FUNZIONI CONTINUE
• Un intorno di un punto x = x0 è un intervallo I che contiene x0 .
Un intorno destro (per semplicità lo chiamiamo x+
0 ) di x0 è un intervallo in cui l’estremo sinistro è x0 : tutti i
punti dell’intorno destro sono più grandi di x0 .
Un intorno sinistro (lo chiamiamo x−
0 ) di x0 è un intervallo in cui l’estremo destro è x0 : tutti i punti dell’intorno
sinistro sono più piccoli di x0 .
• Il limite di f (x) quando x tende a x0 è il valore cui si avvicina la funzione f (x) quando viene valutata in punti
di un intorno di x0 sempre più piccolo.
Scriviamo: lim f (x) per indicare tale limite. Il punto x0 può essere un numero reale x0 ∈ R oppure +∞ o
x→x0
−∞. Quando scriviamo x → +∞ intendiamo dire che x diventa sempre più grande, illimitato positivamente
(più grande di qualunque numero positivo a cui lo si confronti). Quando scriviamo x → −∞ intendiamo dire
che x diventa sempre più piccolo, illimitato negativamente. Possiamo avere:


è un numero reale, finito
 L∈R





+∞
esiste ma non è finito, ed è positivo
lim f (x) =
x→x0


−∞
esiste ma non è finito, ed è negativo





non esiste
se non vale nessuna delle precedenti
• Il limite destro è il limite che si ottiene quando la x tende a x0 solo da valori maggiori, cioè studio il variare di
f (x) in un intorno destro di x0 e scrivo: lim f (x)
x→x+
0
Il limite sinistro è il limite che si ottiene quando la x tende a x0 solo da valori minori, cioè studio il variare di
f (x) in un intorno sinistro di x0 e scrivo: lim− f (x)
x→x0
• Il limite per x che tende a x0 (in un intorno generico, non solo destro o solo sinistro) esiste se e solo se il limite
destro e sinistro esistono finiti e coincidono:
lim f (x) = L
lim f (x) = L
x→x−
0
x→x+
0
In questo caso, lim f (x) = L.
x→x0
Definizione 1 (Funzione continua). Una funzione è continua in un punto x0 se valgono le seguenti condizioni:
1. Esiste il limite in x0 ed è finito: lim f (x) = L ∈ R
x→x0
2. Il valore L del limite coincide col valore della funzione in quel punto x0 : L = f (x0 )
• I polinomi, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni trigonometriche e le radici sono funzioni continue
in tutti i punti del loro dominio di definizione.
• La somma, il prodotto e la composizione di funzioni continue sono funzioni continue.
• Se f (x) è continua in x0 allora per calcolare il limite di f (x) per x che tende a x0 basta valutare f in x0 :
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
ESERCIZIO. Fai degli esempi (anche solo con un grafico) di funzioni NON continue: perché non sono continue? Quale
condizione viene meno?
Teorema 1 (TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO). Sia f : [a, b] → R continua.
Se esiste x0 ∈ [a, b] tale che f (x0 ) > 0 (oppure f (x0 ) < 0) allora esiste un intorno I di x0 , contenuto in [a,b], tale che
f (x) > 0 (oppure f (x) < 0) per ogni x ∈ I.
Teorema 2 (TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI). Sia f : [a, b] → R continua.
Se f (a)f (b) < 0 allora esiste x0 ∈]a, b[ tale che f (x0 ) = 0.
1
Teorema 3 (TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS). Sia f : [a, b] → R continua.
Allora f assume, in tale intervallo (chiuso e limitato), valore massimo M e valore minimo m ed assume almeno una
volta tutti i valori compresi tra M e m.
FUNZIONI DERIVABILI
Definizione 2 (Funzione derivabile). Il rapporto incrementale di una funzione f (x) in un punto x0 è
Se il limite
f (x0 + h) − f (x0 )
lim
esiste ed è finito
h→0
h
allora il valore del limite si chiama derivata di f in x0 e si indica con f 0 (x0 ) = lim
h→0
f (x0 +h)−f (x0 )
h
f (x0 +h)−f (x0 )
.
h
Se f possiede una derivata in ogni punto del proprio dominio D, allora f è una funzione derivabile su D e la sua
derivata è la funzione f 0 (x).
ESERCIZIO. Fai degli esempi (anche solo con un grafico) di funzioni NON derivabili: perché non sono derivabili? Quale condizione viene meno?
• La derivata di f in x0 - ossia il numero f 0 (x0 ) - è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di f in
x0 .
• L’equazione della retta tangente al grafico di f in x0 è quindi:
y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
• Se f (x) e g(x) sono derivabili, allora anche la loro somma è derivabile e la derivata della somma è la somma
delle derivate:
(f + g)0 = f 0 + g 0
• Se f è derivabile e a è una costante reale, allora la funzione a · f (x) è derivabile e la sua derivata è
(a · f (x))0 = a · f 0 (x)
REGOLE DI DERIVAZIONE
(f g)0 = f 0 g + f g 0
(f g)0 = f 0 g + f g 0
(f (g(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
DERIVATE FONDAMENTALI
f (x)
c
xn
√
x
0
f (x)
0
n xn−1
1
√
2 x
f (x)
1
x
ex
ln(x)
f 0 (x)
−
f (x)
1
x2
ex
sin(x)
cos(x)
cos(x)
− sin(x)
arctg(x)
1
x
f 0 (x)
1
1 + x2
Teorema 4 (Continuità e derivabilità).
Se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0 .
Teorema 5 (I punti critici sono punti stazionari).
Sia f : D → R derivabile. Se x0 è un punto critico di f (cioè di massimo o di minimo relativo o
assoluto) allora f 0 (x0 ) = 0.
Teorema 6 (Teorema di Rolle).
Sia f : [a, b] → R continua.
Se f è anche derivabile su ]a, b[ e se f (a) = f (b), allora esiste almeno un punto stazionario x0 ∈]a, b[
(cioè tale che f 0 (x0 ) = 0).
2
Definizione 3 (Funzione crescente e decrescente).
Una funzione f è (strettamente) crescente se, quando x1 < x2 , allora f (x1 ) < f (x2 ).
Una funzione f è non decrescente se, quando x1 < x2 , allora f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Una funzione f è (strettamente) decrescente se, quando x1 < x2 , allora f (x1 ) > f (x2 ).
Una funzione f è non crescente se, quando x1 < x2 , allora f (x1 ) ≥ f (x2 ).
Teorema 7 (Derivabilità e monotonia).
Sia f : [a, b] → R continua su [a, b] e derivabile su ]a, b[.
f è non decrescente in x se e solo se f 0 (x) ≥ 0. Se f 0 (x) > 0 allora f è (strettamente) crescente in
x.
f è non crescente in x se e solo se f 0 (x) ≤ 0. Se f 0 (x) < 0 allora f è (strettamente) decrescente in x.
Definizione 4 (Funzione convessa - DEFINIZIONE NON FORMALE).
Una funzione f è convessa dove il suo grafico sta sopra la retta tangente.
Una funzione f è concava dove il suo grafico sta sotto la retta tangente.
Teorema 8 (Derivabilità e convessità).
Sia f : [a, b] → R continua su [a, b] e derivabile due volte su ]a, b[.
f è convessa intorno ad x se e solo se f 00 (x) > 0; f è concava intorno ad x se e solo se f 00 (x) < 0.
Se esiste un punto x0 in cui f 00 (x0 ) = 0 allora x0 è un punto di flesso. Esso è un punto di flesso
orizzontale se anche f 0 (x0 ) = 0 (cioè la tangente è parallela all’asse x). Un punto di flesso è obliquo
quando f 0 (x0 ) 6= 0.
Teorema 9 (Teoremi di de l’Hôpital).
Siano f e g definite e continue su [a, b]e derivabili su ]a, b[.
• (Teorema 00 ) Se f (x0 ) = g(x0 ) = 0 e se g(x)g 0 (x) 6= 0 quando x 6= x0
0 (x)
(x)
= L ∈ R ∪ {±∞} allora lim fg(x)
= L.
e se esiste lim fg0 (x)
x→x0
x→x0
• (Teorema
e se esiste
∞
)
∞
Se lim f (x) = lim g(x) = ∞ e se g(x)g 0 (x) 6= 0
x→x0
f 0 (x)
lim 0 = L
x→x0 g (x)
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
∈ R ∪ {±∞} allora lim
= L.
Richiami sullo studio di funzione
Per studiare una funzione y = f (x) e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere
in ordine secondo i seguenti passi:
1. determinare il campo di esistenza (o dominio) della funzione: per quali x ∈ R la f (x) esiste.
2. studiare il segno della funzione, ovvero in quali sottoinsiemi del dominio f (x) è positiva, nulla
o negativa
3. identificare eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani:
• intersezione con asse x: dal precedente studio del segno si ricavano i valori x per cui f (x) = 0,
quindi l’intersezione è in P (x, 0). Possono essere nessuno o più di uno.
• intersezione con asse y: bisogna calcolare f (0), se è possibile (cioè se il dominio contiene
x = 0) e il punto di intersezione è Q(0, f (0)). Se esiste, l’intersezione è unica, altrimenti la
funzione non sarebbe ben definita.
4. Determinare il comportamento agli estremi del dominio: studiando i limiti a +∞, −∞ e nei
punti (finiti) non contenuti nel dominio.
5. Identificare eventuali asintoti:
• verticali alla retta x = x0 per esempio se lim− f (x) = −∞
x→x0
3
• orizzontali alla retta y = c per esempio se lim f (x) = c
x→+∞


lim f (x) = +∞



 x→+∞
f (x)
• obliqui alla retta y = mx + q per esempio se
lim
=m

x→+∞ x



 lim f (x) − mx = q
x→+∞
6. Identificare i punti di massimo e minimo relativo e assoluto, gli intervalli di monotonia (studiando
il segno di f 0 ) e la concavità e i flessi (studiando il segno di f 00 ).
FUNZIONI INTEGRABILI
Definizione 5 (Funzione integrabile). Una funzione f : [a, b] → R è integrabile secondo Riemann
se esistono e coincidono il suo integrale superiore (l’inf delle somme superiori) e inferiore (il sup
Z b
f (x) dx è l’integrale di f .
delle somme inferiori). Scriviamo allora che
a
Teorema 10 (Continuità e integrabilità).
Una funzione continua su [a, b] è integrabile.
Una funzione monotona su [a, b] è integrabile.
ESERCIZIO. Fai degli esempi (anche solo con un grafico) di funzioni NON continue, ma monotone; funzioni continue e non monotone; di funzioni non continue, ma integrabili.
Teorema 11 (Linearità dell’integrale - NB come già della derivata).
Siano f e g definite su [a, b] e a valori in R, continue, sia λ ∈ R una costante e sia c ∈]a, b[. Allora:
Z b
Z b
Z b
(λf (x) + g(x)) dx = λ
f (x)dx +
g(x)dx
a
a
Teorema 12.
Z
b
Z
c
a
Z
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx =
c
a
a
b
Teorema 13 (Teorema fondamentale del calcolo integrale).
Sia f definitia e continua su T . Sia a ∈ T , fissato. Per ogni x ∈ T definiamo la funzione
Z x
f (s)ds
F (x) =
a
0
Allora F è derivabile su T e F (x) = f (x) per ogni x ∈ T .
Rx
Definizione 6 (Integrale indefinito). Se f è integrabile su [a, b], allora F (x) = a f (s)ds è una
primitiva di f .
Tutte le primitive di f differiscono per una costante. La famiglia di tutte le primitive di f è l’integrale
indefinito di f .
Teorema 14 (Integrale definito). L’integrale di f esteso ad un intervallo limitato [a, b] è u integrale
definito. Se F è una primitiva di f , allora
Z b
f (s)ds = F (b) − F (a)
a
INTEGRAZIONE PER PARTI (integrazione del PRODOTTO di funzioni integrabili)
Siano f e g integrabili su [a, b]. Siano rispettivamente F e G due primitive di f e g. Allora:
Z b
Z b
F (x)g(x)dx = F (x)G(x) −
f (x)G(x)dx
a
a
4