − 3x2 + 4
(h) lim 3
x→2 x − 2x2 − 4x + 8
(f) lim
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
x3 − 8
√
(q) lim √
x→2
x− 2
√
√
h+3− 3
(r) lim
h→0
h
√
√
x+h− x
(s) lim
h→0
h
x+2
(t) lim
x→0 x2
x3 − 3
(u) lim
x→0
x3
2
(x + 2)
(v) lim
x→−2 x2 − 2
x+2
(w) lim
x→2 (x − 2)2
3x + 12
(x) lim 2
x→−1 x + 2x + 1
4.13. Esercizi
135
3. Si calcolino i seguenti limiti:
(a)
(b)
lim
x→+∞
lim
x→−∞
x3 − 3x2 + 4
x2 − 1
x
x2 + 1
x
lim
x→∞ x3 + 1
x2
lim 3
x→∞ x + 1
2x3 + 14
lim
x→+∞ 4x5 − 2x3 + 1
2x5 + 14
lim
5
x→−∞ 4x − 2x3 + 1
2x5 + 14
lim
x→+∞ 4x5 − 2x3 + 1
(c) lim
x→∞
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
2x5 + 14
− 12x3 + 1
x3 + 14
lim
x→−∞ 1 − 4x2 − 2x3
x4 − 8x2 + 16
lim
x→+∞
x3 − 8
x3 − 3x2 + 4
lim 3
x→+∞ x − 2x2 − 4x + 8
2x7 + 14
lim
x→∞ 4x7 − 2x3 + 1
x
lim
x→∞ 3x + 5
√
x2 − x + 5
lim
x→+∞
x+2
√
√
lim
x−1− x+2
lim
x→+∞
4x5
x→+∞
(q)
lim
x→+∞
x3 − ln x
x3 + 1
e2x + 1
x→+∞ x3 − x + 8
(s) lim (ex + 3x)
x→+∞
√
(t) lim x e2x + 1
(r)
lim
x→+∞
(u)
lim x ln x
x→+∞
ex
x→0 x2
(v) lim
1
ln x
1
(x) lim 2
x→+∞ x − 1
(w)
lim
x→+∞
4. Dire se è possibile scegliere a ∈ R in modo che risulti:
hp
i
h
i
p
(a) lim
1 + ax + x2 − x = 4
(b) lim 2x − 4x2 + ax = 7
x→∞
x→∞
5. Siano f e g due funzioni:
(
x2 − 1 per x ≤ 0
f (x) =
−x2 per x > 0
(
3x − 2 per x ≤ 2
g(x) =
−x + 6 per x > 2
f è continua per x = 0? g è continua per x = 2?
6. Determinare i valori di x per cui ognuna delle seguenti funzioni è continua:
(a) f (x) = x5 + 4x2
(b) f (x) =
x
1−x
(c) f (x) = √
(d) f (x) =
7. Per quali valori di a è f continua per ogni x?
(
ax − 1 per x ≤ 1
(a) f (x) =
3x2 + 1 per x > 1
1
2−x
x2
x4 − 8x2 + 16
x2 + 2x − 2
r
x+1
(f) f (x) =
x−1
(e) f (x) =
x
+1
(
ax3 + 5x − 1 per x ≤ 1
(b) f (x) =
−x + 2
per x > 1
8. Dimostrare che ognuna delle seguenti equazioni ha almeno una radice nell’intervallo indicato:
(a) x3 + 3x − 8 = 0 in ]−2, 3[
6
2
(b) x + 3x − 2x − 1 = 0 in ]0, 1[
(c) x7 − 5x5 + x3 − 1 = 0 in ]−1, 1[
(d)
(e)
√
√
x2 + 1 = 3x in ]0, 1[
x2 + 2 = 4x in [0, 1].
136
4. Limiti e continuità
9. Spiegare perché la funzione f definita per ogni x ∈ [0, 5] da:
f (x) =
x4 − 8x2 + 16
x2 + 2
è dotata di massimo e di minimo. (Non tentare di calcolare questi valori)
10. Sia f : [−1, 1] → R:
(
x per − 1 < x < 1
f (x) =
0 per x = ±1
(a) Disegnare il diagramma di f (x). f (x) assume massimo e minimo valore in [−1, 1]?
(b) f (x) è continua in [−1, 1]?
11. Sia f : ]0, ∞[ → R:
f (x) =
(
x + 1 per 0 < x ≤ 1
1 per x > 1
(a) Disegnare il diagramma di f (x)
(b) Dimostrare che f (x) raggiunge il massimo e il minimo valore in ]0, ∞[.
12. Per ciascuna delle funzioni f (x) seguenti riportate dimostrare che esiste l’inversa f −1 (y) , e trovare una
formola per f −1 (y). Studiare la continuità di f −1 (y).
(a) f (x) = x + 1
√
(b) f (x) = 5 x + 1
(c) f (x) = x3
3x − 1
(d) f (x) =
x+4
(e) f (x) =
2ex
ex − 1
13. Sia f : [0, 1] → R definita da f (x) = 2x2 − x4 . Dimostrare che esiste l’inversa f −1 , trovare una formola
per f −1 (y) e dire se tale funzione sia, o meno, continua.
CAPITOLO 5
CALCOLO DIFFERENZIALE
La nozione di derivata di una funzione risale a Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) che nel 1684 scrisse la
celebre memoria “Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales
quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus”. Isaac Newton (1643-1727) nel secondo libro dei
Principia del 1687, presentò anche egli la nozione di derivata, ed è storica la polemica fra i due scienziati
sulla paternità della scoperta. Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nel suo Course d’Analyse del 1821 diede la
sistemazione teorica della disciplina nella forma in cui viene tuttora esposta.
5.1
Funzioni derivabili
Definizione 5.1.1. Data la funzione reale di una variabile reale f : I → R, con I intervallo. Diremo che f è
derivabile in x0 ∈ I con x0 interno all’intervallo I se esiste finito il limite:
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
.
= lim
h→0
x − x0
h
(5.1)
Il quoziente
viene chiamato rapporto incrementale.
Se esiste finito il limite destro
lim+
x→x0
∆f
f (x) − f (x0 )
(x, x0 ) =
∆x
x − x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim+
x − x0
h
h→0
(5.1d)
diremo che f è derivabile a destra in x0 .
Se esiste finito il limite sinistro
lim−
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim−
x − x0
h
h→0
diremo che f è derivabile a sinistra in x0 .
(5.1s)
138
5. Calcolo differenziale
La derivata di f in x0 , vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1) si indica con uno dei simboli:
f 0 (x0 ),
f˙(x0 ),
Df (x0 ),
df
(x0 )
dx
La derivata destra di f in x0 , vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1d) si indica con uno dei
simboli:
0
f+
(x0 ), D+ f (x0 ).
La derivata sinistra di f in x0 , vale a dire il numero reale individuato dal limite (5.1s) si indica con uno dei
simboli:
0
f−
(x0 ), D− f (x0 ).
Osservazione 5.1.1. Si riconosce che f è derivabile in x0 se e solo se è derivabile sia a destra che a sinistra in
0
0
x0 e vale f+
(x0 ) = f−
(x0 ).
Osservazione 5.1.2. Se x0 è estremo destro dell’intervallo I, come ad esempio nel caso x0 = a con I = [a, b]
oppure I = [a, +∞[ si considera il limite destro
lim
x→x+
0
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim+
x − x0
h
h→0
Se tale limite esiste finito diremo che f è derivabile nell’estremo destro dell’intervallo I. Analogo ragionamento
nel caso in cui x0 sia estremo sinistro dell’intervallo I
Definizione 5.1.2. Se per ogni x0 ∈ I esiste il limite del rapporto incrementale la funzione f è detta derivabile
in I e la funzione:
x 7−→ f 0 (x)
si dice funzione derivata o, più semplicemente, derivata di f.
Esempio 5.1.1. La funzione stazionaria cα (x) = α ∈ R introdotta in (4.1) pagina 109 è derivabile per ogni
x0 ∈ R e la sua derivata vale zero. Infatti, fissato x0 per ogni x 6= x0 il rapporto incrementale è identicamente
nullo, essendo
∆cα
cα (x) − cα (x0 )
α−α
(x, x0 ) =
=
=0
∆x
x − x0
x − x0
e dunque è nullo anche il suo limite per x → x0 .
La funzione id(x) = x in (4.1) pagina 109 è derivabile per ogni x0 ∈ R e la sua derivata vale uno. Infatti, fissato
x0 per ogni x 6= x0 il rapporto incrementale è identicamente uno, essendo
∆id
x − x0
(x, x0 ) =
=1
∆x
x − x0
e dunque è uno anche il suo limite per x → x0 .
Le funzioni derivabili sono una particolare sottoinsieme delle funzioni continue. Infatti si ha il Teorema
della continuità delle funzioni derivabili.
Teorema 5.1.1. Sia f una funzione derivabile in x0 ∈ I allora f è continua in x0 .
5.1. Funzioni derivabili
139
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
Ora si ha per ogni x 6= x0
f (x) − f (x0 ) =
Per ipotesi lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
(x − x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 )
esiste finito e d’altra parte si ha anche che lim (x − x0 ) = 0 e pertanto
x→x0
x − x0
lim (f (x) − f (x0 )) = f 0 (x0 ) × 0 = 0
x→x0
il che prova l’asserto.
Osservazione 5.1.3. La tesi del Teorema 5.1.1 non può essere invertita. Ad esempio la funzione f (x) = |x|
vedi Figura 4.2, è continua per ogni x ∈ R ma non è derivabile in x0 = 0. Infatti tale funzione ha derivate destra
e derivata sinistra nell’origine diverse fra loro. Infatti il rapporto incrementale di tale funzione se x0 = 0 è
∆f
f (x) − f (0)
|x|
(x, 0) =
=
∆x
x−0
x
Se x > 0 si ha
∆f
x
(x, 0) = = 1
∆x
x
0
quindi se x → 0+ abbiamo f+
(0) = 1. D’altra parte se x < 0 si ha
∆f
−x
(x, 0) =
= −1
∆x
x
0
(0) = −1.
quindi se x → 0− abbiamo f−
La derivata è compatibile con la somma di funzioni, la moltiplicazione per un numero reale e la moltiplicazione di funzioni.
Teorema 5.1.2. Se f e g sono due funzioni derivabili in x0 ∈ I, e α ∈ R, allora:
0
(i) (α f ) (x0 ) = α f 0 (x0 )
0
(ii) (f + g) (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
0
(iii) (f · g) (x0 ) = f 0 (x0 ) g(x0 ) + f (x0 ) g 0 (x0 )
Dimostrazione. La prova delle prime due affermazioni è immediata. Infatti per ogni x 6= x0 si ha
(α f ) (x) − (α f ) (x0 )
αf (x) − αf (x0 )
f (x) − f (x0 )
=
=α
x − x0
x − x0
x − x0
dunque (i) segue per x → x0 . Per quanto riguarda (ii) anche qui si procede direttamente dal rapporto
incrementale
(f + g) (x) − (f + g) (x0 )
f (x) + g(x) − f (x0 ) − g(x0 )
f (x) − f (x0 ) g(x) − g(x0 )
=
=
+
x − x0
x − x0
x − x0
x − x0
140
5. Calcolo differenziale
dunque (ii) segue per x → x0 . La prova di (iii) è lievemente meno immediata. Se x 6= x0 si ha
(f · g) (x) − (f · g) (x0 )
f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )
=
x − x0
x − x0
f (x)g(x) − f (x)g(x0 ) + f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 )
=
x − x0
f (x)g(x) − f (x)g(x0 ) f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 )
=
+
x − x0
x − x0
g(x) − g(x0 )
f (x) − f (x0 )
= f (x)
+ g(x0 )
x − x0
x − x0
Ora la tesi segue passando al limite per x → x0 tenuto conto che la derivabilità di f in x0 assicura anche la
continuità di f in x0 .
Teorema 5.1.3. Se f e g sono due funzioni derivabili in x0 ∈ I, e g(x0 ) 6= 0, allora:
0
f
f 0 (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 )
(x0 ) =
2
g
[g(x0 )]
Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che per il Teorema 4.3.4 della permanenza del segno il quoziente
f (x)/g(x) è ben definito in un intorno di x0 . Dunque ha senso considerare il rapporto incrementale:
f
f
(x) −
(x0 )
1
f (x) f (x0 )
g
g
−
=
.
x − x0
x − x0 g(x)
g(x0 )
Ora, essendo:
1
f (x) f (x0 )
1
f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x)
−
=
x − x0 g(x)
g(x0 )
x − x0
g(x)g(x0 )
1
f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g(x)
=
x − x0
g(x)g(x0 )
1
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
=
g(x0 ) −
f (x0 )
g(x)g(x0 )
x − x0
x − x0
possiamo passare al limite per x → x0 , ricordando che g(x) è una funzione continua in x0 e ottenere:
0
1
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
f
(x0 ) = lim
g(x0 ) −
f (x0 )
x→x0 g(x)g(x0 )
g
x − x0
x − x0
1
=
(f 0 (x0 )g(x0 ) − g 0 (x0 )f (x0 ))
g(x0 )g(x0 )
vale a dire la tesi.
In particolare se f (x) = 1 abbiamo la formula per la derivata della funzione reciproca.
Corollario 5.1.3.1. Sia g : I → R una funzione derivabile in x0 ∈ I. Se, inoltre si ha che g(x0 ) 6= 0, allora la
funzione y(x) = 1/g(x) è derivabile in x0 e si ha:
y 0 (x0 ) = −
g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che per il Teorema 4.3.4 della permanenza del segno il quoziente
1/g(x) è ben definito in un intorno di x0 . Successivamente applichiamo il Teorema 5.1.3 con f (x) = 1 ricordando
che, in questo caso, f 0 (x) = 0.
5.2. Derivate delle funzioni fondamentali
5.2
141
Derivate delle funzioni fondamentali
In questo paragrafo ci dedichiamo al calcolo delle derivate delle funzioni fondamentali, che ricorrono nelle
applicazioni.
5.2.1
Funzione monomia
La funzione monomia è
fn (x) = xn ,
Per ogni x ∈ R la sua derivata è
n∈N
fn0 (x) = nxn−1
(5.2)
Per n = 1 la funzione monomia coincide con la funzione identità id(x) = f1 (x) = x e la formula (5.2) è già stata
provata.
Per n = 2 fissato x ∈ R preso un incremento h 6= 0 abbiamo
2
f2 (x + h) − f2 (x)
h
=
(x + h) − x2
2hx + h2
=
h
h
=
2x + h
f2 (x + h) − f2 (x)
= lim (2x + h) = 2x e (5.2) è verificata.
h→0
h
Per il caso generale di n ∈ N, e ragionando per induzione e usando il teorema della derivazione del prodotto
si trova
D xn+1
= D (xn · x) = D (xn ) · x + xn D (x)
quindi lim
h→0
= nxn−1 · x + xn = nxn + xn
=
(n + 1) xn
Dunque (5.2) è verificata per ogni n ∈ N.
5.2.2
Funzione esponenziale di base e
Questa è la derivata più importante in tutta l’Analisi Matematica. La funzione
E(x) = ex
è derivabile per ogni x ∈ R e vale
E 0 (x) = ex = E(x)
Dunque la funzione esponenziale è un punto unito dell’operatore di derivazione.
Infatti si ha fissato x ∈ R preso un incremento h 6= 0
E(x + h) − E(x)
ex+h − ex
eh − 1 x
=
=
e
h
h
h
Ora ricordato il limite notevole (L5), pagina 131:
lim
h→0
abbiamo dimostrato la (5.3)
eh − 1
=1
h
(5.3)
142
5. Calcolo differenziale
5.2.3
Funzione esponenziale di base qualunque
Se a > 0 la funzione
A(x) = ax
è derivabile per ogni x ∈ R e si ha
A0 (x) = ax ln a
(5.4)
Infatti:
A(x + h) − A(x)
h
=
=
ax+h − ax
ax ah − ax
=
h
h
h
x a −1
a ·
h
Ora ricordato il limite notevole (L6):
ah − 1
= ln a
h→0
h
lim
si ottiene la (5.4)
5.2.4
Funzione logaritmo naturale
La funzione, definita per x > 0:
L(x) = ln x
è derivabile per ogni x > 0 e la sua derivata è
L0 (x) =
1
x
(5.5)
Infatti se x > 0 preso un h tale che x + h > 0 si ha
L(x + h) − L(x)
h
=
=
ln(x + h) − ln x
1 x+h
= ln
h
h
x
"
h1
x # x1
h h
h
= ln 1 +
ln 1 +
x
x
Di conseguenza
L(x + h) − L(x)
= lim ln
lim
h→0
h→0
h
5.2.5
"
h
1+
x
hx # x1
1
= ln e x =
1
x
Funzione seno goniometrico
La funzione, definita per ogni x ∈ R
S(x) = sin x
è derivabile per ogni x ∈ R e vale
S 0 (x) = cos x
Infatti preso h ∈ R si ha, usando la formula di prostaferesi (4.3) pagina 116:
S(x + h) − S(x)
h
=
=
sin(x + h) − sin x
h
x+h−x
x+h+x
h
2 sin
cos
sin
2
2
2 cos 2x + h
=
h
h
2
2
(5.6)
5.3. Retta tangente ad una funzione
143
Ora ricordati il limite notevole (L1) e la continuità della funzione coseno abbiamo
S(x + h) − S(x)
lim
h→0
h
=
=
5.2.6
h
2 cos 2x + h
h
2
2
sin
lim
h→0
1 · cos x = cos x
Funzione coseno goniometrico
La funzione, definita per ogni x ∈ R
C(x) = cos x
è derivabile per ogni x ∈ R e vale
C 0 (x) = − sin x
(5.7)
La prova, analoga a quella appena presentata per la funzione seno, è lasciata per esercizio.
5.2.7
Funzione tangente goniometrica
La funzione, definita per ogni x ∈ R, x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z
T (x) = tan x
è derivabile e vale
T 0 (x) = 1 + tan2 x
(5.8)
In questo caso possiamo applicare le due formule di derivazione (5.6) e (5.7) e il Teorema 5.1.3 sulla derivata
del quoziente.
sin x
cos x · cos x − (− sin x) · sin x
T 0 (x) = D
=
cos x
cos2 x
=
5.3
cos2 x + sin2 x
sin2 x
=
1
+
= 1 + tan2 x
cos2 x
cos2 x
Retta tangente ad una funzione
Ragioniamo sul significato geometrico della nozione di derivata.
y
f HxL
f HxL
f Hx0 L
f Hx0 L
y
f HxL
x0
x
x
x0
x
x
x
144
5. Calcolo differenziale
La corda tracciata in rosso ha coefficiente angolare
α=
f (x) − f (x0 )
x − x0
per x → x0 la corda si dispone verso la retta tangente. Assumere che esista finito il limite (5.1) significa
assumere che il grafico di f (x) è dotato di retta tangente in x0 e che il valore del limite (5.1) è il coefficiente
angolare di tale retta tangente. Non è detto che la retta tangente esista: in alcune situazioni caso della cuspide
y
f Hx0 L
x
x0
la tangente è verticale, il che significa che il limite (5.1) è infinito, oppure esistono due tangenti distinte, caso
del punto angoloso. I grafici sono quelli delle due funzioni:
p
f (x) = |x − 1|, f (x) = |x − 1|
rispettivamente.
y
y
x
x
In conseguenza della nostra discussione geometrica sul significato della derivata abbiamo che l’equazione
della retta tangente al grafico di f nel punto x0 è
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 )
(5.9)
L’equazione della retta tangente (5.9) permette di trattare problemi come quello che presentiamo nell’esempio seguente.
5.3. Retta tangente ad una funzione
145
Esempio 5.3.1. Trovare le equazioni delle rette passanti per il punto P(1, 2) tangenti alla parabola di equazione
cartesiana y = x2 + 1.
Osserviamo che questo tipo di problema può essere trattato con metodi elementari senza ricorrere alla
nozione di derivata. Infatti, osservato che il punto P appartiene alla parabola, senza usare la derivata si
procede, in modo molto più lento usando il fascio di rette per P di equazione
y = 2 + m(x − 1)
e lo si lega a sistema con l’equazione della parabola
(
y = 2 + m(x − 1)
y = x2 + 1
uguagliando si trova l’equazione di secondo grado in x
x2 − mx + m − 1 = 0
si ha tangenza se il discriminante si annulla
m2 − 4m + 4 = 0 ⇐⇒ (m − 2)2 = 0
quindi m = 2 pertanto la retta tangente è
y = 2 + 2(x − 1) = 2x
questo ci conferma che la derivata in x0 = 1 della funzione f (x) = x2 + 1 vale 2. Naturalmente usando la
formula (5.9) si perviene alla stessa determinazione con il solo calcolo di f 0 (1) = 2.
y
2
1
x
Figura 5.1: f (x) = x2 + 1, y = 2x
La derivata permette di trattare problemi più generali, dove l’algebra è o inservibile o troppo difficile. Se
avessimo posto il problema di trovare le equazioni delle rette passanti per il punto P(1, 2) tangenti alla parabola
cubica di equazione cartesiana
y = f (x) = x3 + 1
applicando la (5.9) si trova f 0 (1) = 3 pertanto la retta tangente ha equazione
y = 2 + 3(x − 1) = 3x − 1
146
5. Calcolo differenziale
Il procedimento algebrico ci avrebbe condotto alla ricerca di valori del parametro m per cui la retta y =
2 + m(x − 1) è tangente alla curva del terzo ordine di equazione y = x3 + 1 che porta ad imporre che l’equazione
di terzo grado
x3 − mx + m − 1 = 0
abbia due radici coincidenti.
y
2
x
1
Figura 5.2: f (x) = x3 + 1, y = 3x − 1
5.4
Il teorema di Darboux
Se f : I → R è una funzione derivabile non si può, a priori dedurre che la derivata f 0 : I → R sia continua. Ad
esempio

x2 sin 1
se x 6= 0
f (x) =
x
0
se x = 0
è derivabile in ogni punto. La sua derivata:

2x sin 1 − cos 1
f 0 (x) =
x
x
0
se x 6= 0
se x = 0
non è una funzione continua nell’origine.
Nonostante non si possa a priori dire che la funzione derivata f 0 : I → R sia continua, f 0 mantiene la proprietà
dei valori intermedi. Il comportamento della funzione f 0 (x) se f (x) è derivabile per ogni x nell’intervallo I è
studiato nel prossimo teorema, dovuto a Darbox1 .
Teorema 5.4.1. Se f : I → R è una funzione derivabile, presi a, b ∈ I tali che a < b e che f 0 (a) < f 0 (b), allora
per ogni reale k tale che f 0 (a) < k < f 0 (b) esiste almeno un punto x ∈ ]a, b[ tale per cui f 0 (x) = k
Dimostrazione. Si ponga g(x) = f (x)−kx. La funzione g soddisfa le ipotesi del Teorema di Weierstrass nell’intervallo [a, b] . Indichiamo con xm un punto di minimo per g e, siccome g 0 (a) = f 0 (a) − k < 0 e g 0 (b) = f 0 (b) − k > 0
tale punto di minimo deve essere interno all’intervallo, dunque, per il Teorema di Fermat deve essere:
g 0 (xm ) = 0,
1
Jean Gaston Darboux (1842–1917)
5.5. Derivate successive
147
dunque:
f 0 (xm ) = k,
come volevasi.
In conseguenza del Teorema di Darboux abbiamo quindi che la funzione f 0 non può discontinuità di tipo
salto in ]a, b[ . In particolare, se una funzione ha in un intervallo derivata sempre diversa da zero, si ha che il
segno della derivata non cambia. In altri termini f 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈ I equivale a ipotizzare che o f 0 (x) < 0 o
f 0 (x) > 0 per ogni per ogni x ∈ I. Questa osservazione sarà ripresa quando tratteremo i teoremi di de l’Hôpital
nel paragrafo 5.9.
5.5
Derivate successive
Se f : I → R è una funzione, definita nell’intervallo I derivabile per ogni x ∈ I, ha senso studiare la derivabilità
della funzione f 0 : I → R.
Definizione 5.5.1. Diremo che la funzione f : I → R è dotata di derivata seconda in x0 ∈ I se risulta derivabile
in x0 la funzione derivata f 0 . Dunque f è dotata di derivata seconda se esiste finito:
f 00 (x0 ) = lim
x→x0
f 0 (x) − f 0 (x0 )
.
x − x0
(5.10)
La derivata seconda di f in x0 si indica con una delle seguenti notazioni
f 00 (x0 ),
D2 f (x0 ),
f (2) (x0 ),
d2
f (x0 )
dx2
In pratica è sufficiente derivare la derivata prima. Ad esempio se f (x) = x2 si ha:
f 0 (x) = 2x =⇒
f 00 (x) = 2.
È possibile continuare nel processo di derivazione e considerare derivate terze, quarte, etc.. . . La derivata di
ordine n ∈ N si denota con
dn
Dn f (x0 ), f (n) (x0 ),
f (x0 )
dxn
Dunque diciamo che f è n + 1-volte derivabile in x0 se esiste il limite
(f (n) )0 (x0 ) = lim
x→x0
f (n) (x) − f (n) (x0 )
x − x0
Dalle proprietà di linearità e omogeneità della derivata seguono subito le due relazioni, valide in tutti i punti
x nell’intervallo I in cui f e g sono definite e dotate di derivata di ordine n ∈ N
Dn (f + g)(x) = Dn f (x) + Dn g(x),
Dn (λf )(x) = λDn f (x)
ove λ ∈ R è una costante reale.
Invece la derivata di ordine n del prodotto di due funzioni f e g è un fatto meno immediato, essa è data
dalla formula di Leibnitz
n X
n
Dn (f g)(x) =
Dk f (x)Dn−k g(x)
(5.11)
k
k=0
La formula (5.11) si dimostra ragionando per induzione, lasciamo la sua prova come esercizio.
148
5. Calcolo differenziale
5.6
Derivabilità nel senso di Carathéodory
La nozione di derivata, intesa come limite del rapporto incrementale di una funzione equazione (5.1), nella
forma in cui l’abbiamo presentata, è dovuta a Augustin Louis Cauchy che la propose nel 1821. Nondimeno, la
rivisitazione del concetto di derivata, proposta dal matematico tedesco di origine greca Costantin Carathéodory
(1873-1950) è assai utile, in quanto ci permetterà di formulare, in modo semplice, alcune dimostrazioni di
importanti teoremi, quali quelli relativo alla derivabilità della funzione composta e della funzione inversa. Carathéodory, riprese a sua volta la rivisitazione di Weierstrass risalente al 1861. Prima di formulare la nozione di
derivata secondo Carathéodory facciamo una breve considerazione sulla derivata nel senso di Cauchy. Nel definire la derivata si fissa un punto particolare, diciamolo qui x0 , dell’intervallo I, in cui è definita la funzione f (x),
e si incrementa di una quantità h il punto x0 considerando poi il limite per h → 0 del rapporto incrementale:
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Quello che qui si vuole porre all’attenzione del lettore è che anziché pensare di incrementare il punto x0 , possiamo
pensare di valutare la funzione f (x) vicino al punto x0 . Dunque, ponendo x = x0 + h, il rapporto incrementale
può essere scritto come:
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
pertanto la funzione f (x) sarà derivabile, nel senso di Cauchy, in x0 se esiste:
lim
x→x0
Ciò premesso diamo la:
f (x) − f (x0 )
= f 0 (x0 ) ∈ R.
x − x0
Definizione 5.6.1. Siano I un intervallo, x0 ∈ I e sia data una funzione f : I → R. Diremo che f è derivabile
in x0 nel senso di Carathéodory se e solo se esiste una funzione ϕ : I → R, continua in x0 tale che:
f (x) = f (x0 ) + ϕ(x) (x − x0 ) .
Il numero reale ϕ(x0 ) è detto derivata prima di f in x0 e viene indicato con f 0 (x0 ).
La definizione ora data è ben posta in quanto ϕ(x) è univocamente determinata, essendo:
ϕ(x) =
f (x) − f (x0 )
x − x0
se x 6= x0 .
Ora è fondamentale capire subito che le due diverse nozioni di derivata coincidono, nel senso che si ha il seguente:
Teorema 5.6.1. La funzione f (x) è derivabile nel senso di Carathéodory se e solo se essa è derivabile nel senso
di Cauchy.
Dimostrazione. Supponiamo che f (x) sia Carathéodory-derivabile. Dobbiamo dimostrare che f (x) è Cauchyderivabile. Scriviamo il rapporto incrementale:
f (x) − f (x0 )
ϕ(x) (x − x0 )
=
= ϕ(x).
x − x0
x − x0
Per ipotesi ϕ(x) è continua ed il suo limite per x → x0 è per definizione la derivata prima di f (x) in x0 , f 0 (x0 ).
Supponiamo ora che f (x) sia Cauchy-derivabile e proviamo che f (x) è anche Carathéodory derivabile. Se
x 6= x0 poniamo:
f (x) − f (x0 )
ϕ(x) =
,
x − x0
da cui, evidentemente, segue f (x) = f (x0 ) + ϕ(x) (x − x0 ) . L’ipotesi di Cauchy-derivabilità assicura l’esistenza
del limite per x → x0 di ϕ(x) e questo assicura a sua volta la continuità in x0 di ϕ(x) e quindi la tesi.
5.7. Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa
5.7
5.7.1
Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa
Derivata della funzione composta
La dimostrazione della regola per la derivazione della funzione composta risulta estremamente semplice, ma sopratutto elegante, se si sfrutta la nozione di derivabilità secondo Carathéodory, che, come sappiamo è equivalente
a quella classica di Cauchy, che vede la derivata come limite del rapporto incrementale.
Teorema 5.7.1. Sia g : I → R una funzione derivabile in x0 ∈ I e sia f : J → R una funzione derivabile in
z0 = g(x0 ). Allora la funzione composta (f ◦ g)(x) = f (g(x)) è ben definita in un intorno di x0 e la sua derivata
in x0 vale:
(f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 )
(5.12)
Dimostrazione. Per ipotesi la derivabilità di f in z0 = g(x0 ) e quella di g in x0 portano alle due equazioni:
g(x) − g(x0 ) = ϕ1 (x) (x − x0 ) , ϕ01 (x0 ) = g 0 (x0 )
f (z) − f (z0 ) = ϕ2 (z) (z − z0 ) , ϕ02 (z0 ) = f 0 (z0 ).
Ora, tenendo conto della prima equazione e sostituendo nella seconda, seguendo lo schema z − z0 = g(x) − g(x0 )
abbiamo:
f (g(x)) − f (g(x0 )) = ϕ2 (g(x)) (g(x) − g(x0 ))
= ϕ2 (g(x)) ϕ1 (x) (x − x0 ) .
La funzione ϕ(x) = ϕ2 (g(x)) ϕ1 (x) è per costruzione continua in x0 e si ha:
ϕ(x0 ) = ϕ2 (g(x0 )) ϕ1 (x0 ) = f 0 (g(x0 )) g 0 (x0 ),
il che, tenendo conto della definizione di derivata secondo Carathéodory, completa la dimostrazione.
2
Esempio 5.7.1. La funzione ϕ(x) = ex è la composizione di f (z) = ez e di g(x) = x2 . Quindi essendo
f 0 (z) = ez e g 0 (x) = 2x si ha
2
ϕ0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x) = ex (2 x )
Non è difficile generalizzare: se g è una funzione derivabile, posto ϕ(x) = eg(x) si ha
ϕ0 (x) = g 0 (x)eg(x)
5.7.2
Funzioni iperboliche
Sfruttiamo la regola per la derivazione delle funzioni composte ed il successivo esempio per studiare il comportamento delle cosiddette funzioni iperboliche.
Se x ∈ R si pone:
sinh x =
ex + e−x
ex − e−x
ex − e−x
, cosh x =
, tanh x = x
.
2
2
e + e−x
Si tratta di funzioni continue per ogni x ∈ R, sinh x si dice seno iperbolico di x, cosh x coseno iperbolico di x e
tanh x tangente iperbolica di x. Valgono le relazioni:
cosh2 x − sinh2 x = 1, tanh x =
sinh x
.
cosh x
149
150
5. Calcolo differenziale
y
x
Figura 5.3: x2 − y 2 = 1
La ragione del nome sta nel fatto che le equazioni parametriche:
(
x(t) = cosh t,
y(t) = sinh t,
descrivono, al variare di t ∈ R, l’iperbole equilatera di equazione cartesiana x2 − y 2 = 1. Da notare la analogia
con le equazioni parametriche:
(
x(t) = cos t,
y(t) = sin t,
che descrivono, al variare di t ∈ R, la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 1.
Per calcolare le derivate delle funzioni iperboliche sfruttiamo quanto esposto nell’esempio 5.7.1 per dedurre
che
0
e−x = −e−x .
Si vede subito allora che:
0
ex + (−e−x )
= cosh x.
2
0
ex − (−e−x )
= sinh x.
2
(sinh x) =
Analogamente:
(cosh x) =
Infine applicando la regola per la derivazione del quoziente troviamo:
0
(tanh x) =
cosh2 x − sinh2 x
= 1 − tanh2 x.
cosh2 x
Riassumendo:
0
(sinh x) = cosh x,
0
(cosh x) = sinh x,
0
(tanh x) = 1 − tanh2 x.
Il lettore è invitato a riflettere sulle analogie con le regole di derivazione per le funzioni circolari.
5.7. Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa
5.7.3
151
Potenza con esponente reale
Un’altra importante applicazione del Teorema 5.7.1 riguarda la generalizzazione dei risultati esposti in 5.2.1
relativi alla formula di derivazione (5.2). Ricordiamo la definizione di potenza ad esponente reale. Se α ∈ R e
x > 0 si definisce la potenza ad esponente reale xα mediante la posizione
xα := eα ln x
(5.13)
Applicando il Teorema 5.7.1 alla formula (5.13) vediamo per x > 0 che posto
R(x) = xα
la funzione R è derivabile e si ha
R0 (x) = (α ln x)0 eα ln x =
α α
x = αxα−1
x
Dunque la formula (5.2) vale anche se l’esponente è preso in R e non solo in N.
In particolare se α = 1/2 abbiamo
√ 0
1
x = √
2 x
5.7.4
Derivata della funzione inversa
Teorema 5.7.2. Sia f : I → f (I) una funzione invertibile, I intervallo reale. Se f derivabile in x0 ∈ I e se
riesce f 0 (x0 ) 6= 0 la funzione inversa f −1 : f (I) → I è derivabile in y0 = f (x0 ) e vale la formula:
D f −1 (y0 ) =
1
f 0 (x
0)
Dimostrazione. La derivabilità di f in x0 , secondo la definizione di Carathéodory significa che esiste una funzione
ϕ(x), continua nel punto x0 , tale per cui f (x) − f (x0 ) = ϕ(x)(x − x0 ) e tale che ϕ(x0 ) = f 0 (x0 ). Dobbiamo
provare che f −1 (y) è derivabile in y0 = f (x0 ). Poniamo x = f −1 (y), x0 = f −1 (y0 ) e, quindi si ha anche y = f (x)
e y0 − f (x0 ). Scriviamo la relazione di Carathéodory come:
y − y0 = ϕ f −1 (y) f −1 (y) − f −1 (y0 ) .
Dall’ipotesi segue, inoltre, che ϕ f −1 (y0 ) = ϕ (x0 ) = f 0 (x0 ) 6= 0, quindi per il teorema della permanza del
segno esiste un intorno V0 di y0 tale per cui si ha ϕ f −1 (y) 6= 0 per ogni y ∈ V0 , ma allora possiamo ricavare
f −1 (y) − f −1 (y0 ):
1
f −1 (y) − f −1 (y0 ) =
(y − y0 ) .
ϕ (f −1 (y))
Ne segue che la dimostrazione è conclusa, osservato che, per la continuità della funzione inversa, la funzione
ϕ f −1 (y) è continua in y0 .
C’è una considerazione importante da fare sul teorema appena provato nei riguardi dell’ipotesi f 0 (x0 ) 6= 0.
Tale ipotesi è indispensabile: la tesi del teorema diventa falsa se essa viene meno. Si pensi ad esempio alla
√
funzione f (x) = x3 . Tale funzione è certamente invertibile e la sua inversa è la funzione f −1 (y) = 3 y. Nel
0
−1
punto x0 = 0 si ha f (x0 ) = 0 e nel corrispondente punto y0 = f (x0 ) = 0 la derivata prima non esiste,
in quanto il limite del rapporto incrementale
non è finito. Questo non deve soprendere, per ottenere la tesi
abbiamo dovuto dividere per ϕ f −1 (y0 ) e la divisione per zero è proibita.
152
5. Calcolo differenziale
0
x + 30
determiniamo f −1 (3).
x + 10
Primo passo: conosciamo y0 = 3 ma ci serve x0 . Dunque va risolta l’equazione
Esempio 5.7.2. Sia f (x) =
f (x) = y0 ⇐⇒
x + 30
= 3 ⇐⇒ x0 = 0
x + 10
Secondo passo calcoliamo f 0 (x0 ) = f 0 (0). Si ha essendo
f 0 (x) = −
20
(x + 10)2
1
che f 0 (0) = − . Terzo ed ultimo passo:
5
0
f −1 (3) =
1
= −5.
f 0 (0)
Alla stessa conclusione si poteva arrivare risolvendo per x l’equazione
x + 30
=y
x + 10
derivando rispetto ad y e calcolando in y0 = 3. Lasciamo la verifica per esercizio.
I seguenti due esempi mostrano come usando il Teorema 5.7.2 si ritrovano derivate che avevamo già avuto
modo di calcolare con altri metodi.
√
Esempio 5.7.3. Se f (x) = x2 , x > 0 l’inversa g(y) è la funzione radice quadrata g(y) = y. Se y0 > 0 è tale
2
che y0 = x0 , allora:
1
1
1
=
= √
g 0 (y0 ) = 0
f (x0 )
2x0
2 y0
Esempio 5.7.4. Se f (x) = ex , x ∈ R l’inversa g(y) è la funzione logaritmo: g(y) = ln y. Se y0 > 0 è tale che
y0 = ex0 , allora:
1
1
1
= x0 =
g 0 (y0 ) = 0
f (x0 )
e
y0
Nei prossimi esempi invece otteniamo nuove importanti derivate, quelle delle inverse delle funzioni goniometriche e iperboliche.
Esempio 5.7.5. Derivata di arcsin y. Sia x ∈ − π2 , π2 e sia y = sin x.
(arcsin y)0 =
1
1
1
1
=
=p
=p
(sin x)0
cos x
1 − y2
1 − sin2 x
Esempio 5.7.6. Derivata di arccos y. Sia x ∈ [0, π] e sia y = cos x.
(arccos y)0 =
1
1
1
1
= −√
= −p
=−
(cos x)0
sin x
1 − cos2 x
1 − y2
Osservazione 5.7.1. Per quanto appena mostrato, la funzione y 7→ arcsin y + arccos y ha derivata nulla.
Esempio 5.7.7. Derivata di arctan y. Sia x ∈ − π2 , π2 e sia y = tan x.
(arctan y)0 =
1
1
1
=
=
(tan x)0
1 + y2
1 + tan2 x
5.7. Derivata della funzione composta e derivata dell’inversa
153
Esempio 5.7.8. Derivata di arcsinh y. La funzione seno iperbolico:
sinh x =
ex − e−x
2
è strettamente crescente da R → R essendo la semisomma di due funzioni strettamente crescenti: ex e −e−x .
La sua funzione inversa, detta arcoseno iperbolico viene denotata con arcsinh y è globalmente definita. La sua
derivata è:
1
1
1
1
0
=
(arcsinh y) =
=p
=p
0
2
(sinh x)
cosh x
1 + y2
1 + sinh x
Alla stessa conclusione si poteva arrivare risolvendo per x l’equazione
p
sinh x = y ⇐⇒ x = ln y + 1 + y 2 = arcsinh y
e poi derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.
Esempio 5.7.9. Derivata di arccosh y. La funzione coseno iperbolico:
cosh x =
ex + e−x
2
non è strettamente crescente da R → R. Si tratta infatti di una funzione pari. La sua inversa non è globalmente
definita. Tuttavia la restrizione a x ≥ 0 è una funzione strettamente crescente. La funzione inversa è definita
per y > 1 e la sua derivata è:
(arccosh y)0 =
1
1
1
1
.
=
=p
=p
2
2
(cosh x)0
sinh x
y −1
cosh x − 1
Alla stessa conclusione si poteva arrivare risolvendo per x l’equazione
p
cosh x = y ⇐⇒ x = ln y + y 2 − 1 = arccosh y,
y ∈ [1, ∞[
e derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.
Esempio 5.7.10. Derivata di arctanh y. La funzione tangente iperbolica:
tanh x =
ex − e−x
ex + e−x
è strettamente crescente da R → R. La sua inversa arcytanh y è globalmente definita. La derivata, definita per
−1 < y < 1 è:
1
1
1
0
(arctanh y) =
=
0 =
1 − y2
(tanh x)
1 − tanh2 x
Alla stessa conclusione si poteva arrivare risolvendo per x l’equazione
tanh x = y ⇐⇒ x =
1
1+y
ln
= arctanh y,
2
1−y
y ∈ ]−1, 1[
derivando rispetto ad y il secondo membro dell’ultima uguaglianza. Lasciamo questa verifica per esercizio.
154
5. Calcolo differenziale
Figura 5.4: Giuseppe Lodovico La Grangia (gallicizzato Lagrange) Torino 1736 - Parigi, 1813
5.7.5
Derivate successive della funzione inversa
Data una funzione f invertibile che soddisfa le ipotesi del teorema sulla derivata della funzione inversa 5.7.2 se
assumiamo che f sia dotata di derivata seconda si pone il problema di determinare la derivata seconda della
funzione inversa. Il problema in questione è risolto dalla regola di Lagrange.
Teorema 5.7.3. Se f : I → R è una funzione derivabile due volte nell’intevallo I con derivata prima diversa da
zero, e invertibile, allora se g denota la funzione inversa di f , posto y = f (x) la derivata seconda della funzione
inversa g è data dalla formula
f 00 (x)
g 00 (y) = −
3
(f 0 (x))
Dimostrazione. Dal fatto che g è l’inversa di f abbiamo che per ogni x ∈ I riesce
g (f (x)) = x
(5.14)
e da questa, siccome per il teorema 5.7.2 la funzione g è derivabile, derivando l’uguaglianza (5.14), usando il
teorema per la derivazione della funzione composta 5.7.1 possiamo concludere che
g 0 (f (x)) · f 0 (x) = 1
(5.15)
A questo punto deriviamo (5.15) trovando
2
g 00 (f (x)) · (f 0 (x)) + f 00 (x) · g 0 (f (x)) = 0
(5.16)
Quindi ricavando g 00 (f (x)) = g 00 (y) da (5.16) e applicando ancora il teorema sulla derivata prima dell’inversa
5.7.2 otteniamo la tesi
f 00 (x)g 0 (f (x))
f 00 (x)
g 00 (y) = −
=−
2
3
(f 0 (x))
(f 0 (x))
5.8. I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo
155
E possibile proseguire e determinare le derivate successive dell’inversa di una funzione, qui ci limitiamo ad
elencarne alcune rinviando al bell’articolo [Joh02] per approfondimenti.
2
f (2) (x)
f (3) (x)
g (3) (y) = 3
−
5
4
(f 0 (x))
(f 0 (x))
2
f (3) (x)
f (2) (x)f (3) (x)
f (4) (x)
g (4) (y) = −15
−
7 + 10
6
5
0
0
(f (x))
(f (x))
(f 0 (x))
5.8
5.8.1
I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo
Teoremi di Fermat e Rolle
Definizione 5.8.1. Sia I un intervallo di R e f : I → R. Il punto x0 ∈ I è detto punto di massimo relativo
per f se esiste δ > 0 tale per cui ]x0 − δ, x0 + δ[ ⊂ I e per ogni x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ si ha f (x0 ) ≥ f (x). Il punto
x0 è un minimo relativo per f se x0 è massimo relativo per −f.
Il Teorema di Fermat (1601–1665) caratterizza il comportamento delle funzioni derivabili in corrispondenza
di punti di massimo e minimo relativi, e costituisce il primo fondamentale passo per lo studio del comportamento
globale di una funzione derivabile.
Teorema 5.8.1. Sia I un intervallo di R. Se f : I → R è una funzione derivabile nel punto x0 massimo relativo
per f . Se x0 è interno al I allora f 0 (x0 ) = 0.
Dimostrazione. Fissiamo x ∈ ]x0 − δ, x0 + δ[ . Il segno della frazione:
f (x) − f (x0 )
x − x0
è positivo se x < x0 ed è negativo per x > x0 . Pertanto:
0
f+
(x0 ) = lim+
f (x) − f (x0 )
≤ 0,
x − x0
0
f−
(x0 ) = lim−
f (x) − f (x0 )
≥0
x − x0
x→x0
Analogamente
x→x0
L’ipotesi di derivabilità implica
0
0
f+
(x0 ) = f−
(x0 ) = f 0 (x0 ) =⇒ f 0 (x0 ) = 0.
La prima conseguenza del Teorema di Fermat 5.8.1 è il Teorema di Rolle risalente al 1690.
dimostrazione, dato il Teorema di Fermat e quasi immediata.
La sua
Teorema 5.8.2. Se f : [a, b] → R è una funzione continua su [a, b] e derivabile in ]a, b[ e se f (a) = f (b), esiste
almeno un elemento x ∈ ]a, b[ tale che f 0 (x) = 0.
Dimostrazione. Se f non è una funzione costante, caso in cui la tesi segue banalmente, possiamo supporre, senza
perdita di generalità, che f assuma, ad esempio massimo assoluto, in conseguenza del Teorema di Weierstrass
4.8.4, in un punto interno xM ∈ ]a, b[, ma in tale punto, sappiamo dal Teorema di Fermat che deve essere
f 0 (xM ) = 0.
156
5. Calcolo differenziale
y
x
Figura 5.5: Teorema di Fermat
y
x
5.8.2
I Teoremi di Lagrange e Cauchy
Teorema 5.8.3 (Lagrange 1797). Se f : [a, b] → R è una funzione continua su [a, b] e derivabile in ]a, b[ si ha
che esiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:
f (b) − f (a) = f 0 (x)(b − a);
Dimostrazione. Si consideri la funzione ϕ(x), definita per x ∈ [a, b] da:
ϕ(x) = (f (b) − f (a)) x − (b − a) f (x).
Si vede che ϕ(b) = ϕ(a), quindi esiste, per il teorema di Rolle un elemento x ∈ ]a, b[ tale che ϕ0 (x) = f (b) −
f (a) − (b − a) f 0 (x) = 0.
Il Teorema di Lagrange fu generalizzato nel 1821 da Cauchy.
5.8. I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo
y
x
Figura 5.6: Teorema di Lagrange
Teorema 5.8.4. [Cauchy 1821] Se f, g : [a, b] → R sono funzioni continue su [a, b] e derivabili in ]a, b[ si ha che
esiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:
[f (b) − f (a)] g 0 (x) = [g(b) − g(a)] f 0 (x);
Dimostrazione. Basta prendere:
ϕ(x) = (f (b) − f (a)) g(x) − (g(b) − g(a)) f (x).
e applicare il Teorema di Rolle.
Osservazione 5.8.1. Il teorema di Lagrange scende dal Teorema di Cauchy nel caso particolare g(x) = id(x) =
x
La formulazione originale del Teorema di Cauchy del 1821 in Cours d’analyse algébrique, Oeuvres série 2,
vol III. era in effetti la seguente:
Teorema (Cauchy, 1821, forma originale). Se f, g : [a, b] → R sono funzioni continue su [a, b] e derivabili
in ]a, b[ e se g 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈ ]a, b[ si ha che esiste un elemento x ∈ ]a, b[ tale che:
f (b) − f (a)
f 0 (x)
= 0
.
g(b) − g(a)
g (x)
La formulazione originale è conseguenza immediata del Teorema 5.8.4. L’abbiamo esplicitata perché la
impiegheremo in un importante metodo per il calcolo di limiti in forma indeterminata.
5.8.3
Monotonia e segno della derivata
Il teorema di Lagrange ha un ruolo fondamentale per la ricerca degli intervalli in cui una funzione derivabile è
monotona.
Teorema 5.8.5. Se f 0 (x) > 0, per ogni x ∈ I allora f è strettamente crescente in I.
157
158
5. Calcolo differenziale
Dimostrazione. Siano x1 , x2 ∈ I con x1 < x2 . Per il Teorema di Lagrange sappiamo che esiste x ∈ ]x1 , x2 [ tale
che:
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x) (x2 − x1 )
Per ipotesi f 0 (x) > 0, d’altra parte anche x2 − x1 > 0, quindi
f (x2 ) > f (x1 )
Ovviamente si ha anche il risultato analogo per funzioni con derivata negativa.
Teorema 5.8.6. Se f 0 (x) < 0, per ogni x ∈ I allora f è strettamente decrescente in I.
Osservazione 5.8.2. Abbiamo cosı̀ individuato il metodo per la ricerca dei massimi e minimi relativi di una
funzione derivabile. Infatti:
f 0 (x) > 0 per x > x0 , f 0 (x) < 0 per x < x0 ⇒ x0 minimo relativo
f 0 (x) < 0 per x > x0 , f 0 (x) > 0 per x < x0 ⇒ x0 massimo relativo
Esempio 5.8.1. Sia f (x) = x ex , x ∈ R. Derivando otteniamo:
f 0 (x) = ex + x · ex = (1 + x) · ex .
Pertanto sappiamo come varia il segno della derivata prima, essendo:
f 0 (x) > 0 ⇔ x > −1
----------------------
++++++++++++++++++++
-1
Figura 5.7: Segno di f 0 (x)
Ricordata l’osservazione 5.8.2 abbiamo che xm = −1 è punto minimante. Il corrispondente valore dell’estremo è f (xm ) = f (−1) = −e−1 . Pertanto la funzione assegnata, tenuto anche conto del fatto che
lim f (x) = 0,
x→−∞
si rappresenta graficamente come nella figura sotto
lim f (x) = +∞
x→+∞
5.8. I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo
y
x
Esempio 5.8.2. Sia f (x) = x2 ex , x ∈ R. Derivando otteniamo
f 0 (x) = 2xex + x2 ex = x(2 + x) ex > 0 ⇔ x < −2 e x > 0
Quindi abbino la rappresentazione della variazione del segno di f 0 (x):
+++++++++
-------------------2
+++++++++
0
Dunque per l’osservazione 5.8.2 xm = 0 è punto minimante. Il valore corrispondente dell’estremo è f (0) = 0.
Mentre xM = −2 è punto massimante il corrispondente valore dell’estremo è f (−2) = 4e−2 . Pertanto la funzione
assegnata, tenuto anche conto del fatto che
lim f (x) = 0,
x→−∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
si rappresenta graficamente come nella figura seguente
y
x
159
160
5. Calcolo differenziale
Esempio 5.8.3. Determiniamo i massimi e minimi relativi della funzione f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1,
Si ha
f 0 (x) = 6 x2 − x − 2 = 6 (x − 2) (x + 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 ∨ x ≥ 2
x ∈ R.
Dunque per l’osservazione 5.8.2 xM = −1 è punto massimante e xm = 2 è punto minimante. I corrispondenti
valori estremi sono (−1, f (−1)) = (−1, 8) (2, f (2)) = (2, −19) . La variazione del segno di f 0 (x) è dunque
riepilogata dal grafico qui sotto
+++++++++ ---------------------------- +++++++++
-1
2
Osservato poi che:
lim
x→+∞
2x3 − 3x2 − 12x + 1 = +∞
lim
x→−∞
abbiamo il grafico della funzione f (x)
2x3 − 3x2 − 12x + 1 = −∞
y
x
5.8.4
Ricerca di massimi e minimi con il criterio della derivata seconda
Alla formulazione del criterio è necessario premettere un teorema che generalizza del teorema del valor medio
di Lagrange.
Teorema 5.8.7. Sia f : [a, b] → R una funzione con derivate prima e seconda continue. Esiste allora un
elemento c ∈ ]a, b[ tale che:
2
(b − a)
f (b) = f (a) + f 0 (a) (b − a) + f 00 (c)
.
2
Dimostrazione. Poniamo:
A=
Se x ∈ [a, b] definiamo la funzione:
f (b) − f (a) − f 0 (a) (b − a)
(b − a)
2
.
2
ϕ(x) = f (x) − f (a) + f 0 (a) (x − a) + A (x − a) .
5.8. I risultati fondamentali sulle funzioni derivabili in un intervallo
Si ha:
ϕ0 (x) = f 0 (x) − f 0 (a) − 2A (x − a) , ϕ00 (x) = f 00 (x) − 2A.
La tesi sarà provata facendo vedere che esiste un punto dell’intevallo ]a, b[ che annulla la derivata seconda ϕ00 (x).
Ora, siccome per costruzione abbiamo:
ϕ(a) = ϕ0 (a) = ϕ(b) = 0,
il teorema di Rolle assicura che esiste d ∈ ]a, b[ per cui ϕ0 (d) = 0. Ma, allora, possiamo applicare ancora una
volta il teorema di Rolle, questa volta alla funzione ϕ0 (x) nell’intervallo [a, d] possiamo concludere che esiste un
punto c ∈ [a, d] per cui ϕ00 (c) = 0 e in questo modo abbiamo ottenuto la tesi.
Sfruttando il teorema 5.8.7 possiamo formalizzare il criterio della derivata seconda per la ricerca dei massimi
e minimi.
Teorema 5.8.8. Sia f : [a, b] → R una funzione con derivate prima e seconda continue e sia x0 ∈ ]a, b] . Allora
se:
• f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) > 0 si ha che x0 è un punto di minimo locale,
• f 0 (x0 ) = 0, f 00 (x0 ) < 0 si ha che x0 è un punto di massimo locale.
Dimostrazione. Ci limitiamo a fornire la dimostrazione relativa al massimo, essendo analoga quella per il minimo. Per il teorema della permanza del segno esiste in intorno del punto x0 , che indicheremo con I(x0 ), tale
per cui, se x ∈ I(x0 ), si ha f 00 (x) < 0. Applicando il precedente teorema, prendendo b = x, a = x0 sappiamo
che esiste c ∈ I(x0 ) tale che:
2
(x − x0 )
.
f (x) = f (x0 ) + f 00 (c)
2
La tesi segue allora dal fatto che f 00 (c) < 0, in quanto:
2
f (x) = f (x0 ) + f 00 (c)
(x − x0 )
< f (x0 ).
2
Il teorema 5.8.8 si generalizza a derivate di ordine arbitrario come vedremo nel seguito.
5.8.5
Il teorema della derivata nulla
Nell’esempio 5.1.1 abbiamo visto che le funzioni costanti hanno derivata nulla. Grazie al teorema di Lagrange,
se opportune ipotesi sono verificate, l’affermazione può essere invertita, vale a dire che se una funzione, definita
su di un intervallo ha derivata nulla, essa è stazionaria.
Teorema 5.8.9. Se f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ I con I intervallo in R, allora f è costante.
Dimostrazione. Si ha, per il teorema di Lagrange, che:
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (x) (x2 − x1 ) = 0
dunque f è costante.
Il teorema 5.8.9 ha svariate importanti conseguenze. Ne vediamo subito alcune, mentre altre riguardano il
calcolo integrale, di cui ci occuperemo nel prossimo capitolo.
161
162
5. Calcolo differenziale
Corollario 5.8.9.1. Per ogni x ∈] − 1, 1[ si ha
π
2
(5.17)
1
π
=
x
2
(5.18)
1
π
=−
x
2
(5.19)
x
1 − x2
(5.20)
arcsin x + arccos x =
Per ogni x > 0 si ha
arctan x + arctan
Per ogni x < 0 si ha
arctan x + arctan
Per ogni x ∈ [0, 1[ si ha
5.9
arcsin x = arctan √
Forme indeterminate. Teoremi di de l’Hôpital
I teoremi, noti come teoremi di de l’Hôpital2 , sono uno strumento potentissimo per il calcolo di limiti che si
presentano in una della due forme indeterminate 0/0 e ∞/∞.
Per introdurre il primo dei teoremi di de l’Hôpital Consideriamo due funzioni f, g : I → R continue
nell’intervallo I. Se a ∈ I è tale che f (a) = g(a) = 0 e se f e g sono derivabili in un intorno N di a,
eventualmente privato del punto a e per ogni x ∈ N si ha g 0 (x) 6= 0. Come abbiamo osservato commentando il
teorema di Darboux, 5.4.1 questa ipotesi equivale a supporre che la derivata di g ha segno costante in N. Ora
in queste condizioni il limite (5.21)
f (x)
lim
(5.21)
x→a g(x)
√
porta ad una forma indeterminata 0/0. Ad esempio se f (x) = 1 + x − 1, g(x) = ln(1 + x) e [a, b] = [0, 1] il
limite (5.21) assume la forma
√
1+x−1
lim
(5.21a)
x→0 ln(1 + x)
Ora se assumiamo che esista il limite del quoziente delle derivate
f 0 (x)
=`
x→a g 0 (x)
lim
(5.22)
abbiamo che il limite assegnato (5.21) esiste ed è uguale al limite (5.22).
Riassumiamo enunciando il primo teorema di de l’Hôpital.
Teorema 5.9.1. Siano f, g : N → R due funzioni continue e derivabili in un intorno N =]a − r, a[∪]a, a + r[
del punto a tali che f (a) = g(a) = 0. Supponiamo che esista il limite
f 0 (x)
=`
x→a g 0 (x)
(5.22)
f (x)
=`
g(x)
(5.23)
lim
allora il limite (5.21) esiste e si ha
lim
x→a
2
Guillaume François Antoine de Sainte Mesme, marchese de l’Hôpital, o de l’Hospital (1661–1704)
5.10. Funzioni convesse
163
Dimostrazione. Prendiamo un punto b ∈ N tale che b > a. Per ipotesi le funzioni f e g sono continue su [a, b]
e derivabili su ]a, b[ e dunque verificano le ipotesi del teorema di Cauchy 5.8.4, ne segue allora che esiste un
elemento x̄ ∈]a, b[ tale che:
f 0 (x̄)
f (b) − f (a)
f (b)
=
=
g 0 (x̄)
g(b) − g(a)
g(b)
perché per ipotesi f (a) = g(a) = 0. Quando passiamo al limite per b → a+ essendo a < x̄ < b si ha che è anche
x̄ → a+ . D’altra parte per ipotesi abbiamo che il limite
lim+
f 0 (x)
g 0 (x)
lim
f (b)
g(b)
x̄→a
esiste e vale `. Ne segue che esiste anche il limite
b→a+
e anche esso vale `. Con la stessa tecnica si dimostra poi che anche il limite sinistro
lim−
x→a
f (b)
g(b)
esiste e vale ` provando il teorema.
In modo completamente analogo si dimostrano versioni del teorema 5.9.1 nelle seguenti situazioni:
• per lim f (x) = lim g(x) = ±∞ oppure solamente lim g(x) = ±∞
x→a
x→a
• per limiti sinistri x → b
x→a
−
• per f, g definite su intervalli illimitati si possono considerare i limiti per x → −∞ e per x → +∞
√
Calcoliamo ad esempio il limite (5.21a). In questo caso abbiamo f (x) = 1 + x − 1, g(x) = ln(1 + x) quindi
f (0) = g(0) = 0. Poi essendo
1
1
f 0 (x) = √
, g 0 (x) =
1+x
2 1+x
abbiamo
f 0 (x)
1
=
x→0 g 0 (x)
2
lim
dunque per il teorema 5.9.1 abbiamo che il limite (5.21a) esiste e vale 1/2.
5.10
Funzioni convesse
Definizione 5.10.1. Sia I un intervallo di R. Una funzione f : I → R si dice:
• convessa se per ogni u, v ∈ I ed ogni α ∈]0, 1[ si ha:
f ((1 − α)u + αv) ≤ (1 − α)f (u) + αf (v),
• strettamente convessa se per ogni u, v ∈ I u 6= v ed ogni α ∈]0, 1[ si ha:
f ((1 − α)u + αv) < (1 − α)f (u) + αf (v).
164
5. Calcolo differenziale
Il significato geometrico della definizione è che le funzioni convesse sono tali per cui la corda che congiunge
due punti qualsiasi del grafico della funzione giace al di sopra del grafico stesso.
f HxL
x1
x1 H1 - ΑL + Αx2
x2
x
Figura 5.8: convessità
Le funzioni concave ribaltano la proprietà, il loro grafico giace al di sopra della corda. Definire le funzioni
concave è dunque assai semplice, una funzione f (x) è concava se e solo se −f (x) è convessa.
f HxL
x
Figura 5.9: concavità
Per verificare in pratica se una data funzione sia convessa o meno, è di fondamentale importanza il prossimo
teorema che, nel caso di funzioni due volte derivabili, mette in relazione la convessità/concavità di una funzione
con il segno della derivata seconda.
Teorema 5.10.1. La funzione f : I → R con derivate prima e seconda continue è strettamente convessa se e
solo se risulta f (2) (x) > 0 per ogni x ∈ I.
La prova di questo teorema è molto lunga, preferiamo dividerla in alcuni passi. Cominciamo dimostrando
il:
5.10. Funzioni convesse
165
Lemma 5.10.1. Sia f : I → R strettamente convessa. Fissati x, z ∈ I con x < z, per ogni y ∈ (x, z) riesce:
f (y) − f (x)
f (z) − f (x)
f (z) − f (y)
<
<
.
y−x
z−x
z−y
(5.24)
Dimostrazione. Sia α ∈]0, 1[ , tale per cui y = αx + (1 − α)z . L’ipotesi di convessità su f fornisce f (y) <
α · f (x) + (1 − α) · f (z), da cui:
f (y) − f (x) < (1 − α) (f (z) − f (x)) .
D’altra parte, y − x = (1 − α)(z − x), in modo che si ha:
1−α=
y−x
.
z−x
Questo mostra la disuguaglianza a sinistra in (5.24). Analogamente, ancora per la convessità in senso stretto
di f , abbiamo:
1
f (x) > (f (y) − (1 − α)f (z)) ,
α
da cui:
1
f (z) − f (x) < (f (z) − f (y)) .
α
Poichè z − x = α−1 (z − y) si ha:
1
z−x
=
,
α
z−y
e questo prova la disuguaglianza destra in (5.24), e con ciò il lemma 5.10.1 è dimostrato.
Dal lemma 5.10.1 segue:
Lemma 5.10.2. Sia f : I → R una funzione strettamente convessa. Sia u ∈ I0; allora, se t ∈ R t 6= 0 la
funzione
f (u + t) − f (u)
, t 6= 0,
ρ(t) =
t
è crescente.
Dimostrazione. Siano t1 , t2 due reali non nulli. Se 0 < t1 < t2 , allora posto x = u, y = u + t1 e z = u + t2
f (u + t1 ) − f (u)
f (u + t2 ) − f (u)
<
,
t1
t2
quindi ρ(t1 ) < ρ(t2 ) . I casi t1 < 0 < t2 e t1 < t2 < 0 sono analoghi.
Il lemma 5.10.2 appena provato assicura l’esistenza dei limiti destro e sinistro del rapporto incrementale
della funzione f , dunque, se f è convessa esistono i limiti (destro e sinistro):
lim
t→0−
f (u + t) − f (u)
,
t
lim
t→0+
f (u + t) − f (u)
.
t
Attualmente però, limitandoci alle sole ipotesi formulate di convessità per f , tali limiti possono essere ±∞ , o
può accadere che:
f (u + t) − f (u)
f (u + t) − f (u)
lim
< lim+
.
(5.25)
t
t
t→0−
t→0
Se una funzione è dotata di derivata prima e questa è crescente, la funzione è convessa, infatti si ha:
166
5. Calcolo differenziale
Teorema 5.10.2. La funzione f : I → R di classe dotata di derivate prima e seconda continue è convessa se e
solo se la sua derivata f 0 (x) è una funzione crescente.
Dimostrazione. Supponiamo che f sia convessa. Dal lemma 5.10.1 con riferimento alla disuguaglianza a sinistra
in (5.25), vediamo che, passando al limite per y → x si ha:
f 0 (x) ≤
f (z) − f (x)
.
z−x
Analogamente la disuguaglianza a destra in (5.25) assicura che:
f (z) − f (x)
≤ f 0 (z),
z−x
ma, allora, questo comporta che f 0 (x) ≤ f 0 (z), il che dimostra la monotonia di f 0 .
Supponiamo, viceversa, che f 0 sia crescente. Presi x, y, z ∈ I con x < y < z applicando due volte il teorema
del valor medio vediamo che:
f (y) − f (x)
= f 0 (ξ1 ),
y−x
f (z) − f (y)
= f 0 (ξ2 )
z−y
per certi ξ1 , ξ2 tali che x < ξ1 < y < ξ2 < z. Ma allora da f 0 (ξ1 ) < f 0 (ξ2 ) si deduce che:
f (z) − f (y)
f (y) − f (x)
≤
,
y−x
z−y
il che per il lemma 5.10.1 implica la convessità di f.
Dimostrazione del teorema 5.10.1. Il fatto che la convessità di una funzione con derivate prima e seconda continue sia implicata dalla positività della derivata seconda è adesso evidente, dunque il teorema 5.10.1 può dirsi
dimostrato.
Ad esempio sono, quindi, strettamente convesse, tutte le parabole di equazione cartesiana y = ax2 + bx + c
con a > 0 e le funzioni funzioni esponenziali y = ax con base a > 1.
Assegnata una funzione f : I → R, definita su di un intervallo I può benissimo accadere che esistano uno o
più punti di tale intervallo in cui la convessità di una funzione, eventualmente studiata attraverso il segno della
derivata seconda, cambi. Tali punti vengono denominati punti di flesso, definiamoli rigorosamente. Premettiamo
che, nella definizione seguente f : I → R è una funzione continua, definita nell’intervallo I e x0 ∈ I è un punto
interno ad I, per il quale esista finito o infinito il limite del rapporto incrementale di f (x). Dunque esiste la retta
tangente al grafico di f (x) in x0 e tale retta può essere disposta orizzontalmente (f 0 (x0 ) = 0), obliquamente
(f 0 (x0 ) 6= 0 ma finito) oppure verticalmente (f 0 (x0 ) infinito).
Definizione 5.10.2. Diremo che la funzione f (x) ha un punto di flesso in x0 se esiste un intorno completo
I(x0 ) di x0 tale per cui:
• f (x) è strettamente convessa se x < x0 e strettamente concava se x > x0 ,
• f (x) è strettamente concava se x < x0 e strettamente convessa se x > x0 .
Nel primo caso si parla di flesso discendente. Nel secondo caso si parla di flesso ascendente.
Ad esempio f (x) = x ex ha un flesso ascendente in x0 = −2, infatti essendo f 00 (x) = (x + 2) ex abbiamo che
x < −2 =⇒ f 00 (x) < 0 e x > −2 =⇒ f 00 (x) > 0.
La funzione f (x) = −x e−x ha un flesso discendente in x0 = 2 in quanto f 00 (x) = −(x − 2) e−x e quindi
x < 2 =⇒ f 00 (x) > 0 e x > 2 =⇒ f 00 (x) < 0.
5.10. Funzioni convesse
167
y
y
x
x
Flesso discendente f (x) = −x e−x
Flesso ascendente f (x) = x ex
Il prossimo importante risultato formalizza un altro punto di vista geometrico interessante per l’interpretazione della nozione di convessità. Consideriamo una funzione convessa che sia derivabile in tutti punti interni
all’intervallo I in cui essa è definita e da un punto x0 ∈ I tracciamo la retta tangente al grafico di f (x)
y
f Hx0 L
x0
x
Osservando la figura vediamo che il grafico della funzione convessa f (x) è tutto al di sopra della retta
tangente, indipendentemente dalla scelta del punto da cui condurre la tangente. Questo fatto è mostrato
rigorosamente nel prossimo teorema.
Teorema 5.10.3. Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
• f è strettamente convessa;
• f (v) > f (u) + (v − u) f 0 (u) per ogni u, v ∈ I .
Dimostrazione. Supponiamo che f sia strettamente convessa. Per il lemma 5.10.2 sappiamo che la funzione:
ρ(t) :=
f (u + t) − f (u)
, t 6= 0
t
è crescente, quindi:
(v − u) f 0 (u)
=
=
f (u + t(v − u)) − f (u)
t
lim ρ(t) < ρ(1) = f (v) − f (u) .
lim
t→0
t→0
168
5. Calcolo differenziale
Reciprocamente, se si fissa α ∈]0, 1[ e si sceglie v = u, u = αv + (1 − α)u, allora:
f (u) > f ((1 − α)u + αv) + α (u − v) f 0 ((1 − α)u + αv).
(5.26)
Analogamente, se v = v, u = (1 − α)u + αv:
f (v) > f ((1 − α)u + αv) + (1 − α) (v − u) f ((1 − α)u + αv) .
(5.27)
Moltiplicando la disuguaglianza (5.26) per (1 − α) e la disuguaglianza (5.27) per α e sommando membro a
membro troviamo:
(1 − α)f (u) + αf (v) > f ((1 − α)u + αv)
Il che completa la dimostrazione.
Dal teorema 5.10.3 scende anche una caratterizzazione globale sulle funzioni strettamente convesse: esse
possono infatti avere, al più un punto critico.
Corollario 5.10.3.1. Sia f strettamente convessa e derivabile. Se u ∈ I un punto critico, allora:
f (u) = min f (v).
v∈I
0
Dimostrazione. Per ogni v ∈ I essendo f (u) = 0 si ha che:
f (v) > f (u) + (v − u) f 0 (u) = f (u)
come volevasi.
5.10.1
Applicazioni della nozione di convessità
Terminiamo con alcune applicazioni della nozione di convessità.
La definizione di convessità comporta che dati n numeri αi ∈ [0, 1] , i = 1, . . . , n tali che
punti xi ∈ I si ha:
f
n
X
i=1
αi · xi
!
≤
n
X
i=1
n
X
αi = 1 e dati n
i=1
αi · f (xi )
Da questa proprietà si deduce una importante disuguaglianza, fra le medie aritmetica, geometrica ed armonica.
Definizione 5.10.3. Se x1 , . . . , xn sono n numeri strettamente positivi allora diremo:
• media aritmetica di x1 , . . . , xn :
n
A(x1 , . . . , xn ) =
• media geometrica di x1 , . . . , xn :
G(x1 , . . . , xn ) =
• media armonica di x1 , . . . , xn :
"
1X
xi
n i=1
"
n
Y
i=1
n
xi
# n1
1X 1
H(x1 , . . . , xn ) =
n i=1 xi
#−1
.
5.11. Il metodo di Newton
169
Si ha allora il:
Teorema 5.10.4. Comunque si prendano n numeri positivi x1 , . . . , xn , si ha che:
H(x1 , . . . , xn ) ≤ G(x1 , . . . , xn ) ≤ A(x1 , . . . , xn )
Dimostrazione. Poniamo zi = ln xi dalla convessità di f (x) = ex segue che:
!
n
n
Y
X
zi
zi
1X
G(x1 , . . . , xn ) =
e n = exp
≤
exp zi = A(x1 , . . . , xn ),
n
n
i=1
i=1
In questo modo abbiamo la disuguaglianza a destra. A questo punto segue subito anche la disuguaglianza
sinistra i:
1
1
≤ = G(x1 , . . . , xn )
H(x1 , . . . , xn ) = 1
1
1
A x1 , . . . , xn
G x1 , . . . , x1n
La convessità della funzione esponenziale consente anche di dimostrare un’altra importante disuguaglianza.
Teorema 5.10.5. Se p, q > 1 sono due numeri reali tali che:
1 1
+ =1
p q
allora per ogni x, y ≥ 0 si ha:
xy ≤
1 p 1 q
x + y
p
q
Dimostrazione. Possiamo supporre che sia x, y > 0, essendo ovvia la tesi altrimenti. Si ha:
1
xy = eln(x·y) = eln x+ln y = e p ln x
5.11
p
+ q1 ln y q
≤
1 ln xp 1 ln yq
1
1
e
+ e
= xp + y q
p
q
p
q
Il metodo di Newton
Consideriamo la funzione f : [a, b] → R che assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo [a, b] .
Se f è continua esiste almeno un elemento r ∈ ]a, b[ per cui f (r) = 0. Se ammettiamo che f sia derivabile con
derivata di segno costante in ]a, b[ tale elemento r è unico. Nel prosieguo supporremo sempre che tale ipotesi
sia soddisfatta. Per fissare le idee sia f (a) < 0, f (b) > 0 e f 0 (x) > 0 per ogni x ∈ ]a, b[ . Tutto questo non
danneggia la generalità del ragionamento.
Fissiamo un punto x0 ∈ ]a, b[ tale che f (x0 ) > 0 e consideriamo la retta tangente alla curva y = f (x) nel
punto (x0 , f (x0 )) . Tale retta ha equazione y − f (x0 ) = f 0 (x0 ) (x − x0 ) . Calcoliamo ora l’ascissa x1 in cui la
retta tangente taglia l’asse delle x. Ponendo y = 0 ed eseguendo il calcolo, vediamo che:
x1 = x0 −
f (x0 )
.
f 0 (x0 )
La figura sopra mostra graficamente il procedimento per determinare il punto x1 . Facciamo anche notare
che è l’ipotesi f 0 (x) > 0 che permette di ricavare l’ascissa x1 senza dividere per zero. A questo punto calcoliamo
170
5. Calcolo differenziale
y
r
O
x
y
r
O
x1
xo
x
f (x1 ). Se f (x1 ) = 0, allora x1 = r e la ricerca è terminata. Se, invece, f (x1 ) 6= 0, ragionando esattamente
come prima, scriviamo l’equazione della retta tangente a y = f (x) nel punto (x1 , f (x1 )) ottenendo y − f (x1 ) =
f 0 (x1 ) (x − x1 ) , in modo che possiamo ricavare il punto x2 :
x2 = x1 −
f (x1 )
.
f 0 (x1 )
Ora si calcola f (x2 ): se f si annulla il processo termina, se invece f (x2 ) 6= 0 il processo riparte per determinare
l’elemento x3 . In pratica abbiamo identificato un processo iterativo nel modo seguente:


x0 ∈ R, tale che f (x0 ) 6= 0,
f (x
)

xn = xn−1 − 0 n−1 , per ogni n ∈ N.
f (xn−1 )
(5.28)
Facendo riferimento anche all’ultima figura, vediamo che questo metodo non può che finire coll’approssimare
la soluzione dell’equazione f (x) = 0. Prima di studiare un caso concreto, è necessario capire se il procedimento
iterativo illustrato finisca per condurre sempre e comunque alla radice dell’equazione.
5.11. Il metodo di Newton
171
y
r
x2
O
x1
xo
x
Esempio
Consideriamo l’equazione di terzo grado:
f (x) = 7 + 6 x − 3 x2 + x3 = 0.
(E1 )
Per prima cosa osserviamo che, essendo f 0 (x) = 6 − 6 x + 3 x2 abbiamo f 0 (x) 6= 0 per ogni x ∈ R, in
quanto il discriminante del polinomio di secondo grado è negativo. Possiamo applicare il metodo delle tangenti
all’equazione (E1 ) attivando il procedimento di iterazione (5.28). Si osservi che essendo (E1 ) un’equazione di
terzo grado, sappiamo a priori che essa ammette almeno una radice reale e che il comportamento della derivata
prima ci assicura che tale radice è unica. La funzione iterativa F (x) è:
F (x) = x −
7 + 3 x2 − 2 x3
f (x)
=
.
0
f (x)
−6 + 6 x − 3 x2
In questo modo il processo di Newton si riduce alla valutazione delle iterazioni della funzione F (x). Esso può
essere descritto semplicemente da xn = F (xn−1 ). Valutando F (x) a partire da x = 0 otteniamo la tabella:
x1 = F (x0 ) = −1, 16
x2 = F (x1 ) ' −0, 834688
x5 = F (x4 ) ' −0, 781618
x6 = F (x5 ) ' −0, 781618
x3 = F (x2 ) ' −0, 782790
x4 = F (x3 ) ' −0, 781619
Si rifletta sul fatto che, limitandosi alle cifre che abbiamo deciso di visualizzare il passaggio da x5 a x6 non
altera più le cifre significative della soluzione approssimata, dunque tutte e sei le cifre indicate sono affidabili, e
individuano una approssimazione della soluzione. Molto interessante è anche la valutazione del polinomio f (x) in
corrispondenza di x5 ; si ha f (x5 ) = 6, 0245 × 10−7 . Questo rende bene l’idea della validità dell’approssimazione
ottenuta.
Esempio
Cerchiamo le radici positive dell’equazione:
−5
1 − (1 + x)
x
= 4.
(E2 )
172
5. Calcolo differenziale
Per prima cosa assicuriamoci che (E2 ) abbia soluzione. Osserviamo che:
−5
1 − (1 + x)
x→0
x
lim
= 5,
−5
1 − (1 + x)
x→∞
x
lim
= 0,
da ciò segue subito che l’equazione (E2 ) ha soluzione positiva. Di seguito, posto:
f (x) =
vediamo che:
f 0 (x) = −
−5
1 − (1 + x)
x
,
15 + 20 x + 15 x2 + 6 x3 + x4
(1 + x)
6
,
da cui si deduce che f 0 (x) < 0 per ogni x positivo: le condizioni di applicazione del metodo di Newton sono
soddisfatte. La funzione da iterare è:
F (x) = x −
f (x) − 4
1 + 6 x − 20 x2 − 50 x3 − 48 x4 − 22 x5 − 4 x6
=
.
0
f (x)
15 + 20 x + 15 x2 + 6 x3 + x4
Sappiamo che f (0) = lim f (x) = 5. Iteriamo F a partire da x0 = 0. La sequenza delle iterazioni è:
x→0
x1 = F (x0 ) ' 0, 0666667
x3 = F (x2 ) ' 0, 0793080
x5 = F (x4 ) ' 0, 0793083
x2 = F (x1 ) ' 0, 0789742
x4 = F (x3 ) ' 0, 0793083
Possiamo affermare allora che, con approssimazione fino alle prime sette cifre decimali, la soluzione dell’equazione
f (x) − 4 = è x = 0, 0793083.
Metodo delle tangenti e convessità
Analizziamo il comportamento dell’algoritmo di Newton, se applicato alle funzioni convesse.
Teorema 5.11.1. Sia f : [a, b] → R una funzione con derivate prime e seconde continue strettamente crescente
e convessa e tale che f (a) < 0, f (b) > 0. Allora la successione:

x0 = b,
f (x )
xn+1 = xn − 0 n ,
f (xn )
converge decrescendo all’unico zero di f (x) in [a, b] .
Dimostrazione. La convessità di f (x) implica f (xn ) ≥ 0 per ogni n ∈ N:
f (xn+1 ) ≥ f (xn ) + f 0 (xn ) (xn+1 − xn ) =
f (xn )
= f (xn ) + f 0 (xn ) xn − 0
− xn
f (xn )
= f (xn ) − f (xn ) = 0.
5.11. Il metodo di Newton
173
Da f (xn ) ≥ 0 per il fatto che f (x) è crescente, segue subito che, indicato con x∗ lo zero di f (x) in [a, b] , si ha
xn ≥ x∗ per ogni n ∈ N. Questo intanto prova che la successione di Newton è inferiormente limitata, ma tale
successione è anche decrescente, essendo, per costruzione:
xn+1 − xn = −
f (xn )
≤ 0.
f 0 (xn )
Ma, allora, la successione xn converge ad un elemento x̄ ∈ [a, b] e dalla relazione:
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f 0 (xn )
passando al limite, ricordando la continuità di f (x), si trova:
x̄ = x̄ −
f (x̄)
.
f 0 (x̄)
Dunque f (x̄) = 0, quindi per iniettività abbiamo x̄ = x∗ .
Le conclusioni del teorema 5.11.1 possono essere approfondite, specificamente per valutare la velocità di
convergenza del processo iterativo. Riportiamo la bella trattazione svolta in [AB97]. Ferme restando le ipotesi
del teorema 5.11.1, si ponga:
m = min f 0 (x), M = max f 00 (x).
x∈[a,b]
x∈[a,b]
Si tenga presente che nelle ipotesi dichiarate M, m > 0. È possibile far vedere che vale la stima
2n
2m M
xn − x̄ ≤
(x0 − x̄)
.
M 2m
(5.29)
Applicando il teorema del valor medio (5.8.2) fra x̄ e xn si ottiene:
0 = f (x̄) = f (xn ) + f 0 (xn )(x̄ − xn ) +
f 00 (zn )
(x̄ − xn )2 .
2
(5.30)
D’altra parte per costruzione si ha che
che sostituita in (5.30) porta a:
f (xn ) = f 0 (xn )(xn − xn+1 ),
0 = f 0 (xn )(xn − xn+1 ) + f 0 (xn )(x̄ − xn ) +
f 00 (zn )
(x̄ − xn )2 .
2
e da quest’ultima si trova:
f 00 (zn )
(x̄ − xn )2 .
2f 0 (xn )
Se definiamo εn = xn − x̄ in modo da misurare l’errore al passo n, abbiamo che:
xn+1 − x̄ =
0 ≤ εn+1 =
M 2
f 00 (zn ) 2
ε ≤
ε .
2f 0 (xn ) n
2n n
(5.31)
La formula (5.31) porta alla tesi (5.29) mediante un ragionamento induttivo. Infatti per n = 0 la tesi si legge
semplicemente come:
x0 − x̄ ≤ x0 − x̄.
Se si assume l’ipotesi induttiva (5.29), per quanto provato prima abbiamo:
2 2n+1
2n+1
M 2m
M
2m M
M 2
ε ≤
(x0 − x̄)
=
(x0 − x̄)
εn+1 ≤
2n n
2m M
2m
M 2m
che è la formula desiderata.
174
5. Calcolo differenziale
5.12
Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin
In questo paragrafo presenteremo una serie di risultati di grande importanza per il calcolo effettivo dei valori
delle funzioni. Infatti, se dovessimo per qualche ragione aver bisogno di conoscere con precisione un numero reale
ottenibile come valore di una data funzione, i fondamenti delle tecniche computazionali si basano sui metodi di
approssimazione che presenteremo qui.
Cominciamo trattando un argomento che a dire il vero poteva essere presentato già nel capitolo precedente,
ma che presentiamo ora in vista di sue immediate applicazioni.
5.12.1
Simboli di Bachmann-Landau
In quello che segue, dato x0 ∈ R considereremo funzioni definite in un intervallo aperto I contenente x0 . Nel caso
in cui x0 = +∞ considereremo funzioni definite su intervalli del tipo [a, +∞[, mentre se x0 = −∞ considereremo
funzioni definite su intervalli del tipo ] − ∞, a].
Definizione 5.12.1. Le funzioni f e g sono equivalenti per x → x0 se
lim
x→x0
f (x)
=1
g(x)
In tal caso scriveremo f ∼ g per x → x0
Ad esempio
• x2 + x ∼ x per x → 0
• sin x ∼ x per x → 0
• x + x ∼ x per x → +∞
• ln x ∼ x − 1 per x → 1
2
2
Definizione 5.12.2. Le funzioni f e g hanno lo stesso ordine di grandezza per x → x0 se
lim
x→x0
f (x)
= ` ∈ R \ {0}
g(x)
In tal caso scriveremo f g per x → x0 .
Ad esempio
√
• 1 − cos x x2 per x → 0
•
• sin 3x x per x0
• ln x 3(x − 1) per x → 1
1 + 2x2 x per x → +∞
Osservazione 5.12.1. Se f ∼ g allora f g ma non viceversa. Infatti se ad esempio prendiamo f (x) = ln(1+x)
e g(x) = x è f ∼ g ed anche f g per x → 0. D’altra parte se invece prendiamo f (x) = ln(1 + 2x) e g(x) = x
si ha f g ma non f ∼ g per x → 0.
Osservazione 5.12.2. Se le funzioni f e g sono entrambe infinitesime i infinite per x → x0 non possiamo dire
a priori che esse siano equivalenti o dello stesso ordine di grandezza per il fatto che il limite del loro quoziente
in tale caso è una forma indeterminata.
Osservazione 5.12.3. Il termine equivalenti usato nella definizione 5.12.2 non è casuale, infatti ∼ è effettivamente una relazione di equivalenza nell’insieme delle funzioni definite nell’intervallo aperto I contenente
x0 .
Elenchiamo, lasciando a chi legge la cura di darne la dimostrazione le proprietà delle relazioni ∼ e .
5.12. Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin
175
(a) f ∼ f
(α) f f
(b) f ∼ g =⇒ g ∼ f
(β) f g =⇒ g f
(c) f ∼ g, g ∼ h =⇒ f ∼ h
(γ) f g, g h =⇒ f h
(d) se ` 6= 0, ∞, e f → `, g → ` =⇒ f ∼ g
(δ) f → ` 6= 0 [ o ∞] e g → m 6= 0 [ o ∞] =⇒ f g
(e) f → ` e f ∼ g =⇒ g → `
(ε) f → 0 [ o ∞], e g f =⇒ g → 0 [ o ∞]
Osservazione 5.12.4. Le relazioni ∼ e non godono di proprietà additive, nel senso che se assumiamo che
valgano f1 ∼ g1 e f2 ∼ g2 in generale non è vero che f1 + f2 ∼ g1 + g2 e lo stesso accade anche per la relazione
. Infatti basta considerare il caso in cui f1 (x) = x, g1 (x) = x, f2 (x) = x2 − x e g2 (x) = x3 − x per x → 0.
Definizione 5.12.3. Diremo che f o-piccolo di g per x → x0 e scriveremo f = o(g) per x → x0 se
lim
x→x0
f (x)
=0
g(x)
Si dice anche che f è trascurabile rispetto a g per x → x0
Osservazione 5.12.5. f = o(1) è equivalente a lim f (x) = 0 mentre 1 = o(f ) è equivalente a lim f (x) = ∞
x→x0
x→x0
Ad esempio
• x2 = o(x) per x → 0
• 1 − cos x = o(x) per x → 0
• x = o(x2 ) per x → ∞
• x − sin x = o(x2 ) per x → 0
Osservazione 5.12.6. Per x → x0 si ha che
(a) f = o(g), g = o(h) =⇒ f = o(h)
(c) f1 g1 , f2 = o(g2 ) =⇒ f1 f2 = o(g1 g2 )
(b) f1 = o(g1 ), f2 = o(g2 ) =⇒ f1 f2 = o(g1 g2 )
(d) f ∼ g ⇐⇒ f − g = o(g)
Ad esempio per x → 0 è
• 1 − ex = o(x) e x2 = o(x) quindi x2 (1 − ex ) = o(x2 )
• ln(1 + x) ∼ x quindi ln(1 + x) − x = o(x) e dunque ln(1 + x) = x + o(x).
Le nozioni di funzione trascurabile e di funzione equivalente ad un’altra trovano applicazione nel calcolo di
limiti, semplificandone il calcolo. Valgono infatti due risultati, noti come principio di eliminazione dei termini
trascurabili, teorema 5.12.1, e principio di sostituzione con funzioni equivalenti, teorema 5.12.2.
Teorema 5.12.1. Se per x → x0 è f1 = o(f ) e g1 = o(g) allora
lim
x→x0
f (x) + f1 (x)
f (x)
= lim
x→x0 g(x)
g(x) + g1 (x)
Ad esempio
lim
x→0
x − x2
x
1
= lim
= ,
3
x→0
3x + x
3x
3
lim
x→+∞
1 + x + x2
x2
= lim
= −∞
3
x→+∞
1−x−x
−x3
176
5. Calcolo differenziale
Teorema 5.12.2. Se per x → x0 è f1 ∼ f e g1 ∼ g allora
lim f (x)g(x) = lim f1 (x)g1 (x)
x→x0
x→x0
Inoltre se g e g1 sono diverse da zero in un intorno di x0 si ha
lim
x→x0
f (x)
f1 (x)
= lim
g(x) x→x0 g1 (x)
Ad esempio
lim
x→0
ln(1 + x2 )
x2
= lim 2 = 2
x
x→0
e −1−x
x
2
Formula di Taylor
Formulazione di Peano
Definizione 5.12.4. Sia f (x) una funzione derivabile n volte in un intervallo I. Sia x0 un punto di I. Diremo
n-esimo polinomio di Taylor generato da f (x) in x0 il polinomio di grado n:
Pn (f (x), x0 ) = f (x0 ) +
f (1) (x0 )
f (n) (x0 )
1
n
(x − x0 ) + · · · +
(x − x0 ) .
1!
n!
La principale caratteristica di Pn (f (x), x0 ) è che le sue prime n derivate, calcolate in x0 , coincidono con
quelle della funzione f (x) che lo ha generato. Quindi, fra le curve y = f (x) e y = Pn (f (x), x0 ), c’è quello che
viene detto un contatto di ordine n.
f HxL
x
Figura 5.10: f (x) =
q
x2 +2
x2 +1
con i suoi primi tre polinomi osculatori in x0 = 0
Esempi
Si può verificare che:
1. Pn (ex , 0) = 1 +
x
x2
x3
xn
+
+
+ ··· +
;
1!
2!
3!
n!
5.12. Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin
2. Pn
1
,0
1−x
=1+x+
177
x2
xn
+ ··· +
;
2
n
n
x2
x3
n−1 x
+
+ · · · + (−1)
;
2
3
n
α(α − 1) 2
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
4. Pn ((1 + x)α , 0) = 1 + αx +
x + ··· +
x .
2!
n!
La questione principale da affrontare, connessa allo studio dei polinomi osculatori, è la seguente: dal momento
che il polinomio osculatore e la funzione assegnata f (x) nel punto x0 , hanno un contatto di ordine n, occorre
capire in quale modo Pn (f (x), x0 ) approssimi f (x) e, dunque, occorre studiare il comportamento di quello che
viene chiamato resto di ordine n:
3. Pn (ln(1 − x), 0) = x −
Rn (f (x), x0 ) = f (x) − Pn (f (x), x0 ) .
Il polinomio osculatore di una funzione, essendo per natura una approssimazione della stessa può essere usato
al posto della stessa, ad esempio nel calcolo di limiti o nella risoluzione di disequazioni. A tale scopo l’analisi
del comportamento asintotico del resto data da Peano nel 1897 si rivela molto utile. Abbiamo, infatti il:
Teorema 5.12.3 (Peano). Sia f (x) una funzione n volte derivabile nell’intervallo I e sia x0 ∈ I. Allora:
lim
x→x0
Rn (f (x), x0 )
= 0.
n
(x − x0 )
Dimostrazione. Scriviamo ancora una volta Rn (x) = Rn (f (x), x0 ). Come già osservato si ha Rn (x0 ) = 0
(k)
e Rn (x0 ) = 0, k = 1, . . . , n. La tesi segue dall’applicazione iterata della regola di Bernoulli-De l’Hospital;
infatti:
(n)
Rn (x)
Rn0 (x)
Rn (x)
lim
=
·
·
·
=
lim
= 0.
n = lim
x→x0 (x − x0 )
x→x0
x→x0 n (x − x )n−1
n!
0
Il Teorema 5.12.3 può essere riformulato usando i simboli di Bachmann-Landau dicendo che il resto di ordine
n è trascurabile rispetto a (x − x0 )n , in simboli
Rn (f (x), x0 ) = o(x − x0 )n .
L’algebra dei simboli di Bachmann-Landau assieme al Teorema di Taylor-Peano 5.12.3 è molto utile nel calcolo
di limiti.
Esempio 5.12.1. Dimostriamo che
cos x2 − 1
3
=
x→0 ln(1 − x2 ) + x sin x
4
lim
Servono gli sviluppi di Taylor che posso ottenere partendo dai tre sviluppi elementari noti
(i) cos x = 1 −
per ottenere
x2
+ o(x2 )
2
(ii) ln(1 − x) = −x −
x2
+ o(x2 )
2
(iii) sin x = x −
x3
+ o(x3 )
6
178
5. Calcolo differenziale
(i) cos x2 − 1 = −
x4
+ o(x4 )
2
(ii) ln(1−x2 ) = −x2 −
x4
+o(x4 )
2
(iii) x sin x = x2 −
x4
+ o(x6 )
6
Quindi posso sfruttare questo per calcolare il limite
x4
+ o(x4 )
cos x − 1
2
=
=
2
ln(1 − x2 ) + x sin x
x4
x4
− x4 + o(x4 )
−x2 −
+ o(x4 ) + x2 −
+ o(x6 )
3
2
6
−
2
x4
+ o(x4 )
2
−
Dunque
1
− + o(1)
cos x2 − 1
3
lim
= lim 2
=
2
x→0 ln(1 − x2 ) + x sin x
x→0
4
− + o(1)
3
Da notare che se a denominatore avessimo arrestato lo sviluppo al termine precedente in ambo i termini scrivendo
ln(1 − x2 ) = −x2 + o(x2 ),
x sin x = x2 + o(x2 )
al momento di sommarli avremmo trovato
ln(1 − x2 ) + x sin x = 0 + o(x2 )
che è una espressione inutilizzabile per via della assenza del termine finito. Il termine “o-piccolo” da solo non
ci dice nulla del comportamento asintotico della funzione: questo sta a significare che si devono considerare
ulteriori termini nello sviluppo di Taylor.
x
cos x ln(1 + x) − x 1 +
2 = +∞
Esempio 5.12.2. Dimostriamo che lim−
x3
x→0
Usando i simboli di Bachmann-Landau e gli sviluppi di Taylor abbiamo che, se x → 0−
cos x = 1 + o(1),
ln(1 + x) = x −
e dunque
cos x ln(1 + x) = x −
x2
+ o(x2 )
2
x2
+ o(x2 )
2
Pertanto
x2
x2
x
cos x ln(1 + x) − x 1 +
=x−
−x−
+ o(x2 ) = −x2 + o(x2 )
2
2
2
In conclusione il limite assegnato si trova nel modo seguente
x
cos x ln(1 + x) − x 1 +
2
2
2 = lim −x + o(x ) = lim −1 + o(1) = +∞
lim−
x3
x3
x
x→0
x→0−
x→0−
x sin x − x2 cos x
1
=
x→0
x4
3
Usando i simboli di Bachmann-Landau abbiamo che, se x → 0
i
h
i
h
2
3
x4
4
x x − x6 + o(x3 ) − x2 1 − x2 + o(x2 )
3 + o(x )
lim
=
lim
= lim
4
4
x→0
x→0
x→0
x
x
Esempio 5.12.3. Dimostriamo che lim
1
3
+ o(1)
1
=
1
3
5.12. Polinomi osculatori. Teoremi di Taylor McLaurin
179
Formulazione di Lagrange
Lagrange, nel 1797, trovò il modo di valutare il resto.
Teorema 5.12.4 (Resto in forma di Lagrange). Sia f (x) una funzione n + 1 volte derivabile nell’intervallo I e
sia x0 ∈ I. Allora per ogni x ∈ I esiste un punto ξ nell’intervallo di estremi x0 , x tale che:
Rn (f (x), x0 ) =
(x − x0 )n+1 (n+1)
f
(ξ).
(n + 1)!
Si parla di rappresentazione del resto nella forma di Lagrange.
Dimostrazione. Sappiamo che:
Rn (f (x), x0 ) = f (x) − Pn (f (x), x0 ) = f (x) −
n
X
(x − x0 )k
k!
k=0
f (k) (x0 ).
Scriviamo per brevità Rn (x) al posto di Rn (f (x), x0 ), allora, per la definizione stessa di polinomio osculatore
si ha, per ogni k, 0 ≤ k ≤ n:
Rn(k) (x0 ) = 0.
Consideriamo adesso la funzione:
Sn (x) =
(x − x0 )n+1
.
(n + 1)!
Anche per questa funzione per k, 0 ≤ k ≤ n si ha:
Sn(k) (x0 ) = 0.
Applichiamo ora il lemma di Cauchy n volte:
Rn (x) − Rn (x0 )
R0 (ξ1 )
R0 (ξ1 ) − Rn0 (x0 )
Rn (x)
=
= 0n
= n0
Sn (x)
Sn (x) − Sn (x0 )
Sn (ξ1 )
Sn (ξ1 ) − Sn0 (x0 )
(2)
=
=
Rn (ξ2 )
(2)
Sn (ξ2 )
(2)
=
(2)
Rn (ξ2 ) − Rn (x0 )
(2)
(2)
Sn (ξ2 ) − Sn (x0 )
(3)
=
Rn (ξ3 )
(3)
Sn (ξ3 )
= ···
(n+1)
(ξn+1 )
,
(n+1)
(ξn+1 )
Sn
Rn
dove ξ1 sta nell’intervallo di estremi x0 e x; ξ2 nell’intervallo di estremi ξ1 e x0 e cosı̀ via. Adesso, essendo:
Sn(n+1) (x) = 1, Rn(n+1) (x) = f (n+1) (x),
si ha che:
Rn (x) = Sn (x) f (n+1) (ξn+1 ),
che è la tesi, ove si prenda ξ = ξn+1 .
Il teorema ora mostrato non calcola esplicitamente il resto, ma, usando stime sulla derivata n + 1-esima di
f (x) possiamo valutare la accuratezza con cui il polinomio osculatore Pn (f (x), x + 0) approssima f (x).
Ad esempio se f (x) = sin x con x0 = 0 e x ∈ I = [0, 1] prendiamo n = 5, allora per il teorema 5.12.4 si ha
che:
x3
x5
x6
sin x = x −
+
− sin ξ
.
6
120
720
180
5. Calcolo differenziale
Ora, sebbene di ξ si sappia solamente che è un elemento dell’intervallo I, possiamo osservare che, se x ∈ I:
x6 1
|R5 (sin x, 0)| = sin ξ
≤
' 0, 00138889.
720 720
Questo significa se x ∈ I che le prime due cifre decimali del polinomio osculatore:
P5 (sin x, 0) = x −
x5
x3
+
,
6
120
coincidono con le prime due cifre decimali della funzione f (x) = sin x. Per esempio se x = 1/2 siamo certi del
fatto che le prime due cifre decimali di:
1 1
−
2 6
sono le stesse di:
5.13
3
5
1
1841
1
1
+
=
,
2
120 2
3840
1
sin .
2
Esercizi
Esercizi svolti
1. Trovare i punti della retta y = x tali che la somma dei quadrati delle sue distanze dai punti (−a, 0), (a, 0)
e (0, b) sia minima
2. Ripartire il numero 8 in due addendi positivi in modo che la somma dei loro cubi sia minima.
3. Si vogliono ritagliare quattro quadrati uguali dai lati di un foglio di carta quadrato di lato 2` vedi figura
in modo che la scatola ottenuta piegando il foglio abbia volume massimo.
a
4. Per quali valori di a ∈ R la funzione f (x) = ln(1 + x2 ) − x2 è convessa in R?
2
5. Sia f : [0; 1] → R derivabile con f (0) = 0 e f (x) > 0 per ogni x ∈ [0; 1]. Provare che esiste c ∈ [0; 1] tale
che
f 0 (1 − c)
2f 0 (c)
=
f (c)
f (1 − c)
5.13. Esercizi
181
6. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → R derivabile e tale che f (0) = 0, f (1) = 1. Dimostrare che esistono n punti
distinti 0 < a0 < a2 < · · · < an−1 < 1 tali che
n−1
X
f 0 (ak ) = n.
k=0
7. Determinare, nel suo dominio naturale D, i punti di massimo e minimo relativo della funzione f (x) =
x2 − 3 x + ln x
8. Dimostrare, usando il teorema di Rolle, che l’equazione 5x4 − 4x + 1 = 0 ha una radice in [0; 1].
9. Siano a0 , a1 . . . , an numeri reali tali che
a0 +
a1
a2
an
+
+ ··· +
= 0.
2
3
n+1
Dimostrare che il polinomio
a0 + a1 x + · · · + an xn
ha una radice in [0; 1].
Soluzione
1. I punti della retta sono del tipo P (x, x) la somma dei quadrati delle tre distanze è:
f (x) = [(x + a)2 + x2 ] + [(x − a)2 + x2 ] + [x2 + (x − b)2 ]
y
x
Si ha
f 0 (x) = 6x + 2(−a + x) + 2(a + x) + 2(−b + x)
e quindi
b
.
6
È un minimo perché f 00 (x) = 12. La distanza minima si ha in P (b/6, b/6).
f 0 (x) = 0 ⇐⇒ x =
2. Sia 0 < x < 8 il primo addendo, quindi 8 = x + (8 − x) allora si minimizza, se 0 < x < 8
f (x) = x3 + (8 − x)3
Si ha:
f 0 (x) = 3x2 − 3(8 − x)2
dunque f 0 (x) = 0 ⇐⇒ x = 4. È un minimo perchè f 00 (x) = 6(8 − x) + 6x = 48
182
5. Calcolo differenziale
3. Diciamo 0 < x < ` il lato del quadrato ritagliato. La scatola ottenuta piegando lungo le linee tratteggiate
avrà allora dimensioni x, 2` − 2x, 2` − 2x e, conseguentemente il suo volume sarà, per 0 < x < `, dato da:
f (x) = 4x (` − x)
2
Allora:
f 0 (x) = 4 3x2 − 4` x + `2 = 4(x − `)(3x − `),
quindi ne deduciamo che xM =
`
è il punto massimante cercato in quanto f 00 (xM ) = −8`.
3
4. Si ha:
2x
f (x) = 2
− ax,
x +1
0
00
f (x) = −a −
2 x2 − 1
(1 + x2 )
2
.
Dunque la funzione assegnata sarà convessa scegliendo a in modo che sia:
2 1 − x2
2
(1 + x2 )
≥ a.
Allora a va scelto ≤ del minimo assoluto (se esiste) della funzione:
g(x) =
Si ha:
g 0 (x) =
4 x3 − 3x
(x2 + 1)
3
2 1 − x2
2
(1 + x2 )
.
√
√
≥ 0 ⇐⇒ − 3 ≤ x ≤ 0 ∨ 3 ≤ x
√
ne viene, che (completare il ragionamento) il minimo assoluto è raggiunto in x = ± 3 ed il suo valore è
1
1
− . Quindi se a ≤ − la funzione è convessa.
4
4
y
x
Figura 5.11: g(x)
5.13. Esercizi
183
y
x
Figura 5.12: a = −1 funzione convessa
y
x
Figura 5.13: a = 1 funzione non convessa
5. Si ponga g(x) = f 2 (x) f (1 − x). Poichè g(0) = g(1) = 0, g soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.
Dunque esiste c ∈]0, 1[ tale che
g 0 (c) = 0 =⇒ 2f 0 (c)f (c)f (1 − c) − f (c)2 f 0 (1 − c) = 0.
Siccome per ipotesi f (c)f (1 − c) 6= 0 se dividiamo i due lati per f 2 (c)f (1 − c), abbiamo la tesi.
6. Per 0 ≤ k ≤ n − 1, consideriamo l’intervallo
k k+1
I=
,
n
n
Per il teorema di Lagrange esiste ak ∈ I tale che
k+1
k
f
−f
k+1
k
n
n
0
f (ak ) =
=n f
−f
.
1
n
n
n
Sommando per k = 0 fino a k = n − 1 osservato che:
n−1
n−1
X
X k + 1
k
f 0 (ak ) = n
f
−f
= n(f (1) − f (0)) = n.
n
n
k=0
si ha la tesi.
k=0
184
5. Calcolo differenziale
7. Si ha D = ]0, ∞[ . Poi, derivando si trova:
f 0 (x) = 2x − 3 +
Quindi f 0 (x) ≥ 0 ⇐⇒ 0 < x ≤
1
2x2 − 3x + 1
≥ 0 ⇐⇒
x
x
con x ∈ D
1
∨ x ≥ 1. L’evoluzione del segno di f 0 (x) è rappresentata in figura
2
++++++++++++++++++
-------
1
++++++++++++++++
1
2
1
5
è punto massimante con estremo f (xm ) = − − ln 2, mentre xM = 1 è punto minimante
2
4
f (xM ) = −2. Sono due estremi relativi in quanto:
Dunque xm =
lim f (x) = −∞,
x→0+
lim f (x) = +∞
x→∞
Il grafico di f (x) è riportato nella figura seguente
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
-1
-2
-3
-4
8. Poniamo f (x) = x5 − 2x2 + x. Allora f (0) = f (1) = 0 cosı̀ per il teorema di Rolle esiste c ∈]0; 1[ tale che
f 0 (c) = 5c4 − 4c + 1 = 0.
9. Basta porre
f (x) = a0 x +
a1 x2
a2 x3
an xn+1
+
+ ··· +
,
2
3
n+1
e applicare il teorema di Rolle.
Esercizi proposti
1. Calcolate la derivata prima delle funzioni seguenti:
5.13. Esercizi
185
(a) f (x) = x + 2
(b) f (x) = x3 + 3x2 + x + 7
√
2
(c) f (x) = √ + 3 x
x
(d) f (x) = ex + ln x
3
1
(e) f (x) = 2x + 2 −
x
x3
(f) f (x) = x ln x
(g) f (x) = ex ln x
8x2 + 1
(h) f (x) = 3
x −8
(j)
(k)
(l)
(m)
√
3
xex
−2
f (x) =
ln x
ex
f (x) = 3
x
√
x−1
f (x) =
x−1
√
f (x) = x2 + 4x + 1
(i) f (x) =
1
(n) f (x) = xe x
√
(o) f (x) = e2x + 1
√
(p) f (x) = x e2x + 1
(q) f (x) =
ln2 (2x + 1)
x3
e−2x − 1
e3x − 1
√
x2 − x + 5
(s) f (x) =
x+2
p
(t) f (x) = 3 ex ln |x|
√
(u) f (x) = x 1 − x2
(r) f (x) =
2. Per ognuna delle seguenti funzioni stabilire se f (x) è continua e differenziabile in x = 0:
(
(
1−x
se x ≥ 0
3x2 + 2x se x ≤ 0
√
(a) f (x) =
(b) f (x) =
2
2x − x − 2 se x < 0
ln 1 + 4x se x > 0
3. Calcolare la derivata prima delle funzioni seguenti:
√
3
xex
p
(b) f (x) = 3 ex ln |x|
√
(c) f (x) = x 1 − x2
(a) f (x) =
1
(d) f (x) = xe x
√
(e) f (x) = e2x + 1
√
(f) f (x) = x e2x + 1
ln2 (2x + 1)
x3
2
f (x) = x ln(1 + x2 )
ax + b
f (x) = ln
cx + d
r
ax + b
f (x) =
cx + d
sin(ax)
f (x) =
sin(bx)
(g) f (x) =
(h)
(i)
(j)
(k)
(l) f (x) = sin ln cos x
(m) f (x) = ln sin
√
x
(o) f (x) = x3 + 3x2 + x + 7
√
2
(p) f (x) = √ + 3 x
x
(q) f (x) = ex + ln x
1
3
(r) f (x) = 2x + 2 −
x
x3
(s) f (x) = x ln x
x
(t) f (x) = e ln x
8x2 + 1
(u) f (x) = 3
x −8
x + cos x
(v) f (x) =
x + sin x
−2
(w) f (x) =
ln x
ex
(x) f (x) = 3
x
4. Calcolare la derivata prima f −1 (y0 ) = f −1 (f (x0 )) se f (x) =
x−1
x−1
√
(z) f (x) = x2 + 4x + 1
(y) f (x) =
(n) f (x) = x + 2
√
(aa) f (x) = xex
(ab) f (x) = e5x
(ac) f (x) = e−x
(ad) f (x) = e−2x
(ae) f (x) = cos x sin x
e−2x − 1
e3x − 1
√
x2 − x + 5
(ag) f (x) =
x+2
x
e −x
(ah) f (x) = x
e +x
(af) f (x) =
(ai) f (x) =
x2 − x + 1
x2 + x + 1
ln(1 + x2 )
√
, x0 = 1
x
5. Sia f (x) = x + x3√+ x7 e sia a > 0. Calcolare g 0 (ya ) dove g : R → R è la funzione inversa di f e
ya = a7/2 + a3/2 + a
5
determinare, senza calcolare il valore di x, sinh x e cosh x
13
7. Risolvere l’equazione 2 sinh x + 4 cosh x = −3
6. Sapendo che tanh x =
186
5. Calcolo differenziale
8. Dimostrare che per ogni x, t ∈ R vale: sinh(x + t) = sinh x cosh t + cosh x sinh t
9. Provare che per ogni x ∈ R valgono:
p
1 + x2 ,
s


−x
x
−x + ex )2
e
+
e
(e
,
arcsinh (cosh x) = ln 
+ 1+
2
4
√
p
1
x + 1 + x2
1
sinh
arcsinh x =
− p
,
√
2
2
2 x + 1 + x2
p
√
3
1
x + 1 + x2
1
,
sinh
arcsinh x =
− p
√
3
3
2
2 x + 1 + x2
cosh (arcsinh ) x =
essendo arcsinh la funzione inversa di sinh. Si suggerisce di determinare esplicitamente l’espressione di
arcsinh risolvendo, rispetto a u l’equazione sinh u = x.
10. Sia n ∈ N e sia f : [0; 1] → N derivabile e tale che f (0) = 0, f (1) = 1. Dimostrare che esistono n punti
distinti 0 < a0 < a2 < · · · < an−1 < 1 tali che
n−1
X
k=0
1
= n.
f 0 (ak )
11. Determinare i valori del parametro reale a per cui la funzione f (x) = ax + ln 1 + x2 è strettamente
crescente in R
12. Si deve recintare un terreno in forma rettangolare di area preassegnata A m2 . Un lato del terreno è posto
di fronte ad una strada, si sa che il costo al metro per recintare insonorizzando è di ¤15 per metro, mentre
gli altri tre lati possono essere recintati al costo di ¤10 per metro. Scegliere il modo per recintare l’area
A al minimo costo.
p
2 |x| − 1
13. Determinare i punti di massimo e minimo relativo della funzione f (x) =
2(1 + x2 )
14. Calcolare la derivata prima f −1 (y0 ) = f −1 (f (x0 )) se f (x) =
ln(1 + x2 )
√
, x0 = 1
x
15. Usando il teorema della derivata nulla far vedere che per ogni −1 ≤ x ≤ 1 vale:
r
r
1−x
1+x
arcsin
= arccos
2
2
16. Studiare in dipendenza da a ∈ R, il numero delle radici delle equazioni
2
(a) x3 − 4a (x − 1) = 0
4
(b) x4 + ax3 − 4a2 x2 + 16 = 0
3
2 3 1 2
x + x − 3x + 1 = a
3
2
(d) x3 − 5ax2 + ax + 3 = 0
(c)
17. Data l’equazione x2 + (a − 1)x − (a + 3) = 0, a ∈ R è un parametro, dopo aver dimostrato essa ha, sempre
e comunque radici reali, indipendentemente dalla scelta di a ∈ R, indicare per quale valore di a ∈ R è
minima la somma dei quadrati delle radici
5.13. Esercizi
187
18. Determinare a ∈ R in modo che la retta y = x + 2 si tangente alla funzione f (x) =
di ascissa x = 1
19. Per quali valori di a ∈ R la funzione f (x) = ln
2ax + a2
nel punto
3x + 2a
x
è crescente su [1, ∞[?
1 + x2
20. Dimostrare che per ogni x > 0 vale xx ≥ x
x2 − 1
= x4 − 5x2 + 4
x2 + 1
r
x+1
22. Dimostrare che, per ogni x ∈ [−1, 1] vale arccos x = 2 arccos
2
21. Dire quante sono le soluzioni dell’equazione
23. Determinare a, b ∈ R in modo che la funzione:

2

2 |x + 1| − (x + 1) , se x < 1
f (x) = 2x + a


,
se x ≥ 1
2x + b
sia continua e derivabile in x = 1.
24. Dimostrare che per ogni x, y ∈ R, x < y risulta:
y−x
y−x
< arctan y − arctan x <
.
1 + y2
1 + x2
Suggerimento: posto f (t) = arctan t si applichi il teorema di La Grangia f (t) nell’intervallo [x, y]
r
x+1
25. Provare che per ogni x ∈ R, x > 1 vale arccosh x = 2 arccosh
2
3
x
x
26. Data la funzione f (x) = max
,
, x ∈ R.
1 + x2 1 + x2
(a) f (x) è continua in x = 1?
(b) f (x) è derivabile in x = 1?
27. Trovare i punti della retta y = x + 2 tale per cu la somma dei quadrati delle sue distanze dalle due rette
3x − 4y + 8 = 0 e 3x − y − 1 = 0 sia minima
28. Sono dati due punti A(1, 4) e B(3, 0) sull’ellisse di equazione 2x2 + y 2 = 18. Trovare il terzo punto
C(x0 , y0 ) sull’ellisse in modo che l’area del triangolo ABC sia o massima o minima
29. Ripartire il numero 36 in due fattori tali che la somma dei loro quadrati sia minima
1
π
30. Per quale valore di a la funzione f (x) = a sin x + sin 3x ha un estremo in x = ? Si tratta di un
3
3
massimo o di un minimo?
31. Trovare i lati del rettangolo di area massima inscritto nell’ellisse di equazione
x2
y2
+
=1
a2
b2
32. Dire se esistono valori del parametro reale a ∈ R per cui la funzione f (x) = 2 a + (a − 2) x + x2 e−x è
sia strettamente convessa che strettamente decrescente.
33. Dire per quali valori di a ∈ R la funzione f (x) = x3 − ax2 + x − 2a è strettamante crescente. Studiare
poi, sempre in dipendenza dal parametro a ∈ R, il numero delle radici dell’equazione f (x) = 0
188
5. Calcolo differenziale
34. Determinare il valore del parametro a ∈ R in modo che la funzione f (x) = x2 +
a
abbia un flesso in x = 1
x
35. Determinare i valori di a, b, c ∈ R per cui la funzione f (x) = x3 + ax2 + bx + c abbia un punto stazionario
in (1; 5) e un flesso in (2; 3)
36. Determinare gli intervalli di convessità della funzione f (x) = 2x6 + 9x5 + 10x4 − 13x − 5
37. Grafico della seguenti funzioni nel loro dominio naturale
q
√
2
5
(a) f (x) = x3 − 3x + 1
(e) f (x) = x (x2 − 1)
√
√
3
(b) f (x) = x − x3 − 1
(f) f (x) = 2 x + 1 − x
ln x 1
(g) f (x) = 2 − − ln x
(c) f (x) = ln x x q
x − 3
6
2
4
3
(h)
f
(x)
=
x
+
ln
x + 3
(d) f (x) = |x| (x − 1)
5
(i) f (x) = −x3 + 3x2 + x + 4
(j) f (x) = −2x3 − 3x2 + 3x + 7
(k) f (x) = x3 − 4x + 16
√
(l) f (x)
=
ln 1 + x2 +
7 arctan x − x
38. Studiare in dipendenza da a ∈ R, il numero delle radici delle equazioni
2
(a) x3 − 4a (x − 1) = 0
4
(b) x4 + ax3 − 4a2 x2 + 16 = 0
3
2 3 1 2
x + x − 3x + 1 = a
3
2
(d) f (x) = x3 − 5ax2 + ax + 3
(c)
39. Data l’equazione x2 + (a − 1)x − (a + 3) = 0, a ∈ R è un parametro, dopo aver dimostrato essa ha, sempre
e comunque radici reali, indipendentemente dalla scelta di a ∈ R, indicare per quale valore di a ∈ R è
minima la somma dei quadrati delle radici
40. Sia f (x) =
di Rolle
x(x − 1)
, x ∈ [0, 1] . Dire quanti e quali sono i punti in cui f (x) verifica la tesi del Teorema
1 + x2
41. Dire per quali valori di a ∈ R il dominio naturale della funzione f (x) =
1
è ]0, ∞[
x − ln x + a
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